第16講-1(王)

1、第五章第五章 極限定理極限定理下面的強(qiáng)大數(shù)定律將下面的強(qiáng)大數(shù)定律將(2.1)(2.1)進(jìn)行了推廣進(jìn)行了推廣. .是是n次試驗(yàn)中的成功次數(shù)次試驗(yàn)中的成功次數(shù).n12nSX XX 則則j1jX0, j，當(dāng)?shù)?次試驗(yàn)成功，當(dāng)?shù)?次試驗(yàn)不成功。在在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中, , 引入引入由概率的頻率定義知道由概率的頻率定義知道, ,對(duì)于成功的頻率對(duì)于成功的頻率nnXS /nn11nlimXPX 1EX 2.1 （ ）（）,有有5.2 5.2 大數(shù)律大數(shù)律 稱隨機(jī)變量的序列稱隨機(jī)變量的序列為為隨機(jī)序列隨機(jī)序列( (random sequence).). n1 2 ，其含義是其含義是n很大時(shí)很大

2、時(shí), 與與 有非零差距的可能性很小。有非零差距的可能性很小。n定義定義2.1.2.1.設(shè)設(shè) 是隨機(jī)序列，是隨機(jī)序列， 是隨機(jī)變量，是隨機(jī)變量，如果對(duì)如果對(duì)任意的任意的 0 0，有，有則稱序列則稱序列 依概率收斂于依概率收斂于 . 記為記為nn p lim |0nnP ，n 設(shè)隨機(jī)序列設(shè)隨機(jī)序列 獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布，并且并且 有限，則有有限，則有 定理定理2.1.2.1. n 11X p (2.5niiXn）nX1EX通常把類似于通常把類似于2.52.5的結(jié)論稱為的結(jié)論稱為弱大數(shù)律弱大數(shù)律( (weak law of large numbers).).由切比雪夫不等式得：由切比雪夫不等式得：2

3、211|0,niiPXnnn 證明：證明：例例1.（接接4.1 4.1 的例的例1.41.4 )在賭對(duì)子時(shí)在賭對(duì)子時(shí), , 甲每次下注甲每次下注100元元. . 如果他連續(xù)如果他連續(xù)下注下注n次次, , 證明他的盈利證明他的盈利Sn滿足滿足 nP (S1 8 n )1 . 和定理和定理2.12.1得到得到, , n 時(shí)時(shí)，18180.6nnnSnXX 證明：證明： 用用Xi表示甲第表示甲第i次下注的盈利次下注的盈利, , 則則X1,X2, Xn獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布. . 由由4.14.1的例的例1.41.4知知|0.6nX，18.6EXi.21nnXXXS利用利用2Var(X1)0.0.6nP

4、(Sn 18n) P(| | 0.6)nX于是于是，P(Sn 18n) = 1 P(Sn 18n) 1說(shuō)明下注的次數(shù)說(shuō)明下注的次數(shù)n越多越多, , 至少輸至少輸18n元的概率越大。元的概率越大。設(shè)設(shè) 是隨機(jī)序列是隨機(jī)序列， 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量， 定義定義2.2.2.2.n如果如果lim1nnP ，則稱序列則稱序列 以概率以概率1 1收斂于收斂于 . n,nwp1 或或 a.s.。記為記為 類似于類似于(2.6)(2.6)的結(jié)果稱為的結(jié)果稱為強(qiáng)大數(shù)律強(qiáng)大數(shù)律 ( (strong law of large numbers). ). 從強(qiáng)大數(shù)律結(jié)論從強(qiáng)大數(shù)律結(jié)論(2.6)(2.6)知道概率的頻率定

5、義是合理的知道概率的頻率定義是合理的。 設(shè)隨機(jī)序列設(shè)隨機(jī)序列 獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布，并并且且 ，則有則有 定理定理2.22.2. 11 , wp1. 2.6niiXn（）nX1EX定理定理2.32.3. .如果如果 wp1. 則則,n .np強(qiáng)大數(shù)律結(jié)論比弱大數(shù)律結(jié)論要強(qiáng)強(qiáng)大數(shù)律結(jié)論比弱大數(shù)律結(jié)論要強(qiáng): :證明：證明：設(shè)設(shè) p 是任意小的正數(shù)是任意小的正數(shù), ,事件事件A1,A2相互獨(dú)立相互獨(dú)立, , P(Ai)= p. .用用 IAi 表示表示Ai的示性函數(shù)，則的示性函數(shù)，則 IAi 獨(dú)立獨(dú)立同分布同分布. .由強(qiáng)大數(shù)律得到：由強(qiáng)大數(shù)律得到：11, 1.iiI Apwpn所以所以1, 1.i

6、iI Awp 說(shuō)明有無(wú)窮個(gè)說(shuō)明有無(wú)窮個(gè)Ai發(fā)生的概率是發(fā)生的概率是1. .例例2 2.在多次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)過(guò)程中在多次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)過(guò)程中, ,小概率事件必然發(fā)小概率事件必然發(fā)生生. . 5.35.3 中心極限定理中心極限定理 強(qiáng)大數(shù)律和弱大數(shù)律分別討論了隨機(jī)序列部分和強(qiáng)大數(shù)律和弱大數(shù)律分別討論了隨機(jī)序列部分和的依概率收斂和以概率的依概率收斂和以概率1收斂收斂. 中心極限定理討論對(duì)充分大的中心極限定理討論對(duì)充分大的n, , 隨機(jī)變量序列隨機(jī)變量序列部分和部分和 X1+X2+ +Xn 的概率分布問(wèn)題的概率分布問(wèn)題. .令令 Sn = X1 + X2 + + Xn則則Sn為為n次獨(dú)立試驗(yàn)中成功的次數(shù)次

7、獨(dú)立試驗(yàn)中成功的次數(shù),Sn B(n,p)。從演示看出從演示看出 時(shí)時(shí), ,Sn的分布形狀很象正態(tài)分布的分布形狀很象正態(tài)分布。n例例3.3. 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 則則Xj iid B(1,p)( (兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布) )。j1jX0, j，當(dāng)?shù)?次試驗(yàn)成功，當(dāng)?shù)?次試驗(yàn)不成功。獨(dú)立地重復(fù)某一試驗(yàn)，設(shè)獨(dú)立地重復(fù)某一試驗(yàn)，設(shè) 若若 Xj iid P( ), 則由則由3.43.4的例的例4.14.1知道部分和知道部分和nS().iXP nni=1例例4.4. Poisson( (泊松泊松) )分布分布從演示看出從演示看出 時(shí)時(shí), ,Sn的分布形狀很象正態(tài)分布的分布形狀很象正態(tài)分布。n例例5.5.幾何分布

8、部分和幾何分布部分和 設(shè)設(shè)Xj獨(dú)立同分布都服從幾何分布獨(dú)立同分布都服從幾何分布jP(X,1,2,.,1.kp q k-1=k)pq上述分布稱為上述分布稱為帕斯卡分布帕斯卡分布. .可以將可以將 Sn = X1 + X2 + + Xn 設(shè)想成第設(shè)想成第n次擊中目標(biāo)次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)時(shí)的射擊次數(shù)( (參考幾何分布的背景參考幾何分布的背景),),于是得到于是得到11(),1,.nnknnkP SkCp qkn n從演示看出從演示看出 時(shí)時(shí), ,Sn的分布形狀很象正態(tài)分布的分布形狀很象正態(tài)分布。n注：得到第注：得到第n次成功前失敗的次數(shù)次成功前失敗的次數(shù)Y的分布稱為的分布稱為負(fù)二項(xiàng)分布負(fù)二項(xiàng)分布，

9、易見(jiàn)，易見(jiàn)且且Sn = Y + n.1(),0,1,2,.knknkP YkCp qk 定理定理3.13.1（中心極限定理）（中心極限定理）這里這里 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù). .( )xlim().nnPxx 設(shè)隨機(jī)序列設(shè)隨機(jī)序列 Xj 獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布, ,有共同有共同的數(shù)學(xué)期的數(shù)學(xué)期望望 和方差和方差 . 部分和部分和Sn =X1 X2 Xn, 則則Sn的標(biāo)準(zhǔn)化的標(biāo)準(zhǔn)化2 nnSnn依分布收斂依分布收斂到到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. . 即對(duì)任何即對(duì)任何x, ,(3.2) 我們把結(jié)論我們把結(jié)論(3.2)(3.2)記成記成 , 其中其中的的d表示依分布收斂表示依

10、分布收斂. . d N(0,1)n 中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一，中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一，它不僅提供了計(jì)算獨(dú)立隨機(jī)變量之和的近似概率的它不僅提供了計(jì)算獨(dú)立隨機(jī)變量之和的近似概率的簡(jiǎn)單方法，而且有助于解釋簡(jiǎn)單方法，而且有助于解釋為什么很多自然群體的為什么很多自然群體的經(jīng)驗(yàn)頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線經(jīng)驗(yàn)頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線這一值得注意的事實(shí)這一值得注意的事實(shí). .中心極限定理的應(yīng)用中心極限定理的應(yīng)用可以用可以用 N(0,1) 近似計(jì)算關(guān)于近似計(jì)算關(guān)于 的概率，的概率，用用N( n , n 2) 近似計(jì)算關(guān)于近似計(jì)算關(guān)于 Sn 的概率的概率。n例例6.6. 近似計(jì)算近似計(jì)算 當(dāng)輻射的

11、強(qiáng)度超過(guò)每小時(shí)當(dāng)輻射的強(qiáng)度超過(guò)每小時(shí)0.50.5毫倫琴毫倫琴(mr)(mr)時(shí)時(shí), ,輻輻射會(huì)對(duì)人的健康造成傷害射會(huì)對(duì)人的健康造成傷害. . 設(shè)一臺(tái)彩電工作時(shí)的平設(shè)一臺(tái)彩電工作時(shí)的平均輻射強(qiáng)度是均輻射強(qiáng)度是0.036(mr/h), 0.036(mr/h), 方差是方差是0.0081. 0.0081. 則家庭則家庭中一臺(tái)彩電的輻射一般不會(huì)對(duì)人造成健康傷害中一臺(tái)彩電的輻射一般不會(huì)對(duì)人造成健康傷害. . 但但是彩電銷售店同時(shí)有多臺(tái)彩電同時(shí)工作時(shí)是彩電銷售店同時(shí)有多臺(tái)彩電同時(shí)工作時(shí), ,輻射可能輻射可能對(duì)人造成健康傷害對(duì)人造成健康傷害. . 現(xiàn)在有現(xiàn)在有1616臺(tái)彩電同時(shí)工作臺(tái)彩電同時(shí)工作, ,問(wèn)這問(wèn)

12、這 1616 臺(tái)彩電的輻射量可以對(duì)人造成健康傷害的概率臺(tái)彩電的輻射量可以對(duì)人造成健康傷害的概率. .例例6.6. ( (續(xù)續(xù)) )nnSnn近似服從近似服從N(0,1)分布分布, , 于是于是解解: : 用用Xi表示第表示第i臺(tái)彩電的輻射量臺(tái)彩電的輻射量(mr/h),(mr/h),則則Xi 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 =0.036, =0.036,方差方差 = =0.0081.0.0081. Sn=X1+X2+ +X16 是是n=16臺(tái)彩電的輻射量臺(tái)彩電的輻射量. . 題目要求題目要求P(Sn 0.5). 認(rèn)為認(rèn)為Xi獨(dú)立同分布時(shí)獨(dú)立同分布時(shí), , 按照按照定理定理3.13.1, ,2例例6 6.

13、. ( (續(xù)續(xù)) )0.5(0.5)nnSnnP SPnn0.5160.036160.00810.211=1-0.2111-(-0.211)=(0.211)0.58.nnnPPP 這這1616臺(tái)彩電以大約臺(tái)彩電以大約58%58%的概率會(huì)對(duì)人造成健康的概率會(huì)對(duì)人造成健康傷害傷害. .例例7 7 一加法器同時(shí)收到一加法器同時(shí)收到20個(gè)噪聲電壓個(gè)噪聲電壓 ，設(shè)它們是互相獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間設(shè)它們是互相獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間(0,10)上上服從均勻分布，記服從均勻分布，記 (1,2,20)iV i 201niiSV nn22S -20 5105-20 5PS105P10 /122010 /1

14、220 nnS -100S -100P0.3871 P0.387(10/ 12)20(10/ 12)20 求求PSn105 近似值近似值 。 二項(xiàng)分布的正態(tài)近似二項(xiàng)分布的正態(tài)近似推論推論3.3.3.3.設(shè)設(shè)Sn B(n,p), p=1-q (0,1), 則則 d N(0,1). (3.3)nSnpnpq由由定理定理3.13.1結(jié)論成立結(jié)論成立例例8 8 設(shè)一個(gè)系統(tǒng)由設(shè)一個(gè)系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件組成，每個(gè)部件的損壞率為組成，每個(gè)部件的損壞率為0.1。為了使整個(gè)系。為了使整個(gè)系統(tǒng)正常工作，至少必須有統(tǒng)正常工作，至少必須有85個(gè)部件正常工作，求個(gè)部件正常工作，求整個(gè)

15、系統(tǒng)正常工作的概率。整個(gè)系統(tǒng)正常工作的概率。解：解：設(shè)設(shè) Sn是損壞的部件數(shù)，則是損壞的部件數(shù)，則 SnB(100,0.1)。 則整個(gè)系統(tǒng)能正常工作當(dāng)且僅當(dāng)則整個(gè)系統(tǒng)能正常工作當(dāng)且僅當(dāng) Sn 15. . 由由推論推論3.33.3得得100 0.115100 0.115100 0.1 0.9100 0.1 0.915100 0.15 0.952.3100 0.1 0.9nnSP SP 例例9 9 某單位有某單位有200臺(tái)電話分機(jī)，每臺(tái)分機(jī)有臺(tái)電話分機(jī)，每臺(tái)分機(jī)有5%的時(shí)的時(shí)間要使用外線通話。假定每臺(tái)分機(jī)是否使用外線是間要使用外線通話。假定每臺(tái)分機(jī)是否使用外線是相互獨(dú)立的，問(wèn)該單位總機(jī)要安裝多少條

16、外線，才相互獨(dú)立的，問(wèn)該單位總機(jī)要安裝多少條外線，才能以能以90%以上的概率保證分機(jī)用外線時(shí)不等待？以上的概率保證分機(jī)用外線時(shí)不等待？解：解：設(shè)有設(shè)有Sn部分機(jī)同時(shí)使用外線，則有部分機(jī)同時(shí)使用外線，則有( ,),nSB n p設(shè)有設(shè)有N條外線。條外線。0.9nP SN 由由推論推論3.33.3得得nP SN (1)(1)nSnpNnpPnppnpp .08. 3p)-np(110,np0.05,p200,n 其中其中由題意有由題意有例例9 9 （續(xù)）（續(xù)）nP SN .90. 0)28. 1 ( 查表得查表得,28. 13.0810-N 應(yīng)滿足條件應(yīng)滿足條件故故 N條外線條外線。即至少要安裝即

17、至少要安裝取取即即14,14.94.13 NN10.3.08(1)NnpNnpp (1)(1)nSnpNnpPnppnpp 例例10.10. 用正態(tài)分布計(jì)算二項(xiàng)分布用正態(tài)分布計(jì)算二項(xiàng)分布 設(shè)設(shè)Sn B(n,p), 則則Sn近似近似 N(np, npq)分布分布, , 設(shè)設(shè)X N(np,npq), 設(shè)設(shè)a, b為非負(fù)整數(shù)。由中心極限定理為非負(fù)整數(shù)。由中心極限定理, , n 較大時(shí)較大時(shí)()() (*)npP aSbP aXb但是注意但是注意Sn是取整數(shù)值的，所以是取整數(shù)值的，所以()(11)nnpP aSbP aSb 上式右端用正態(tài)近似和上式右端用正態(tài)近似和( (* *) )不同。不同。例例10

18、.(10.(續(xù)續(xù)) )為此取折衷，令為此取折衷，令() (0.50.5)0.50.5 = (3.4)npP aSbP aXbbnpanpnpqnpq 稱為連續(xù)性校正。此近似公式應(yīng)在稱為連續(xù)性校正。此近似公式應(yīng)在 n 充分大時(shí)使用充分大時(shí)使用，實(shí)際規(guī)則可以用，實(shí)際規(guī)則可以用 min(np,nq)5。例例10.(10.(續(xù)續(xù))特別地，特別地，() (0.50.5)0.50.5 =npP SaP aXaanpanpnpqnpq 某藥廠試制了一種新藥某藥廠試制了一種新藥, , 聲稱對(duì)貧血的治療有效率達(dá)聲稱對(duì)貧血的治療有效率達(dá)到到80%. 80%. 醫(yī)藥監(jiān)管部門(mén)準(zhǔn)備對(duì)醫(yī)藥監(jiān)管部門(mén)準(zhǔn)備對(duì)100100個(gè)貧血患者進(jìn)行此藥個(gè)貧血患者進(jìn)行此藥的療效試驗(yàn)的療效試驗(yàn), ,若這若這100100人中至少有人中至少有7575人用藥有效人用藥有效, , 就批就批準(zhǔn)此藥的生產(chǎn)準(zhǔn)此藥的生產(chǎn). . 如果該藥的有效率確實(shí)達(dá)到如果該藥的有效率確實(shí)達(dá)到 80%, 80%, 此此藥被批準(zhǔn)生產(chǎn)的概率是多少藥被批準(zhǔn)生產(chǎn)的概率是多少? ?解解: :用用 Sn表示這表示這n (=100)個(gè)患者中用藥后有效的人數(shù)個(gè)患者中用藥后有效的