第16講-1(王)

1、第五章第五章 極限定理極限定理下面的強大數(shù)定律將下面的強大數(shù)定律將(2.1)(2.1)進行了推廣進行了推廣. .是是n次試驗中的成功次數(shù)次試驗中的成功次數(shù).n12nSX XX 則則j1jX0, j，當(dāng)?shù)?次試驗成功，當(dāng)?shù)?次試驗不成功。在在n次獨立重復(fù)試驗中次獨立重復(fù)試驗中, , 引入引入由概率的頻率定義知道由概率的頻率定義知道, ,對于成功的頻率對于成功的頻率nnXS /nn11nlimXPX 1EX 2.1 （ ）（）,有有5.2 5.2 大數(shù)律大數(shù)律 稱隨機變量的序列稱隨機變量的序列為為隨機序列隨機序列( (random sequence).). n1 2 ，其含義是其含義是n很大時很大

2、時, 與與 有非零差距的可能性很小。有非零差距的可能性很小。n定義定義2.1.2.1.設(shè)設(shè) 是隨機序列，是隨機序列， 是隨機變量，是隨機變量，如果對如果對任意的任意的 0 0，有，有則稱序列則稱序列 依概率收斂于依概率收斂于 . 記為記為nn p lim |0nnP ，n 設(shè)隨機序列設(shè)隨機序列 獨立同分布獨立同分布，并且并且 有限，則有有限，則有 定理定理2.1.2.1. n 11X p (2.5niiXn）nX1EX通常把類似于通常把類似于2.52.5的結(jié)論稱為的結(jié)論稱為弱大數(shù)律弱大數(shù)律( (weak law of large numbers).).由切比雪夫不等式得：由切比雪夫不等式得：2

3、211|0,niiPXnnn 證明：證明：例例1.（接接4.1 4.1 的例的例1.41.4 )在賭對子時在賭對子時, , 甲每次下注甲每次下注100元元. . 如果他連續(xù)如果他連續(xù)下注下注n次次, , 證明他的盈利證明他的盈利Sn滿足滿足 nP (S1 8 n )1 . 和定理和定理2.12.1得到得到, , n 時時，18180.6nnnSnXX 證明：證明： 用用Xi表示甲第表示甲第i次下注的盈利次下注的盈利, , 則則X1,X2, Xn獨立同分布獨立同分布. . 由由4.14.1的例的例1.41.4知知|0.6nX，18.6EXi.21nnXXXS利用利用2Var(X1)0.0.6nP

4、(Sn 18n) P(| | 0.6)nX于是于是，P(Sn 18n) = 1 P(Sn 18n) 1說明下注的次數(shù)說明下注的次數(shù)n越多越多, , 至少輸至少輸18n元的概率越大。元的概率越大。設(shè)設(shè) 是隨機序列是隨機序列， 是隨機變量是隨機變量， 定義定義2.2.2.2.n如果如果lim1nnP ，則稱序列則稱序列 以概率以概率1 1收斂于收斂于 . n,nwp1 或或 a.s.。記為記為 類似于類似于(2.6)(2.6)的結(jié)果稱為的結(jié)果稱為強大數(shù)律強大數(shù)律 ( (strong law of large numbers). ). 從強大數(shù)律結(jié)論從強大數(shù)律結(jié)論(2.6)(2.6)知道概率的頻率定

5、義是合理的知道概率的頻率定義是合理的。 設(shè)隨機序列設(shè)隨機序列 獨立同分布獨立同分布，并并且且 ，則有則有 定理定理2.22.2. 11 , wp1. 2.6niiXn（）nX1EX定理定理2.32.3. .如果如果 wp1. 則則,n .np強大數(shù)律結(jié)論比弱大數(shù)律結(jié)論要強強大數(shù)律結(jié)論比弱大數(shù)律結(jié)論要強: :證明：證明：設(shè)設(shè) p 是任意小的正數(shù)是任意小的正數(shù), ,事件事件A1,A2相互獨立相互獨立, , P(Ai)= p. .用用 IAi 表示表示Ai的示性函數(shù)，則的示性函數(shù)，則 IAi 獨立獨立同分布同分布. .由強大數(shù)律得到：由強大數(shù)律得到：11, 1.iiI Apwpn所以所以1, 1.i

6、iI Awp 說明有無窮個說明有無窮個Ai發(fā)生的概率是發(fā)生的概率是1. .例例2 2.在多次獨立重復(fù)試驗過程中在多次獨立重復(fù)試驗過程中, ,小概率事件必然發(fā)小概率事件必然發(fā)生生. . 5.35.3 中心極限定理中心極限定理 強大數(shù)律和弱大數(shù)律分別討論了隨機序列部分和強大數(shù)律和弱大數(shù)律分別討論了隨機序列部分和的依概率收斂和以概率的依概率收斂和以概率1收斂收斂. 中心極限定理討論對充分大的中心極限定理討論對充分大的n, , 隨機變量序列隨機變量序列部分和部分和 X1+X2+ +Xn 的概率分布問題的概率分布問題. .令令 Sn = X1 + X2 + + Xn則則Sn為為n次獨立試驗中成功的次數(shù)次

7、獨立試驗中成功的次數(shù),Sn B(n,p)。從演示看出從演示看出 時時, ,Sn的分布形狀很象正態(tài)分布的分布形狀很象正態(tài)分布。n例例3.3. 二項分布二項分布 則則Xj iid B(1,p)( (兩點分布兩點分布) )。j1jX0, j，當(dāng)?shù)?次試驗成功，當(dāng)?shù)?次試驗不成功。獨立地重復(fù)某一試驗，設(shè)獨立地重復(fù)某一試驗，設(shè) 若若 Xj iid P( ), 則由則由3.43.4的例的例4.14.1知道部分和知道部分和nS().iXP nni=1例例4.4. Poisson( (泊松泊松) )分布分布從演示看出從演示看出 時時, ,Sn的分布形狀很象正態(tài)分布的分布形狀很象正態(tài)分布。n例例5.5.幾何分布

8、部分和幾何分布部分和 設(shè)設(shè)Xj獨立同分布都服從幾何分布獨立同分布都服從幾何分布jP(X,1,2,.,1.kp q k-1=k)pq上述分布稱為上述分布稱為帕斯卡分布帕斯卡分布. .可以將可以將 Sn = X1 + X2 + + Xn 設(shè)想成第設(shè)想成第n次擊中目標(biāo)次擊中目標(biāo)時的射擊次數(shù)時的射擊次數(shù)( (參考幾何分布的背景參考幾何分布的背景),),于是得到于是得到11(),1,.nnknnkP SkCp qkn n從演示看出從演示看出 時時, ,Sn的分布形狀很象正態(tài)分布的分布形狀很象正態(tài)分布。n注：得到第注：得到第n次成功前失敗的次數(shù)次成功前失敗的次數(shù)Y的分布稱為的分布稱為負二項分布負二項分布，

9、易見，易見且且Sn = Y + n.1(),0,1,2,.knknkP YkCp qk 定理定理3.13.1（中心極限定理）（中心極限定理）這里這里 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù). .( )xlim().nnPxx 設(shè)隨機序列設(shè)隨機序列 Xj 獨立同分布獨立同分布, ,有共同有共同的數(shù)學(xué)期的數(shù)學(xué)期望望 和方差和方差 . 部分和部分和Sn =X1 X2 Xn, 則則Sn的標(biāo)準(zhǔn)化的標(biāo)準(zhǔn)化2 nnSnn依分布收斂依分布收斂到到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. . 即對任何即對任何x, ,(3.2) 我們把結(jié)論我們把結(jié)論(3.2)(3.2)記成記成 , 其中其中的的d表示依分布收斂表示依

10、分布收斂. . d N(0,1)n 中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一，中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一，它不僅提供了計算獨立隨機變量之和的近似概率的它不僅提供了計算獨立隨機變量之和的近似概率的簡單方法，而且有助于解釋簡單方法，而且有助于解釋為什么很多自然群體的為什么很多自然群體的經(jīng)驗頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線經(jīng)驗頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線這一值得注意的事實這一值得注意的事實. .中心極限定理的應(yīng)用中心極限定理的應(yīng)用可以用可以用 N(0,1) 近似計算關(guān)于近似計算關(guān)于 的概率，的概率，用用N( n , n 2) 近似計算關(guān)于近似計算關(guān)于 Sn 的概率的概率。n例例6.6. 近似計算近似計算 當(dāng)輻射的

11、強度超過每小時當(dāng)輻射的強度超過每小時0.50.5毫倫琴毫倫琴(mr)(mr)時時, ,輻輻射會對人的健康造成傷害射會對人的健康造成傷害. . 設(shè)一臺彩電工作時的平設(shè)一臺彩電工作時的平均輻射強度是均輻射強度是0.036(mr/h), 0.036(mr/h), 方差是方差是0.0081. 0.0081. 則家庭則家庭中一臺彩電的輻射一般不會對人造成健康傷害中一臺彩電的輻射一般不會對人造成健康傷害. . 但但是彩電銷售店同時有多臺彩電同時工作時是彩電銷售店同時有多臺彩電同時工作時, ,輻射可能輻射可能對人造成健康傷害對人造成健康傷害. . 現(xiàn)在有現(xiàn)在有1616臺彩電同時工作臺彩電同時工作, ,問這問

12、這 1616 臺彩電的輻射量可以對人造成健康傷害的概率臺彩電的輻射量可以對人造成健康傷害的概率. .例例6.6. ( (續(xù)續(xù)) )nnSnn近似服從近似服從N(0,1)分布分布, , 于是于是解解: : 用用Xi表示第表示第i臺彩電的輻射量臺彩電的輻射量(mr/h),(mr/h),則則Xi 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 =0.036, =0.036,方差方差 = =0.0081.0.0081. Sn=X1+X2+ +X16 是是n=16臺彩電的輻射量臺彩電的輻射量. . 題目要求題目要求P(Sn 0.5). 認(rèn)為認(rèn)為Xi獨立同分布時獨立同分布時, , 按照按照定理定理3.13.1, ,2例例6 6.

13、. ( (續(xù)續(xù)) )0.5(0.5)nnSnnP SPnn0.5160.036160.00810.211=1-0.2111-(-0.211)=(0.211)0.58.nnnPPP 這這1616臺彩電以大約臺彩電以大約58%58%的概率會對人造成健康的概率會對人造成健康傷害傷害. .例例7 7 一加法器同時收到一加法器同時收到20個噪聲電壓個噪聲電壓 ，設(shè)它們是互相獨立的隨機變量，且都在區(qū)間設(shè)它們是互相獨立的隨機變量，且都在區(qū)間(0,10)上上服從均勻分布，記服從均勻分布，記 (1,2,20)iV i 201niiSV nn22S -20 5105-20 5PS105P10 /122010 /1

14、220 nnS -100S -100P0.3871 P0.387(10/ 12)20(10/ 12)20 求求PSn105 近似值近似值 。 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似推論推論3.3.3.3.設(shè)設(shè)Sn B(n,p), p=1-q (0,1), 則則 d N(0,1). (3.3)nSnpnpq由由定理定理3.13.1結(jié)論成立結(jié)論成立例例8 8 設(shè)一個系統(tǒng)由設(shè)一個系統(tǒng)由100個相互獨立起作用的部件個相互獨立起作用的部件組成，每個部件的損壞率為組成，每個部件的損壞率為0.1。為了使整個系。為了使整個系統(tǒng)正常工作，至少必須有統(tǒng)正常工作，至少必須有85個部件正常工作，求個部件正常工作，求整個

15、系統(tǒng)正常工作的概率。整個系統(tǒng)正常工作的概率。解：解：設(shè)設(shè) Sn是損壞的部件數(shù)，則是損壞的部件數(shù)，則 SnB(100,0.1)。 則整個系統(tǒng)能正常工作當(dāng)且僅當(dāng)則整個系統(tǒng)能正常工作當(dāng)且僅當(dāng) Sn 15. . 由由推論推論3.33.3得得100 0.115100 0.115100 0.1 0.9100 0.1 0.915100 0.15 0.952.3100 0.1 0.9nnSP SP 例例9 9 某單位有某單位有200臺電話分機，每臺分機有臺電話分機，每臺分機有5%的時的時間要使用外線通話。假定每臺分機是否使用外線是間要使用外線通話。假定每臺分機是否使用外線是相互獨立的，問該單位總機要安裝多少條

16、外線，才相互獨立的，問該單位總機要安裝多少條外線，才能以能以90%以上的概率保證分機用外線時不等待？以上的概率保證分機用外線時不等待？解：解：設(shè)有設(shè)有Sn部分機同時使用外線，則有部分機同時使用外線，則有( ,),nSB n p設(shè)有設(shè)有N條外線。條外線。0.9nP SN 由由推論推論3.33.3得得nP SN (1)(1)nSnpNnpPnppnpp .08. 3p)-np(110,np0.05,p200,n 其中其中由題意有由題意有例例9 9 （續(xù)）（續(xù)）nP SN .90. 0)28. 1 ( 查表得查表得,28. 13.0810-N 應(yīng)滿足條件應(yīng)滿足條件故故 N條外線條外線。即至少要安裝即

17、至少要安裝取取即即14,14.94.13 NN10.3.08(1)NnpNnpp (1)(1)nSnpNnpPnppnpp 例例10.10. 用正態(tài)分布計算二項分布用正態(tài)分布計算二項分布 設(shè)設(shè)Sn B(n,p), 則則Sn近似近似 N(np, npq)分布分布, , 設(shè)設(shè)X N(np,npq), 設(shè)設(shè)a, b為非負整數(shù)。由中心極限定理為非負整數(shù)。由中心極限定理, , n 較大時較大時()() (*)npP aSbP aXb但是注意但是注意Sn是取整數(shù)值的，所以是取整數(shù)值的，所以()(11)nnpP aSbP aSb 上式右端用正態(tài)近似和上式右端用正態(tài)近似和( (* *) )不同。不同。例例10

18、.(10.(續(xù)續(xù)) )為此取折衷，令為此取折衷，令() (0.50.5)0.50.5 = (3.4)npP aSbP aXbbnpanpnpqnpq 稱為連續(xù)性校正。此近似公式應(yīng)在稱為連續(xù)性校正。此近似公式應(yīng)在 n 充分大時使用充分大時使用，實際規(guī)則可以用，實際規(guī)則可以用 min(np,nq)5。例例10.(10.(續(xù)續(xù))特別地，特別地，() (0.50.5)0.50.5 =npP SaP aXaanpanpnpqnpq 某藥廠試制了一種新藥某藥廠試制了一種新藥, , 聲稱對貧血的治療有效率達聲稱對貧血的治療有效率達到到80%. 80%. 醫(yī)藥監(jiān)管部門準(zhǔn)備對醫(yī)藥監(jiān)管部門準(zhǔn)備對100100個貧血患者進行此藥個貧血患者進行此藥的療效試驗的療效試驗, ,若這若這100100人中至少有人中至少有7575人用藥有效人用藥有效, , 就批就批準(zhǔn)此藥的生產(chǎn)準(zhǔn)此藥的生產(chǎn). . 如果該藥的有效率確實達到如果該藥的有效率確實達到 80%, 80%, 此此藥被批準(zhǔn)生產(chǎn)的概率是多少藥被批準(zhǔn)生產(chǎn)的概率是多少? ?解解: :用用 Sn表示這表示這n (=100)個患者中用藥后有效的人數(shù)個患者中用藥后有效的