空間向量與立體幾何知識點與例題

1、空間向量與立體幾何知方法總結(jié)知識要點1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示-同向等長的有向線段表示同一或相等的向量（2）向量具有平移不變性2. 空間向量的運算。定義:與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算如下（如圖）uuuOBuuuuuurOAABavuuub；BAuuuuunrOAOBa運算律：加法交換律：加法結(jié)合律：（ab）數(shù)乘分配律：（ab）(bbc)運算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則3. 共線向量（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，a平行于b，

2、記作a/b。（2）共線向量定理：空間任意兩個向量a、b（b工0），aababABACOCxOAyOB（其中xy1）a=共面向量a（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果兩個向量a,b不共線，p與向量a,b共面的條件是存在實數(shù)x,y使rrpxayb。（3）四點共面：若Ab、c、p四點共面<=>APxAByAC<=>OPxOAyOBzOC（其中xyz1）r,rrr5. 空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有rrrr序?qū)崝?shù)組x,y,z，使pxaybzc。

3、rrrrrrrr若三向量a,b,c不共面，我們把a,b,c叫做空間的一個基底，a,b,c叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。推論：設(shè)o,代b,c是不共面的四點，則對空間任一點p，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x,y,Z，uuuuuuuuuuuur使OPxOAyOBzOC。6. 空間向量的直角坐標系：（1）空間直角坐標系中的坐標：在空間直角坐標系Oxyz中，對空間任一點a，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,使OAxiyizk，有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）叫作向量A在空間直角坐標系Oxyz中的坐標，記作A（x,y,z）,x叫橫坐標，y叫縱坐標，z叫豎坐標。注：點A（x,y,z）關(guān)

4、于x軸的的對稱點為（x,-y,-z）,關(guān)于xoy平面的對稱點為（x,y,-z）.即點關(guān)于什么軸/平面對稱，什么坐標不變，其余的分坐標均相反。在y軸上的點設(shè)為（0,y,0）,在平面yOz中的點設(shè)為（0,y,z）rrr（2）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為i，這個基底叫單位正交基底，用i,j,k表示?？臻g中任一向量axiyjzk=（x,y,z）（3）空間向量的直角坐標運算律：rrrr若a佝,a?,a3），b（b1,b2jb3），則ab（aiQ,a4,兔b3），rarb佝3®b2®b3)，a(a1,a2,a3)(R)，abrrab|a?pabg，a/brra1b1,a

5、2b2,a3bs(R)，aba1b|a2d0。uuu 若A（x1,y1,z1），B（X2，y2，z2），則AB（x?%,Z2zj。一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。 定比分點公式：若A（Xi,%,弓），B（X2,y2,Z2），appb，則點p坐標為MiX2%y乙Z2、（-）。推導：設(shè)P（x,y,z）則（xx!,yy1,zw）（X2x,y2、九z）,111顯然，當P為AB中點時，P（X1生単止,耳勻222 ABC中，A佃，,）出區(qū)小乙）,。,丫彳么），三角形重心P坐標為P(XX2X33y1y22y3z1z2z3)2厶ABC的五心:內(nèi)心P：內(nèi)切圓的圓

6、心，角平分線的交點。AP/ABAC、（ABAC）（單位向量）外心P：外接圓的圓心，中垂線的交點。APB|PC|垂心P：高的交點：PAPBPAPCPBPC（移項，內(nèi)積為0，則垂直）1重心P：中線的交點，三等分點（中位線比）AP（ABAC）中心：正三角形的所有心的合一。(4) 模長公式：若a(a1,r則|a|(5) 夾角公式：cosab2a2(bdbO，|b|.,、.、bi2b22b2rrbraraiEa?©?agbg；ai22220b2b3ABC中AB?AC0<=>A為銳角AB?AC0<=>A為鈍角，鈍角(6)兩點間的距離公式：若A(xi,yi,zj,B(X2,

7、y2,Z2),則|AB|,(X2Xi)2(y2yi)2(Z2zi)2，或dA,B、皿N)2(Y2Yi)2(Z2N)27. 空間向量的數(shù)量積。ruuuruumr(1) 空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a,b，在空間任取一點o,作OAa,OBb，rrrrr則AOB叫做向量a與b的夾角，記作a,b；且規(guī)定0a,b，顯然有a,bb,a；若a,b,則稱a與b互相垂直，記作：ab。uuur2uuurr(2) 向量的模：設(shè)OAa，貝u有向線段OA的長度叫做向量a的長度或模，記作：|a|。rrIFrrrrrr(3) 向量的數(shù)量積：已知向量a,b，則|a|b|cosa,b叫做a,b的數(shù)量積，記作ab，rr

8、rr即ab|a|b|cosa,b。(4) 空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：rr.r.rrrrrrr2rrae|a|cosa,e。abab0。|a|aa。(5) 空間向量數(shù)量積運算律：rrrrr(a)b(ab)a(b)。abba(交換律)。rrrrrrr a(bc)abac(分配律)。=ffiff 不滿足乘法結(jié)合率：(ab)ca(bc)二.空間向量與立體幾何(高考答題必考)1線線平行兩線的方向向量平行1- 1線面平行線的方向向量與面的法向量垂直1- 2面面平行兩面的法向量平行2線線垂直(共面與異面)兩線的方向向量垂直2- 1線面垂直線與面的法向量平行2- 2面面垂直兩面的法向量垂直3線線夾角兩條異面直線所

9、成的角：1、定義：設(shè)a、b是兩條異面直線，過空間任一點O作直線a/a,b/b，則a/與b/所夾的銳角或直角叫做a與b所成的角.若兩面的法向量一進一出，則二面角等于兩法向量ni,n2的夾角；法向量同進同出，貝面角等于法向量的夾角的補角.coscos,n22、范圍：兩異面直線所成角B的取值范圍是rrcos3、向量求法：設(shè)直線a、b的方向向量為a、b，其夾角為，則有4、注意：兩異面直線所成的角可以通過這兩條直線的方向向量的夾角來求得，但兩者不完全相等,當兩方向向量的夾角是鈍角時，應(yīng)取其補角作為兩異面直線所成的角.3- 2線面夾角0°,90°:求線面夾角的步驟：先求線的方向向量AP

10、與面的法向量n的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，貝u取其補角;再求其余角，即是線面的夾"角.sincosAP,n,o23- 3面面夾角（二面角）0°,180°：（1）若ABCD分別是二面角uuruuu直的異面直線，則二面角的大小就是向量AB與CD的夾角（如圖（a）所示）他（2）設(shè)厲、°2是二面角l的兩個角a、B的法向量，則向量°1與°2的夾角（或其補角）就是二面角的平面角的大小（如圖（b）所示）04點面距離h:如圖（a）所示，BOL平面a,垂足為0,則點B到平面a的距離就是線段B0的長度若AB是平面a的任一條斜線段，則在RtBOA中,

11、cosuuuBOuuuBAuuuBAuuiuBOcosABOuuir/AB0=ABOBO如果令平面a的法向量為的距離為h=°，考慮到法向量的方向，可以uuuruuurABnBOrn4得到B點到平面a4-1線面距離（線面平行）：轉(zhuǎn)化為點面距離(a)4-2面面距離(面面平行)：轉(zhuǎn)化為點面距離應(yīng)用舉例：例1:如右下圖，在長方體ABCABCD中，已知AB=4,AD=3,AA二2.E、F分別是線段ABBC上的點，且EB=FB=1.(1)求二面角C-DE-C的正切值；(2)求直線EC與FD所成的余弦值.解：(I)以A為原點，aB,ad,Aa；分別為x軸，y軸,z軸的正向建立空間直角坐標系,貝SD

12、(0,3,0)C(4,3,2)uun于是，DE設(shè)法向量nruuunDEruuurnEC1、D(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、uuruuu(3,3,0),EG(1,3,2),FD!(4,2,2)(x,y,2)與平面CDE垂直，則有3y03xx3y2z01,1,2),uuuQ向量AA1(0,0,2)與平面ruuun與AA所成的角為二面角CDEruuun?AA.甘uUiUu|n|AA1|2設(shè)EG與FD所成角為B,則uiuruuuEG?FD1uuuunrIEC1IIFD11CDE垂直Qcostan(II)cos1010.'123222.(4)22222'、2114例

13、2:如圖，已知四棱錐P-ABCD底面ABCD菱形，/DAB=60PD丄平面ABCDPD二AD點E為AB中點，點F為PD中點(1)證明平面PEDL平面PAB(2)求二面角P-AB-F的平面角的余弦值證明：(1)v面ABCD是菱形，/DAB=60,ABD是等邊三角形，又E是AB中點，連結(jié)BD/EDB=30,/BDC=60./EDC=90廠如圖建立坐標系D-ECP設(shè)AD=AB=1貝SPF二FD,ED3,22P(0,0,1),E(出,0,0),B(仝,-,0)222二uB=(當,2,-1),pe=(乎,0,-1),平面PED的一個法向量為DC=(0,1,0)，設(shè)平面PAB的法向量為n=(x,y,1)U

14、ULT/DCuuuPBuurPE-n=0舅1(x,y,1)?(,1)022(x,y,1)?(j,0,1)02uultrx2品x2r2n=(；,0,1)即DC丄n.平面PEDL平面PABro解：由(1)知平面PAB的法向量為n=(；,0,1),設(shè)平面FAB的法向量為：1=(x,y,-1),由(1)知:F(0，0，2)，UUTFB=/.3二,mrFE，0,-i)，由n1n1ULLLFBuuuFE(x,y,1)?(三丄22(x,y,1)?(,0,21)212)x2胎x21-y21-02,0,-1)二面角P-AB-F的平面角的余弦值COS0=|cos<nrn1>|=n?mn?n114P在棱

15、CG上，且例3:在棱長為4的正方體ABCD-AB1C1D中，C是正方形ABGDi的中心，點CC=4CP.(I)求直線AP與平面BCGB1所成的角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)(II)設(shè)C點在平面DAPh的射影是H,求證：DIAP(皿)求點P到平面ABD的距離.解:(I)如圖建立坐標系D-ACD,T棱長為4伽4,00),B(440),P(0,4°AP=(-4,4,1),顯然DC=(0,4,為平面BCGB1的一個法向量二直線AP與平面BCGB1所成的角0的正弦值sinUUTLUUT164J53|COS<AP,DC>|=16331'J42421?好33T0為銳角直線A

16、P與平面BCCB所成的角0為arcsin垮(川)設(shè)平面AM法向量為超=(x,y,1),TAB=(0,4,0),AD1=(-4,0,4)ruuuruuuuy0由n丄AB,n丄AD1得4x40uuurn_(1,0,1),點P到平面ABD的距離d=例4:在長、寬、高分別為2,2,3的長方體ABCD-ABCD中，0是底面中心，求A0與BiC的距離解：如圖,建立坐標系D-ACD,則0(1，1,(2,2,3),uuurAO(1,1,C(0,2,0)uuur3)RC(2,0,3)uuuuABi(0,2,0)設(shè)AiO與BC的公共法向量為n(x,y,i)，uuurAOuuurRC(x,y,1)?(1,1,3)0(x,y,1)?(2,0,3)0x2xAx3,3,1)22AiO與BiC的距離為uuuurrd_l眄？門|n|0,2,0?3,3,122.3232,'；223.2211例5:在棱長為1的正方體ABCD/BGD中,E、F分別是BiC.、CD的中點，求A到面BDFE的距離。解：如圖，建立坐標系D-ACD,則B(i,i,0),Ai(1,0,1),E(i,i,i)附:uuuruuu二BD(1,1,0)BE設(shè)面BDFE的法向量為numrBDuuuBE(x,y,i)?(x,y,i)?(2,2,i)1(2Ai)(x,y,i),uurAB1,1,0