北京2019屆高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)典型題專項訓(xùn)練數(shù)列

1、北京市2019屆高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)典型題專項訓(xùn)練、選擇、填空題1、（2018北京高考）設(shè)an是等差數(shù)列，且a=3,a2+a5=36,則a#的通項公式為2、（2017北京高考）若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足ai=bi=T,a4=b4=8,則年=3、（2016北京高考）已知4為等差數(shù)列，&為其前n項和，若a=6,a3+&=0,則&=.4、（朝陽區(qū)2018屆高三3月綜合練習(xí)（一模）等比數(shù)列an滿足如下條件：a1A0；數(shù)列an的前n項和Sn<1.試寫出滿足上述所有條件的一個數(shù)列的通項公式.5、（東城區(qū)2018屆高三5月綜合練習(xí)（二模）設(shè)等比數(shù)列an的公比q=2,前n項和

2、為S,則S4a?6、（豐臺區(qū)2018屆高三5月綜合練習(xí)（二模）已知等比數(shù)列an中，a=1,a2a3=27,則數(shù)列an的前5項和S5=.7、（海淀區(qū)2018屆高三上學(xué)期期末考試）已知公差為1的等差數(shù)列an中，a，a2,a4成等比數(shù)列，則QJ的前100項的和為.8、（石景山區(qū)2018屆高三3月統(tǒng)一測試（一模）如圖所示：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連接正方形，如此繼續(xù)下去得到一個樹形圖形，稱為“勾股樹”.若某勾2股樹含有1023個正方形，且其最大的正方形的邊長為三,則其最小正方形的邊長為.29、（西城區(qū)2018屆高三4月統(tǒng)一測試（一模）設(shè)等差數(shù)列4的前n項和為S.若&=

3、2,S4=20,則a3二;Sn10、（海淀區(qū)2018屆高三上學(xué)期期中考試）已知數(shù)列an滿足a+a2+an=2a2（n=1,2,3,.）,(A)a1<0(B)a10(C)a1/a2(D)a2=011、(2018順義區(qū)二模)已知小為等差數(shù)列，&為其前n項和，若a=1,So=35,則a20.12、(朝陽區(qū)2017屆高三上學(xué)期期末)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn.若a1=2,S，=a3,則a2=,§0=13、(朝陽區(qū)2017屆高三上學(xué)期期中)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列Gn的前n項和為Sn.若a3=2,S4=55,則司=,S4=_14、(豐臺區(qū)2017屆高三上學(xué)期期末)在等比數(shù)列a

4、n中，a=3,a+a2+a3=9,則24+25+%等于(A)9(B)72(C)9或72(D)9或7215、(海淀區(qū)2017屆高三上學(xué)期期中)已知數(shù)列4的前n項和Sn=3n+1,則a?+a=.二、解答題1、(2017北京高考)設(shè)an和bn是兩個等差數(shù)列，記cn=maxb1-am,b2an,bn-ann(n=1,2,3,其中maxx1,x2,xs表示x1,x2,xs這s個數(shù)中最大的數(shù).(I)若an=n,bn=2n-1,求C1,C2,C3的值，并證明Cn是等差數(shù)列；(n)證明：或者對任意正數(shù)M,存在正整數(shù)m,當(dāng)n油時，Cn->M;或者存在正整數(shù)m,使得nCm,Cm+1,Cm+2,是等差數(shù)列。2

5、、(2016北京高考)設(shè)數(shù)列A：a1,a2,Wn(N之).如果對小于n(2MnMN)的每個正整數(shù)k都有akvan,則稱n是數(shù)列A的一個“G時刻”.記G(A)是數(shù)列A的所有“G時刻”組成的集合.(1)對數(shù)列A：-2,2,-1,1,3,寫出G(A)的所有元素；證明：若數(shù)列A中存在an使得an>a1，則G(A)#0；(3)證明：若數(shù)列A滿足an-anwi(n=2,3,N則G(A)的元素個數(shù)不小于aN-a1.3、（東城區(qū)2018屆高三5月綜合練習(xí)（二模）設(shè)a,人均是正整數(shù)，數(shù)列an滿足：a1=a,包，an是偶數(shù)，n*:4是奇數(shù).（I）若a3=3,九=5,寫出a1的值；（II）若a=1,昊為給定的

6、正奇數(shù)，求證：若an為奇數(shù)，則an£1；若an為偶數(shù)，則an£21；（III）在（II）的條件下，求證：存在正整數(shù)n（n之2）,使得an=1.4、（豐臺區(qū)2018屆高三5月綜合練習(xí)（二模）已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a=0,a2=m,an-1,k>t,一S當(dāng)n±2時，an.=,k=t,其中，k是數(shù)列的刖n項中ai<a書的數(shù)對（a,a書）的個數(shù)，t是nan+1,k<t.數(shù)列白前n項中ai+的數(shù)對（a,ai+）的個數(shù)（i=1,2,3，n1）.（i）若m=5,求a3,a4,a5的值；（n）若an（n之3）為常數(shù)，求m的取值范圍；（出）若數(shù)列4有最大項

7、，寫出m的取值范圍（結(jié)論不要求證明）.5、（海淀區(qū)2018屆高三上學(xué)期期末考試）無窮數(shù)列匕口滿足：a1為正整數(shù)，且對任意正整數(shù)n,4書為前n項a1,a2，an中等于an的項的個數(shù).（I）若a1=2,請寫出數(shù)列Qn的前7項；（n）求證：對于任意正整數(shù)M,必存在knN*,使得ak>M；（出）求證：31=1”是存在meN*,當(dāng)n之m時，恒有an七之a(chǎn)n成立”的充要條件6、(石景山區(qū)2018屆高三3月統(tǒng)一測試(一模)對于項數(shù)為m(m>1)的有窮正整數(shù)數(shù)列aj,記bk=maxai,a2,，a0(k=1,2,，m),即h為&島,ak中的最大值，稱數(shù)列bn為數(shù)列an的“創(chuàng)新數(shù)列”.比如1

8、,3,2,5,5的“創(chuàng)新數(shù)列”為1,3,3,5,5.(I)若數(shù)列an的“創(chuàng)新數(shù)列”bn為123,4,4,寫出所有可能的數(shù)列an；(n)設(shè)數(shù)列bn為數(shù)列%的“創(chuàng)新數(shù)列”，滿足ak十bm“=2018(k=1,2,，m),求證：ak=bk(k=1,2,，m)；(出)設(shè)數(shù)列bn為數(shù)列%的“創(chuàng)新數(shù)列”，數(shù)列bn中的項互不相等且所有項的和等于所有項的積，求出所有的數(shù)列an.7、(西城區(qū)2018屆高三4月統(tǒng)一測試(一模)數(shù)列A：a1，a2,，an(n>2)滿足：*ak<1(k=1,2j,n).記A的前k項和為0,并規(guī)定&=0.定義集合En=k=N,kvn|Q>Sj,j=0,1，k-

9、1.(I)對數(shù)列A：0.3,0.7,0.1,0.9,0.1,求集合E5；(口)若集合En=kk2,km(m>1,k,<><km),證明:與十<1(i=1,2,m1)；(m)給定正整數(shù)C.對所有滿足Sn>C的數(shù)列A,求集合En的元素個數(shù)的最小值.8、(海淀區(qū)2018屆高三上學(xué)期期中考試)已知an是等比數(shù)列，滿足a2=6,a3=-18,數(shù)列bn滿足b=2,且2bn十4是公差為2的等差數(shù)列.(I)求數(shù)列an和bn的通項公式；(n)求數(shù)列bn的前n項和.*9、(海江區(qū)2018屆局三上學(xué)期期中考試)右數(shù)列A：a1,a2,，an(n之3)中ai二N(1MiWn)且對任意

10、的2=kMn-1ak由+a>2ak恒成立，則稱數(shù)列A為“U數(shù)列”.(I)若數(shù)列1,x,y,7為“U數(shù)列”，寫出所有可能的x,y;(n)若“U數(shù)列"A：ai,%,，an中，a=1,&=2017,求n的最大值；(出)設(shè)n0為給定的偶數(shù)，對所有可能的“U數(shù)列”A：a1,a2,，an0,記M=maxa1，a2,.,an0,其中maxx,x2,.,xs表示x1,“，xs這s個數(shù)中最大的數(shù)，求M的最小值.10、(2018順義區(qū)二模)已知數(shù)列An：a1,a2，an.如果數(shù)列Bn:匕也，bn滿足b1=an,bk+bk_1=ak+ak_1,其中k=2,3,，n,則稱Bn為人的“陪伴數(shù)列”

11、.(I)寫出數(shù)列A:3,1,2,5的“陪伴數(shù)列”B4；(n)若人的“陪伴數(shù)列”是B9.試證明：b9,a91al成等差數(shù)列.(出)若n為偶數(shù)，且An的“陪伴數(shù)列”是Bn,證明：bn=a1.11、(朝陽區(qū)2017屆高三上學(xué)期期中)已知數(shù)列an(nwN沖)是公差不為0的等差數(shù)列，a1=1,一111且一,一,一成等比數(shù)列.a2a4a8(I)求數(shù)列an的通項公式；、ir1(n)設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn,求證：Tn<1.anan112、(東城區(qū)2017屆高三上學(xué)期期末)已知an是等比數(shù)列，滿足a=3,a4=24,數(shù)列an+bn是首項為4,公差為1的等差數(shù)列.(I)求數(shù)列an和bn的通項公式；(n)求數(shù)

12、列bn的前n項和.13、(海淀區(qū)2017屆高三上學(xué)期期中)已知數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足bn+-bn=an,且b2=18,b3=-24.(I)求數(shù)列an的通項公式；(n)求bn取得最小值時n的值.參考答案：15215、24一、選擇、填空題11、an=6n3(n匚N+)2、13、64、an=16、1217、50508、3229、6,n+n10、D11、1812、4,11013、1,1514、D22二、解答題1、解：(i)g=b&=1-1=0,C2=maxb-2a1,b2Za2=max12父1,32父2=1,c3=maxh-3al,b2-3a2,b3-3a3=max1-31

13、,3-32,5-33=-2.當(dāng)n之3時，也書na)(。-nak)=(bk4t-bk)-n(ak+-ak)=2-n<0,所以bk-n/關(guān)于kwn*單調(diào)遞減.所以Cn=maxbi-a1n,b2-a2",bn。ann-tham=1。n.所以對任意n21,cn=1-n,于是cn由一cn=-1,所以g是等差數(shù)列.(n)設(shè)數(shù)列an和bn的公差分別為d1,d2,則bk-nak=«(kT)d2-a1(k-1)d1n-a1n(d2-nd1)(k7).所以gJ.""""，當(dāng)"'nd1時'心a1n，當(dāng)d2Mnd)時，do.當(dāng)

14、d|>0時，取正整數(shù)m>,則當(dāng)n之m時，nd1>d2,因此5=3.di此時，%,Cm書,Cmw是等差數(shù)列.當(dāng)a=0時，對任意n>1,cn二b)a1n(n-1)maxd2,0=b8(n-1)(maxd2,0a)此時，G,C2,G,，Cn,是等差數(shù)列.當(dāng)d1<0時，當(dāng)n時，有nd1<d2.d1Cnb-an(n-1)&-ndjb-d?n(-d|)d1一adznnn_n(-d1)d1-a1d2Tbi-d2|.對任意正數(shù)M,取正整數(shù)mmaxM+小一51十-d1一d2,運,d1d1.c一故當(dāng)n至m時，>M.n2、試題解析：(1)同用)的元素為2和工(2)因

15、為存在%使得%>ax,所以J'半-，VA：生用二0一記加=nrin?eAT|2<i<Nta；>勺,則？w之2,且對任意正整額k弋犯見<cJt<因此桁wG(Xh從而GQ4)h0(3)當(dāng)4.£藥時，結(jié)論成立一以下設(shè)外八為.由(II)知GU)r4設(shè)GQW)=小町1均<%<父年,記所=1-則,<。理<白/<<對?=0J：,p,記6=上乏Nq>%)一如果Gi=0,取m=minGi,則對任何1Mk<mi,akMa6<ami.從而wG(A)且mj=n書.又因為np是G(A)中的最大元素，所以Gp=0.

16、pp從而對任意np<k<牝玉明，特別地'ax<3對f=OJtP-IMjM<a.因此門口=%_1十3*一%7)£/+L所以小，一/一做=(4_&Q£p箏-r3、解：(I)1或12.,(II)當(dāng)n=1,2時，&=1為奇數(shù)，a1EK成立，a2=1十人為偶數(shù)，a2<2兒.假設(shè)當(dāng)n=k時，若ak為奇數(shù)，則akw九，若ak為偶數(shù)，則ak<2Z.那么當(dāng)n=k+1時，若ak是奇數(shù)，則aq=ak+九是偶數(shù)，ak卅W2九；若ak是偶數(shù)，ak書二w九.此時若ak.是奇數(shù)，則滿足ak書九，若a«是偶數(shù)，滿足ak41E九g2人.即

17、門=卜+1時結(jié)論也成立.綜上，若an為奇數(shù)，則anM九；若an為偶數(shù)，則4M2九.，,，9分(III)由(II)知，an中總存在相等的兩項.不妨設(shè)ar=as(r<s)是相等兩項中角標(biāo)最小的兩項，下證r=1.假設(shè)r_2.若ar=asw九，由arA0,asA0知ar和as均是由ar和as除以2得到，即有ar=as，與r的最小性矛盾；若ar=as>:3,由a.£2%asE2九知a.和as均是由a和as加上人得到，即有ar工=asJL,與r的最小性矛盾；綜上，r=1,貝Uas=a1=1.即若a=1,九是正奇數(shù)，則存在正整數(shù)n(n之2),使得an=1.,13分4、解：(I)因為a1

18、二0,a2=5,所以a1<a2,所以a3=a21=4.,1分因為a2a3,所以a4=ia2+a3=3.,2分4-1因為a3>a4,所以a5=a4+1=4.,4分所以a3=4,a4=3,a5=4.(n)當(dāng)m=0時，a3=0,a4=0,5分當(dāng)m>0時，因為a<a2,所以a3=a2-1=m1<a2,所以山、=2m二！33因為a3=a4,所以m1=2m1,所以m=2.,7分當(dāng)m<0時，因為ai>a2,所以a3=a2+1=m+1>a2,所以a4=ia2+a3=2mll.33因為a3="，所以m+1=2m十1,所以m=2.,9分3所以n至3時，為.

19、=a為常數(shù)的必要條件是mw2,0,2.當(dāng)m=2時，a3=a4=1,S0211因為當(dāng)3Mnwk(k>3)時，小=1,都有an.=011=1,nn所以當(dāng)m=2符合題意，同理m=-2和m=0也都符合題意.,10分所以m的取值范圍是-2,0,2.(出)m|m42或0MmM2.,13分5、(I)若a1=2,則數(shù)列an的前7項為2,1,1,2,2,3,1,3分(n)證法一.、._.*假設(shè)存在正整數(shù)M,使得對任意的kwN,ak<M.由題意，akw1,2,3,.,M,故數(shù)列an多有M個不同的取值,5分考慮數(shù)列an的前M2+1項：a1，a2,a3,aM2H其中至少有M+1項的取值相同，不妨設(shè)1此時有

20、：丸討=M+1>M,矛盾._.一故對于任意的正整數(shù)M,必存在k=N，使得akM.,8分(n)證法二*H假設(shè)存在正整數(shù)M,使得對任意的kwn,akWM.由題意，akw1,2,3,.,M,故數(shù)列an多有M個不同的取值,5分對任意的正整數(shù)m,數(shù)列an中至多有M項的彳t為m,事實上若數(shù)列an中至少有M+1項的值為m,其M+1項為a'ai2,ai3,'aMYaiM'aiM1此時有：aiM1中=M+1>M,矛盾.2故數(shù)列an至多有M項，這與數(shù)列an有無窮多項矛盾。故對于任息的正整數(shù)M,必存在knN,使得ak>M.,8分(m)充分性:若a1=1,則數(shù)列an的項依次為

21、11213141k-21k-11k1,特別地，數(shù)列an的通項公式為k,n=2k-1n=2k至n1an=2,1,n=2k-1n=2k故對任意的n三(1)若n為偶數(shù)，則an電=an=1n3n1(2)若n為奇數(shù)，則an也>上22綜上，an42至an恒成立，特別地，取m=1有當(dāng)n'm時，恒有an七之a(chǎn)n成立,(10分)必要性：方法一假設(shè)存在a1=k(k>1),使得存在mN”，當(dāng)n之m時，恒有an七-an成立”則數(shù)列an的前k2+1項為k,1,1,2,1,3,1,4,.,1,k-2,1,k-1,1,k,2,2,3,2,4,2,5,.,2,k-2,2,k-1,2,k,=-=V=-=12

22、k二項2k4項3,3,4,3,5,3,6,.,3,k-2,3,k-1,3,k,k-2,k-2,k-1,k-2,k,k-1,k-1,k,k1=-=v=*,='1=Bs=*2k-5項5項3項后面的項順次為k1,1,k1,2,k1,3,.,k1,k-2,k1,k-1,k1,k,L12k項k2,1,k2,2,k2,3,.,k2,k-2,k2,k-1,k2,k,2k項k3,1,k3,2,k3,3,.,k3,k-2,k3,k-1,k3,k,11k+t,1,k+t,2,k+t,3,.,k+t,k2,k+t,k-1,k+t,k,1=v*=*2k項故對任意的s=1,2,3,.,k-2,k-1,k,twN

23、ak212(tJ.)k2sJ-kt對任意的m,取t二1,2kak212(td)k：；2s=S+1,其中x表示不超過x的最大整數(shù)，則2kt>m,令,2n=k+1+2kt,則n>m,此時an=k,an書=1a1=1有an>an2,這與anWan也矛盾，故若存在mWN"，當(dāng)n之m時，恒有an書成立，必有13分方法二若存在mwN沖，當(dāng)n至m時，an也主an恒成立，記maxa1，a2,，am=s.由第（2）問的結(jié)論可知：存在kN*,使得ak>s（由s的定義知k之m+1）不妨設(shè)a是數(shù)列an中第二個大于等于s+1的項，即a1,a2，ak均小于等于s.則ak+=1.因為k-1

24、之m,所以ak書之&，即1之a(chǎn)k且ak為正整數(shù)，所以ak=1.記ak=ts+1,由數(shù)列匕口的定義可知，在科e2,，ay中恰有t項等于1.假設(shè)&#1,則可設(shè)弭=ai2=a（=1,其中1<i1<i2<<it=kT,考慮這t個1的前一項，即aiai2J',ait4,因為它們均為不超過s的正整數(shù)，且t之s+1,所以為,a2,，a中一定存在兩項相等，將其記為a,則數(shù)列an）中相鄰兩項恰好為（a,1）的情況至少出現(xiàn)2次，但根據(jù)數(shù)列an）的定義可知：第二個a的后一項應(yīng)該至少為2,不能為1,所以矛盾！故假設(shè)現(xiàn)"1不成立，所以a1=1,即必要性得證！13

25、4，綜上，駕=1”是存在mWN1當(dāng)n之m時，恒有為七至4成立”的充要條件.6、解：（I）所有可能的數(shù)列斗為1,2,3,4,1；1,2,3,4,2；1,2,3,4,3；123,4,4(n)由題意知數(shù)列bn中bk#>bk.又ak十口上平=2018,所以ak+bm&=2018ak1-'ak=(2018-'bm_k)-X2。18bm_k1)-bH_k1-'bm_k-0所以ak.之a(chǎn)k,即ak=bk(k=1,2'，m),8分(出)當(dāng)m=2時，由b1+b2=b1b2得(匕一1)(31)=1,又N*所以匕=b2=2,不滿足題意；當(dāng)m=3時，由題意知數(shù)列bn中bn

26、4>bn,又b1+b2+b3=b（b2b3當(dāng)b1#1時此時b3>3,b1+d+b3<3均,而b1b2b3>64,所以等式成立b(=1；當(dāng)b2#2時此時b3>3,t>+b2+b3<3h,而b1b2b3之S3,所以等式成立b2=2；當(dāng)b=1,b2=2得b3=3,此時數(shù)列an為1,2,3.當(dāng)m至4時，bi+b2+bm<mbm,而b1b2bm至(m-1)!bm>mtm,所以不存在滿足題意的數(shù)列an.綜上數(shù)列an依次為1,2,3.,13分7、解：(I)因為S0=0,S1=-0.3,&=0.4,0=0.3,S4=1.2,S5=1.3,2分所以E

27、5=2,4,5.3分(n)由集合En的定義知且k書是使得Sk>Sk成立的最小的k,I"TII所以SkT/&Sr.5分又因為ak,<1,1 1所以S"=Si+aK#6分:a1.I所以Ski+-Ski<1.8分（出）因為S>S0,所以En非空.設(shè)集合En=ki,k2,，km,不妨設(shè)kykzLHkm,則由(n)可知Sk+-Sk<1(i=1,2:m1),同理Sk1G<1,且S&S1km.所以Sn=(SnSkm)('-Sy)<Sk2-&1)('-So):二011，y.15.ITI1因為0>C,所以

28、En的元素個數(shù)m>C+1.11分一C1.取常數(shù)數(shù)列An：a=(i=1,2,，C+1),并令n=C+1,C22 2則SnJC=C1-,適合題意，C2C2且En=1,2,C+1,其元素個數(shù)恰為C+1.綜上，En的元素個數(shù)的最小值為C+1.13分8、解：(I)設(shè)數(shù)列an的公比為q,則1a2=a1q=622先a3=a1q=-18解得a1=2,q=-3分3所以，an=2M(T)n，分5令Cn=2bn+an,則g=2匕+a=2Cn=2+(n-1)M2=2n分7bnuc_ln+(-3尸分/、cn(n1)1-(-3)n(n)Sn-+-分13n24x=1x=1fX=2八9、解：(I)«,i或&#

29、171;分3y=2y=3y=4(n)n的最大值為65,理由如下分4方面，注意到:ak1'akA-2akUak1-ak-akakA對任意的1wiwn_1,令bi=a.ai,則biwZ且bk>bk_i(2<k<n-1),故bk之bk+1對任意的2wkEn1恒成立.當(dāng)a1=1,an=2017時，注意到b1=a2a211=0,得bi=(b-b,)+(b-by)+(b2-b)+D>i-1(2<i<n-1)此時1,a-Q=b1b2:：；bn_012：；：n-2=(n-1)(n一2)rr1.即/(n1)(n2)W20171,解得：-62<n<65,故n

30、W65分7另一方面，取bi=i1(1；<64),則對任意的2<k<64,bkab-,故數(shù)列4為“U數(shù)列”，此時a65=1+0+1+2+63=2017,即n=65符合題意.綜上，n的最大值為65.分92(山)M的最小值為一一8,證明如下：分108當(dāng)n0=2m(m至2,m=N)時，一方面：由()式，b.+-b.之1,4十-bk=(4大-口在)+(bm卡二一口我二)+'.+(bk七-bk)之m.此時有：(aa2m)一(amam1)二(bm1bm2b2m)-(bb2bm)三(bm1-b)(bm2-d)<b2m-bm)-mm+m二m(m-1)22“a2mamam1m(m-

31、1)m-m2n0-2n°8故M之左芭=分32228另一方面，當(dāng)b1=1m,b2=2m,，bm,=1,bm=0,bm+=1,，bzm=m1時，ak1ay-2ak=1-aj-a)=bk-by=10am書<am42<一<a2m,取am=1,則am卡=1,ai>82>83>>am,1a=am-(bib2+%)=2m(m-1)11a2m=am1(bm1bm2*)=2m(m-1)1/21n0-2n0,8此時M=a1=a2m=m(m-1)1=2、，82Q分14綜上，M的最小值為n2n8810、(i)解：B4：5,-1,4,3.(n)證明：對于數(shù)列An及其“陪伴數(shù)列”Bn,因為h=a9,b|+b2=a1+a2,b2+4=a2+a3,b8+4=a8+a9,將上述幾個等式中的第2,4,6