變化線段和最大、差最小問題

1、初中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：最短最長距離問題分析最值問題主要考察學(xué)生對(duì)平時(shí)所學(xué)的內(nèi)容的綜合運(yùn)用，無論是代數(shù)問題還是幾何問題都有最值問題，在中考?jí)狠S題中出現(xiàn)比較高的主要有利用重要的幾何結(jié)論(如兩點(diǎn)之間線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊、垂線段最短等)或利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求最值。一、“最值”問題大都?xì)w于兩類基本模型：I、歸于函數(shù)模型：即利用一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的對(duì)稱性及增減性，確定某范圍內(nèi)函數(shù)的最大或最小值n、歸于幾何模型，這類模型又分為兩種情況：(1)歸于“兩點(diǎn)之間的連線中，線段最短”。凡屬于求“變動(dòng)的兩線段之和的最小值”時(shí)，大都應(yīng)用這一模型。(2)歸于"三角

2、形兩邊之差小于第三邊”凡屬于求“變動(dòng)的兩線段之差的最大值”時(shí)，大都應(yīng)用這一模型。(1)歸于“兩點(diǎn)之間的連線中，線段最短”幾何模型：條件：如圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn).問題：在直線l上確定一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小.方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A',連結(jié)AB交l于點(diǎn)P,則PA+PB=AB的值最小.求線段的長，以歸入“解直角三角形”和相似三角為重要選擇。不管在什么背景下，有關(guān)線段之和最短問題，總是化歸到“兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短”，而轉(zhuǎn)化的方法大都是借助于“軸對(duì)稱點(diǎn)”模型應(yīng)用：1 .如圖1,正方形ABCD的邊長為2,E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn).連結(jié)BD,由正方形對(duì)稱性

3、可知,B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱.連結(jié)ED交AC于P,則PB+PE的最小值是；2 .如圖2,00的半徑為2,點(diǎn)A、B、C在。0上，OA_LOB,/AOC=60°,P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC的最小值；3 .如圖3,/AOB=45°,P是/AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10,Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求4PQR周長的最小值.4 .如圖，(1),在&ABC中，AC=BC=2，/ACB=901P為BC邊上一定點(diǎn)，(不與點(diǎn)B,C重合)，Q為AB最小值，并說明理由。邊上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)BP的長為a(0<a<2),請(qǐng)寫出CQ+PQ(2)歸于“三角形兩邊之差小于第三邊”幾何模型：

4、條件：如下圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn).問題：在直線l上確定一點(diǎn)P,使|PAPB|的值最大.方法：作過點(diǎn)A與點(diǎn)B的直線，直線AB與交l于點(diǎn)P,則|PAPB|的值最大.若A、B是直線l異旁的兩個(gè)定點(diǎn).則先做對(duì)稱點(diǎn)，再連接對(duì)稱點(diǎn)與A(或B)。模型應(yīng)用:1拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A,B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,已知拋物線的對(duì)稱軸為x=1,B(3,0),C(0,-3).求(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到B,C兩點(diǎn)的距離之差最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。2已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標(biāo)系中,沿x軸的負(fù)方向平移OC的長度后得到

5、ADAO.(1)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；OC=3,BC=2，取AB的中點(diǎn)M，連結(jié)MC，把AMBC(2)已知點(diǎn)B與點(diǎn)D在經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線上，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ_Lx軸于點(diǎn)Q,連結(jié)OP.試問在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)T,使得TO-TB的值最大.o(3)、利用平移確定最短路徑選址通過平移，除去固定部分的長，使其余幾段的和正好為兩定點(diǎn)之間的距離。選址問題的關(guān)鍵是把各條線段轉(zhuǎn)化到一條線段上.如果兩點(diǎn)在一條直線的同側(cè)時(shí)，過兩點(diǎn)的直線與原直線的交點(diǎn)處構(gòu)成線段的差最大，如果兩點(diǎn)在一條直線的異側(cè)時(shí)，過兩點(diǎn)的直線與原直線的交點(diǎn)處構(gòu)成的線段的和最小，都可以用三角形三邊關(guān)系來推理說明，通常

6、根據(jù)最大值或最小值的情況取其中一個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)來解決.解決連接河兩岸的兩個(gè)點(diǎn)的最短路徑問題時(shí)，可以通過平移河岸的方法使河的寬度變?yōu)榱?，轉(zhuǎn)化為求直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題.在解決最短路徑問題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱、平移等變換把不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上,從而作出最短路徑的方法來解決問題.例：如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋(假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直)解：1.將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E,2.連接AE交河對(duì)岸與點(diǎn)M,則點(diǎn)M為建橋的位置，M財(cái)所建的橋。MN橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNBt短?BA.2逐B(yǎng).276C.

7、3D.76練習(xí)1 .如圖所示，正方形ABCD的面積為12,AABE一點(diǎn)P,使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為(2 ,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)(1)求該函數(shù)的解析式；(2) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OAAB的中點(diǎn)分別為C、D,求PC+PD的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).y=-x-x23 .如圖，拋物線4的頂點(diǎn)為A,與(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)，求證：PA-PBwAB;y軸交于點(diǎn)B.A(2,0),B(P為OB上一動(dòng)點(diǎn)是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有)當(dāng)PA-PB最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).4 .如圖，在矩形0ABe中，已知A、C兩點(diǎn)的

8、坐標(biāo)分別為A(4,0)C(°,2),D為°A的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)p是NAOC平分線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)0重合).(1)試證明：無論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處，PC總與PD相等；(2)當(dāng)點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B的距離最小時(shí)，試確定過°、P、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；(3)設(shè)點(diǎn)E是(2)中所確定拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，PDE的周長最??？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和PDE的周長;測(cè)試1.已知：拋物線的對(duì)稱軸為x=-1,與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其中A(-3，0)、C(0，-2卜(1)求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式.(2)已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P,使得PBC的周長最小.請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).(3)

9、若點(diǎn)D是線段0c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)。點(diǎn)C重合).過點(diǎn)D作DE/PC交X軸于點(diǎn)E.連接PD、PE.設(shè)CD的長為m,APDE的面積為S.求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式.試說明S是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.2一一2 .如圖，拋物線y=ax+bx+c的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為【3交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，J3）.（1）求拋物線的表達(dá)式.（2）把ABC繞AB的中點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°,得到四邊形ADBC判斷四邊形ADBCW形狀，并說明理由.（3）試問在線段AC上是否存在一點(diǎn)F,使得FBD的周長最小，若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.3 .恩施州自然風(fēng)光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險(xiǎn)”著稱于世.著名的恩施大峽谷（A）和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路X同側(cè)，AB=50km，A、B到直線X的距離分別為10km和40km,要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)P,向A、B兩景區(qū)運(yùn)送游客.小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（AP與直線X垂直，垂足為P）,P到A、B的距離之和Si=PA+PB,圖（2）是方案二的示意圖（點(diǎn)A關(guān)于直線X的對(duì)稱點(diǎn)是A',連接BA'交直線X于點(diǎn)P）,P到A、B的距離之和S=PA+PB.（1）求&#