第一章 點和直線的投影

1、abcABC基基 本本 要要 求求了解平行投影法及點和直線的投影特點；掌握點的投影規(guī)律及其投影與坐標(biāo)的關(guān)系；掌握兩點的相對位置；熟練掌握各種位置直線的投影特性和作圖法；掌握直線上點的投影特性及定比關(guān)系；熟練掌握直角三角形法求直線的實長及傾角；掌握兩直線的相對位置及其投影特性。1-1 1-1 投影的基本知識投影的基本知識 在現(xiàn)代工程建設(shè)中所使用的圖樣都是采用投影的方法繪制出來的。這種繪制方法叫作投影法。就是使物體在平面上產(chǎn)生圖像的一種方法。 一、中心投影法一、中心投影法形體形體投射線投射線中心投影法的中心投影法的 特點：特點： 投影的大小隨投影的大小隨著物體與投影面著物體與投影面距離的變化而變距

2、離的變化而變化?；BCS 投射中心投射中心投影面投影面 中心中心 投影投影abc工程上的透視投影圖工程上的透視投影圖 一、中心投影法一、中心投影法 二、平行投影法二、平行投影法形體形體ABC投影面投影面 斜投影斜投影abc 平行投影法的平行投影法的投影特點：投影特點： 物體在投影體系物體在投影體系中平行移動時，其中平行移動時，其投影的形狀和大小投影的形狀和大小都不變。都不變。 二、平行投影法二、平行投影法形體形體ABC投影面投影面 正投影正投影abc 平行投影法的平行投影法的投影特點：投影特點： 物體在投影體系物體在投影體系中平行移動時，其中平行移動時，其投影的形狀和大小投影的形狀和大小都

3、不變。都不變。 工程圖樣工程圖樣都是采用正都是采用正投影繪制出投影繪制出來的。來的。 二、平行投影法二、平行投影法軸測投影圖軸測投影圖多面投影圖多面投影圖 三、建立多面投影體系三、建立多面投影體系SA1aA2A3 僅有點的一僅有點的一個投影不能唯個投影不能唯一確定其空間一確定其空間點的位置點的位置VVV 三、建立多面投影體系三、建立多面投影體系 僅有一個僅有一個投影不能確投影不能確切地表達(dá)物切地表達(dá)物體的形狀。體的形狀。W 三、建立多面投影體系三、建立多面投影體系 為確切表達(dá)點的位置和物體的形狀，必須建立由多個投影面構(gòu)成的為確切表達(dá)點的位置和物體的形狀，必須建立由多個投影面構(gòu)成的投影體系。投影

4、體系。VOxOxVyz 四、直線和平面的投影特點四、直線和平面的投影特點 在正投影法中，直線和平面的三個在正投影法中，直線和平面的三個重要特點：重要特點： 物體上凡是與投影面平行的直線和平面，其投影反映實長或?qū)嵭?。物體上凡是與投影面平行的直線和平面，其投影反映實長或?qū)嵭巍?物體上凡是與投影面相垂直的直線和平面，其投影都具有積聚性。物體上凡是與投影面相垂直的直線和平面，其投影都具有積聚性。 物體上凡是與投影面傾斜的直線和平面，其投影成縮小的類似形。物體上凡是與投影面傾斜的直線和平面，其投影成縮小的類似形。BACDEabcdeDABCEa(b）cdeBACDEabcde1-2 1-2 點的投影點的

5、投影V 一、點的兩面投影一、點的兩面投影VOAxaaax 點的正投影實際就點的正投影實際就是：通過空間點的投是：通過空間點的投影面垂直線與投影面影面垂直線與投影面的交點。的交點。1.1.點的投影點的投影2.2.投影面展開投影面展開OxVaaxHaOxVaaxHaH 一、點的兩面投影一、點的兩面投影 點在兩面投影體系中的點在兩面投影體系中的投影規(guī)律：投影規(guī)律：（1 1）空間點的兩面投影連線必定垂直于其間的投影軸；）空間點的兩面投影連線必定垂直于其間的投影軸； （2 2）點到投影面的距離等于另一投影到投影軸的距離；）點到投影面的距離等于另一投影到投影軸的距離；VOAxaaax 二、點的三面投影二、

6、點的三面投影WOxVyzaaAaax1 1、點的投影、點的投影 2 2、投影面展開、投影面展開xHOWaazayayzyHyWaaxVaxHOWaayayzyHyWaaxVaaz 二、點的三面投影二、點的三面投影WOxVzaaAaaxyyxzxyz 點在三面投影體系中的點在三面投影體系中的投影規(guī)律：投影規(guī)律：（1 1）點的投影連線垂直于相應(yīng)的投影軸；即：）點的投影連線垂直于相應(yīng)的投影軸；即：a a X軸；軸；a a Z軸軸（2 2）點到投影面的距離等于另一投影到相應(yīng)投影軸的距離；即：）點到投影面的距離等于另一投影到相應(yīng)投影軸的距離；即： Aa = aay = a az = xA Aa = a

7、az = aax =yA Aa =a a y = a ax =zA azayOWazyHyWxHaVa 點在三面投影體系中的點在三面投影體系中的 投影規(guī)律：投影規(guī)律： （1 1）點的投影連線垂直于相應(yīng)的投影軸；即：）點的投影連線垂直于相應(yīng)的投影軸；即：a a X軸；軸；a a Z軸軸 （2 2）點到投影面的距離等于另一投影到相應(yīng)投影軸的距離；即：）點到投影面的距離等于另一投影到相應(yīng)投影軸的距離；即： Aa = aay = a az = xA Aa = a az = aax =yA Aa =a a y = a ax =zA 二、點的三面投影二、點的三面投影例題1 如圖所示，如圖所示， 已知已知A

8、點的兩個點的兩個 投影投影 a 和和 a， 求作求作 axHOWaayayzyHyWaaxVaaz 三、點的坐標(biāo)與投影三、點的坐標(biāo)與投影 點在三面投影體系中的點在三面投影體系中的投影規(guī)律：投影規(guī)律：（1 1）點的投影連線垂直于相應(yīng)的投影軸；即：）點的投影連線垂直于相應(yīng)的投影軸；即：a a X軸；軸；a a Z軸軸（2 2）點到投影面的距離等于另一投影到相應(yīng)投影軸的距離；即：）點到投影面的距離等于另一投影到相應(yīng)投影軸的距離；即： Aa = aay = a az = xA Aa = a az = aax =yA Aa =a a y = a ax =zA WOxVzaaAaaxyazayyxzxyz

9、HOWzyHyWVaa10203051525mm1020515mmx1020515mm10203051525mmbbb1020515mm1020515mma作圖： 先畫出x、y、z三根相互垂直的坐標(biāo)軸及45度線； 由A點坐標(biāo)x=20作出V、H投影連線垂直于x軸；由y=15作yh和yw軸的垂直連線；由z=10作V、W投影連線垂直于z軸，投影連線的交點就為A點的投影a 、 a 、a； 同理，可以求出B點的三面投影b 、 b 、b 三、點的坐標(biāo)與投影三、點的坐標(biāo)與投影例題2 已知已知A（20,15,10）與與B （ 10,10,5）的坐標(biāo)值，試求出點）的坐標(biāo)值，試求出點A和和B的的 三面投影三面投影

10、a 、 a 、a及及b 、 b 、bxHOWzyHyWVb 三、點的坐標(biāo)與投影三、點的坐標(biāo)與投影OxWVzbBybcddBbcdbbcccDDdd？CCccd 投影面及投影軸上點的投影面及投影軸上點的投影特點：投影特點：（1 1）投影面上點的該面投影為其本身，另兩個投影必定在相應(yīng)的投影軸上。）投影面上點的該面投影為其本身，另兩個投影必定在相應(yīng)的投影軸上。（2 2）投影軸上點的兩面投影為其本身，另一個投影必在該投影軸的原點上。）投影軸上點的兩面投影為其本身，另一個投影必在該投影軸的原點上。OxVV1 三、點的坐標(biāo)與投影三、點的坐標(biāo)與投影bxbBbdDddxccxCcxcccxbbddbxdx 不

11、同分角中點的不同分角中點的投影特點：投影特點：（1 1）第）第分角中點的正面投影和點的水平投影同時在分角中點的正面投影和點的水平投影同時在x軸的上方；軸的上方；（2 2）第）第分角中點的正面投影在分角中點的正面投影在x軸下方而水平投影在軸下方而水平投影在x軸的上方；軸的上方；（3）第）第分角中點的正面投影和點的水平投影同時在分角中點的正面投影和點的水平投影同時在x軸的下方。軸的下方。VHWxVzy左左 右右左左 右右 上上 下下上上 下下后后 前前后后 前前 四、兩點的相對位置四、兩點的相對位置1 1、投影體系的方位、投影體系的方位2 2、兩點的相對位置、兩點的相對位置兩點中x 值大的點 在左

12、兩點中y 值大的點 在前 兩點中z 值大的點 在上yWyH后后 前前z后后 前前上上 下下xO左左 右右 四、兩點的相對位置四、兩點的相對位置zbbbaaaOxyHyw 重影點：重影點：空間的兩點在某一投影面上的投影重合為一點，則稱空間的兩點在某一投影面上的投影重合為一點，則稱 這兩點為該投影面上的重影點。這兩點為該投影面上的重影點。 重影點可見性的判斷：重影點可見性的判斷：坐標(biāo)值大的可見，坐標(biāo)值小的不可見。坐標(biāo)值大的可見，坐標(biāo)值小的不可見。WOxVBbbbAaaazycc cC（ ）cc(c)1-3 1-3 直線的投影直線的投影 空間直線的投影可認(rèn)為：空間直線的投影可認(rèn)為： 過直線上各點的投

13、影線所構(gòu)成的投射面與投影面的交線。因此直線過直線上各點的投影線所構(gòu)成的投射面與投影面的交線。因此直線的投影一般仍為直線，可由直線上兩端點同面投影的連線來確定。的投影一般仍為直線，可由直線上兩端點同面投影的連線來確定。 一、直線的投影特性一、直線的投影特性 1.投影面的平行線投影面的平行線 只平行于只平行于投影面，傾斜于其他兩個投影面的直線投影面，傾斜于其他兩個投影面的直線。 (1) 水平線水平線 (2) 正平線正平線 (3) 側(cè)平線側(cè)平線 2.投影面的垂直線投影面的垂直線 垂直于垂直于投影面，平行于其他兩個投影面的直線。投影面，平行于其他兩個投影面的直線。 (1) 鉛垂線鉛垂線 (2) 正垂線

14、正垂線 (3) 側(cè)垂線側(cè)垂線 3.一般位置直線一般位置直線 即不平行也不垂直于投影面的直線。即不平行也不垂直于投影面的直線。 1 1、投影面的平行線、投影面的平行線 (1)(1)水平線：水平線：只平行于水平投影面，傾斜于其他兩個投影面的直線只平行于水平投影面，傾斜于其他兩個投影面的直線 投影特性：投影特性：1 1a a b b OX OX ; ; a a b b OYOYW W 2 2 abab= =ABAB，反映反映 、 角的真實大小角的真實大小 xa b ab baOzyHyW (2)(2)正平線：正平線：只平行于正立投影面，傾斜于其他兩個投影面的直線只平行于正立投影面，傾斜于其他兩個投影

15、面的直線投影特性：投影特性：1 ab OX ; a b OZ 2 a b =AB， 反映反映 、 角的真實大小角的真實大小xa b ab baO z yHyW 1 1、投影面的平行線、投影面的平行線 (3)(3)側(cè)平線：側(cè)平線：只平行于側(cè)立投影面，傾斜于其他兩個投影面的直線只平行于側(cè)立投影面，傾斜于其他兩個投影面的直線投影特性：投影特性：1 1 a a b b OZOZ ; ; ab ab OYOYH H 2 2 a a b b = =ABAB，反映反映 、 角的真實大小角的真實大小 yW xa b ab baO zyH 1 1、投影面的平行線、投影面的平行線 x(a )b ab baO zy

16、HyW (1)(1)正垂線：正垂線：垂直于正立投影面，平行于其他兩個投影面的直線垂直于正立投影面，平行于其他兩個投影面的直線 投影特性：投影特性： 1 1a a b b 積聚積聚 成一點成一點 2 2abab OXOX ; ; a a b b O OZ Z 3 3abab = = a a b b = =ABAB 2 2、投影面的垂直線、投影面的垂直線 xab ab (b)aO zyHyW投影特性：投影特性：1 1a ba b 積聚積聚 成一點成一點 2 2a a b bOXOX ; ; a a b b OYOYW W 3 3a a b b = = a a b b = = ABAB (2)(2)

17、鉛垂線：鉛垂線：垂直于水平投影面，平行于其他兩個投影面的直線垂直于水平投影面，平行于其他兩個投影面的直線 2 2、投影面的垂直線、投影面的垂直線 xab a(b )baO z yHyW投影特性：投影特性： 1 a b 積聚積聚 成一點成一點 2 ab OYH ; a b OZ 3 ab = a b =AB (3)(3)側(cè)垂線：側(cè)垂線：垂直于側(cè)立投影面，平行于其他兩個投影面的直線垂直于側(cè)立投影面，平行于其他兩個投影面的直線 2 2、投影面的垂直線、投影面的垂直線 3 3、一般位置直線、一般位置直線AB 投影特性：投影特性：1 a b、 a b 、a b 均小于實長均小于實長 2 a b、a b

18、、a b 均傾斜于投影軸均傾斜于投影軸 3不反映不反映 、 、 實角實角 一般位置直線：一般位置直線：與任何基本投影面都不平行也不垂直與任何基本投影面都不平行也不垂直babaab xzabaO yHyWabb 小結(jié)小結(jié): : 直線投影特性直線投影特性投影面垂直線投影面垂直線: : 1. 在所垂直的投影面上的投影具有積聚性，投影成一點； 2另兩個投影與相應(yīng)投影軸垂直，且反映直線真實長度。一般位置直線：一般位置直線： 1. 一般位置直線的三面投影既不反映實長也沒有積聚性； 2直線的三面投影與三個坐標(biāo)軸都傾斜，且長度變短； 3. 投影與投影軸之間不反映直線與投影面的真實夾角。投影面平行線：投影面平行

19、線： 1在所平行的投影面上的投影反映直線的真實長度； 2另外兩個投影與相應(yīng)投影軸平行，且長度變短； 3. 反映實長的投影，呈現(xiàn)對兩投影面的真實傾角。zzz正平線正平線側(cè)垂線側(cè)垂線側(cè)平線側(cè)平線鉛垂線鉛垂線鉛垂線鉛垂線側(cè)平線側(cè)平線一般位置直線一般位置直線 判斷判斷: : 直線空間位置直線空間位置xxxx 二、線段的實長及傾角二、線段的實長及傾角ABAB|zA-zB|ab|zA-zB|xaaObbABabab 利用利用H H面投影作為直角邊、面投影作為直角邊、ABAB兩點兩點Z Z向坐標(biāo)差作為另一直角邊，可向坐標(biāo)差作為另一直角邊，可以求出直線的實長及對以求出直線的實長及對H H面的傾角面的傾角 AB

20、|yA-yB|ababABxaaObb 二、線段的實長及傾角二、線段的實長及傾角|yA-yB| 利用利用V V面投影作為直角邊、面投影作為直角邊、ABAB兩點兩點Y Y向坐標(biāo)差作為另一直角邊，可向坐標(biāo)差作為另一直角邊，可以求出直線的實長及對以求出直線的實長及對V V面的傾角面的傾角 同理，要求出直線的實長及對同理，要求出直線的實長及對W W面的傾角面的傾角 ，就要利用，就要利用W W面投影作面投影作為直角邊、為直角邊、ABAB兩點兩點X X向坐標(biāo)差作為另一直角邊。向坐標(biāo)差作為另一直角邊。 二、線段的實長及傾角二、線段的實長及傾角 小小 結(jié)結(jié)1 1、直角三角形法的、直角三角形法的作圖特點作圖特點

21、： 1 1）用線段的一個投影作一直角邊，另一直角邊為直線兩端點對）用線段的一個投影作一直角邊，另一直角邊為直線兩端點對 該投影面的坐標(biāo)差；該投影面的坐標(biāo)差； 2 2）其三角形的斜邊為直線的實長，斜邊與投影邊的夾角為對該）其三角形的斜邊為直線的實長，斜邊與投影邊的夾角為對該 投影面的真實傾角投影面的真實傾角2 2、直角三角形的、直角三角形的四個要素：四個要素： 實長、投影長、坐標(biāo)差及直線對投影面的傾角，已知四要素中實長、投影長、坐標(biāo)差及直線對投影面的傾角，已知四要素中 任意兩個就可求出另外兩個。任意兩個就可求出另外兩個。3 3、解題時、解題時注意：注意： 直角三角形畫在任何位置都不影響解題結(jié)果，

22、但用哪個要素作直角三角形畫在任何位置都不影響解題結(jié)果，但用哪個要素作 為為直角邊直角邊不能搞錯不能搞錯。 例題例題33 如圖所示，已知如圖所示，已知ABAB的投影的投影abab及及bb， 且且AB=AB=33mm33mm，求作正面投影，求作正面投影abab。 二、線段的實長及傾角二、線段的實長及傾角xOabbea0fABaba作圖過程：作圖過程： 以水平投影的以水平投影的y y坐標(biāo)差作為一條直角坐標(biāo)差作為一條直角邊，作另一直角邊；邊，作另一直角邊； 以以b b為圓心作斜為圓心作斜邊，半徑為邊，半徑為33mm33mm作弧，作弧，可截得正面投影長；可截得正面投影長； 以投影以投影b b 為圓心，為

23、圓心，以以eaea0 0長為半徑作弧，長為半徑作弧，得到得到aa，連接，連接abab及及完成正面投影完成正面投影 二、線段的實長及傾角二、線段的實長及傾角abxa補充題補充題 如圖所示，已知如圖所示，已知abab、a a 且知且知 =30 =30 試試求直線求直線ABAB的正面的正面 投影投影a a b b 。60 bOab30 baabAB 三、直線上的點三、直線上的點1.1.點分線段成定比點分線段成定比eeExOababee直線上點的直線上點的投影特性：投影特性： 1 1）直線上點的投影必然在該直線段的同面投影上；）直線上點的投影必然在該直線段的同面投影上； 2 2）點分線段之比等于點的投

24、影分線段同面投影之比。）點分線段之比等于點的投影分線段同面投影之比。 作圖過程：作圖過程： 三、直線上的點三、直線上的點 例題例題44 如圖所示，試在線段如圖所示，試在線段ABAB上取一點上取一點D D，使，使ADADDB=3:2 DB=3:2 。a b abxd B0D0d 過投影a任作一斜線度量五等分，按比例aD0:D0B0=3:2,確定D0、B0點。 過點B0作連線B0 b，再過點D0 作線D0 d B0 b，由交點d對應(yīng)作出d。 作圖過程：作圖過程： 三、直線上的點三、直線上的點 例題例題55 如圖，已知直線如圖，已知直線AB上點上點E正面投影正面投影e，求作水平投影，求作水平投影e。

25、b abxe 過投影過投影a a任作一斜線任作一斜線并量取并量取V V面投影面投影ab=abab=ab0 0 ，ae=aeae=ae0 0 。 連接連接bbbb0 0并作并作eeee0 0bbbb0 0就可求出就可求出e eb0e0ea O 直線與投影面的交點稱為該直線的跡點。直線與H面的交點稱為水平跡點，用M表示；直線與V面的交點稱為正面跡點，用N表示；直線與W面的交點稱為側(cè)面跡點，用S表示。abABbaNnmnmMb nn m a ab xOa b ab xOn n m m 三、直線上的點三、直線上的點2.2.直線的跡點直線的跡點 直線跡點的直線跡點的基本特性：基本特性： 1 1）跡點即在

26、空間直線上又在投影面上，它是直線和投影面的共有點。）跡點即在空間直線上又在投影面上，它是直線和投影面的共有點。 2 2）直線的該面跡點的另外一個投影同時在軸上和直線的對應(yīng)投影上。）直線的該面跡點的另外一個投影同時在軸上和直線的對應(yīng)投影上。1-4 1-4 兩直線的相對位置兩直線的相對位置 兩直線的相對位置有三種：平行、相交和交叉。兩直線的相對位置有三種：平行、相交和交叉。ABCD ABCDCDCDABABabcdabcdcdababcdEeEe1(2) 一、平行兩直線一、平行兩直線 平行兩直線的投影可以認(rèn)為，過空間平行兩直線上各點的投影連線，平行兩直線的投影可以認(rèn)為，過空間平行兩直線上各點的投影

27、連線，所構(gòu)成的兩個平面與投影面的交線。所構(gòu)成的兩個平面與投影面的交線。ABCDabcdxOyHyWzabcdabcdabcd 平行兩直線平行兩直線投影特性：投影特性： 1 1若空間兩直線相互平行若空間兩直線相互平行 則它們的同面投影必然相互平行。則它們的同面投影必然相互平行。 2 2平行兩線段之比等于其投影之比，即平行兩線段之比等于其投影之比，即AB:CD=AB:CD=a a b b : :c c d d = = a ba b: : c dc d。 一、平行兩直線一、平行兩直線 如果兩面投影分別平行，能否判斷空間兩直線相互平行？如果兩面投影分別平行，能否判斷空間兩直線相互平行？xOefmnef

28、nmyWzyH 能?。埽。▋H限于兩直線都是一般位置直線僅限于兩直線都是一般位置直線）fenm 二、相交兩直線二、相交兩直線 相交兩直線的交點為一共有點，該點的投影具有直線上點的投影性質(zhì)。相交兩直線的交點為一共有點，該點的投影具有直線上點的投影性質(zhì)。因此，交點的投影，一定是兩直線同面投影的交點因此，交點的投影，一定是兩直線同面投影的交點。ABCDabcdxOyHyWzabcdabcdabcdkkk 平行兩直線平行兩直線投影特性：投影特性： 兩直線相交時同面投影也必然相交，且交點的投影符合點的投影規(guī)律。兩直線相交時同面投影也必然相交，且交點的投影符合點的投影規(guī)律。 空間既不平行也不相交的兩直線稱

29、交叉直線。交叉兩直線不具備平行空間既不平行也不相交的兩直線稱交叉直線。交叉兩直線不具備平行和相交的投影性質(zhì)，交叉兩直線同面投影的交點為重影點。和相交的投影性質(zhì)，交叉兩直線同面投影的交點為重影點。 三、交叉兩直線三、交叉兩直線投影特性：投影特性： 1.兩交叉直線的同面投影至少有一個相交，且兩面投 影交點的連線不垂直于投影軸； 2.兩交叉直線重影點的可見性，要由兩直線上的點距 該投影面坐標(biāo)值的大小來確定。 ABCDababcdcdO1(2)3 (4)xOabcdabcd13 (4)3421(2) 四、垂直兩直線四、垂直兩直線 這里所討論的兩直線垂直，是指其中至少有一條直線平行于投影面時的這里所討論的兩直線垂直，是指其中至少有一條直線平行于投影面時的垂直情況。垂直情況。BCAabcabcabcxO 若空間兩直線相互垂直，且又同時平行于投影面時，則兩直線在所平行的投影面