第二章二次函數(shù)與命題高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準(zhǔn)教材

1、第二章二次函數(shù)與命題(高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準(zhǔn)教材)第二章二次函數(shù)與命題一、基礎(chǔ)知識1 二次函數(shù)：當(dāng)0時，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c稱為關(guān)于x的二次函數(shù)，其對稱軸為直線x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同。2 二次函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)a0時，f(x)的圖象開口向上，在區(qū)間(-a,x0上隨自變量x增大函數(shù)值減小(簡稱遞減)，在xO,-a)上隨自變量增大函數(shù)值增大(簡稱遞增)。當(dāng)a0時，情況相反。3 .當(dāng)aO時，方程f(x)=O即ax2+bx+c=0和不等式ax2+bx+c0及ax2+bx+c0與函數(shù)f(x)的關(guān)系如下(記=b2-4ac)。1 )當(dāng)

2、厶0時，方程有兩個不等實根，設(shè)x1,x2(x1x2)，不等式和不等式的解集分別是x|xx1或xx2和x|x1xx2，二次函數(shù)f(x)圖象與x軸有兩個不同的交點，f(x)還可寫成f(x)=a(x-x1)(x-x2).2 )當(dāng)厶=0時，方程有兩個相等的實根x仁x2=x0=,不等式和不等式的解集分別是x|x和空集，f(x)的圖象與x軸有唯一公共點3 )當(dāng)厶0時，方程無解，不等式和不等式的解集分別是R和.f(x)圖象與x軸無公共點。當(dāng)a0時，請讀者自己分析。4 .二次函數(shù)的最值：若a0,當(dāng)x=xO時，f(x)取最小值f(x0)=,若a0，則當(dāng)x=x0=時，f(x)取最大值f(x0)=.對于給定區(qū)間m,

3、n上的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)，當(dāng)xOm,n時，f(x)在m,n上的最小值為f(x0);當(dāng)x0m時。f(x)在m,n上的最小值為f(m);當(dāng)x0n時，f(x)在m,n上的最小值為f(n)(以上結(jié)論由二次函數(shù)圖象即可得出)。定義1能判斷真假的語句叫命題，如“35”是命題，“蘿卜好大”不是命題。不含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的命題叫做簡單命題，由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題由復(fù)合命題。注1“p或q”復(fù)合命題只有當(dāng)p,q同為假命題時為假，否則為真命題；“P且q”復(fù)合命題只有當(dāng)p,q同時為真命題時為真，否則為假命題；p與“非p”即“P”恰好一真一假。定義2原命題：若p則q(p

4、為條件,q為結(jié)論)；逆命題：若q則p；否命題：若非p則q；逆否命題：若非q則非p。注2原命題與其逆否命題同真假。一個命題的逆命題和否命題同真假。注3反證法的理論依據(jù)是矛盾的排中律，而未必是證明原命題的逆否命題。定義3如果命題“若p則q”為真，則記為pq否則記作pq.在命題“若p則q”中，如果已知pq,則p是q的充分條件；如果qp,則稱p是q的必要條件；如果pq但q不p，則稱p是q的充分非必要條件；如果p不q但pq，則p稱為q的必要非充分條件；若pq且qp，則p是q的充要條件。二、方法與例題1 待定系數(shù)法。例1設(shè)方程x2-x+1=0的兩根是a,B,求滿足f(a)=B,f(B)=a,f(1)=1的

5、二次函數(shù)f(X).【解】設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a0),則由已知f(a)=B,f(B)=a相減并整理得(a-B)(a+B)a+b+1=0，因為方程x2-x+1=0中厶0,所以aB，所以(a+B)a+b+1=0.又a+B=1,所以a+b+1=0.又因為f(1)=a+b+c=1，所以c-1=1，所以c=2.又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.再由f(a)=B得aa2-(a+1)a+2=B,所以aa2-aa+2=a+B=1,所以aa2-aa+仁0.即a(a2-a+1)+1-a=0,即1-a=0，所以a所以f(x)=x2-2x+2.2 方程的思想。例2已知f(x)=ax2

6、-c滿足-4f(1)-1,-1f(2)5,求f(3)的取值范圍?！窘狻恳驗?4f(1)=a-c-1,所以1-f(1)=c-a4.又-1f(2)=4a-c5,f(3)=f(2)-f(1),所以x(-1)+f(3)x5+x4,所以-1f(3)20.3 利用二次函數(shù)的性質(zhì)。例3已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR,a0),若方程f(x)=x無實根，求證：方程f(f(x)=x也無實根?！咀C明】若a0,因為f(x)=x無實根，所以二次函數(shù)g(x)=f(x)-x圖象與x軸無公共點且開口向上，所以對任意的xR,f(x)-x0即f(x)x，從而f(f(x)f(x)。所以f(f(x)x，所以方程

7、f(f(x)=x無實根。注：請讀者思考例3的逆命題是否正確。4 利用二次函數(shù)表達式解題例4設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)=x的兩根x1,x2滿足0x1x2,(I)當(dāng)x(0,x1)時，求證：xf(x)x1;(n)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=x0對稱，求證：x0【證明】因為x1,x2是方程f(x)-x=0的兩根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.(I)當(dāng)x(0,x1)時，x-x10,x-x20,a0，所以f(x)x.其次f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+0，所以f(x)x1.綜

8、上，xf(x)x1.(n)f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+1-a(x1+x2)x+ax1x2,所以x0所以，所以5 構(gòu)造二次函數(shù)解題。例5已知關(guān)于x的方程(ax+1)2=a2(a-x2),a1，求證：方程的正根比1小，負根比-1大?！咀C明】方程化為2a2x2+2ax+1-a2=0.構(gòu)造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,f(1)=(a+1)20,f(-1)=(a-1)20,f(0)=1-a20,即厶0,所以f(x)在區(qū)間(-1,0)和(0，1)上各有一根。即方程的正根比1小，負根比-1大。6 定義在區(qū)間上的二次函數(shù)的最值。例6當(dāng)x取何值時，函數(shù)y=取最小值？求出這個最小值

9、?！窘狻縴=1-,令u,則0u1。u2-u+且當(dāng)即x=3時，例7設(shè)變量x滿足x2+bxW-x(b-1)，并且x2+bx的最小值是，求b的值?！窘狻坑蓌2+bx-x(b-1)，得0Wx-(b+1).i) -(b+1)，即b-2時，x2+bx的最小值為-,所以b2=2，所以(舍去)。ii) -(b+1)，即b-2時，x2+bx在0,-(b+1)上是減函數(shù)，所以x2+bx的最小值為b+1,b+1=-,b=-.綜上，b=-一元二次不等式問題的解法。例8已知不等式組的整數(shù)解恰好有兩個，求a的取值范圍?！窘狻恳驗榉匠蘹2-x+a-a2=0的兩根為x1=a,x2=1-a,若a1-a，所以a0,所以不等式組無

10、解。若aO,i)當(dāng)Oa時，x1x2,的解集為ax1-a.因為0ax1-a1，所以不等式組無整數(shù)解。ii) 當(dāng)a=時，a=1-a，無解。iii) 當(dāng)a時，a1-a，由得x1-2a,所以不等式組的解集為1-axa.又不等式組的整數(shù)解恰有2個，所以a-(1-a)1且a-(1-a)3,所以law2,并且當(dāng)1a0對一切實數(shù)x,y,z都成立，問A,B,C應(yīng)滿足怎樣的條件？(要求寫出充分必要條件,而且限定用只涉及A,B,C的等式或不等式表示條件)【解】充要條件為A,B,CA0且A2+B2+Cw22(AB+BC+CA).先證必要性，可改寫為A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)20若

11、A=0,則由對一切x,y,zR成立，則只有B=C再由知B=C=0若A0,則因為恒成立，所以A0,=(B4C)2(y-z)2-4AC(y-z)20恒成立，所以(B-A-C)2-4AC0,即卩A2+B2+C0,C0,所以必要性成立。再證充分性，若A0,B0,C0且A2+B2+C22(AB+BC+CA,)1 )若A=0,則由B2+C2BC得(B-C)20,所以B=C所以=0,所以成立，成立。)若A0,則由知0,所以成立，所以成綜上,充分性得證。常用結(jié)論。定理1若a,bR,|a|-|b|a+b|a|+|b|.【證明】因為-|a|a|a|,-|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|,

12、所以|a+b|a|+|b|(注：若m0,則-xm等價于ix|m.又|a|=|a+b-b|a+b|+|-b|,即|a|-|b|2ab;若x,yR+,則x+y(證略)注定理2可以推廣到n個正數(shù)的情況,在不等式證明一章中詳細論證。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1 下列四個命題中屬于真命題的是， “若x+y=O，則x、y互為相反數(shù)”的逆命題；“兩個全等三角形的面積相等”的否命題；“若qw1,則x2+x+q=0有實根”的逆否命題；“不等邊三角形的三個內(nèi)角相等”的逆否命題。2 .由上列各組命題構(gòu)成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復(fù)合命題中，p或q為真，p且q為假，非p為真的是.p；3是偶數(shù)，q：4是奇數(shù)； p:3+

13、2=6,q:p:a(a,b),q:aa,b;p:QR,q:N=Z當(dāng)|x-2|a時，不等式|x2-4|1成立，則正數(shù)a的取值范圍是不等式ax2+(ab+1)x+b0的解是1x2，貝Ua,b的值是x1且x2是x-1的條件，而-2m0且0n1是關(guān)于x的方程x2+mx+n=0有兩個小于1的正根的條命題“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的逆命題是若S=x|mx2+5x+2=0的子集至多有2個，貝Um的取值范圍是R為全集，A=x|3-x4,B=,貝(CRA)QB=設(shè)a,b是整數(shù)，集合A=(x,y)|(x-a)2+3bw6y，點(2,1)A,但點(1,0)A，(3，2)A則a,b的值是.10設(shè)集合A=x

14、|x|4,B=x|x2-4x+30，則集合x|xA且xAnB=使不等式ax2+4x-1-2x2-a對任意實數(shù)x恒成立的a的取值范圍。12.對任意x0,1,有成立，求k的取值范圍。四、高考水平訓(xùn)練題1 .若不等式|x-a|x的解集不空，則實數(shù)a的取值范圍是.2 .使不等式x2+(x-6)x+90當(dāng)|a|1時恒成立的x的取值范圍是.3 .若不等式-x2+kx-40的解集為R則實數(shù)k的取值范圍是.4 若集合A=x|x+7|10,B=x|x-5|k，且Anb=b貝yk的取值范圍是.5 設(shè)a1、a2,b1、b2,c1、c2均為非零實數(shù)，不等式a1x2+b1x+c10和a2x2+b2x+c20解集分別為M

15、和N,那么“”是“M=N的條件。6 若下列三個方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實根，則實數(shù)a的取值范圍是.7 已知p,q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，則r是q的條件。8 .已知p:|1-|2,q:x2-2x+1-m2O(mO)，若非p是非q的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是9 .已知a0,f(x)=ax2+bx+c，對任意xR有f(x+2)=f(2-x)，若f(1-2x2)f(1+2x-x2)，求x的取值范圍。10 .已知a,b,cR,f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,當(dāng)|x|1時，

16、|f(x)|1,(1) 求證：|c|1;(2) 求證：當(dāng)|x|1時，|g(x)|2;(3) 當(dāng)a0且|x|O,mO,求證：方程ax2+bx+c=0有一根x0滿足0x01.五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1 .不等式|x|3-2x2-4|x|+30的解集是.2 .如果實數(shù)x,y滿足：，那么|x|-|y|的最小值是3 .已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(1，1)，(3，5)，f(0)0，當(dāng)函數(shù)的最小值取最大值時，a+b2+c3=已知f(x)=|1-2x|,x0,1，方程f(f(f)(x)=x有個實根。5.若關(guān)于x的方程4x2-4x+m=0在-1，1上至少有一個實根，則m取值范圍是.6.若f

17、(x)=x4+px3+qx2+x對一切xR都有f(x)x且f(1)=1，貝p+q2=對一切xRf(x)=ax2+bx+c(ab)的值恒為非負實數(shù)，則的最小值為8 函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象如圖，且=b-2ac.那么b2-4ac4.(填、=、)9 .若abed，求證：對任意實數(shù)t-1,關(guān)于x的方程(x-a)(x-c)+t(x-b)(x-d)=0都有兩個不等的實根。10 某人解二次方程時作如下練習(xí)：他每解完一個方程，如果方程有兩個實根，他就給出下一個二次方程：它的常數(shù)項等于前一個方程較大的根，x的系數(shù)等于較小的根，二次項系數(shù)都是1。證明：這種練習(xí)不可能無限次繼續(xù)下去，并求最多能延續(xù)的次數(shù)

18、。11 .已知f(x)=ax2+bx+c在0,1上滿足|f(x)|1,試求|a|+|b|+|e|的最大值。六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1 .設(shè)f(x)=ax2+bx+c,a,b,cR,a100,試問滿足|f(x)|50的整數(shù)x最多有幾個？2 .設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+8x+3(a0)，對于給定的負數(shù)a，有一個最大的正數(shù)l(a)，使得在整個區(qū)間0，l(a)上，不等式|f(x)|5都成立。求l(a)的最大值及相應(yīng)a的值。3 .設(shè)x1,x2,xna,a+1，且設(shè)x求f=y-x2的最大值。4 .F(x)=ax2+bx+c，a,b,cR,且|F(0)|1,|F(1)|1,|F(-1)|1,則對于|x|1,求|F(x)|的最大值。5 .已知f(x)=x2+ax