第8章第2課時空間幾何體的表面積、體積

1、第八章立第八章立 體體 幾幾 何何第第2課時空間幾何體的表面積、體積課時空間幾何體的表面積、體積 1認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征能正認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征能正確描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構確描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構 2了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式式(不要求記憶臺體的體積公式不要求記憶臺體的體積公式) 請注意請注意 柱、錐、臺、球等簡單幾何體的面積與體積柱、錐、臺、球等簡單幾何體的面積與體積(尤其是體積尤其是體積)是高考熱點是高考熱點 1幾何體的表面積幾何體的表面積 (1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積

2、就是各個面的面積的和棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是各個面的面積的和 (2)圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別是圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別是_、_、_ (3)若圓柱、圓錐的底面半徑為若圓柱、圓錐的底面半徑為r，母線長，母線長l，則其表面積為，則其表面積為S柱柱 ，S錐錐 .矩形扇形扇環(huán)2r22rlr2rl (4)若圓臺的上下底面半徑為若圓臺的上下底面半徑為r1，r2，母線長為，母線長為l，則圓臺的，則圓臺的表面積為表面積為S . (5)球的表面積為球的表面積為 .4R2 2幾何體的體積幾何體的體積 (1)V柱體柱體 . (2)V錐體錐體 . (3)V臺體臺體 ，V圓臺圓臺 ，V球球 (球半徑是

3、球半徑是R)Sh 1若一個正方體的體積是若一個正方體的體積是8，則這個正方體的內切球的表，則這個正方體的內切球的表面積是面積是() A8B6 C4 D 答案答案C 解析解析設正方體的棱長為設正方體的棱長為a，則，則a38. 而此內切球直徑為而此內切球直徑為2，S表表4r24. 2(2015滄州七校聯(lián)考滄州七校聯(lián)考)若某幾何體的三視圖如圖所示，若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為則該幾何體的體積為() 答案答案A 3若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的全面積為圓錐的全面積為_ 答案答案3 答案答案12 例例1(1)(20

4、14安徽文安徽文)若一個多面體的三視圖如圖所示，若一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的體積為則該多面體的體積為()題型一題型一 多面體的表面積和體積多面體的表面積和體積【答案】A (2)(2015合肥質檢合肥質檢)下圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中下圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所給的數(shù)據(jù)，求這個幾何體的表面積和體積所給的數(shù)據(jù)，求這個幾何體的表面積和體積 【解析解析】右圖是還原后的幾何體的直觀圖，分別取右圖是還原后的幾何體的直觀圖，分別取BC，AD的中點的中點E，F(xiàn)，連接，連接SE，EF，SF，由圖中數(shù)據(jù)有，由圖中數(shù)據(jù)有 探究探究1求解多面體的表面積及體積問題，關鍵是找到其中求解多面體的

5、表面積及體積問題，關鍵是找到其中的特征圖形，如棱柱中的矩形，棱錐中的直角三角形，棱的特征圖形，如棱柱中的矩形，棱錐中的直角三角形，棱臺中的直角梯形等，通過這些圖形，找到幾何元素間的關臺中的直角梯形等，通過這些圖形，找到幾何元素間的關系，建立未知量與已知量間的關系，進行求解系，建立未知量與已知量間的關系，進行求解(1)(2014重慶理重慶理)若某幾何體的三視圖如若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為圖所示，則該幾何體的表面積為() A54B60 C66 D72思考題思考題1 【解析解析】題中的幾何體可看作是從直三棱柱題中的幾何體可看作是從直三棱柱ABCA1B1C1中截去三棱錐中截去三棱

6、錐EA1B1C1后所剩余的部分后所剩余的部分(如圖所示如圖所示)，其中在直三棱柱其中在直三棱柱ABCA1B1C1中，中，ABAC，AB4.AC3，則則BC5，【答案】B (2)(2015遼寧撫順六校聯(lián)考遼寧撫順六校聯(lián)考)若一個幾何體的三視圖如圖所若一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的體積為示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的體積為() 【解析解析】原幾何體為三棱錐，如圖所示原幾何體為三棱錐，如圖所示【答案】D 例例2如圖所示，在直徑如圖所示，在直徑AB4的半圓的半圓O內作一個內接直角內作一個內接直角三角形三角形ABC，使，使BAC30，將圖中陰影部分，以

7、，將圖中陰影部分，以AB為為旋轉軸旋轉旋轉軸旋轉180形成一個幾何體，求該幾何體的表面積及形成一個幾何體，求該幾何體的表面積及體積體積題型二題型二 旋轉體的表面積和體積旋轉體的表面積和體積 探究探究2此類題只需根據(jù)圖形的特征求出所需元素此類題只需根據(jù)圖形的特征求出所需元素(半徑、半徑、高等高等)，然后代入公式計算即可，然后代入公式計算即可(1)(2014天津天津)若一個幾何體的三視圖如若一個幾何體的三視圖如圖所示圖所示(單位：單位：m)，則該幾何體的體積為，則該幾何體的體積為_m3.思考題思考題2 (2)若一個半徑為若一個半徑為2的球體經過切割之后所得幾何體的三視的球體經過切割之后所得幾何體的

8、三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為圖如圖所示，則該幾何體的表面積為_ 【答案答案】16題型三題型三 利用割補法求體積利用割補法求體積 【解析解析】以正方形以正方形ABCD為底面，為底面，DD1為棱將上圖補成一為棱將上圖補成一個正四棱柱個正四棱柱ABCDA2B1C2D1，如圖所示，如圖所示 截面截面A1BC1D1與底面與底面ABCD成成45的二面角，的二面角， 原多面體的體積恰好為補成的正四棱柱體積的一半原多面體的體積恰好為補成的正四棱柱體積的一半 AA1CC1，易知，易知D1BD為截面與底面為截面與底面ABCD所成的二面所成的二面角的平面角角的平面角 D1BD45. 【答案答案】A (2)已

9、知正方體已知正方體AC1的棱長為的棱長為a，E，F(xiàn)分別為棱分別為棱AA1與與CC1的的中點，求四棱錐中點，求四棱錐A1EBFD1的體積的體積 【講評講評】利用等積變換是求三棱錐體積的常用技巧利用等積變換是求三棱錐體積的常用技巧 探究探究3(1)分割法：通過對不規(guī)則幾何體進行分割，化為分割法：通過對不規(guī)則幾何體進行分割，化為規(guī)則幾何體，分別求出體積后再相加即得所求幾何體體規(guī)則幾何體，分別求出體積后再相加即得所求幾何體體積積 (2)補體法：通過補體構造出一個規(guī)則幾何體，然后進行計補體法：通過補體構造出一個規(guī)則幾何體，然后進行計算算 (3)三棱錐的體積求解具有較多的靈活性，因為三棱錐的任三棱錐的體積

10、求解具有較多的靈活性，因為三棱錐的任意一個頂點都可以作為頂點，任何一個面都可以作為棱錐意一個頂點都可以作為頂點，任何一個面都可以作為棱錐的底面，常常需要對其頂點和底面進行轉換，以方便求的底面，常常需要對其頂點和底面進行轉換，以方便求解解在正六棱錐在正六棱錐PABCDEF中，若中，若G為為PB的的中點，則三棱錐中點，則三棱錐DGAC與三棱錐與三棱錐PGAC體積之比為體積之比為() A1 1 B1 2 C2 1 D3 2思考題思考題3 【答案答案】C 1對于基本概念和能用公式直接求棱柱、棱錐、棱臺與球對于基本概念和能用公式直接求棱柱、棱錐、棱臺與球的表面積的問題，要結合它們的結構特點與平面幾何知識

11、的表面積的問題，要結合它們的結構特點與平面幾何知識來解決，這種題目難度不大來解決，這種題目難度不大 2要注意將空間問題轉化為平面問題要注意將空間問題轉化為平面問題 3當給出的幾何體比較復雜，有關的計算公式無法運用，當給出的幾何體比較復雜，有關的計算公式無法運用，或者雖然幾何體并不復雜，但條件中的已知元素彼此離散或者雖然幾何體并不復雜，但條件中的已知元素彼此離散時，我們可采用時，我們可采用“割割”、“補補”的技巧，化復雜幾何體為的技巧，化復雜幾何體為簡單幾何體簡單幾何體(柱、錐、臺柱、錐、臺)，或化離散為集中，給解題提供，或化離散為集中，給解題提供便利便利答案C 解析解析根據(jù)題意畫出圖形，再由棱

12、錐的體積公式直接求根據(jù)題意畫出圖形，再由棱錐的體積公式直接求解解 2長方體的三個相鄰面的面積分別為長方體的三個相鄰面的面積分別為2,3,6，若這個長方體，若這個長方體的頂點都在同一球面上，則這個球的表面積為的頂點都在同一球面上，則這個球的表面積為() 答案答案C 答案答案D 4已知一個棱長為已知一個棱長為2的正方體，被一個平面截后所得幾何的正方體，被一個平面截后所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是_ 幾何體與球的切接問題幾何體與球的切接問題 一、幾何體的外接球一、幾何體的外接球 例例1(1)若棱長為若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該的正

13、方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為球的表面積為_【答案】27 (2)求棱長為求棱長為1的正四面體外接球的體積的正四面體外接球的體積 【解析解析】設設SO1是正四面體是正四面體SABC的高，外接球的球心的高，外接球的球心O在在SO1上，設外接球半徑為上，設外接球半徑為R，AO1r， 思考題思考題1(1)已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為體積為16，則這個球的表面積是，則這個球的表面積是() A16 B20 C24 D32【答案】C (2)(2014大綱全國大綱全國)正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為棱錐的高為4，底面邊長為，底面邊長為2，則該球的表面積為，則該球的表面積為() 【解析解析】利用球心到各頂點距離相等列式求解利用球心到各頂點距離相等列式求解【答案】A 二、幾何體的內切球二、幾何體的內切球 例例2若正四面體的棱長為若正四面體的棱長為a，則其內切球的半徑為，則其內切球的半徑為_ 【解析解析】如圖正四面體如圖正四面體ABCD的中心為的中心為O，即內切