因式分解專題復(fù)習(xí)及講解很詳細

1、愛特教育因式分解的常用方法第一部分：方法介紹多項式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被 廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工 具.因式分解方法靈活，技巧性強，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅 是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能， 發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨特的作用.初中數(shù)學(xué)教材中 主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘 法.本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對因式分解的方法、 技巧和應(yīng)用作進一步的介紹.一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、運用公式法.在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即

2、為因 式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a2-b2a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 a2±2ab+b2=(a± b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3a3-b3=(a-b)3+ab+b2).下面再補充兩個常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-c

3、a)；例.已知a, b, c是AABC的三邊，且a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca ,則AABC的形狀是()A.直角三角形 8等腰三角形C等邊三角形口等腰直角三角形解：a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca n 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2can (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0 n a = b = c三、分組分解法.(一)分組后能直接提公因式例1、分解因式： am + an + bm + bn分析：從“整體”看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用 公式分解，但從“局部”看

4、，這個多項式前兩項都含有a，后兩項都含有 b，因此可以考慮將前兩項分為一組，后兩項分為一組先分解，然后再考 慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式二(am + an) + (bm + bn)=a (m + n) + b (m + n)每組之間還有公因式！=(m + n)(a + b)例2、分解因式： 2ax 一 10ay + 5by 一 bx解法一：第一、二項為一組； 第三、四項為一組。解：原式=(2ax -10ay) + (5by - bx)=2 a (x - 5 y) - b (x - 5 y)=(x - 5y)(2a - b)練習(xí)：分解因式1、 a 2 - ab + ac - bc解法二：第一、四項

5、為一組；第二、三項為一組。原式二(2ax - bx) + (-10ay + 5by)=x(2a - b) - 5 y (2a - b)=(2a - b)(x - 5y)2、xy - x - y +1(二)分組后能直接運用公式例3、分解因式： x 2 - y 2 + ax + ay分析：若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因 式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。解：原式=(x2 - y2) + (ax + ay)=(x + y)(x - y) + a(x + y)=(x + y)(x - y + a)例4、分解因式：a2 - 2ab + b2 - c2解：原式二(a2

6、 - 2ab + b2) - c2=(a - b)2 - c2=(a - b - c)(a - b + c)練習(xí)：分解因式3、x2 - x - 9y2 - 3y綜合練習(xí)：(1) x 3 + x 2 y - xy 2 - y 3(3) x2 + 6xy + 9y 2 -16a2 + 8a -1(5) a4 - 2a3 + a2 - 9(7)x2 - 2xy - xz + yz + y2(9)y(y - 2) - (m -1)(m +1)4、x2 - y2 - z2 - 2 yz(2)ax2 - bx2 + bx - ax + a - b(4) a 2 - 6ab +12b + 9b 2 - 4a

7、(6) 4a2x - 4a2 y - b2x + b2 y(8)a2 - 2a + b2 - 2b + 2ab +1(10) (a + c)(a - c) + b(b - 2a)(11)a2(b + c) + b2(a + c) + c2(a + b) + 2abc(12)a3 + b3 + c3 - 3abc四、十字相乘法.(一)二次項系數(shù)為1的二次三項式直接利用公式 2 + (p + q) % + pq = (% + p)(% + q)進行分解。特點：(i)二次項系數(shù)是1；(2)常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；(3)一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。思考：十字相乘有什么基本規(guī)律例.已知0V a W5,

8、且a為整數(shù)，若2%2 + 3% + a能用十字相乘法分解因式，求符合條件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三項式ax2+bx+c ,都要求 = b2 - 4ac >0而且是一個完全平方數(shù)。于是A = 9 - 8a為完全平方數(shù)，a = 1例5、分解因式： % 2 + 5 % + 6分析：將6分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5。由于 6=2X3=(-2) X (-3)=1 X6=(-1) X (-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有 2X3的分解適合，即2+3=5。-T'-2解：%2 + 5% + 6 = %2 + (2 + 3)% + 2 * 313=(% + 2)( % + 3)1X2+1

9、X3=5用此方法進行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù) 的代數(shù)和要等于一次項的系數(shù)。例6、分解因式：%2 - 7% + 6解：原式=X 2 + (-1) + (-6) X + (-1)(-6)=(X -1)( X - 6)1-6(-1) + (-6) = -7練習(xí) 5、分解因式(1) X2 +14x + 24 (2) a2 -15a + 36 (3) x2 + 4x - 5練習(xí) 6、分解因式(1) X 2 + x - 2(2) y 2 - 2 y -15(3) x 2 -10x - 24(二)二次項系數(shù)不為1的二次三項式ax 2 + bx + c條件：(1)a = a 1 a

10、 2ac 1(2) c - c cac(3)b - a c + a cb - a c + a c分解結(jié)果： ax2 + bx + c = (a x + c )(a x + c ) 1122例7、分解因式：3x2 -11 x +10分析：1 .-X、.-23-5(-6)+(-5)= -11解：3X2 -11X +10 = (X - 2)(3X - 5)(2) 3X2 - 7X + 2練習(xí)7、分解因式：（1） 5 x 2 + 7 x - 6(三)二次項系數(shù)為1的齊次多項式例8、分解因式：a2 8ab 128b2分析：將b看成常數(shù)，把原多項式看成關(guān)于a的二次三項式，利用十字相 乘法進行分解。1 ：X

11、8b1-16b8b+(-16b)= -8b解:a2 8ab 128b2 = a 2 + 8b + (16b)a + 8b 義(16b)=(a + 8b)(a 16 b)練 習(xí)8分 解因 式(1) x 2 3 xy + 2 y 2 (2) m 2 6 mn + 8 n 2 (3) a 2 ab 6b 2(四)二次項系數(shù)不為1的齊次多項式例10、 x 2 y 2 3 xy + 2把xy看作一個整體1：X： -11-2(-1) + (-2) =例9、 2 x 2 7 xy + 6 y 21 X-2y2-3y(-3y) + (-4y)= -7y-3解：原式二(x 2y)(2x 3y)解：原式二(xy

12、1)(xy 2)(2) a2x2 6ax + 8練習(xí)9、分解因式：(1) 15x2 + 7xy 4y2綜合練習(xí) 10、(1) 8 x6 - 7 x 31(2) 12 x 211 町15 y2(3) (x + y)2 3(x + y) 10(4) (a + b)2 4a 4b + 3(5) x2y2 5x2y 6x2(6) m2 4mn + 4n2 3m + 6n + 2(7) x2 + 4xy + 4y2 2x 4y 3 (8) 5(a + b)2 + 23(a2 b2) 10(a b)2(9) 4x2 4xy 6x + 3y + y2 10 (10) 12(x + y)2 +11(x2 y2

13、) + 2(x y)2思考：分解因式： abcx 2 + (a 2 b 2 + c 2) x + abc五、換元法。例 13、分解因式(1) 2005x2 (20052 1)x 2005(2) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + x2解：(1)設(shè)2005= a，則原式=ax2 (a2 1)x a=(ax +1)( x a)=(2005 x +1)( x 2005)(2)型如abcd + e的多項式,分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。原式=(x 2 + 7 x + 6)( x 2 + 5 x + 6) + x 2設(shè) x 2 + 5 x + 6 = A，貝 I x 2

14、+ 7 x + 6 = A + 2 x二原式=(A + 2 x) A + x 2=A 2 + 2 Ax + x 2=(A + x )2 = (x 2 + 6 x + 6)2練習(xí)13、分解因式(1) (x2 +町+ y2)2 4町(x2 + y2)(X 2 + 3 x + 2)(4 x 2 + 8 x + 3) + 90 (a 2 +1)2 + (a 2 + 5)2 4( a 2 + 3)2例14、分解因式(1) 2 x 4 一 x 3 - 6 x 2 一 x + 2觀察：此多項式的特點一是關(guān)于x的降冪排列，每一項的次數(shù)依次少1, 并且系數(shù)成“軸對稱”。這種多項式屬于“等距離多項式”。方法：提中

15、間項的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。x x211設(shè) x + = t，貝 I x 2 +=12 - 2解：原式=x2(2x2 - x - 6 + ) = x2 L(x2 + ) 一 (x + ) 一 61,.原式=x2 2( 12 2) t 61=x2 Q12 t 10)=x 2(21 5)( + 2 )= x 22、)(2.=x - 2 x + - 5 - x - x + - + 2x 2 5 x + 2)(2 + 2 x + J=(x +1)2(2 x 1)( x 2)(2) x4 - 4x3 + x2 + 4x + 1一 .,“41、解：原式=x 2( x2 4 x +1 +

16、+ 一) = x2x x 2111-設(shè)x一一 二 y，貝 1x2 +=y2 + 2x2原式二x 2( y2 4 y + 3) = x 2( y 1)( y 3)=X2(X- - - 1)(X - - - 3) = (2 - X -1)(2 - 3X -1)練習(xí) 14、(1) 6x4 + 7x3 36x2 一 7x + 6(2) X 4 + 2 X 3 + X 2 + 1 + 2( X + X 2)六、添項、拆項、配方法。例15、分解因式(1) X3 - 3X2 + 4解法2添項。原式= x 3 - 3 x 2 - 4 x + 4 x + 4=x(X 2 - 3X - 4) + (4x + 4)

17、=x ( x +1)( x - 4) + 4( x +1)=(X +1)(X2 - 4x + 4)=(X + 1)(X - 2)2解法1拆項。原式=X3 + 1 - 3X2 + 3=(X + 1)(X2 - X +1) - 3(X + 1)(X -1)=(x +1)(x2 - x +1 - 3x + 3)=(X +1)(X2 - 4x + 4)=(X + 1)(X - 2)2(2) X9 + X6 + X3 - 3解：原式二(X 9 -1) + (X6 - 1) + (X 3 -1)=(X3 - 1)(X6 + X3 + 1) + (X3 - 1)(X3 + 1) + (X3 - 1)=(X

18、3 - 1)( X 6 + X 3 + 1 + X 3 + 1 + 1)=(X - 1)(X2 + X + 1)(X6 + 2X3 + 3)練習(xí)15、分解因式(1) x 3 - 9 x + 8(2) (X + 1)4 + (X2 - 1)2 + (X - 1)4(3) %4 7%2 +1(4) x4 + x2 + 2ax +1 - a2(5) x4 + y4 + (x + y)4(6) 2 a 2 b 2 + 2 a 2 c 2 + 2 b 2 c 2 一 a 4 一 b 4 一 c 4七、待定系數(shù)法。例 16、分解因式 x2 + xy - 6 y2 + x +13 y - 6分析：原式的前3

19、項x2 + xy - 6y 2可以分為(x + 3y)(x - 2y),則原多項式必定可分為(x + 3 y + m)(x 一 2 y + n)解：設(shè)x 2+ xy - 6 y 2 + x +13 y - 6 = (x + 3 y + m)(x - 2 y + n),/ (x + 3y + m)(x - 2y + n) = x2 + xy - 6y 2 + (m + n)x + (3n - 2m)y 一 mn x2 + xy - 6 y 2 + x +13 y - 6 = x2 + xy - 6y 2 + (m + n)x + (3n - 2m) y - mnm + n = 1rm 二 一2對

20、比左右兩邊相同項的系數(shù)可得3n - 2m = 13 ,解得I n = 3mn = -6I二原式二(x + 3y - 2)(x 一 2y + 3)例17、(1)當m為何值時，多項式x2 - y2 + mx + 5y - 6能分解因式，并分解此多項式。(2)如果 x 3 + ax 2+ bx + 8有兩個因式為x+1和x+2，求a+b的值。(1)分析：前兩項可以分解為(x + y)(x - y),故此多項式分解的形式必為(x + y + a)(x - y + b)解：設(shè)X2一 y 2 + mx + 5y 6 = (x + y + a)(x 一 y + b)貝I x 2 - y 2 + mx + 5

21、 y - 6 = x 2 - y 2 + (a + b) x + (b - a) y + aba = 一2a = 2<b = 3 或b = 一3m = 1 m = -1a + b = m比較對應(yīng)的系數(shù)可得：b-a = 5，解得:ab 二 一6，當m = ±1時，原多項式可以分解；當 m = 1 時，原式=(x + y 一 2)(x 一 y + 3)；當 m = -1 時，原式=(x + y + 2)(x 一 y 一 3)(2)分析： x 3+ax 2 + bx + 8是一個三次式，所以它應(yīng)該分成三個一次式相乘,因此第三個因式必為形如 x + c 的一次二項式。解：設(shè) x 3 +

22、 ax 2 + bx + 8 = (x +1)( x + 2)( x + c)貝 x 3 + ax 2 + bx + 8 = x 3+(3 + c) x 2 + (2 + 3 c) x + 2 ca = 3 + ca = 7/. b = 2 + 3c 解得 < b = 14 ,2 c = 81 c = 4二 a + b =21練習(xí) 17、(1)分解因式 x2 - 3xy -10y2 + x + 9y - 2(2)分解因式x 2 + 3 xy + 2 y 2 + 5 x + 7 y + 6(3)已知：x2 - 2盯- 3y2 + 6x -14y + p能分解成兩個一次因式之積，求常數(shù)P并且

23、分解因式。(4) k為何值時，x2 - 2xy + ky 2 + 3x - 5 y + 2能分解成兩個一次因式的乘積，并分解此多項式。第二部分：習(xí)題大全經(jīng)典一:一、填空題1.把一個多項式化成幾個整式的 的形式，叫做把這個多項式分解因式。2分解因式：m3-4m= .3.分解因式：x2-4y2= .4、分解因式：一無2 4x 4 =。5.將xn-yn分解因式的結(jié)果為（x2+y2）（x+y）（x-y），貝lj n的值為 .6、若 x - y = 5, xy = 6 則 x2y -町2 二 二、選擇題7、多項式15m3n2 + 5m2n 20m2n3的公因式是（）A、5mn b、5m2n2* 5m2n

24、口、5mn28、下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是（）(a +3)(a -3)= a2 -9A、B、a2 - b2 =(a + b)(a -b)C、(a - 4)- 5(3 3 )m 2 - 2 m - 3 = m m - 2-D、I m J10 .下列多項式能分解因式的是（ ）(A)x2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+4.211 .把(x y) (y x)分解因式為()A. (x y) (x y 1)B. (yx) (x y 1)C. (y x) (y x 1)D. (yx) (y x + 1)12 .下列各個分解因式中正確的是()A. 10ab2c+ 6ac2

25、+2ac = 2ac (5bz+3c)B. (a b) 2(ba) 2=(a b) 2 (ab + 1)C. x (b+c a)y (a bc)a + bc=(b+c a) (x+y 1)D. (a2b) (3a + b) 5 (2b a) 2=(a2b) (11b2a)13 .若k-12xy+9x2是一個完全平方式，那么k應(yīng)為()三、把下列各式分解因式：14 . nx-ny15、4m2 - 9n216、m (m 一 n )+n (n 一 m )17、a 3 2 a 2 b + ab 219、9(m + n)2 - 16(m 一 n)2Q 2 + 4 ) -16 x 218、五、解答題20、如

26、圖，在一塊邊長°二的正方形紙片中，挖去一個邊長b二的正方形。求紙片剩余部分的面積。21、如圖，某環(huán)保工程需要一種空心混凝土管道，它的規(guī)格是內(nèi)徑d = 45cm，外徑D = 75Cm'長1 = 3m。利用分解因式計算澆制一節(jié)這樣的管道需要多少立方米的混凝土（九取，22、觀察下列等式的規(guī)律，并根據(jù)這種規(guī)律寫出第個等式。 2 - 1 = (x + 1)(x -1) x4 - 1 = (x2 + 1)(x + 1)(x -1) X 8 - 1 = Cx4 + 1)(X2 + 1)(X + 1)(X - 1)(4) X16 -1 =(x 8 + 1)(x4 + 1)Q+ 1)(X +1

27、)(x -1)經(jīng)典一.J- /、愛特教育因式分解小結(jié)知識總結(jié)歸納因式分解是把一個多項式分解成幾個整式乘積的形式，它和整式乘法 互為逆運算，在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用，在其它學(xué)科中也有廣 泛應(yīng)用，學(xué)習(xí)本章知識時，應(yīng)注意以下幾點。1 .因式分解的對象是多項式；2 .因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式；3 .分解因式，必須進行到每一個因式都不能再分解為止；4 .公式中的字母可以表示單項式，也可以表示多項式；5 .結(jié)果如有相同因式，應(yīng)寫成幕的形式；6 .題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解；7 .因式分解的一般步驟是：(1)通常采用一 “提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首

28、先看有無公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個步驟都不 能實施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利 用公式法繼續(xù)分解；(2)若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、 試除法、拆項(添項)等方法；下面我們一起來回顧本章所學(xué)的內(nèi)容。1 .通過基本思路達到分解多項式的目的例1.分解因式X5 X4 + X3 X2 + x 1分析：這是一個六項式，很顯然要先進行分組，此題可把X5X4 + X3和X2 + X 1分別看成一組，此時六項式變成二項式，提取 公因式后，再進一步分解；也可把X5 X4，X3 X2，X 1分別看成一組， 此時的六項式變成三項式，提取

29、公因式后再進行分解。解一：原式=(X5 X4 + X3) (X2 X + 1)=X3(X2 X + 1) (X2 X + 1)=(X3 1)(x2 X + 1)=(x 1)(x2 x + 1)(x2 + x + 1)解二：原式二(X5 X4) + (x3 x2) + (x 1)=x4(x 1) + x2(x 1) + (x 1)=(x 1)(X4 + X 2 + 1)=(x 1)(x4 + 2x2 + 1) x2=(x 1)(x2 x + 1)(x2 + x + 1)2 .通過變形達到分解的目的例1.分解因式X3 + 3x2 - 4解一：將3x2拆成2x2 + X2，則有原式=X3 + 2x2

30、 + (x2 - 4)=x2(x + 2) + (x + 2)(x - 2)=(x + 2)(x2 + x - 2)=(x - 1)(x + 2)2解二：將常數(shù)-4拆成-1 - 3,則有原式=x3 - 1 + (3x2 - 3)=(x - 1)(x2 + x + 1) + (x - 1)(3x + 3)=(x - 1)(x2 + 4x + 4)=(x - 1)(x + 2)23 .在證明題中的應(yīng)用例：求證：多項式(x2 - 4)(x2 - 10x + 21) + 100的值一定是非負數(shù)分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個非負數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對值。本題要證明這個多項式是非負數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)

31、。證明：(x2 - 4)(x2 - 10x + 21) + 100=(x + 2)(x - 2)(x - 3)(x - 7) + 100=(x + 2)(x - 7)(x - 2)(x - 3) + 100=(x2 - 5x - 14)(x2 - 5x + 6) + 100設(shè) y = x2 - 5x，則原式=(y - 14)(y + 6) + 100 = y2 - 8y + 16 = (y - 4)2無論y取何值都有(y - 4)2 > 0(x2 - 4)(x2 - 10x + 21) + 100的值一定是非負數(shù)4 .因式分解中的轉(zhuǎn)化思想例：分解因式：(a + 2b + c)3 - (a

32、 + b)3 - (b + c)3分析：本題若直接用公式法分解，過程很復(fù)雜，觀察a+b，b+c與a+2b+c的關(guān)系，努力尋找一種代換的方法。解：設(shè)a+b=A, b+c=B, a+2b+c=A+B原式=(A + B)3 A3 B3=A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 A3 B3=3A2B + 3AB2=3AB(A + B)=3(a + b)(b + c)(a + 2b + c)說明：在分解因式時，靈活運用公式，對原式進行“代換”是很重要的。中考點撥例 1.在 A ABC 中，三邊 a,b,c 滿足 a2 一 16b2 - c2 + 6ab + 10bc = 0求證：a + c = 2b證

33、明：a2 - 16b2 - c2 + 6ab + 10bc = 0a2 + 6ab + 9b2 - c2 + 10bc 一 25b2 = 0即(a + 3b)2 一 (c 一 5b)2 = 0(a + 8b 一 c)(a 一 2b + c) = 0< a + b > c/. a + 8b > c,即a + 8b 一 c > 0于是有a - 2b + c = 0!Pa + c = 2b說明：此題是代數(shù)、幾何的綜合題，難度不大，學(xué)生應(yīng)掌握這類題不 能丟分。1818解： x3 += (x +)(x2 1 +)x3xx=(x + -)(x + 1)2 2 1 x x=2 X 1

34、=2說明：利用x2 + 1- = (x + 1)2 2等式化繁為易。 x2x題型展示1 .若X為任意整數(shù)，求證：(7-x)(3-x)(4-x2)的值不大于100。解：(7 x )(3 x )(4 x 2) 100=(x 7)(x + 2)(x 3)(x 2) 100=(x2 5x 14)(x2 5x + 6) 100=(x2 5x) 8(x2 5x) + 16=(x2 5x 4)2 < 0(7 x)(3 x)(4 x2) < 100說明：代數(shù)證明問題在初二是較為困難的問題。一個多項式的值不大 于100，即要求它們的差小于零，把它們的差用因式分解等方法恒等變形 成完全平方是一種常用的

35、方法。2 .將a2 + (a + 1)2 + (a2 + a)2分解因式，并用分解結(jié)果計算62 + 72 + 422。解：a2 + (a + 1)2 + (a2 + a)21919=a2 + a2 + 2a + 1 + (a2 + a)2=2(a2 + a) + 1 + (a2 + a)2=(a2 + a + 1)262 + 72 + 422 = (36 + 6 + 1)2 = 432 = 1849說明：利用因式分解簡化有理數(shù)的計算。實戰(zhàn)模擬1 .分解因式：(1) 3x5 10x4 8x3 3x2 + 10x + 8(2) (a2 + 3a 3)(a2 + 3a + 1) 5(3) x2 一

36、2xy - 3y2 + 3x - 5y + 2(4) x3 - 7x + 62 .已知：x + y = 6, xy = -1,求：x3 + y3 的值。3 .矩形的周長是28cm，兩邊x,y使x3 + x2y - xy2 - y3 = 0，求矩形的面 積。4 .求證：n3 + 5n是6的倍數(shù)。（其中n為整數(shù)）5 . 已知：a 、 b 、 c 是非零實數(shù)，且a2 + b2 + c2 = 1, a(I) + b(I) + c(I) = 3，求 a+b+c 的值。 b c c a a b6 .已知：a、b、c為三角形的三邊，比較a2 + b2 - c2和4a2b2的大小。經(jīng)典三：因式分解練習(xí)題精選一

37、、填空：(30分)1、若x2 + 2(m - 3)x +16是完全平方式，則m的值等于。2、x2 + x + m = (x - n)2 則|J m =n =3、2x3y2與12x6y的公因式是4、若xm - yn = (x + y2)(x- y2)(x2 + y4),則lj m二, n=21215、在多項式3y2 5戶=15戶中，可以用平方差公式分解因式的有，其結(jié)果是 6、若x2 + 2(m 3)x +16是完全平方式，則m二7、x2 + () x + 2 =(x + 2)(x +)8、已知1 + x + x 2 + x 2004 + x 2005 = 0,貝|J x 2006 = 9、若16

38、( b )2 + M + 25是完全平方式乂二10、x 2 + 6x +(_ )= (x + 3)2，x2 + ()+ 9 =(x - 3)211、若9 x 2 + k + y 2是完全平方式，則k=12、若x2 + 4x 4的值為0，則3x2 +12x 5的值是13、若x 2 一 ax 一 15 =(x +1)(x -15)貝ij a =14、若x + y = 4, x2 + y2 = 6 則 xy =。15、方程x 2 + 4 x = 0,的解是。二、選擇題：(10分) 1、多項式 一 a(a - x)(x - b) + ab(a - x)(b - x)的公因式是()A、一a、B、一a(a

39、 x)(x b) C、a(a x)D、一a(x a)2、若mx 2 + kx + 9 = （2 x 3）2,則叫k的值分別是（）A、m=2, k=6, B、m=2, k=12, C、m=4, k=12、D m=4, k=12、 3、下列名式: x2 - y2,-x2 + y2,-x2 - y2,（-x）2 + （-y）2,x4 - y4 中能用平方差公式分解因式的有（）A、1 個，B、2 個，C、3 個，D、4 個 4、計算（I-f（l-f （1-/-荒）的值是（）A、1 B 1 C 1 D 112 B、20，C.道D.20 三、分解因式：（30分）1、x4 一 2x3 - 35x22、 3

40、x 6 3 x 23、 25(x - 2y)2 - 4(2y - x)24、x 2 - 4 xy -1 + 4 y 25、 x5 一x6、x 3 -17、ax 2 一 bx 2 一 bx + ax + b 一 a8、x4 -18x2 + 819、9x4 - 36y210、(x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24四、代數(shù)式求值（15分）1、xy = 2，求 2x4y3 - x3y4 的值。2、若x、y互為相反數(shù)，且（x + 2）2 - （y +1）2 = 4，求x、y的值3、已知a + b = 2，求(a2 -b2)2 - 8(a2 + b2)的值五、計算：（15）(1)

41、 x 3.66 - 3 x 2.66 41 12。一12 )(3)2x562 + 8 x56x 22 + 2x 442六、試說明：（8分）1、對于任意自然數(shù)n, （n + 7）2 - （n 5）2都能被動24整除。2、兩個連續(xù)奇數(shù)的積加上其中較大的數(shù)，所得的數(shù)就是夾在這兩個連續(xù)奇 數(shù)之間的偶數(shù)與較大奇數(shù)的積。七、利用分解因式計算（8分）1、一種光盤的外D二厘米，內(nèi)徑的d二厘米，求光盤的面積。（結(jié)果保留兩位 有效數(shù)字）2、正方形1的周長比正方形2的周長長96厘米，其面積相差960平方厘 米求這兩個正方形的邊長。八、老師給了一個多項式，甲、乙、丙、丁四個同學(xué)分別對這個多項式進 行了描述：甲：這是一

42、個三次四項式乙：三次項系數(shù)為1,常數(shù)項為1。丙：這個多項式前三項有公因式?。哼@個多項式分解因式時要用到公式法若這四個同學(xué)描述都正確請你構(gòu)造一個同時滿足這個描述的多項式，并將 它分解因式。（4分）經(jīng)典四:因式分解一、 選擇題1、代數(shù)式 a3b2 a2b3, 21a3b4+a4b3,a4b2 a2b4 的公因式是（）2A、a3b2B、a2b2C、a2b3D、a3b32、用提提公因式法分解因式5a(x y)10b(x y),提出的公因式應(yīng)當為()A、5a 10bB、5a+10b C、5(x y)D、y x3、把一8m3+12m2+4m分解因式，結(jié)果是()A、一4m(2m2 - 3m)B、一4m(2m

43、z+3m1)C、一4m(2m2 3m1)D、一2m(4m2 6m+2)4、把多項式一2x44x2分解因式，其結(jié)果是()A、2( x42x2)B、一2(x4+2xz)C、一x2(2xz+4) D、 一2x2 (x2+2)5、(一2) 1998十 (2) 1999 等于()A、一21998B、21998C、一21999D、219996、把16-x4分解因式，其結(jié)果是()A、(2 x) 4B、(4+xz)( 4一x2)C、(4+x2)(2 + x)(2 x)D、(2 + x)3(2 x)7、把a，一2a2b2+b4分解因式，結(jié)果是()A、a2(a22b2)+b4B、(a2 b2)2C、(a b)4

44、D、(a +b) 2 (a b) 28、把多項式2x2 2x+ 1分解因式，其結(jié)果是()2A、(2xi)2B、2(x )2C、(x，)2 Dx (x22221) 29、若9a2+6(k 3)a+1是完全平方式，則k的值是()A、±4B、±2 C、3 D、4 或 210、一(2x y) (2x + y)是下列哪個多項式分解因式的結(jié)果()A、4x2 y2B、4x? + y2C、一4x2 y2D、一4xz+y211、多項式xz+3x54分解因式為()A、(x + 6)(x9)B、(x 6)(x+9)C、(x + 6)(x+9)D、 (x 6)(x9)二、填空題1、2x24xy 2

45、x =(x 2y 1)2、4a3b210a2b3 = 2a2b2()3、(1a)mn + a 1 = ()(mn 1)4、m(m n)2(n-m)2 =()()5、X2 一 () + 16y2=() 26、X2 ()2=(x+5y)( x5y)7、a24(a b) 2=() ()8、a(x + y z)+b(x + y z)-c(x + y z)= (x + y - z) , ()9、16(x y)29(x + y)2=() ()10、(a + b)3 (a + b) = (a + b) () ()11、x2+3x + 2=()()12、已知 X2+px+12=(x 2)(x 6),則 p=.

46、三、解答題1、把下列各式因式分解。(1)x2 2x3(2)3y3 6y2+3y(3)a2(x2a)2a(x2a)2(4)(x 2) 2 x + 225m2-10mn + n2(6)12a 2b(x y) 4ab(y - x)(8)az+5a + 6(7)(x - 1) 2 (3x 2) + (2 3x)(9)x211x + 24(10)y212y 28(11)x2+4x5(12)y43y3 28y22、用簡便方法計算。(1 ) 9992+999(2) 2022542+256X3521997-19972 -1996 x 19983、已知：x + y=2 ,xy=1.求 X3y + 2x2y? +

47、 xy3 的值。四、探究創(chuàng)新樂園1、若 a b=2,a c=,求(b c)2+3(b c) + 2 的值。242、求證：11l1 11 10119=119X109經(jīng)典五:因式分解練習(xí)題一、填空題：1. 4aL + 8a2 + 24a =4a()；2. (a 3)(3 - 2a)=(3 a)(3 2a)；3. ab-3 = ab(a b)()；4. (1 - a)mn+ a- 1= (5. 0,0009k4 = ( )2s機7. (卷簡+ 1 = (8. 8zl- ( ) = (2x-)(+舐+9)；x3 - y2 -z2 + 2yz = k3 - ()=()()；10. 2az 10ay+ 5

48、by bx= 2a( ) b( ) = ( 乂 )；11. x3 + 3x 10 = (x )(x)；12. .若 m2 3m+2=(m+a)(m+b),則 a=, b二313113. 1 一 = (x- 1y)()；14. a2 be + at> a.c =+ ab)()=()()；15. 當m=時，X2 + 2(m3)x + 25是完全平方式.二、選擇題：1 .下列各式的因式分解結(jié)果中，正確的是A. a2b+ 7ab b = b(az + 7a)B. 3x2y 3xy 6y=3y(x 2)(x + 1)C. 8xyz 6x2y2 = 2xyz(43xy)D. -2a2+4ab 6ac

49、=-2a(a +2b 3c)2 .多項式m(n 2)mz(2 n)分解因式等于A. (n - 2)(m+mz)B. (n 2)(mm2)D. m(n 2)(mC. m(n 2)(m+1)3 .在下列等式中，屬于因式分解的是A. a(x y)+b(m+n)=ax + bm ay + bnB. a2 2ab + bz + 1 = (a b)z + 1C. 4a2+9b2= ( 2a+3b)(2a + 3b)D. X2 7x 8=x(x 7)84 .下列各式中，能用平方差公式分解因式的是A. a? + b2B. a? + b2C. a2 b2D. 一 ( a2) +b25.若9x2+mxy+16y2

50、是一個完全平方式，那么m的值是3333A.-12B.±24C. 12D.±126 .把多項式an+4 an+1分解得A. an(a4a)B. an-1 (ag 1)C. an+1 (a 1)(a2 a + 1)D. an+1 (a 1)(az + a + 1)7 .若 a2 + a= 1,則 a4+2a3 3a24a+ 3 的值為A. 8B. 7C. 10D. 128 .已知X2 + y2 + 2x 6y + 10=0,那么x, y的值分別為3434B. x=1A.x=1,y=3 y二3C. x=1, y=3D. x=1,y二39 .把(m2 + 3m)48(mz + 3m

51、)2 + 16 分解因式得A. (m+1)4(m+2)2B. (m1)2 (m2) 2 (m2 + 3m2)C. (m+4)2(m1)2D. (m+1)2 (m+2) 2 (m2 + 3m2)210 .把x2 7x 60分解因式，得A. (x10)(x + 6)B. (x+5)(x 12)C. (x + 3)(x 20)D. (x5)(x+ 12)11.把3x2 2xy 8y2分解因式，得A. (3x+4)(x 2)B. (3x4)(x + 2)C. (3x+4y)(x 2y)D. (3x4y)(x + 2y)12.把az + 8ab 33b2分解因式，得A. (a+11)(a 3)B. (a 11b)(a 3b)C. (a+11b)(a 3b)D. (a 11b)(a + 3b)13.把x4 3x2 + 2分解因式，得A.(x22)(x21)B.(x2 2)(x + 1)(x 1)C. (x2 + 2)(xz + 1)D. (x2 + 2)(x + 1)(x 1)14.多項式X2 ax bx + ab可分解因式為A. (x + a)(x + b)B. (x a)(x + b)C. (x a)(x b)D. (x+ a)(x + b)15 .一個關(guān)于x的二次三項式，其x2項的系數(shù)是1,常數(shù)項 是一12,且能分解因式，這