第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)ppt課件

1、第二節(jié)一、一、 偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算二二 、高階偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù) 偏 導(dǎo) 數(shù) 第九章 定義：設(shè)定義：設(shè) y = f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義， 當(dāng)自變量當(dāng)自變量 x 在在0 x處取得增量處取得增量 x)(0仍在該鄰域內(nèi)仍在該鄰域內(nèi)xx 相應(yīng)的函數(shù)也取得增量相應(yīng)的函數(shù)也取得增量)()(00 xfxxfy 如果比值的極限如果比值的極限xxfxxfxyxx )()(limlim0000存在存在則稱則稱 y = f (x) 在在 處可導(dǎo)，處可導(dǎo)， 0 x并稱該極限為并稱該極限為 y = f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)，記為處的導(dǎo)數(shù)，記為 即即 )

2、,(0 xf 0 xxxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)概念的回顧一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)概念的回顧問(wèn)題的提問(wèn)題的提出出一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義為函數(shù)增量與自變量增量的一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義為函數(shù)增量與自變量增量的 比如：一定量理想氣體的體積V，壓強(qiáng)P與絕對(duì)溫多元函數(shù)對(duì)某一個(gè)自變量的變化率引出了多元多元函數(shù)對(duì)某一個(gè)自變量的變化率引出了多元比值的極限，它刻畫了函數(shù)對(duì)于自變量的變化率。對(duì)比值的極限，它刻畫了函數(shù)對(duì)于自變量的變化率。對(duì)于多元函數(shù)來(lái)說(shuō)，雖然自變量的個(gè)數(shù)增多了，我們?nèi)杂诙嘣瘮?shù)來(lái)說(shuō)，雖然自變量的個(gè)數(shù)增多了，我們?nèi)匀豢梢钥紤]函數(shù)對(duì)某一個(gè)自變量的變化率，也即是在然可以考慮函數(shù)對(duì)

3、某一個(gè)自變量的變化率，也即是在其中一個(gè)自變量發(fā)生變化，而其余自變量都保持不變其中一個(gè)自變量發(fā)生變化，而其余自變量都保持不變的情形下，考慮函數(shù)對(duì)于該自變量的變化率。的情形下，考慮函數(shù)對(duì)于該自變量的變化率。度度T之間存在著某種聯(lián)系，我們可以在等溫條件下，之間存在著某種聯(lián)系，我們可以在等溫條件下，考察體積對(duì)于壓強(qiáng)的變化率。考察體積對(duì)于壓強(qiáng)的變化率。函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)概念。函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)概念?？紤]二元函數(shù)考慮二元函數(shù) z = f ( x , y )z = f ( x , y ) 若將若將 y 固定看作常量），則它成為一個(gè)關(guān)于固定看作常量），則它成為一個(gè)關(guān)于 x 的的一元函數(shù)，可將其對(duì)一元函數(shù)，可將其對(duì) x 求

4、導(dǎo)。求導(dǎo)。同理，可定義同理，可定義 z = f ( x , y ) 關(guān)于關(guān)于 y 的偏導(dǎo)數(shù)。的偏導(dǎo)數(shù)。所以，所以，z = f ( x , y ) 關(guān)于關(guān)于 x , y 的偏導(dǎo)數(shù)，實(shí)際上就的偏導(dǎo)數(shù)，實(shí)際上就是兩個(gè)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)將其中一個(gè)變量固定，函是兩個(gè)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)將其中一個(gè)變量固定，函數(shù)則成為另一個(gè)變量的一元函數(shù)）數(shù)則成為另一個(gè)變量的一元函數(shù)）這個(gè)關(guān)于這個(gè)關(guān)于 x 的一元函數(shù)對(duì)的一元函數(shù)對(duì) x 的導(dǎo)數(shù)，稱為二元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，稱為二元函數(shù) z = f (x , y ) 關(guān)于關(guān)于 x 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法00yyxxxf ， . ),(001yxf 注意注意:),(00yxf

5、xxyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx,xz記為),(),(1yxfyxfzxx或,xf. ),(002yxf 0),(dd0yyyxfy 上述關(guān)于二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，可推廣到上述關(guān)于二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，可推廣到 n 元函數(shù)的情形。元函數(shù)的情形。例如：例如：u = f ( x , y , z ) xu,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy xzyxfzyxxfx ),(),(lim0 偏導(dǎo)數(shù)的求法偏導(dǎo)數(shù)的求法對(duì)對(duì) 求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，把求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，把 看成常數(shù)，對(duì)看成常數(shù)，對(duì) 求導(dǎo)；求導(dǎo)；xxy對(duì)對(duì) 求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，把求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，把 看成常數(shù)

6、，對(duì)看成常數(shù)，對(duì) 求導(dǎo)。求導(dǎo)。xyy（1）),(yxfz 對(duì)對(duì) 求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，把求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，把 看成常數(shù)，對(duì)看成常數(shù)，對(duì) 求導(dǎo)；求導(dǎo)；xxzy,對(duì)對(duì) 求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，把求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，把 看成常數(shù)，對(duì)看成常數(shù)，對(duì) 求導(dǎo)；求導(dǎo)；zx,yy（2）),(zyxfu 對(duì)對(duì) 求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，把求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，把 看成常數(shù)，對(duì)看成常數(shù)，對(duì) 求導(dǎo)。求導(dǎo)。yx,zz例例1 . 求求223yyxxz解法解法1:1:xz)2, 1 (xz解法解法2:2:) 2, 1(xz在點(diǎn)(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2

7、)23(yy72yz例例2. 設(shè)設(shè)，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 證證:xzyzxxzyxln1 例例3. 求求222zyxr的偏導(dǎo)數(shù) . 解解:xryryyxx yz求證,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry解解xzxyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx.|22yxy|)|(2yyyzyyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx0,0,2222yyxxyyxx00yxyz不存在不存在解解xxxfarctan2cos)1,(2 分析下列解法是否正確？分析下列解法是否正確？2x 2)()1,(xxxxf x2 2)(

8、)1,(yyxxf 0 ),(yxfy2x yxyarctan2sin2)(112cosyyxyxy2x yxyarctan2sin22cos)(2yyyxx)1,(xfy2x xarctan2 解解偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)求證:1pTTVVpTRVp證證:,VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp說(shuō)明說(shuō)明:(R 為常數(shù)) , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子與分母的商 !此例表明,整體記號(hào),例例6. 已知理想氣體的狀態(tài)方程已知理想氣體的狀態(tài)方程).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求設(shè)例如有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：、 求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處

9、的偏導(dǎo)數(shù)要用求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；定義求；解解0)0 , 0(yf同理可得0)0, 0()0,(lim)0 , 0(0 xfxffxx0 xxx0|0|lim0.),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22的偏導(dǎo)數(shù)求設(shè)yxfyxyxyxxyyxf例例 7 7解解,)0 , 0(),(時(shí)當(dāng)yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx,)()(22222yxxyy22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy,)()(22222yxyxx或由對(duì)稱性可得或由對(duì)稱性可得,)0 , 0(),(時(shí)當(dāng)yx按定義可知：按定義可知：xfxffxx)0 , 0()0

10、,(lim)0 , 0(0, 00lim0 xxyfyffyy)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0, 00lim0yy,)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222yxyxyxxyyyxfx.)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222yxyxyxyxxyxfy2 2 偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù)但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù). .偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù). .一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo) 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，0)0,(dd)0, 0(

11、xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy003、二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義、二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,),(),(,(00000上一點(diǎn)為曲面設(shè)yxfzyxfyxM如圖如圖),(,000yxfzyyM截此曲面得一曲線作平面過(guò)),(00yxfx則0),(0 xxxxdyxfd對(duì)即為切線xTM0軸的斜率x幾何意義幾何意義: :二、高階偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù)),(, ),(yxfyzyxfxzyx若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy則稱它們是z = f ( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù)

12、 . 按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx數(shù):純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)例如，例如，z = f (x , y) 關(guān)于關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)的三階偏導(dǎo)數(shù)為為3322)(xzxzxz = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階) (yyxznn1偏導(dǎo)數(shù)為11nnxz類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx

13、xyzyxz 22yxe22例例9. 求函數(shù)求函數(shù)yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此處此處,22xyzyxz混合偏導(dǎo)數(shù)一定相等嗎？混合偏導(dǎo)數(shù)一定相等嗎？yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24的二階偏導(dǎo)數(shù)及 0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(42

14、22224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx,),()()(00連續(xù)都在點(diǎn)和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx那么例如例如, 對(duì)三元函數(shù)對(duì)三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx說(shuō)明說(shuō)明:本定理對(duì) n 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (x , y , z) 連續(xù)時(shí), 有而初等(證明略) 結(jié)論：混合偏導(dǎo)數(shù)在連

15、續(xù)的條件下與求導(dǎo)次數(shù)無(wú)關(guān).問(wèn)題：具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？問(wèn)題：具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？定理例例10. 證明函數(shù)證明函數(shù)222,1zyxrru滿足拉普拉斯0222222zuyuxu證：證：xu22xu利用對(duì)稱性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論 定義; 記號(hào); 幾何意義 函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù) 混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)2. 偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法 求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義 求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求