對一道高考試題解法的探究中國多媒體教學(xué)學(xué)報中學(xué)數(shù)學(xué)

1、本文檔為精品文檔，如對你有幫助請下載支持，如有問題請及時溝通，謝謝支持!本文檔為精品文檔，如對你有幫助請下載支持，如有問題請及時溝通，謝謝支持!對一道高考試題解法的探究四川省蓬安中學(xué)蔣明斌1.引言2008年江西高考數(shù)學(xué)理科最后一題為：已知函數(shù) f(x)=r+-J+J-ax-, xw(0,+ 的).1 x .1 a ax 8當(dāng)a =8時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間;對任意正數(shù)a,證明：1cf(x)c2.第題不難，下面討論第題.考試結(jié)束后，考生都認(rèn)為第題太難，根本無從下手，閱卷后回饋的信息也證實(shí)了這一點(diǎn)，第題基本上 沒人做，屬于廢題.很多高中數(shù)學(xué)教師也認(rèn)為此題很難，參考答案沒出來之前，他們也不知道如何下

2、手，看到 參考答案后，覺得證明確實(shí)巧妙，但也只有競賽高手或不等式高手才想得到.一，8事頭上，右令c = x,b=，則abc = 8 ,問題化為：設(shè) a>0,b>0,c>0, abc=8,求證: ac(1)6(1)的背景應(yīng)當(dāng)是下面幾道競賽題：題1 (2004年西部數(shù)學(xué)奧林匹克最后一題)：求證：對任意正實(shí)數(shù) a,b,c都有(2)1 - b :二義!a2 b2 b2 c2c2a22題2 (2001年第42屆IMO第二題)：對任意正實(shí)數(shù) a,b,C ,證明abc 彳j+- 之 1(3)a2 8bcb2 8ca，c2 8ab題3 (2003年中國數(shù)學(xué)奧林匹克 第三題1)：給定正整數(shù)n(

3、n23),求最小的正數(shù) 九使得對于任何.二一一.n.Bi 0, (i =1,2,111, n)，只要 tan。tan2川 tan8n = 22,就有 cos國 + cos% +川 + cos8n « 兒.2注：n之3時，題3的答案為？u=n1 .特別地，當(dāng)n = 3時，令a = tan2 4 , b = tan2H2, c=tan283即得：已知 a >0,b >0,c>0, abc=8,則所以有數(shù)學(xué)老師發(fā)出了 江西卷最后一題太難，比聯(lián)賽加試題還難”的感嘆.此題也引起了著名數(shù)學(xué)家張景中院士的注意，張院士認(rèn)為此題難度較大，適宜競賽而不適合高考.命題者提供的參考答案看似

4、推理自然，但實(shí)際上做題者難以想到2 .這促使我們思考，此題真的難么？難在哪里呢？下面對此題的解法作些探討.2.解法探究2.1 減元，多元化為一元先看命題者的證題思路(其中對(1)右邊不等式的證明基本取自于題3命題人黃玉民對題 3的解答1):，一一、一，一一一. 111先將所證問題化為證明三元條件不等式(1),然后應(yīng)用放縮法，通過 -=+ -= + -= >,1c ,1a ,1b+ +來證明左邊不等式的；應(yīng)用1 <1 -a及1<1 一b一來證明右邊不等1c 1a 1b.1a 2(1 a) ,1b 2(1 b)式的.按這種思路給出的證明確實(shí)有些難，正如前面提到的張景中院士所言“看

5、似推理自然，但實(shí)際上做題者難以想到”.原題本來是一個二元問題，變成(1)則化成了三元問題(實(shí)質(zhì)上是求三元函數(shù)的值域問題)，這與學(xué)生熟悉的處理多元問題的減元策略正好背道而馳.一個很自然的思路是將 a看作常數(shù)(參數(shù))，化為求含參數(shù)的一元函數(shù)f(x)的值域問題，具體處理時須分兩步：第一步，先對固定的 a求出F(x) =+j-a,xw (0,十8)的值域，即得到F(x)的最大值(或最,1 x ax 81 1小上界)、取小值(或取大下界) 分力U為M(a)、m(a).第一1少,證明1<m(a) + 、M (a) + 12 2.1a1a對任意實(shí)數(shù)a都成立，這樣就把二元問題化為了一元問題，這種思路則是

6、學(xué)生所熟悉的.按這種思路又有兩種不同解法：證明1 (應(yīng)用導(dǎo)數(shù))：在求F(x)的值域之前，我們先對變量的范圍作優(yōu)化假設(shè)，記 勺二人2。，則 a2f ( x) = y + , + J= = i= + 1=+ t=,注意至U x a = 8,不妨設(shè)1 x 1 8/( ax) .1a . 1 x 1 , 2 / x 1ax,2, 2x w二 wa ,那么 a 2, x <4 0九 W2.xx11下面在0 <九W2的條件下，求 F(x)= . _+, xw (0' +笛)的值域J X ,1.2/x3133顯然，F(xiàn)'(x)與九2(1+x F X，X十九2 f的符號相同，又由 正

7、在(0,一)內(nèi)是增函數(shù)知，當(dāng)ti,t2A0時,3341ti2 -t2 與t1 12符號相同.所以，F(xiàn) '(x)與 g(x)=九3 (1 +x)x3(x +九2)(x W (0, F)441422224 1的符號相同，而 g(x) = K3 x3(九 2x3 £3x) = (代-x)(? +x -?x),注意到 0 c八 M2,22-2-21 11 14 1九3 +x3 >2v?x =2九3x3之九九3x3 =/x3 ,當(dāng)且僅x =九時取等號.所以，當(dāng) x =九時，g(x)= 0y F'(x)= Q 當(dāng) 0<x<兒時，g(x)> 0y F'

8、;(x)> Q 當(dāng)乂> 九時,g(x) <0u F'(x)< 0由此可知，F(xiàn)(x)在(0,M上是增函數(shù)，在九,)上是減函數(shù)，故當(dāng)x =，u時，F(xiàn)(x)2 _2,取最大值 Fg)= ,又 F(x)> limF x ) F, x(>) lim x < ),所以 1<F(x»r，即對.,1 -x 0x：/.0</87a <2 a >2,x>0,有1(6)11 ax :二ax1.1 x ax 8 一1應(yīng)用(5)左邊不等式有，f (x) = f +1 x應(yīng)用(5)右邊不等式知，要證 f(x)<2,只需證，當(dāng)a

9、22時，有 1-二 2,1.8/ a 1 a2 t2, 皿v t J8/ a,由 a2u 0<tW2, H (t) -/+ -(t 匚(0,2),則1 t -t2 881、，H (t) =3 r 匕與 h(t)=t2 8 21 t 2-(t-2)2t2 8 1 t (t28)(1 t)(t亡(0, 2)的符號相同，而當(dāng)0<t <2 時，h(t) <0u H '(t)<0,因此，H (t)在(0,2上是減函數(shù)，所以 H (t) < H (0) = 2 ,即(6)成立,故 f (x) <2.證明2 (不用導(dǎo)數(shù))：求F(x)的值域及證明(6)不用導(dǎo)數(shù)

10、，而通過平方、換元、分解等變形手段加以解 決.2 a 2/a 2 Ja .12/a(1 a)(1'2/a)令 u = J1 +a J1 +=2/a = J1+a+7/a+7,顯然 u 之41 + 2商？? /a +九2 =1+ 九，所以F2(x)=2、 12 人=(1九)f+ +1 ,又令uut u0<t ,則.3 1_2_22_1F (t) =G(t) =(1九)t +2t+1, 0<t < 11，t e (0,因 2 < 0 ,所以 G(t)在1 -1 1212-2當(dāng) 0九 <1 時，G(t)=(1九)(tr-) + - -1' -111一 4

11、_2(0,上是增函數(shù)，則 G(0) <G(t) <G()，即 1<G(t)W u 1 < F(x) <-=; 1' 1' 1. 1一,11-1,_ -1當(dāng)1 <九W2時，則, G(t)在(0,二上是增函數(shù)，則 G(0) <G(t) <G() 2 -11 1 1rr -42即 1 <G(t) <u 1 <F(x) R , 1 1當(dāng)兒=1時，G(t) =2t+1,tw(0, = ,所以1M6«)三6(1)=2,即此時F(x)的值域為(1,，2； 22綜上所述：對 0<87aM2,xA0,有 1C 十

12、J-ax- E , 2 =.1 x ax 818/ af (x) >1按證法1；要證f (x) <2 ,只需證(6),令J1 +而"a =v,由a之2u 1 <v < V3,則(6)等價于u lv(v+1)2 <41v2 -1 j+8 k 3v4 -2v3-9v2+18 a0u 2v2(v-1) + (v2-3)(v2-6) > 0, 由1 <v9J3知后一不等式顯然成立，所以(6)成立，故f(x)<2.注記1.證法2中求G(t)的值域，若用導(dǎo)數(shù)，可避免分類討論.因為G'(t)=2(1九2)t+1,由九W2,1一.1 一1有G&

13、#39;()=2九至0,又G'(0) =1 >0 ,因此，對0ctE ,有G'>0 ,所以G(t)在(0,上是 '1, 1'1142增函數(shù)，因而， G(0) <G(t) <G(),即 1 <G(t) < 仁 1 <F(x).'1' 1, ' 111注記2.應(yīng)用第二種方法可以很容易求出F(x)=一十.1,當(dāng) A 2時的值域.實(shí)際上作者在，x .12/x3給出的第725題：“設(shè)XA0,九為正常數(shù)，求函數(shù) A=-L+Jx的值域”已完全解決了這一問題,1 X X得到的結(jié)論為:當(dāng)0，uW2時，A的值域為（1

14、,=;當(dāng)2九3時，A的值域為（1,:當(dāng)。3時,A的值.12-15),然注記3:上面的證法雖然不是最最簡單的，其證明思路卻是最自然的.如果通過合情推理先猜出（ 后直接證明(5)可以使問題得到簡化.881 ax 11令 b =,九=vXb = J-,由 a 之2u 0M 九 M2,則 + J= ,+ ,ax a. 1 x ax 8, 1 x 1b .11211考慮極端的情形：當(dāng) x=b=K 時，,當(dāng) xt 0(x A0)時，_= + _=t1,1 x 、1 b . 1 J1 . x ,1b注意到當(dāng)0<九£2時，有 >1 ,可以猜測：當(dāng) x,b >0,九=jxb,0兒 M

15、2 時，有 1,1 x 1b 1 2證： 左邊 u (71 +x + 1 +b ) > (1 + x)(1 + b)u 2 + x +b +2J1 +x S +b >1+x+b+xbu 1+ 2小 + x + b + xb > xb ,而，1 +x +b +xb 之 J1 +2>/xb +xb = 1 + Vxb = 1 +%.只需證 1+2(1+九)a 九2u 九2-2 九一 3<0=(九+1)(八一 3) < 0 ,由0 <九M2知，上式顯然成立，所以(7)左邊的不等式成立.令t =J1 +xJ1 +b ,則，t = J1 + x + b+xb -

16、 J1+2>/xb + xb =1+ jxb =1 十九，則(7)右邊 =(1 + ； )(2 , x b 2、. 1 , x . 1 b) _ 4(1 , x)(1 b):=(1)(1 t2 - 2 2t) - 4t2 = ( ' -3)t2 2(1 ' )t - (, 1)( ' 2-1)-01.二(九3)(t-)t-(Z+1)<0,后一式顯然成立（這是因為由0<九W2有九一3<0及L1w九+1 ,由此及t之九+1有t（九+ 1）之0及 3- 2 1t -1 >0）,所以（7）左邊的不等式成立.3 - 2.2正難則反直接證明不容易時，我

17、們可以考慮用反證法證明，這里我們用反證法證明與原題等價的式.,v = ,w = =a =,1 a 1b 、1 c1, ,1,2 -1,b = -2 -1,a =111-1 節(jié) 一1 丁一1 二8u2v2w2(8)假設(shè)存在正數(shù)a,b,c滿足abc =8使（1）左邊的不等式不成立，即存在正數(shù)u,v,w滿足（8）但u+v + wW1.注意到 0<u,v, w<1,有 1+u>1u 至v+w 至 2jvW > 0 ,所以(1 -u)(1 u) (1 -u2u)2 (2 .vw)24vw e _ 1 , 4wu 1, 4uv, 同理，有 -1 > ,-2 -1 >-2-, uv v w w一 111/一1 /一1 /一14vw 4wu 4uv= 64,這與（8）矛盾，因此（1）左邊的不等式成立.假設(shè)存在正數(shù)a, b,c滿足abc =8使（1）右邊的不等式不成立，即存在正數(shù)u,v,w滿足（8/u + v + w2.注意到 0<u,v,w<1,有 0<1+u<2, 0 <1-u <v+w-1 =vw -(1-v)(1 -w) < vw ,所以10 :二-1u_ (1 -u)(1 u)一2u2vw，u同理，有c 1 / 2wu -1/ 2uv0 :二五一12