三角恒等變換導學案

1、學案22簡單的三角恒等變換導學目標：1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟練應用2能運用兩角和與差的三角公式進行簡單的恒等變換.回扣教林夯實基礎【自主梳理1二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) sin 2a =；(2) cos 2 a =- 1 = 1 -;k n nn(3) tan 2a =( a MH 坊且 a M k n+ 2.公式的逆向變換及有關變形sin 2 a(1) sina cos a =? COS a =；2sin a(2) 降幕公式： sin 2 a =, cos2 a =；升幕公式： 1 + COs a =, 1 COs a =；變形：1 ± sin 2 a

2、= sin 2 a + cos2 a ± 2sin a cos a =【自我檢測】1(2010 陜西 )函數f(x)= 2si nxcosx是) A.最小正周期為2 n的奇函數B.最小正周期為2 n的偶函數C.最小正周期為n的奇函數D.最小正周期為n的偶函數2.函數 f(x)=cos2x -2sin x:的最小值和最大值分別為A.3,1B. 2,233C.3,D.-2, -，2，23.函數f (x)=sinxcosx的最小值是)11A.1B.2C2D. 14 .(2011 清遠月考)已知A、B為直角:三角形的兩個銳角,則sinA sinB()1A.有最大值2，最小值o1B. 有最小值

3、1，無最大值C. 既無最大值也無最小值1D. 有最大值2，無最小值探究點一三角函數式的化簡【例1】 求函數y= 74sin xcos x + 4cos2x 4cos4x的最大值和最小值.變式遷移1(2011泰安模擬)已知函數f(x) =44cos x 2cos 2 x 1(1) 求f 辛的值； 當x |0, n 時，求g(x) = 2f(x) + sin 2 x的最大值和最小值.探究點二三角函數式的求值【例2】已知 sin( + 2 a ) sin( 4412a ) = 42sin 2 a + tan1tan 1的值. a變式遷移2(1)已知a是第一象限角，且 cos asin5，求13

4、9; cos的值.n 3 n 3 n n(2) 已知 cos( a + )=,< a V二-，求 cos(2 a +)的值.45224探究點三三角恒等式的證明【例3】(2011 蘇北四市模擬)已知sin(2 a+卩)=3sin卩，設tan a = x, ta n卩=y, 記 y = f (x).(1) 求證：tan( a + 卩)=2tan a ;(2) 求f (x)的解析表達式；(3) 若角a是一個三角形的最小內角，試求函數f(x)的值域.變式遷移3求證：sin 2 xsin x+ cos x 1sin x cos x+ 11 + cos X sin x轉化與化歸思想的應用【例】(12

5、分)(2010 江西)已知函數f(x)=當mi= 0時，求f(x)在區(qū)間n，3當tan a = 2時，f ( a )=，求m的值.5【答題模板】(1)當 m= 0 時，f(x)=(cos x 21 + Sinr sin x2 1 cos 2 x+ sin 2 x=sin x + sin xCOs x=廠sin j2x -4 + 1n 3 n3分由已知x |，得 2x 于 |0,4分所以sin2x-土 -#,1，5 分從而得f (x)的值域為0,6分2 f (x) = sin x+ sinmxcos (1 + m)cos 2 x + 2, 8 分2cos 2x1 cos 2 x 1+ s in

6、2mx cos 2 x由 tan acos 2 a2sin a cos a2tan a=2,得 sin 2 a = 22 =sin a + cos a 1 + tan a21 tan a2a2cos a2cos a2 sin a+ si n a 1 + tan3.10 分3 14311所以 5= 2 5+ 5 1+ m + 2，11 分解得m= 2.12分【突破思維障礙】三角函數式的化簡是指利用誘導公式、同角基本關系式、和與差的三角函數公式、二倍 角公式等，將較復雜的三角函數式化得更簡潔、更清楚地顯示出式子的結果.化簡三角函數 式的基本要求是：(1)能求出數值的要求出數值；(2)使三角函數式的

7、項數最少、次數最低、課堂小結角與函數的種類最少；(3)分式中的分母盡量不含根式等.1. 求值中主要有三類求值問題：(1) “給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看是很難的，但仔細觀察非 特殊角與特殊角總有一定關系，解題時，要利用觀察得到的關系，結合公式轉化為特殊角并 且消除非特殊角的三角函數而得解.(2) “給值求值”：給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題關 鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系.(3) “給值求角”：實質是轉化為“給值求值”，關鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數值結合該函數的單調區(qū)間求得角.2. 三角恒等變換的常用方法

8、、技巧和原則：（1）在化簡求值和證明時常用如下方法：切割化弦法，升幕降幕法，和積互化法，輔助元素法，“1 ”的代換法等.（2）常用的拆角、拼角技巧如：2 a = （ a+卩）+ （ a 卩）,a = （ a+卩）3 ， a = （ aa+ B f3、 f 小a、 a 口 a “ ，亠宀“3） + 3 , 一2 = a 2 +3 2，2疋"4 的二倍角等.（3）化繁為簡：變復角為單角，變不同角為同角，化非同名函數為同名函數，化高次為低次，化多項式為單項式，化無理式為有理式.消除差異：消除已知與未知、條件與結論、左端與右端以及各項的次數、角、函數名稱、 結構等方面的差異.（滿分：75分）

9、一、選擇題（每小題5分，共25分）1 . （2011 平頂山月考）已知）1A.31B. 32 .已知 tan( a +3 )13A.1813 B.223. （2011 石家莊模擬）已知)1A.21B.- 20< acos 2< n, 3sin 2 a = sintan，貝U cos( a n )等于1C.6D.7t其中c¥么 tana + -4 等于3C.221D67tD.0 ），則sin a的值為4.若f(x)= 2ta n2sin 1x x sin cos( )A.3B. 8為值的佗fHu貝一 X-C. 4,3D. 4,35. （2010 福建廈門外國語學校高三第二次

10、月考）在厶ABC中，若cos 2 B+ 3cos（ A+ C）+ 2 = 0,貝U sin B的值是題號12345答案1代2bWcFD. 1、填空題（每小題4分，共12分）36. （2010 全國I ）已知a為第二象限的角，且 sin a=：，貝U tan 2 a =57 .函數y= 2cos 2x + sin 2 x的最小值是 .(sin8 .若os 2 asin+ sin a的值為三、解答題(共38分)9. (12 分)化簡：(1)cos 20 ° cos 40 3 4cos 2 a + cos 4 a3 + 4C0S 2 a + COS 4 acos 60 ° cos

11、 80 ° ;10. (12分)(2011 南京模擬)設函數f(x) = 3sin求f (x)的最小正周期； 當 |0,于 時，求函數f(x)的最大值和最小值.11. (14 分)(2010 北京)已知函數 f(x) = 2cos 2 x + sin 2x 4cos x.(1) 求f (才)的值；(2) 求f (x)的最大值和最小值.答案自主梳理1. (1)2sina cos a2ta n a(3)1 tan aa ± cos a )2 自我檢測1 . C 2.C3.B2.(1)4.Dxcos x cos xsin(2)cos a1?sin 2 a2 2 2a sin a

12、2cos a1 cos 2 a(2)22sin a1 + COS 2 a22sin課堂活動區(qū)【例1】解題導引 化簡的原則是形式簡單，三角函數名稱盡量少，次數盡量低，最好不 含分母，能求值的盡量求值本題要充分利用倍角公式進行降幕，利用配方變?yōu)閺秃虾瘮担?重視復合函數中間變量的范圍是關鍵.24解 y= 7 4sin xcos x+ 4cos x 4cos x2 2=7 2sin 2 x+ 4cos x(1 cos x)=7 2sin 2 x+ 4cos2xsin 2x2 2=7 2sin 2 x+ sin 2x = (1 sin 2 x) + 6,Zmin由于函數z= (u 1)2+ 6在1,1中

13、的最大值為zmax= ( 1 1)2 + 6= 10，最小值為2=(1 1) + 6 = 6,故當sin 2 x= 1時，y取得最大值10,當sin 2 x= 1時，y取得最小值6.變式遷移1解(1)f(x)21 + cos 2 x 2cos 2 x 1cos 2x2cos22xcos 2 x2cos22x=2cos 2 x11 n12=2cos11 n丁 = 2cosn 3 n、T，T，對切函數通?；癁?cos 4 a2又a (_4,專)，故a 2sin 2 a + tan a1tan a=cos 2. 2 2sin a cos asin a cos a g(x) = cos 2 x + s

14、in 2 x=.2sin i2x+ .nn x 0, 2x + r 當 X=時，g(x)max=. n11 =尹n( + 4 a ) = cos 4 a = 4, ,當 x= 0 時，g( x) min= 1.【例2】 解題導引(1)這類問題一般是先化簡再求值；化簡后目標更明確;(2)如果能從已知條件中求出特殊值，應轉化為特殊角，可簡化運算，弦函數.,nn解 由 sin( + 2 a ) sin( 2 a )nn=sin( + 2 a ) cos( + 2 a )4 42cos 2 a=cos 2 a +7sin 2 a5 n2吩=cos §sin5_13,變式遷移2解(1) T a

15、是第一象限角，cos a sin a12sinna+ 4cos止i +sin a + cos a 2cos 2 a2sina + COS a2 : 2COS a Sin aCOS a sin a 51213 2141313 二-W a < n,2 2 'sin 2 an)=cos 24na cos sin 24n 7a H<一 n .4 4又 COs( a+寧)=3>0,45故可知 2 n < a + -4 <4 n,/ sin(45,從而 cos 2 a = sin(2na + 7)=2sin(na + 4)COs(na+R43=2 x ( 5) x 5

16、=2425.nsin 2 a = cos(2 a+三)2 n=1 2cos （ a +"4）3 27=1 2X （一）2=.25nJ2247 COS（2 a+才） =2（COS 2 a Sin 2 a ） = X （亦艮）31 .2=50 .例3】解題導引本題的關鍵是第（1）小題的恒等式證明，對于三角恒等式的證明，我們要注意觀察、分析條件恒等式與目標恒等式的異同，特別是分析已知和要求的角之間的關 系，再分析函數名之間的關系，則容易找到思路證明三角恒等式的實質就是消除等式兩邊 的差異，有目的地化繁為簡，左右歸一或變更論證對于第（2）小題同樣要從角的關系入手，利用兩角和的正切公式可得關系

17、第（3）小題則利用基本不等式求解即可.（1）證明 由 sin（2 a+3 ） = 3sin 卩，得 sin（ a + 卩）+ a =3sin（ a + 卩）a ,即 sin（ a+ 卩）cos a + cos（ a + 3 ）sin a = 3sin（ a + 卩）cos a 3cos（ a + 3 ）sina , si n（ a + 3 ）COS a = 2COS（ a + 3 ）sin a , tan（ a + 3 ） = 2tan a .ta n a + tan1 tan a tan2tana，即 1xy=2x，x-y=，即 f(x) =x21 + 2x故函數f (x)的值域為(0 ,解

18、 T角a是一個三角形的最小內角,11設 g( x) = 2x+ ,貝U g( x) = 2x+ x> 2 2(當且僅當 xx變式遷移3證明 因為左邊=2sin xcos xsin x+ cos x 1 sin x. cos x 12sin xcos x. 2 " 2sin x cos x 12sin xcos xsin 2x cos2x + 2cos x 12sin xcos x sin x2cos x + 2cos x 1 cos x sin x 1 + cos x1 cos x 1 + cos xsin x 1+ cos x2sin x1 + cos xsin x=右邊.所

19、以原等式成立. 課后練習區(qū)1 . D T 0< a < n, 3sin 2 a = sin a , 6si na cos a = sin a ,又t sina 工 0, coscos( a n ) = cos( n a ) = COS a,i 、,nn2. C 因為 a + 丁+ 3 = a + 3 ,44nini所以 a + 4 = ( a + 3 ) j 3 "4 .所以tantan a + 3 tan1 + tan a+ 33. B sin sin1T 2 = cos 21a =二.又T a41a =戶a = 1 2sin 2 a ,7t161 2sin -22co

20、s x4. B f(x) = 2tan x+= 2tan x +1sin xsin xsin xcos x sin 2 xn4f 12 = 8 sin "62由 cos 2 B+ 3cos( A+ C) + 2 = 0 化簡變形，得 2cos B 3cos B+ 1 = 0,1 B= §或 cos B= 1(舍).B=f.5. Ccos/ sin6.24解析所以所以因為a為第二象限的角，又 sin3a= 5，costan 24 sina,tan a =5 cos a2ta n aa = 1 tan 2 a2434,7. 1 ,2解析 T y= 2cos x + sin 2 x= sin 2 x +1 + cos 2 x2 x + 1 = 2sin j2x+"4 + 1,=sin 2 x + cos解析sin(2 x+n)= 1時，函數取得最小值1 -, 2.cos 2 asina"cos9.解cosa + sin2 . 2c