正四面體性質(zhì)及其應(yīng)用

1、口面體性質(zhì)及其應(yīng)用集團(tuán)標(biāo)準(zhǔn)化工作小組 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#AB正四面體的性質(zhì)及其應(yīng)用正四面體是四個(gè)面都是等邊三角形的凸多面體，它是一個(gè)很規(guī)則的幾何體，因此具 有一些特有的性質(zhì)，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為則(1)(4)全面積5全=:小/ ；.局 h= 3。/體積V=/ / ；對(duì)棱中點(diǎn)的連線是對(duì)棱的公垂線，其長(zhǎng)為仁相鄰兩面所成的二面角c?=arccos! ；(6)棱與其相交的面所成的角=arctan2 ；(7)正四面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合，內(nèi)切球半徑廣二外接球半徑R二卜，：R=1 ： 3 ；(8)正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值(等于正四面體的高)o

2、將正四面體置于正方體中，結(jié)合正方體的性質(zhì)以上諸性質(zhì)容易得到證明?？疾檎?面體的性質(zhì)多出選擇或填空題，熟記以上八條性質(zhì)對(duì)快速求解相關(guān)問題有很大幫助，例 如：例1 ：已知半徑為1的球面上有A、B、C三個(gè)點(diǎn)，且它們之間的球面距離都為全則球心。到平面A8C的距離為()A*B白4D軍解析：如右圖所示，OA=OB=OC=又A8=BC = CA = g,球的半徑=1/. ZAOB=ZBOC=ZCOA 則 AB=BC=CA=1所以O(shè)-A8C為棱長(zhǎng)為1的正四面體，則由正四面體的性質(zhì)得球心。到平面A8C的距離即其高為七二答案B。例2: （05年湖南省十所示范校聯(lián)考）已知棱長(zhǎng)為。的正四面體A8CO有內(nèi)切球 。，經(jīng)

3、過(guò)該棱錐A/。的中截面為則。到平面M的距離為（）aylba/6yl2A t B ra C D 2V4O1Zo解析：直接運(yùn)用正四面體的性質(zhì)，內(nèi)切球的半徑中截面到底面的距離為高的一半平” 則。到平面M的距離為平""-聆4=噌” 因此選co例3: （06年陜西卷）將半徑為R的四個(gè)球兩兩相切地放在桌面力 則上面一個(gè)球的球心到桌面的距離為/ 解析：注意分析四個(gè)球的球心的位置關(guān)系。設(shè)四個(gè)球心/扁父口 c4 B、C、D,因?yàn)樗膫€(gè)球兩兩相切，則A5CO是棱長(zhǎng)為2R的正四面體，A到面8。的距離為半尺則上面一個(gè)球的球心A到桌面的距離為R+斗Jf= （1+斗2） R。例4: （06年山東卷）如圖

4、1,在等腰梯形力中，AB=2DC=2t乙E為AC的中點(diǎn)，將AOE與石C分別沿£7人EC向多丁起.使冬C后合于點(diǎn)P,則 三棱錐P-OCE的外接球的體積為（）/ / A % B 凈 C % D :£ b解析：三棱錐P-OCE實(shí)質(zhì)上是棱長(zhǎng)為1的正四面體，則其外接球的體積為例5: （06年湖南卷）棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都彈T正上，若過(guò)該球 球心的一個(gè)截面如圖1,則圖中三角形（正四面體的截面）/ M/A孚B吟C啦 D 73解析：由截面圖形可知，正四面體恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)在球面上， 且截面圓經(jīng)過(guò)其外接球的球心（正四面體的中心），由 正四面體的對(duì)稱性可知M為A8對(duì)棱CO的中點(diǎn)，M到AB的距離即為正四面體對(duì)棱公垂線的長(zhǎng)堂«所以Su8C=gx2x娘 x2 二娘。例6: （07年安徽卷）半徑為1的球面上的四點(diǎn)A、B、C、。是正四面體的頂點(diǎn)，則A與8兩點(diǎn)間的球面距離為（）A arccos(-)B arccos(-)C arccose|)D arccos(-；)解析：由題意可知，此球。為正四面體的外接球，且外接球的半徑為1,則正四面2 72x1x1-所以乙AOB二arccos( -體