線性代數(shù)課件第一章第一節(jié)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第一頁，共52頁。 該課程的主要內(nèi)容有：行列式、矩陣(j zhn)、線性方程組、向量的線性相關(guān)、相似矩陣(j zhn)及二次型。1231nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 123210 123412341234123422244622436979xxxxxxxxxxxxxxxx , , , , ,，123127214110 2221235yyy第1頁/共51頁第二頁，共52頁。課 本工程數(shù)學(xué)(shxu)-線性代數(shù)（第五版）第2頁/共51頁第三頁，共52頁。參 考 書第3頁/共51頁第四頁，共52頁。30%70%AB 總總評評= =第4頁/共51頁第五頁，共52頁。線性代數(shù)(x

2、in xn di sh)用矩陣(j zhn)解方程組用方程組解矩陣(j zhn)判斷解的存在性用有限個(gè)解表示所有解行列式矩陣及其運(yùn)算解方程組向量的線性相關(guān)性1-4章相似矩陣及二次型第5章求特征值，特征向量對角化，化簡實(shí)二次型第1章第2章第3章第4章第5頁/共51頁第六頁，共52頁。 線性代數(shù)比其他大學(xué)數(shù)學(xué)課程具有更大的潛在(qinzi)價(jià)值. 應(yīng)用(yngyng)一、石油勘探 當(dāng)船只勘查海底石油儲(chǔ)量時(shí)，船上的計(jì)算機(jī)每天都要計(jì)算數(shù)千個(gè)線性方程組.方程組的震動(dòng)(zhndng)數(shù)據(jù)從氣槍發(fā)射所產(chǎn)生的水下沖擊波中獲取.沖擊波經(jīng)海底巖石反射，被連接在尾船數(shù)英里外的地震探波儀接受并測量.第6頁/共51頁第

3、七頁，共52頁。 當(dāng)今，很多重要的管理決策建立在含有上百個(gè)變量的線性規(guī)劃模型上.例如，營養(yǎng)食譜問題、列車最優(yōu)調(diào)度問題、排課表(kbio)問題等等. 應(yīng)用(yngyng)二、線性規(guī)劃第7頁/共51頁第八頁，共52頁。 應(yīng)用(yngyng)三、電網(wǎng) 工程師利用仿真軟件設(shè)計(jì)電路以及包含百萬(bi wn)晶體管的微芯片.這類軟件離不開線性代數(shù)方法和線性代數(shù)方程.第8頁/共51頁第九頁，共52頁。 應(yīng)用(yngyng)四、經(jīng)濟(jì)學(xué)和工程學(xué)中的線性模型 列昂惕夫 美籍俄裔著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家，1906年8月日生于俄國彼得堡，1925年畢業(yè)(b y)于列寧格勒大學(xué)經(jīng)濟(jì)系。1928年獲德國柏林大學(xué)哲學(xué)博士學(xué)位。 194

4、9年夏末，哈佛大學(xué)的瓦.列昂惕夫教授小心翼翼的將最后一張穿孔卡片插入學(xué)校(xuxio)的Mark計(jì)算機(jī).這些卡片存儲(chǔ)著美國勞工統(tǒng)計(jì)署歷時(shí)兩年緊張工作所得的250000多條數(shù)據(jù).列昂惕夫把美國的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)分成500個(gè)“部門”，如：煤炭工業(yè)、汽車工業(yè)、通訊業(yè)等.針對每個(gè)部門給出了一個(gè)線性方程，描述該部門如何向其他部門分配產(chǎn)出.第9頁/共51頁第十頁，共52頁。但是，當(dāng)時(shí)Mark還不能處理500個(gè)未知量、500個(gè)方程組的方程組.所以他把這個(gè)問題提煉(tlin)成42個(gè)未知量、42個(gè)方程的方程組. 最后(zuhu)，經(jīng)過56小時(shí)的持續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)， Mark終于求出了一個(gè)解. 列昂惕夫開啟了通往經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)模型一

5、個(gè)新時(shí)代的大門，并于1973年榮獲諾貝爾獎(jiǎng).從那時(shí)起，其他領(lǐng)域(ln y)的研究者也開始使用計(jì)算機(jī)分析數(shù)學(xué)模型. 常用的數(shù)學(xué)軟件有Matlab、Maple、Mathematica、SAS、Mathcad.第10頁/共51頁第十一頁，共52頁。123412341234123422244622436979xxxxxxxxxxxxxxxx , , , , ,第11頁/共51頁第十二頁，共52頁。解方程組行列式唯一(wi y)解矩陣(j zhn)及初等變換無窮(wqing)多解或無解向量的線性相關(guān)解的結(jié)構(gòu)相似矩陣及二次型綜合應(yīng)用第12頁/共51頁第十三頁，共52頁。第13頁/共51頁第十四頁，共52頁

6、。 早在1683年和1693年,日本(r bn)數(shù)學(xué)家關(guān)孝和和德國數(shù)學(xué)家萊 布尼茲就分別獨(dú)立地提出了行列式的概念.之后很長一段時(shí)間內(nèi),行列式主要應(yīng)用于討論線性方程組.約160年后，行列式發(fā)展成為矩陣的一個(gè)獨(dú)立的理論分支.第14頁/共51頁第十五頁，共52頁。第15頁/共51頁第十六頁，共52頁。用消元法解二元線性方程組用消元法解二元線性方程組11112212112222,.a xa xba xa xb (1)(2) :122a 1112222221221,aaaxxb aa :212a 2112221221212,a xaaxbaa2x兩兩式式相相減減消消去去，得得11221221112212

7、2();a aa axb aa b122122111221221b aa bxa aa a 第16頁/共51頁第十七頁，共52頁。1x類類似似地地，消消去去，得得112212212112121(),a aa axa bb a112212210a aa a當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，方程組的解為方程組的解為，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程組的系數(shù)由方程組的系數(shù)(xsh)(xsh)確定確定. .11112212112222,.a xa xba xa xb 11122122aaaa為為簡簡潔潔，引引進(jìn)進(jìn)記記號(hào)號(hào)：21a 11a 第17

8、頁/共51頁第十八頁，共52頁。第二第二列列ija 稱稱為為行行列列式式的的元元素素第一第一行行112212211112212211122122.aa aa aaaaaaaa：將將稱稱作作行行列列式式，它它是是一一種種特特殊殊的的運(yùn)運(yùn)算算，即即定定二二階階義義11a12a22a12a主對角線副對角線2211aa 1221.a a 對角線法則對角線法則(fz):(fz):第18頁/共51頁第十九頁，共52頁。11112212112222,.a xa xba xa xb 12bb .,22221211212111bxaxabxaxa對于(duy)二元線性方程組11122122,aaaaD 若若 記

9、記系數(shù)行列式1,D 1222aa122111221222121b aa baaxaa 方方程程組組的的解解 .D 1D11221221.a aa a12212 2b aa b第19頁/共51頁第二十頁，共52頁。11112212112222,.a xa xba xa xb 12bb11122122aaaaD 2,D 1121aa將下式稱為將下式稱為(chn wi)二元線性方程組二元線性方程組的公式解的公式解:1122221111221221,babaxaaaDaD1112122111212222.ababDxaaaaD112121112212122a bb axa aa a 方方程程組組的的解

10、解 .D 2D11 2121a bb a第20頁/共51頁第二十一頁，共52頁。12123212,21.xxxx 求求解解二二元元線線性性方方程程組組解解D 2 2313 ( 4) , 07 1D 12( 2)14 ，2D 32421 ，11DxD, 2714 DDx22 . 3721 3212121 121第21頁/共51頁第二十二頁，共52頁。1212511,1.xxxx 求求解解二二元元線線性性方方程程組組解解5111D 5( 1) 60,111111D 12, 251111D 6, DDx11 122,6DDx22 61.6 第22頁/共51頁第二十三頁，共52頁。對一階行列式規(guī)定對一

11、階行列式規(guī)定(gudng)如下：如下：aa 例如例如(lr)：22, 22. 第23頁/共51頁第二十四頁，共52頁。 對于(duy)三元線性方程組 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa111213212223313233aaaaaaaaDa 定定義義行行列列三三階階式式，三、三階(sn ji)行列式三行三列（九個(gè)數(shù)）共同參與三行三列（九個(gè)數(shù)）共同參與(cny)的一種的一種運(yùn)算運(yùn)算.第24頁/共51頁第二十五頁，共52頁。333231232221131211aaaaaaaaaD 323122211211aaaaaa 1123

12、32122133132231.a a aa a aa a a三階(sn ji)行列式的計(jì)算:322113312312332211aaaaaaaaa D1 1、沙路法、沙路法: :三階(sn ji)行列式有6項(xiàng)第25頁/共51頁第二十六頁，共52頁。332211aaa .322311aaa 注意: 對角線或平行對角線上三元素(yun s)的乘積冠以正號(hào)，322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 副對角線或者平行副對角線上三元素(yun s)的乘積冠以負(fù)號(hào)行標(biāo)按照從小到大排列說明 三階行列式包括3!項(xiàng),每一項(xiàng)都是位于不同行,不同列的三個(gè)元素的乘積,其中三項(xiàng)為正

13、,三項(xiàng)為負(fù).333231232221131211aaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa第26頁/共51頁第二十七頁，共52頁。 3、對角線法則只適用于二、三階行列式。還可以用展開法計(jì)算三階行列式:111213212223313233aaaDaaaaaa 11a 22233233aaaa12a 21233133aaaa13a 21223132aaaa第27頁/共51頁第二十八頁，共52頁。124221342D 計(jì)計(jì)算算三三階階行行列列式式例例2 解一：解一：按對角線法則按對角線法則(fz)，有有 D1 2 (

14、 2) 2 1 ( 3) ( 4) ( 2) 4 ( 3)2 ( 4) ( 2) 2 ( 2) 4 1 1 46322448 14 第28頁/共51頁第二十九頁，共52頁。124221342D 計(jì)計(jì)算算三三階階行行列列式式例例2 解二：解二：利用利用(lyng)展開展開法法1 2142 2 2132 2234 D 124 ( 4) 8 2 74 ( 2) 8148 14 第29頁/共51頁第三十頁，共52頁。211123049xx 求求解解方方程程例例3 3解解方程方程(fngchng)左左端端D 23x4x 18 12 9x 22x 256xx 2560 xx即即(2)(3)0 xx 解解得

15、得：23xx 或或第30頁/共51頁第三十一頁，共52頁。01) ,00.101aba bba滿滿足足什什么么關(guān)關(guān)系系時(shí)時(shí)，有有1422)303245D 求求行行列列式式的的值值。第31頁/共51頁第三十二頁，共52頁。00101abba 01) ,00.101aba bba滿滿足足什什么么關(guān)關(guān)系系時(shí)時(shí)，有有答 案 解：解：220ab 若若要要，2a 2b 0.ab 則則第32頁/共51頁第三十三頁，共52頁。練練 習(xí)習(xí)1422)303245D 求求行行列列式式的的值值。D 0解：解：( 2) ( 3) ( 4) 2 3 4 0 1 ( 3) 4 3 ( 4) 5 1260 72 第33頁/共

16、51頁第三十四頁，共52頁。111122133211222233311322312333,;a xa xa xa xa xa xa xa xa xbbb ,3332323222131211aabaabaabD ,3333123221131112abaabaabaD 的系數(shù)的系數(shù)(xsh)行列式行列式1112132122233132330aaaDaaaaaa ，.3323122221112113baabaabaaD 123bbb123bbb則三元(sn yun)線性方程組的解為:,11DDx ,22DDx .33DDx 123bbb證明見第七節(jié)-克萊默法則第34頁/共51頁第三十五頁，共52頁。

17、例4 解線性方程組12312312322,231,0.xxxxxxxxx 解由于(yuy)方程組的系數(shù)行列式D 131 1 211 121 6 2 1 3 4 5 , 0 1D 131 211 210 2 1 6 2 5, 第35頁/共51頁第三十六頁，共52頁。2D 131 210 121 1 6 1 4 10 D 131 211 121 3D 210 211 121 2 4 2 1 5 故方程組的解為:, 111 DDx, 222 DDx. 133 DDx第36頁/共51頁第三十七頁，共52頁。練習(xí)練習(xí)(linx)(linx)1232312234,3,34.xxxxxxx 解解方方程程組組

18、解：解： 方程組的系數(shù)(xsh)行列式為123011130D 2332 1432311430D 82712 12 11 第37頁/共51頁第三十八頁，共52頁。2130401134D 494 1 3120143413D 46 49 7 于是(ysh)，方程組的解為:115.5,DxD 220.5,DxD333.5DxD第38頁/共51頁第三十九頁，共52頁。作業(yè)作業(yè)(zuy)(zuy)：3232頁頁 習(xí)題習(xí)題(xt)(xt)一一 1 12312312312312312313121231232323453441.3522. 3778377646738353. 22974.52520 xxxxxx

19、xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 補(bǔ)補(bǔ)充充題題：計(jì)計(jì)算算下下列列方方程程組組：第39頁/共51頁第四十頁，共52頁。第40頁/共51頁第四十一頁，共52頁。 在一個(gè)排列 中，若數(shù) ，則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序. nstiiiii21stii 例如例如(lr) 排列排列32514 中，有中，有5個(gè)逆序個(gè)逆序 定義定義(dng(dngy)y) 我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序, ,n 個(gè)不同個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序標(biāo)準(zhǔn)次序. .排列的逆序數(shù)3 2 5 1 43 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序?yàn)槟嫘驗(yàn)?4，51，2

20、1，31，32第41頁/共51頁第四十二頁，共52頁。定義 一個(gè)(y )排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).例如例如(lr)(lr)1 6 3 5 2 4 8 7 中逆序?yàn)槟嫘驗(yàn)槟嫘驍?shù)逆序數(shù)(xsh)為為887，54，64，52，32，62，65，63第42頁/共51頁第四十三頁，共52頁。計(jì)算(j sun)排列逆序數(shù)的方法：逆序數(shù)(xsh)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)(u sh)的排列稱為偶排列.排列的奇偶性從后向前數(shù)，個(gè)數(shù)求和例如例如5級排列23154，(23154)t1 02 0 0 3 該排列為奇排列。第43頁/共51頁第四十四頁，共52頁。例例1 1 計(jì)算下列排列的逆序數(shù)

21、計(jì)算下列排列的逆序數(shù)(xsh)(xsh)，并討，并討論它們的奇偶性論它們的奇偶性. .(1)217986354解解453689712544311 t18 此排列(pili)為偶排列(pili).54 4311 第44頁/共51頁第四十五頁，共52頁。(2)(1)(2)321n nn 解(1),2n n 當(dāng)當(dāng) 時(shí)為偶排列；時(shí)為偶排列；14 ,4 kkn當(dāng) 時(shí)為奇排列.34 , 24 kkn(1)tn(2)21n(1) (2)3 2 1n nn1n 2n 3n 21第45頁/共51頁第四十六頁，共52頁。練練 習(xí)習(xí)計(jì)算下列排列的逆序數(shù)，并討論計(jì)算下列排列的逆序數(shù)，并討論(toln)(toln)它們它們的奇偶性的奇偶性. .(2 ) 1 (21) 2 (22) 3 (23)(1)kkkkkk第46頁/共51頁第四十七頁，共52頁。t (11)(1)22kkk2k 當(dāng)