第二節(jié)晶格及其平移對稱性

1、School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics一、晶體結構及基元（一、晶體結構及基元（crystal structure and basis）（一）常見的晶體結構（一）常見的晶體結構（common crystal structures）（二）基元和晶體結構（二）基元和晶體結構（basis and crystal structure）（三）簡單格子和復式格子（三）簡單格子和復式格子（simple and compound lattice ）1.2 1.2 晶格及其平移對稱性晶格及其平移對稱性（lattice and trans

2、lation symmetry）二、原胞和基矢（二、原胞和基矢（primitive cell and primitive translation vectors）（一）原胞和基矢（一）原胞和基矢（二）晶胞或慣用原胞（二）晶胞或慣用原胞( (unit cell and conventional unit cell) ) （三）（三）Wigner-SeitzWigner-Seitz原胞原胞 ( Wigner-Seitz primitive cell )三、常見晶體結構的原胞和晶胞三、常見晶體結構的原胞和晶胞（primitive cell and unit cell of common crysta

3、l structures ） （一）簡立方（一）簡立方（simple cubic） （二）體心立方（二）體心立方（body-centered cubic） （三）面心立方三）面心立方（face-centered cubic）本節(jié)思路：首先給出常見的晶體結構，然后從晶格的周期性出發(fā)，介紹布拉菲本節(jié)思路：首先給出常見的晶體結構，然后從晶格的周期性出發(fā)，介紹布拉菲格子、原胞、晶胞、等概念。格子、原胞、晶胞、等概念。四、配位數和致密度四、配位數和致密度School of Physics, Northwest UniversitySolid State PhysicsSchool of Physics,

4、 Northwest UniversitySolid State PhysicsSchool of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics一、一、 晶體結構及基元（晶體結構及基元（crystal structure and basis）1.2 1.2 晶格及其平移對稱性晶格及其平移對稱性（lattice and translation symmetry）（一）常見的晶體結構（一）常見的晶體結構 晶體中原子的具體排列形式稱為晶體結構晶體中原子的具體排列形式稱為晶體結構。 不同晶體原子規(guī)則排列的具體形式如果是不同的，則它們具有不同的晶不同晶

5、體原子規(guī)則排列的具體形式如果是不同的，則它們具有不同的晶體結構；體結構； 若晶體的原子排列形式相同，只是原子間的距離不同，則它們具有相同若晶體的原子排列形式相同，只是原子間的距離不同，則它們具有相同的晶體結構。的晶體結構。下面是常見的幾種晶體結構：下面是常見的幾種晶體結構：School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics原子球的正方排列原子球的正方排列簡單立方晶格的典型單元簡單立方晶格的典型單元 把晶格設想成原子球的規(guī)則堆積，在一個平面內的最簡單的堆積便是把晶格設想成原子球的規(guī)則堆積，在一個平面內的最簡單的堆積便是正方排列，如

6、下圖所示，任一個原子球與同一平面內的四個最近鄰相切。正方排列，如下圖所示，任一個原子球與同一平面內的四個最近鄰相切。如果把這樣的原子層疊起來，各層的球完全對應，就形成所謂的簡立方結如果把這樣的原子層疊起來，各層的球完全對應，就形成所謂的簡立方結構。用黑原點代表原子球就得到簡立方的結構單元。構。用黑原點代表原子球就得到簡立方的結構單元。 對于簡立方結構的晶體，原子球只分布在立方體的頂角上，而且立方對于簡立方結構的晶體，原子球只分布在立方體的頂角上，而且立方邊的邊長等于一個原子球的直徑。邊的邊長等于一個原子球的直徑。School of Physics, Northwest UniversitySo

7、lid State Physics用圓點表示原子的位置用圓點表示原子的位置 得到簡單立方晶格結構得到簡單立方晶格結構School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics體心立方晶格的堆積方式體心立方晶格的堆積方式體心立方晶格的典型單元體心立方晶格的典型單元 如果把簡立方堆積的原子球均勻地散開一些，在原子球的空隙內放一個全如果把簡立方堆積的原子球均勻地散開一些，在原子球的空隙內放一個全同的原子球，使空隙內的原子球與最近鄰的同的原子球，使空隙內的原子球與最近鄰的8 8個原子球相切，便構成了體心立方個原子球相切，便構成了體心立方結構。下

8、圖分別是體心立方的堆積方式和結構單元。結構。下圖分別是體心立方的堆積方式和結構單元。 體心立方晶格結構的晶體，除了在立方體的頂角位置各有一個原子以外，體心立方晶格結構的晶體，除了在立方體的頂角位置各有一個原子以外，在體心位置還有一個原子，體對角線的長度等于兩個原子球的直徑。在體心位置還有一個原子，體對角線的長度等于兩個原子球的直徑。 School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics 體心立方晶格體心立方晶格 體心立方晶格結構體心立方晶格結構 原子球排列形式原子球排列形式 體心立方原子球排列方式表示體心立方原子球排列方式表示 A

9、B AB AB School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics體心立方晶格中，體心立方晶格中，A層中原子球的距離等于層中原子球的距離等于AA層之間的層之間的距離，距離，A層原子球的間隙層原子球的間隙 031. 0r0r 原子球的半徑原子球的半徑 體心立方晶格體心立方晶格 結構的金屬結構的金屬Li、Na、KRb、Cs、Fe School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics體心立方晶格結構金屬體心立方晶格結構金屬 IronSchool of Physics, N

10、orthwest UniversitySolid State Physics3 3、密堆積結構晶體、密堆積結構晶體 簡立方和體心立方結構都不是原子球最緊密的堆積方式。簡立方和體心立方結構都不是原子球最緊密的堆積方式。 原子球如果要構成最緊密的排列，每一個原子球都必須與同平原子球如果要構成最緊密的排列，每一個原子球都必須與同平面內相鄰的面內相鄰的6 6個原子球相切。原子球在一個平面內最緊密的排列方個原子球相切。原子球在一個平面內最緊密的排列方式，稱為密排面。把密排面疊起來可以形成原子最緊密堆積的晶格。式，稱為密排面。把密排面疊起來可以形成原子最緊密堆積的晶格。密堆積密堆積 要形成密堆積，只要把一

11、要形成密堆積，只要把一層的球心對準另一層的球層的球心對準另一層的球隙即可。隙即可。School of Physics, Northwest UniversitySolid State PhysicsCoordination number (CN) = 6. This is the maximum possible for 2D packing.School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics最緊密的堆積可以形成兩種不同最緊密的晶格排列最緊密的堆積可以形成兩種不同最緊密的晶格排列六角密排和立方密排。六角密排和立方密排。在堆積時，

12、如果第二層密排面上的原子球的球心對準前一層的球隙，第三層的在堆積時，如果第二層密排面上的原子球的球心對準前一層的球隙，第三層的原子球心對準第二層的球隙并和第一層的原子球心一一對準，典型的結構單元原子球心對準第二層的球隙并和第一層的原子球心一一對準，典型的結構單元如圖所示如圖所示, ,這樣的得到晶格，稱為六角密排晶格（這樣的得到晶格，稱為六角密排晶格（hexagonal close-packed； hcp）。）。六角密排六角密排（hexagonal close packing; ABAB）六角密排晶格的典型結構單元六角密排晶格的典型結構單元School of Physics, Northwest

13、 UniversitySolid State Physics原子球排列原子球排列 AB AB AB 六角密排晶格結構晶體六角密排晶格結構晶體Be、Mg、Zn、Cd鈹、鈹、 鎂、鎂、 鋅、鋅、 鎘鎘School of Physics, Northwest UniversitySolid State PhysicsHexagonal close packed structures (hcp)hcpbccSchool of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics在堆積時，如果第二層密排面上的原子球的球心對準前一層的球隙，第在堆積時，如果第二層

14、密排面上的原子球的球心對準前一層的球隙，第三層的原子球心對準第二層的其他三個未被第一層占據的球隙，第四層三層的原子球心對準第二層的其他三個未被第一層占據的球隙，第四層原子球心與第一層的原子球心一一對準，第五層與第二層對應，則得到原子球心與第一層的原子球心一一對準，第五層與第二層對應，則得到如圖所示的立方密排晶格（如圖所示的立方密排晶格（cubic close-packed；ccp），即形成面心立方），即形成面心立方（face-centered cubic；fcc）晶體結構。）晶體結構。 立方密排立方密排 (cubic close packing； ABCABC）面心立方晶格的典型單元面心立方晶

15、格的典型單元School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics 面心立方晶格面心立方晶格B層原子球排列層原子球排列C層原子球排列層原子球排列School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics原子球排列原子球排列 ABC ABC ABC 層的垂直方向是對稱性為層的垂直方向是對稱性為3的軸，是立方體的空間對角線的軸，是立方體的空間對角線面心立方晶格結構晶體面心立方晶格結構晶體 Cu、Ag、Au、AlSchool of Physics, Northwest Univer

16、sitySolid State PhysicsA closed-packed structure is created by placing a layer of spheres B on top of identical close-packed layer of spheres A. There are two choices for a third layer. It can go in over A or over C. If it goes in over A the sequence is ABABAB. . . and the structure is hcp. If the t

17、hird layer goes in over C the sequence is ABCABCABC. . . and the structure is fcc.hcpSchool of Physics, Northwest UniversitySolid State PhysicsBuild up ccp layers (ABC packing)Add construction lines - can see fcc unit cellc.p layers are oriented perpendicular to the body diagonal of the cubeSchool o

18、f Physics, Northwest UniversitySolid State Physics4 4 金剛石結構金剛石結構（diamond structure）：）： 金剛石晶體由碳原子組成，其金剛石晶體由碳原子組成，其原子的排列方式稱金剛石結構。如原子的排列方式稱金剛石結構。如圖圖1.16 1.16 所示，碳原子除了占據立方所示，碳原子除了占據立方體的頂角和面心位置外，在四條空體的頂角和面心位置外，在四條空間對角線上還有間對角線上還有4 4個原子，其中兩個個原子，其中兩個碳原子處于不相鄰的兩條空間對角碳原子處于不相鄰的兩條空間對角線的線的1/41/4處，另兩個原子處于剩下的處，另兩個原

19、子處于剩下的兩條空間對角線的兩條空間對角線的3/43/4處。所以，處。所以，金金剛石結構是由兩個碳原子構成的面剛石結構是由兩個碳原子構成的面心立方子晶格沿著立方對角線的方心立方子晶格沿著立方對角線的方向彼此移動對角線長度的向彼此移動對角線長度的1/41/4套構而套構而成。成。金剛石晶格結構的典型單元金剛石晶格結構的典型單元School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics金剛石晶格結構金剛石晶格結構 碳原子構成的一個面心立方原胞內還有四個原子碳原子構成的一個面心立方原胞內還有四個原子 分別位于四個空間對角線的分別位于四個空間對角

20、線的 14處處 金剛石結構的半導體晶體金剛石結構的半導體晶體Ge、Si等等 一個碳原子和其它四個碳一個碳原子和其它四個碳 原子構成一個正四面體原子構成一個正四面體School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics5 5、氯化鈉型結構、氯化鈉型結構 ( (sodium chloride structure):): 氯化鈉晶格是由納離子和氯化鈉晶格是由納離子和氯離子相間排列構成的。鈉離氯離子相間排列構成的。鈉離子（）和氯離子（）各自子（）和氯離子（）各自構成一面心立方格子，彼此之構成一面心立方格子，彼此之間沿立方邊位移立方邊的一半間

21、沿立方邊位移立方邊的一半穿套而成，也就是說，穿套而成，也就是說，氯化鈉氯化鈉晶體是兩種不同離子各自構成晶體是兩種不同離子各自構成的面心立方子晶格套構形成的的面心立方子晶格套構形成的。除了除了NaCl之外，所有堿金屬鹵之外，所有堿金屬鹵化物晶體，如化物晶體，如LiF、KCl、LiI等等都具有都具有NaCl晶體結構。晶體結構。 NaClNaCl晶格結構的典型單元晶格結構的典型單元下面是幾種常見的實際晶體結構：下面是幾種常見的實際晶體結構：School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics氯化鈉由氯化鈉由Na+和和Cl結合而成結合而成

22、 一種典型的離子晶體一種典型的離子晶體Na+構成面心立方格子；構成面心立方格子；Cl也構成面心立方格子也構成面心立方格子School of Physics, Northwest UniversitySolid State PhysicsCsClCsCl晶格結構的典型單元晶格結構的典型單元School of Physics, Northwest UniversitySolid State PhysicsCsCl結構結構 兩個簡單立方子晶格彼此沿立方體空間兩個簡單立方子晶格彼此沿立方體空間 對角線位移對角線位移12 的長度套構而成的長度套構而成School of Physics, Northwes

23、t UniversitySolid State Physics閃鋅礦晶格結構的典型單元閃鋅礦晶格結構的典型單元School of Physics, Northwest UniversitySolid State PhysicsZnS晶體的結構晶體的結構 閃鋅礦結構閃鋅礦結構立方系的硫化鋅立方系的硫化鋅 具有金剛石類似的結構具有金剛石類似的結構化合物半導體化合物半導體 銻化銦、砷化鎵、磷化銦銻化銦、砷化鎵、磷化銦School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics8 8、鈣鈦礦結構、鈣鈦礦結構（ perovskite ）鈣鈦礦結構是

24、鈦酸鈣（鈣鈦礦結構是鈦酸鈣（ ）類型的結構。重要的壓電鐵電晶體，）類型的結構。重要的壓電鐵電晶體，如鈦酸鋇（如鈦酸鋇（ ）、鋯酸鉛（）、鋯酸鉛（ ）、鈮酸鋰）、鈮酸鋰（ ）、鉭酸鋰（）、鉭酸鋰（ ）等都是鈣鈦礦結構。）等都是鈣鈦礦結構。下面以鈦酸鋇為例來說明這種結構下面以鈦酸鋇為例來說明這種結構3CaTiO3BaTiO3PbZrO3LiNbO3LiTaO在立方體的頂角上是鋇（在立方體的頂角上是鋇（Ba），體心是鈦（），體心是鈦（Ti）, ,面心是氧（面心是氧（O）。）。氧分成了三組，處于立方體相對面心上的兩個氧為一組，三組氧（氧分成了三組，處于立方體相對面心上的兩個氧為一組，三組氧（O，O，O

25、）周圍情況各不相同。）周圍情況各不相同。整個晶格由鋇、鈦和三組氧各自組成的簡立方布拉菲格子（五個）套構整個晶格由鋇、鈦和三組氧各自組成的簡立方布拉菲格子（五個）套構而成。而成。如果把三組氧連接起來，它們構成等邊三角形；整個原胞有如果把三組氧連接起來，它們構成等邊三角形；整個原胞有8 8個這樣的三個這樣的三角形，圍成一個八面體，稱為氧八面體。角形，圍成一個八面體，稱為氧八面體。School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics鈣鈦礦結構鈣鈦礦結構 氧八面體的排列氧八面體的排列 鈣鈦礦型的化學式鈣鈦礦型的化學式 ABO3 A 二價或

26、一價的金屬二價或一價的金屬B 四價或五價的金屬四價或五價的金屬BO3 氧八面體基團氧八面體基團, 是鈣鈦礦型晶體結構的特點是鈣鈦礦型晶體結構的特點28/28School of Physics, Northwest UniversitySolid State PhysicsSchool of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics（二）基元和晶體結構（二）基元和晶體結構（basis and crystal structure）1 1、點陣和結點、點陣和結點 ( lattice and lattice site ) 晶體的內部結構，可以概括

27、為有一些相同的化學質點在空間有晶體的內部結構，可以概括為有一些相同的化學質點在空間有規(guī)律地作周期性的無限分布。這些規(guī)律地作周期性的無限分布。這些化學質點（代表原子、離子、分化學質點（代表原子、離子、分子或其集團的重心）的分布總體稱為點陣，也稱為格子子或其集團的重心）的分布總體稱為點陣，也稱為格子( (lattice) )。 陣中的點子稱為陣點、結點或格點陣中的點子稱為陣點、結點或格點( ( lattice site ) )。 所謂格點的所謂格點的周期性陣列周期性陣列，就是說如果把晶體結構看作是在三維空間無，就是說如果把晶體結構看作是在三維空間無限延伸的，則任一點周圍的情況的都是完全相同的。通常

28、把這種點的周期限延伸的，則任一點周圍的情況的都是完全相同的。通常把這種點的周期性陣列稱為性陣列稱為布拉菲點陣或布拉菲格子布拉菲點陣或布拉菲格子( (Bravias lattice) )，而點即為格點，而點即為格點. .School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics布拉菲格子布拉菲格子School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics2 2、基元和晶體結構、基元和晶體結構（basis and crystal structure） 構成陣點的具體原子、離子、分子或

29、其集團，都是構成陣點的具體原子、離子、分子或其集團，都是構成晶構成晶體的基本結構單元，稱為基元體的基本結構單元，稱為基元( ( basis ) )。 基元包括構成晶體的原子（離子、分子）的種類、數量、相對取向及位置。基元包括構成晶體的原子（離子、分子）的種類、數量、相對取向及位置。在每一個格點上放上一個基元，整個晶體的結構就可以用晶格來表示。在每一個格點上放上一個基元，整個晶體的結構就可以用晶格來表示。 晶格與晶體有著相同的幾何性質，但是完全不包含任何物理內容。晶格與晶體有著相同的幾何性質，但是完全不包含任何物理內容。也就是說，用原子在平衡位置的幾何點替代每一個原子，得到一個與晶體也就是說，用

30、原子在平衡位置的幾何點替代每一個原子，得到一個與晶體幾何特征相同、但無任何物理實質的幾何圖形（區(qū)分不同原子），這個幾幾何特征相同、但無任何物理實質的幾何圖形（區(qū)分不同原子），這個幾何圖形就是何圖形就是晶格（晶格（lattice），處于原子平衡位置的幾何點就是，處于原子平衡位置的幾何點就是格點（格點（lattice site）。實際晶體的結構與點陣和基元的關系可以概括為：實際晶體的結構與點陣和基元的關系可以概括為：晶體結構晶體結構= =布拉菲格子布拉菲格子+ +基元基元（crystal structure = Bravias lattice + basis）School of Physics,

31、Northwest UniversitySolid State Physics晶體結構及其點陣晶體結構及其點陣School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics（三）（三） 簡單格子和復式格子簡單格子和復式格子 晶格可以分為兩類：簡單格子（布拉菲格子晶格可以分為兩類：簡單格子（布拉菲格子Bravais lattice）和復式格子）和復式格子（非布拉菲格子（非布拉菲格子non-Bravais lattice）。）。 在布拉菲格子中，所有的格點都是等價的，當然要求晶體中的所有原子在布拉菲格子中，所有的格點都是等價的，當然要求晶體中的

32、所有原子都等價（種類相同、性質相同）。都等價（種類相同、性質相同）。 在復式格子中，有些格點是不等價的。金剛石、在復式格子中，有些格點是不等價的。金剛石、NaCl、CsCl、六角密積、六角密積、C C6060等晶體就是這樣的結構。等晶體就是這樣的結構。 復式格子（非布拉菲格子）經常說成是布拉菲格子附著一個基元復式格子（非布拉菲格子）經常說成是布拉菲格子附著一個基元（basis）。比如金剛石結構雖然是由一種原子構成的，但它在立方體頂角。比如金剛石結構雖然是由一種原子構成的，但它在立方體頂角上的碳原子和體心處的碳原子是不等價的，兩個原子的周圍情況不同，所上的碳原子和體心處的碳原子是不等價的，兩個原

33、子的周圍情況不同，所以是復式格子。這兩個原子就是構成金剛石結構晶體的基元；在以是復式格子。這兩個原子就是構成金剛石結構晶體的基元；在C C6060晶體中，晶體中，6060個碳原子組成的原子團就是構成個碳原子組成的原子團就是構成C C6060晶體的基元。晶體的基元。 基元中相應原子在晶格中的位置都是等價的，所以復式格子可以看成基元中相應原子在晶格中的位置都是等價的，所以復式格子可以看成是由若干個相同的簡單格子（布拉菲格子）相互位移套構成的。是由若干個相同的簡單格子（布拉菲格子）相互位移套構成的。School of Physics, Northwest UniversitySolid State

34、Physics簡單晶格簡單晶格 基元是一個原子基元是一個原子復式晶格復式晶格 基元是一個以上原子基元是一個以上原子School of Physics, Northwest UniversitySolid State PhysicsC60Face centred cubicSchool of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics 復式晶格復式晶格 復式格子包含兩種或兩種以上的等價原子復式格子包含兩種或兩種以上的等價原子1) 不同原子或離子構成的晶體不同原子或離子構成的晶體NaCl 、 CsCl 、ZnS等等 School of Phys

35、ics, Northwest UniversitySolid State Physics2) 相同原子但幾何位置不等價的原子構成的晶體相同原子但幾何位置不等價的原子構成的晶體金剛石結構的金剛石結構的C、Si、Ge六角密排結構六角密排結構Be、Mg、ZnSchool of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics3) 復式格子的特點：不同等價原子各自構成相同的簡單晶復式格子的特點：不同等價原子各自構成相同的簡單晶格格 復式格子由它們的子晶格相套而成復式格子由它們的子晶格相套而成NaCl晶格晶格 Na+和和Cl各有一個相同的面心立方晶格各有一

36、個相同的面心立方晶格 School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics CsCl結構是由兩個簡立方的子晶格彼此沿立方體空間結構是由兩個簡立方的子晶格彼此沿立方體空間 對角線位移對角線位移12 的長度套構而成的長度套構而成CsCl的復式晶格的復式晶格School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics立方系的立方系的ZnS S和和Zn分別組成面心立方結構的子晶格沿分別組成面心立方結構的子晶格沿 空間對角線位移空間對角線位移 14 的長度套構而成的長度套構而成ZnS的

37、復式晶格的復式晶格School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics鈦酸鋇（鈦酸鋇（BaTiO3）的復式晶格）的復式晶格BaTiO3的晶格的晶格 Ba、Ti、OI、OII、OIII5個相同的簡立方結個相同的簡立方結構子晶格套構而成構子晶格套構而成School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics4）復式格子的原胞）復式格子的原胞 相應簡單晶格的原胞相應簡單晶格的原胞 一個原胞中包含各種等價原子各一個一個原胞中包含各種等價原子各一個鈦酸鋇原胞鈦酸鋇原胞 簡單立方簡單

38、立方 5個原子個原子3個不等價的個不等價的O原子原子1個個Ba原子原子1個個Ti原子原子School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics二、二、 原胞和基矢（原胞和基矢（primitive unit cell and primitive vectors）（一）原胞和基矢（一）原胞和基矢 晶格是由基本平移矢量（晶格是由基本平移矢量（fundamental translation vectors）定義的。）定義的。如下圖所示的二維晶格中，任意格點的位置矢量（如下圖所示的二維晶格中，任意格點的位置矢量（position vector

39、）可）可以寫成：以寫成：1a2aalR1 122lRl al a格矢的表示格矢的表示 其中其中 是圖中的兩個平移是圖中的兩個平移矢量，矢量， 是由具體要描述的是由具體要描述的格點位置所決定的一對整數。格點位置所決定的一對整數。 21,aa12,l l(1.1) School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics由兩個不在同一直線上的平移矢量可以得到（由兩個不在同一直線上的平移矢量可以得到（1.11.1）式表示的所有格）式表示的所有格點的位置，由這個方程表示的所有位置矢量的集合，稱為格矢點的位置，由這個方程表示的所有位置矢量的集合

40、，稱為格矢（lattice vectors）。 平移矢量平移矢量 可以稱之為初基平移矢量（可以稱之為初基平移矢量（primitive translation vectors）或或基矢基矢（basis vector）。12,a a 由由 構成的平行四邊形就是二維晶格的構成的平行四邊形就是二維晶格的原胞原胞( (Primitive unit cell) )。 12,a a 注意：原胞是指能完全平移覆蓋晶格的最小單元，它只反映晶格的周期性。注意：原胞是指能完全平移覆蓋晶格的最小單元，它只反映晶格的周期性。 School of Physics, Northwest UniversitySolid St

41、ate PhysicsSchool of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics二維原胞的取法，二維原胞的取法，P P是原胞，是原胞，NPNP不是原胞不是原胞School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics123二維原胞示意圖二維原胞示意圖同一晶格中的各種原胞的面積（或者體積）大小相同。同一晶格中的各種原胞的面積（或者體積）大小相同。布拉菲晶格的原胞中只含一個原子。布拉菲晶格的原胞中只含一個原子。原胞的必要條件是在其范圍內只包含一個格點。原胞的必要條件是在其范圍內只包含

42、一個格點。 原胞的體積原胞的體積: :123()aaa三維原胞示意圖三維原胞示意圖1a2a3aSchool of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics 三維晶格情況下的原胞是一個平行六面體，其三個邊矢量三維晶格情況下的原胞是一個平行六面體，其三個邊矢量 即為基矢。即為基矢。對于一個給定的點陣，總可以選擇三個不共面的基本平移矢量對于一個給定的點陣，總可以選擇三個不共面的基本平移矢量 作為點陣的基矢，使得矢量作為點陣的基矢，使得矢量123,a a a 31 122331liiiRl al al al a(1.2.1)(1.2.1) 當當

43、取一切正、負整數時，矢量取一切正、負整數時，矢量 端點的集合包含且僅包含點陣中端點的集合包含且僅包含點陣中所有的結點而沒有遺漏，所有的結點而沒有遺漏， 為格矢。為格矢。 illRlR這樣，可以用一個空間的密度函數將點陣表示為這樣，可以用一個空間的密度函數將點陣表示為( )()llRrrR(1.2.2)(1.2.2)這是一系列峰值在這是一系列峰值在 的的 函數之和。函數之和。 lRSchool of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics平移對稱性的破缺（平移對稱性的破缺（breaking of thanslational symmetr

44、y） ： 由于式（由于式（1.2.21.2.2）是對一切平移矢量）是對一切平移矢量 求和，所以，求和，所以， 應是應是 的的周期函數：周期函數：lR( )rlR()( )lrRr（1.2.31.2.3）可見，晶格并不是對任意的平移矢量保持不變，而只對一組離散的平移可見，晶格并不是對任意的平移矢量保持不變，而只對一組離散的平移矢量矢量 具有不變性，這種性質稱為平移對稱性的破缺，或者說是具有具有不變性，這種性質稱為平移對稱性的破缺，或者說是具有破缺的平移對稱性。破缺的平移對稱性。 lR 如果晶體中所有基元都嚴格地處于點陣所確定的格點上，晶體內一如果晶體中所有基元都嚴格地處于點陣所確定的格點上，晶體

45、內一切物理量應該都是格矢切物理量應該都是格矢 的周期函數。比如，晶體中電子的勢能函數的周期函數。比如，晶體中電子的勢能函數滿足滿足 （1.2.41.2.4）lR()( )lV rRV rSchool of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics（二）晶胞或慣用原胞（二）晶胞或慣用原胞( ( Conventional unit cell ) ) 晶胞或稱為慣用原胞是一倍或幾倍于原胞的晶格周期性單位晶胞或稱為慣用原胞是一倍或幾倍于原胞的晶格周期性單位. . 它既可以它既可以反映晶格的周期性，又可以反映晶格的對稱性。反映晶格的周期性，又可以反

46、映晶格的對稱性。 在二維矩形晶格的情況下，晶胞就是這個矩形，矩形的兩邊就是慣用原在二維矩形晶格的情況下，晶胞就是這個矩形，矩形的兩邊就是慣用原胞基矢（胞基矢（ ），如下圖所示。），如下圖所示。,a b在這種情況下，雖然晶胞比原胞大，但是它更能清楚地反映晶格的對稱性。在這種情況下，雖然晶胞比原胞大，但是它更能清楚地反映晶格的對稱性。注意晶胞或慣用原胞的定義與非布拉菲點陣無關注意晶胞或慣用原胞的定義與非布拉菲點陣無關. .晶格常數晶格常數 a 通常指晶胞的邊長。通常指晶胞的邊長。同樣，晶胞的選擇也不是唯一的，以方便為原則。同樣，晶胞的選擇也不是唯一的，以方便為原則。1a2aab原胞與慣用原胞原胞與

47、慣用原胞 School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics晶胞晶胞 為了反映晶格的對稱性為了反映晶格的對稱性 常取最小重復單元的幾倍作為重復單元常取最小重復單元的幾倍作為重復單元晶胞的邊在晶軸方向，邊長等于該方向上的一個周期晶胞的邊在晶軸方向，邊長等于該方向上的一個周期晶胞的基矢晶胞的基矢 晶胞三個邊的矢量晶胞三個邊的矢量School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics一些情況下一些情況下 晶胞就是原胞晶胞就是原胞一些情況下一些情況下 晶胞不是原胞晶胞不是原胞

48、簡單立方簡單立方 晶胞是原胞晶胞是原胞面心立方面心立方 晶胞不是原胞晶胞不是原胞School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics（三）（三） Wigner-SeitzWigner-Seitz原胞（原胞（Wigner-Seitz primitive cell） Wigner-SeitzWigner-Seitz原胞，簡稱原胞，簡稱W-SW-S原胞，是一種特殊類型的周期性結構單元，原胞，是一種特殊類型的周期性結構單元，它既能顯示晶體結構的對稱性，又是最小的重復單元。它既能顯示晶體結構的對稱性，又是最小的重復單元。二維點陣的二維點陣的

49、Wigner-SeitzWigner-Seitz原胞原胞 作法：作法： 把某格點同它相同與它相鄰的所有格點連成直線，然后作這些連線把某格點同它相同與它相鄰的所有格點連成直線，然后作這些連線的中垂面，這些面所圍成的最小體積，就是威格納賽茲原胞，下圖就的中垂面，這些面所圍成的最小體積，就是威格納賽茲原胞，下圖就是二維點陣的是二維點陣的Wigner-SeitzWigner-Seitz原胞。原胞。School of Physics, Northwest UniversitySolid State PhysicsSchool of Physics, Northwest UniversitySolid S

50、tate Physics 簡單立方簡單立方 維格納維格納 塞茨原胞塞茨原胞 原點和原點和6個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的立方體個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的立方體School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics 面心立方晶格面心立方晶格 維格納維格納塞茨原胞為原點塞茨原胞為原點 和和12個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的正十二面體個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的正十二面體 School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics 體心立方體心立方 維格納維格納塞茨原

51、胞為原塞茨原胞為原點和點和8個近鄰格點連線的垂直個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的正八面體，和平分面圍成的正八面體，和沿立方軸的沿立方軸的6個次近鄰格點連個次近鄰格點連線的垂直平分面割去八面體線的垂直平分面割去八面體的六個角，形成的的六個角，形成的14面體面體 八個面是正六邊形，六個面是正四邊形八個面是正六邊形，六個面是正四邊形 School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics三、常見晶體結構的原胞和晶胞三、常見晶體結構的原胞和晶胞（primitive cell and unit cell of common crystal s

52、tructures ）（一）簡立方（一）簡立方（sc） 簡立方結構的晶體，結點只分布在立方體的頂角上，即簡立方的一簡立方結構的晶體，結點只分布在立方體的頂角上，即簡立方的一個頂角為個頂角為8 8個原胞共有，一個原胞只包含一個格點。如下圖所示，簡立個原胞共有，一個原胞只包含一個格點。如下圖所示，簡立方的原胞和晶胞是統(tǒng)一的。若立方體的邊長為方的原胞和晶胞是統(tǒng)一的。若立方體的邊長為 a ，則簡立方的原胞和，則簡立方的原胞和晶胞表示為：晶胞表示為： 1aaai2abaj3acak1a3a2a簡立方的原胞和晶胞簡立方的原胞和晶胞 原胞和晶胞的體積相等：原胞和晶胞的體積相等： 3123()aaaa Sch

53、ool of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics（二）（二） 體心立方體心立方 下圖所示是體心立方晶胞和原胞基矢的一種選取方法，格點位于晶下圖所示是體心立方晶胞和原胞基矢的一種選取方法，格點位于晶胞的頂角和體心上，原胞和晶胞基矢不再統(tǒng)一。容易看出，若立方體的胞的頂角和體心上，原胞和晶胞基矢不再統(tǒng)一。容易看出，若立方體的邊長為邊長為 a ，晶胞基矢仍然為：晶胞基矢仍然為： aaibajcak一個晶胞包含一個晶胞包含 個格點，個格點，晶胞的體積應為原胞體積的晶胞的體積應為原胞體積的2 2倍。倍。晶胞的邊長就是立方體的邊長，晶胞的邊長就是

54、立方體的邊長，也稱為晶格常數。也稱為晶格常數。18128 School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics1()2aaijk3()2aaijk2()2aaijk 原胞基矢為原胞基矢為 ：原胞體積原胞體積3123()/2aaaa 是晶胞體積的一半。是晶胞體積的一半。School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics體心立方晶格體心立方晶格由立方體的中心到三個頂點引三個基矢由立方體的中心到三個頂點引三個基矢123,a aa123()2()2()2aaijkaaijk

55、aaijk 原胞中只包含一個原子原胞中只包含一個原子基矢基矢原胞體積原胞體積31231()2aaaa School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics（三）（三） 面心立方面心立方如圖所示是面心立方晶胞和原胞基矢如圖所示是面心立方晶胞和原胞基矢的一種選取方法，格點位于晶胞的頂的一種選取方法，格點位于晶胞的頂角和面心上。每個晶胞有八個頂角和角和面心上。每個晶胞有八個頂角和六個面心，包含六個面心，包含 個格點。個格點。晶胞基矢仍然為：晶胞基矢仍然為：1186482 aaibajcak面心立方的原胞基矢為面心立方的原胞基矢為 2()

56、2aaki3()2aaij1()2aajk原胞體積原胞體積3123()/4aaaa 為晶胞體積的為晶胞體積的1/41/4。School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics六角密排晶格的原胞基矢選取六角密排晶格的原胞基矢選取 一個原胞中包含一個原胞中包含A層層 和和B層原子各一個層原子各一個 共兩個原子共兩個原子School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics四、配位數和致密度配位數（配位數（ coordination number ）對于不同的原子排列方式，對

57、于不同的原子排列方式，一個原子周圍最近鄰的原子數，反映了原子排列的緊密程度，一個原子周圍最近鄰的原子數，反映了原子排列的緊密程度，稱為配位數。稱為配位數。 粒子排列越緊密，配位數應該越大。粒子排列越緊密，配位數應該越大。 簡立方晶格的配位數是簡立方晶格的配位數是6 6； 體心立方晶格的配位數是體心立方晶格的配位數是8 8； 密堆積原子的排列最緊密，配位數也最大，密堆積的配密堆積原子的排列最緊密，配位數也最大，密堆積的配位數是位數是1212。 School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics配位數的可能取值最大的配位數為配位數的可能取值最大的配位數為1212，可能取值分，可能取值分別為別為8 8、6 6、4 4、3 3、2 2，分別對應不同的晶體結構。，分別對應不同的晶體結構。致密度，或