固體物理第二章第二節(jié) 對(duì)稱(chēng)性與布拉維格子的分類(lèi)

1、第二節(jié)第二節(jié) 對(duì)稱(chēng)性和布拉維格子的分類(lèi)對(duì)稱(chēng)性和布拉維格子的分類(lèi)本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)容: :一、群的知識(shí)簡(jiǎn)介一、群的知識(shí)簡(jiǎn)介二、點(diǎn)群和七個(gè)晶系二、點(diǎn)群和七個(gè)晶系三、空間群和三、空間群和1414種布拉維格子種布拉維格子四、點(diǎn)群對(duì)稱(chēng)性和晶體的物理性質(zhì)四、點(diǎn)群對(duì)稱(chēng)性和晶體的物理性質(zhì)2.2 2.2 對(duì)稱(chēng)性和布拉維格子的分類(lèi)對(duì)稱(chēng)性和布拉維格子的分類(lèi) 布拉維格子是按其布拉維格子是按其對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性(symmetry)來(lái)分類(lèi)的：來(lái)分類(lèi)的： 所謂所謂對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性是指在一定的是指在一定的幾何操作幾何操作下，物下，物體體保持不變保持不變的特性。的特性。 對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性在物理學(xué)中是一個(gè)非常重要的概念，在物理學(xué)中是一個(gè)非

2、常重要的概念，它可使復(fù)雜物理現(xiàn)象的它可使復(fù)雜物理現(xiàn)象的描述描述變得變得簡(jiǎn)單、明了簡(jiǎn)單、明了。因?yàn)橐驗(yàn)閷?duì)稱(chēng)性的本質(zhì)對(duì)稱(chēng)性的本質(zhì)是是指系統(tǒng)中的一些要素是等指系統(tǒng)中的一些要素是等價(jià)的價(jià)的。對(duì)稱(chēng)性越高的系統(tǒng)，需要獨(dú)立表征的系。對(duì)稱(chēng)性越高的系統(tǒng)，需要獨(dú)立表征的系統(tǒng)要素就越少，因而描述起來(lái)就越簡(jiǎn)單。統(tǒng)要素就越少，因而描述起來(lái)就越簡(jiǎn)單。 我們這里要討論的主要是我們這里要討論的主要是晶格晶格( (或點(diǎn)陣或點(diǎn)陣) )的的對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性(symmetry of lattice). . 在在晶格晶格這個(gè)物理系統(tǒng)中，這個(gè)物理系統(tǒng)中，一種對(duì)稱(chēng)性一種對(duì)稱(chēng)性是指是指某些某些要素互相等價(jià)要素互相等價(jià)，而用來(lái)，而用來(lái)描述晶格的要

3、素描述晶格的要素，無(wú)非就，無(wú)非就是：是：點(diǎn)、線、面點(diǎn)、線、面。而保持這些要素等價(jià)的操作。而保持這些要素等價(jià)的操作-對(duì)稱(chēng)操作對(duì)稱(chēng)操作有三種：有三種：平移、旋轉(zhuǎn)、鏡反射平移、旋轉(zhuǎn)、鏡反射。假設(shè)假設(shè)在某一個(gè)操作過(guò)后，點(diǎn)陣保持不變，也就是每個(gè)在某一個(gè)操作過(guò)后，點(diǎn)陣保持不變，也就是每個(gè)格點(diǎn)的位置都得到重復(fù)，那么這個(gè)相應(yīng)的平移、格點(diǎn)的位置都得到重復(fù)，那么這個(gè)相應(yīng)的平移、旋轉(zhuǎn)或鏡反射操作就叫作一個(gè)旋轉(zhuǎn)或鏡反射操作就叫作一個(gè)點(diǎn)陣對(duì)稱(chēng)操作點(diǎn)陣對(duì)稱(chēng)操作。其。其中的點(diǎn)、線、面分別叫做中的點(diǎn)、線、面分別叫做對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)中心、對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)對(duì)稱(chēng)面稱(chēng)面-稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)元素稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)元素 從從數(shù)學(xué)角度數(shù)學(xué)角度來(lái)看，晶體的對(duì)稱(chēng)性是

4、對(duì)晶體進(jìn)來(lái)看，晶體的對(duì)稱(chēng)性是對(duì)晶體進(jìn)行行幾何變換幾何變換而能保持晶體性質(zhì)的不變性而能保持晶體性質(zhì)的不變性, ,相當(dāng)于相當(dāng)于一個(gè)一個(gè)正交線性變換正交線性變換。一個(gè)。一個(gè)變換變換就是一種就是一種操作操作。111213212223313233;aaaaaaxaaxyazyzzxy參考方俊鑫固物參考方俊鑫固物p32-36 ; ;或方可固物或方可固物p13-16正交矩陣正交矩陣 比如：繞比如：繞x x軸的旋轉(zhuǎn)，設(shè)轉(zhuǎn)角為軸的旋轉(zhuǎn)，設(shè)轉(zhuǎn)角為，則有：，則有：cossinsincosxxyyzzyz 1112132122233132331000cossin0sincosaaaAaaaaaa1A再比如：取中心為原

5、點(diǎn)，經(jīng)中心反演再比如：取中心為原點(diǎn)，經(jīng)中心反演，則有：，則有：xxyyzz 111213212223313233100010001aaaAaaaaaa1A 還有：以還有：以z=0z=0作為鏡面作為鏡面，則有：，則有：xxyyzz 111213212223313233100010001aaaAaaaaaa1A 由上可以看出，當(dāng)變換是由上可以看出，當(dāng)變換是純轉(zhuǎn)動(dòng)純轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，時(shí)，矩陣的矩陣的行列式行列式等于等于+1+1；當(dāng)是；當(dāng)是空間反演空間反演或或鏡面反射鏡面反射時(shí)等時(shí)等于于-1-1. .前一種對(duì)應(yīng)物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)，另一種不能前一種對(duì)應(yīng)物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)，另一種不能靠物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)?？课矬w的實(shí)際運(yùn)動(dòng)

6、來(lái)實(shí)現(xiàn)。 如果一個(gè)物體在某一正交變換下不變，就稱(chēng)如果一個(gè)物體在某一正交變換下不變，就稱(chēng)這個(gè)變換為物體的一個(gè)對(duì)稱(chēng)操作這個(gè)變換為物體的一個(gè)對(duì)稱(chēng)操作。顯然，一個(gè)。顯然，一個(gè)物體的對(duì)稱(chēng)操作越多，就表明它的對(duì)稱(chēng)性越高。物體的對(duì)稱(chēng)操作越多，就表明它的對(duì)稱(chēng)性越高。 定量研究對(duì)稱(chēng)操作集合的性質(zhì)要用定量研究對(duì)稱(chēng)操作集合的性質(zhì)要用群論群論的知的知識(shí)。識(shí)。謝希德、蔣平等人編著的群論及其在物謝希德、蔣平等人編著的群論及其在物理學(xué)中的應(yīng)用理學(xué)中的應(yīng)用( (科學(xué)出版社出版，科學(xué)出版社出版，19861986年年8 8月月) )是一本不錯(cuò)的書(shū)，有興趣的同學(xué)可以參閱）是一本不錯(cuò)的書(shū)，有興趣的同學(xué)可以參閱） 群論作為數(shù)學(xué)的分支，

7、是處理有一定對(duì)稱(chēng)性群論作為數(shù)學(xué)的分支，是處理有一定對(duì)稱(chēng)性的物理體系的有力工具，可以的物理體系的有力工具，可以簡(jiǎn)化復(fù)雜的計(jì)算簡(jiǎn)化復(fù)雜的計(jì)算，也可以也可以預(yù)言物理過(guò)程的發(fā)展預(yù)言物理過(guò)程的發(fā)展趨勢(shì)，還可以對(duì)體趨勢(shì)，還可以對(duì)體系的許多性質(zhì)作出系的許多性質(zhì)作出定性的了解定性的了解。 群及其表示理論是物理系研究生的一門(mén)重要群及其表示理論是物理系研究生的一門(mén)重要基礎(chǔ)課，對(duì)于本科生不作要求。因此，我們不基礎(chǔ)課，對(duì)于本科生不作要求。因此，我們不打算在這里講過(guò)多的群論的知識(shí)。只是簡(jiǎn)單介打算在這里講過(guò)多的群論的知識(shí)。只是簡(jiǎn)單介紹一下，讓大家對(duì)群的概念有一個(gè)認(rèn)識(shí)。紹一下，讓大家對(duì)群的概念有一個(gè)認(rèn)識(shí)。一、群的知識(shí)簡(jiǎn)介一

8、、群的知識(shí)簡(jiǎn)介1. 1. 群的定義群的定義 所謂所謂群群(group)就是就是一些元素一些元素(elements)或操或操作的作的集合，集合，常用符號(hào)常用符號(hào) G 來(lái)表示。來(lái)表示。構(gòu)成群的元素要滿(mǎn)足以下條件：構(gòu)成群的元素要滿(mǎn)足以下條件： 設(shè)設(shè) 等表示群等表示群G中所包含的元素中所包含的元素或操作或操作 123,A A A 即即：,1,2,3, iiAG iGA必須滿(mǎn)足下列條件：必須滿(mǎn)足下列條件： 1). 封閉性封閉性(closure property) 按照給定的按照給定的乘法乘法規(guī)則，群規(guī)則，群G G中任何兩個(gè)元素中任何兩個(gè)元素相乘，得到的還是該群的一個(gè)元素。相乘，得到的還是該群的一個(gè)元素。

9、,ijkA AA ij or ij2). 群中一定包含一個(gè)不變?cè)厝褐幸欢ò粋€(gè)不變?cè)? (單位元素單位元素) ) E,iiiEGEAAEA3). 存在逆元素存在逆元素 111,iiiiiiAG AAAA AE 4). 滿(mǎn)足組合定則滿(mǎn)足組合定則 ()()ijkijkA AAAA A 在晶體的幾何對(duì)稱(chēng)性的研究中，每一個(gè)能在晶體的幾何對(duì)稱(chēng)性的研究中，每一個(gè)能使晶體復(fù)原的對(duì)稱(chēng)使晶體復(fù)原的對(duì)稱(chēng)操作操作，都，都滿(mǎn)足上述群中的滿(mǎn)足上述群中的元素的要求元素的要求，由這些元素，由這些元素( (或操作或操作) )所構(gòu)成的所構(gòu)成的群叫群叫對(duì)稱(chēng)性群對(duì)稱(chēng)性群(symmetry group), ,包括包括點(diǎn)群點(diǎn)群(

10、point group)和和空間群空間群(space group) 18301830年年，赫塞耳，赫塞耳( (Johann Friedrich Christian Hessel)首先導(dǎo)出了首先導(dǎo)出了3232種種點(diǎn)群，由點(diǎn)群，由3232種點(diǎn)群出發(fā)，種點(diǎn)群出發(fā)，可以對(duì)布拉維點(diǎn)陣進(jìn)行分類(lèi)，這正是可以對(duì)布拉維點(diǎn)陣進(jìn)行分類(lèi)，這正是18501850年年布布拉維所作的工作，他證明了只有拉維所作的工作，他證明了只有7 7個(gè)個(gè)晶系。晶系。( (點(diǎn)點(diǎn)群不含平移對(duì)稱(chēng)操作，因?yàn)槠揭茖?dǎo)致任何格點(diǎn)群不含平移對(duì)稱(chēng)操作，因?yàn)槠揭茖?dǎo)致任何格點(diǎn)都要?jiǎng)?，而點(diǎn)群必須至少有一個(gè)格點(diǎn)不動(dòng)都要?jiǎng)樱c(diǎn)群必須至少有一個(gè)格點(diǎn)不動(dòng)) ) 熊夫利

11、熊夫利(Schoenflies1891)和費(fèi)奧多羅夫和費(fèi)奧多羅夫(Fedorove 1892) 為了研究復(fù)式晶格為了研究復(fù)式晶格( (幾套簡(jiǎn)單幾套簡(jiǎn)單格子的平移格子的平移) )的分類(lèi)，考慮了的分類(lèi)，考慮了平移對(duì)稱(chēng)操作平移對(duì)稱(chēng)操作，提出了空間群的概念提出了空間群的概念, ,并證明只有并證明只有230230種種獨(dú)立獨(dú)立的空間群。的空間群。 可由此證明只有可由此證明只有1414種三維布拉維種三維布拉維點(diǎn)陣點(diǎn)陣 此外，為了方便，人們制定了標(biāo)示晶體類(lèi)型此外，為了方便，人們制定了標(biāo)示晶體類(lèi)型的符號(hào)，一套是熊夫利制訂的，稱(chēng)為的符號(hào)，一套是熊夫利制訂的，稱(chēng)為熊夫利符熊夫利符號(hào)號(hào)；一套是海爾曼；一套是海爾曼(H

12、ermann)和毛袞和毛袞(Mauguin)制訂的，稱(chēng)為制訂的，稱(chēng)為國(guó)際符號(hào)國(guó)際符號(hào)我們這一節(jié)主要介紹這些人得到的結(jié)果我們這一節(jié)主要介紹這些人得到的結(jié)果二、點(diǎn)群和七個(gè)晶系二、點(diǎn)群和七個(gè)晶系1. 點(diǎn)群點(diǎn)群 保持空間保持空間某一點(diǎn)固定不動(dòng)某一點(diǎn)固定不動(dòng)的對(duì)稱(chēng)操作，稱(chēng)為的對(duì)稱(chēng)操作，稱(chēng)為點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作。在點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作基礎(chǔ)上構(gòu)成的對(duì)稱(chēng)在點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作基礎(chǔ)上構(gòu)成的對(duì)稱(chēng)操作群稱(chēng)為操作群稱(chēng)為點(diǎn)群點(diǎn)群2. 點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作的類(lèi)型和對(duì)稱(chēng)元素點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作的類(lèi)型和對(duì)稱(chēng)元素： 對(duì)于晶體而言，對(duì)于晶體而言，對(duì)稱(chēng)操作對(duì)稱(chēng)操作就是就是對(duì)晶體進(jìn)行對(duì)晶體進(jìn)行幾何變換而能復(fù)原的操作幾何變換而能復(fù)原的操作。晶體中的。晶體中的基本的點(diǎn)基本的點(diǎn)

13、對(duì)稱(chēng)操作對(duì)稱(chēng)操作有三種有三種：相應(yīng)的相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)元素對(duì)稱(chēng)元素有有: :對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)軸; ;對(duì)稱(chēng)面對(duì)稱(chēng)面; ;對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)中心鏡面反映鏡面反映 (Reflection across a plane);中心反演中心反演(inversion through a point) ;正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)操作正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)操作, ,即繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)即繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng) (rotation about an axis) ； 一個(gè)一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)操作旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)操作(rotational symmetry operation)意味著將點(diǎn)陣?yán)@著某個(gè)軸旋轉(zhuǎn)某個(gè)意味著將點(diǎn)陣?yán)@著某個(gè)軸旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度角度 或或- - 以后，點(diǎn)陣保持不變。以后，點(diǎn)陣保持不變

14、。 由于晶體周期性的限制，轉(zhuǎn)角由于晶體周期性的限制，轉(zhuǎn)角 只能是只能是: :2,1,2,3,4,6nn顯然顯然n=1n=1, ,相當(dāng)于相當(dāng)于不動(dòng)操作不動(dòng)操作( (元素元素) )E, , n=2,3,4,6的轉(zhuǎn)軸分別稱(chēng)為的轉(zhuǎn)軸分別稱(chēng)為二度、三度二度、三度、四度、四度、六度轉(zhuǎn)軸六度轉(zhuǎn)軸證明見(jiàn)證明見(jiàn)p28 p28 為了保持在旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)操作后點(diǎn)陣不變，在為了保持在旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)操作后點(diǎn)陣不變，在二二維晶格維晶格中，中，旋轉(zhuǎn)軸一定要通過(guò)某一個(gè)格點(diǎn)而且旋轉(zhuǎn)軸一定要通過(guò)某一個(gè)格點(diǎn)而且垂直平面垂直平面；在；在三維晶格三維晶格中，中，旋轉(zhuǎn)軸一定要通過(guò)旋轉(zhuǎn)軸一定要通過(guò)某一個(gè)格點(diǎn)而且平行于某一個(gè)晶向。某一個(gè)格點(diǎn)而且平行于某

15、一個(gè)晶向。 即：晶體中允許的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)軸只能是即：晶體中允許的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)軸只能是1 1，2 2，3 3，4 4和和6 6重軸重軸稱(chēng)為稱(chēng)為晶體的對(duì)稱(chēng)性定律晶體的對(duì)稱(chēng)性定律 晶體的對(duì)稱(chēng)性定律的證明晶體的對(duì)稱(chēng)性定律的證明 如果如果繞繞A A轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 角角, ,晶格保持不變晶格保持不變( (對(duì)稱(chēng)操作對(duì)稱(chēng)操作).).則則該操作將使該操作將使B B 格點(diǎn)轉(zhuǎn)到格點(diǎn)轉(zhuǎn)到 位置位置, ,則由于轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)則由于轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)操作不改變格子操作不改變格子, ,在在 處必定原來(lái)就有一個(gè)格點(diǎn)。處必定原來(lái)就有一個(gè)格點(diǎn)。BB因?yàn)橐驗(yàn)锽 和和A 完全等價(jià)完全等價(jià), ,所有旋轉(zhuǎn)同樣可以繞所有旋轉(zhuǎn)同樣可以繞B 進(jìn)行進(jìn)行. .如圖如圖, ,A為格

16、點(diǎn)為格點(diǎn), ,B為離為離A最近最近的格點(diǎn)之一的格點(diǎn)之一, ,則與則與 平行的平行的格點(diǎn)之間的距離一定是格點(diǎn)之間的距離一定是 的的整數(shù)倍整數(shù)倍。 AB AB 由此可設(shè)想繞由此可設(shè)想繞B B 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 角，這將使角，這將使A 格點(diǎn)轉(zhuǎn)到格點(diǎn)轉(zhuǎn)到 的的位置。同樣位置。同樣 處原來(lái)也必定有一個(gè)格點(diǎn)處原來(lái)也必定有一個(gè)格點(diǎn)AAABAB aaa亦即亦即：2 cos()aama1 2cosm 1cos1 而且而且, ,m必須為整數(shù)必須為整數(shù), ,所以所以, ,m只能取只能取 -1,0,1,2,3由于由于 組成等腰梯形組成等腰梯形, ,ABA B ,A BmABma m為整數(shù)為整數(shù)ABAB aaa因此因此與與m=-1

17、,0,1,2,3相應(yīng)的轉(zhuǎn)角為相應(yīng)的轉(zhuǎn)角為: :22222 ,1,6,4,3,26432n 通常把晶體中通常把晶體中軸次最高的轉(zhuǎn)動(dòng)軸軸次最高的轉(zhuǎn)動(dòng)軸稱(chēng)作稱(chēng)作主對(duì)稱(chēng)主對(duì)稱(chēng)軸軸，簡(jiǎn)稱(chēng)，簡(jiǎn)稱(chēng)主軸主軸 ( (但是立方晶系則以但是立方晶系則以3 3次軸為主軸次軸為主軸),),其它為其它為副軸副軸. .一個(gè)一個(gè)鏡面反映鏡面反映對(duì)稱(chēng)操作對(duì)稱(chēng)操作(symmetry operation of mirror image)意味著將點(diǎn)陣對(duì)應(yīng)于某一個(gè)面進(jìn)行意味著將點(diǎn)陣對(duì)應(yīng)于某一個(gè)面進(jìn)行反射反射, ,點(diǎn)陣保持不變點(diǎn)陣保持不變. .這表明一系列格點(diǎn)對(duì)應(yīng)于這這表明一系列格點(diǎn)對(duì)應(yīng)于這個(gè)反射面的位置是等價(jià)的個(gè)反射面的位置是等價(jià)的,

18、 ,點(diǎn)陣具有鏡反射對(duì)稱(chēng)點(diǎn)陣具有鏡反射對(duì)稱(chēng)性性. .如以如以xyxy面為反射面面為反射面, ,則則(x,y,z)(x,y,-z)中心反演中心反演, ,如如對(duì)原點(diǎn)的反演對(duì)原點(diǎn)的反演, ,(x,y,z) (-x,-y,-z) 以上為以上為3 3種基本對(duì)稱(chēng)操作。然而，在某些晶體中種基本對(duì)稱(chēng)操作。然而，在某些晶體中還存在著等價(jià)于還存在著等價(jià)于相繼進(jìn)行兩個(gè)基本對(duì)稱(chēng)操作相繼進(jìn)行兩個(gè)基本對(duì)稱(chēng)操作( (乘乘法法則法法則) )而得到的獨(dú)立對(duì)稱(chēng)操作，稱(chēng)為而得到的獨(dú)立對(duì)稱(chēng)操作，稱(chēng)為組合操作組合操作組合操作組合操作: :也叫也叫旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)- -反映反映或或象轉(zhuǎn)象轉(zhuǎn)操作操作 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)+ +垂直于轉(zhuǎn)軸垂直于轉(zhuǎn)軸的平面鏡像反映

19、的平面鏡像反映非正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)非正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng) (improper rotation)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)- -反演反演( (倒反倒反) )旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)+ +中心反演中心反演 總之，上述總之，上述對(duì)稱(chēng)操作對(duì)稱(chēng)操作滿(mǎn)足數(shù)學(xué)上構(gòu)成群的滿(mǎn)足數(shù)學(xué)上構(gòu)成群的條件，一個(gè)晶體的所有條件，一個(gè)晶體的所有點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作集合形成該集合形成該晶體點(diǎn)群晶體點(diǎn)群。理論和實(shí)驗(yàn)證明，所有晶體結(jié)構(gòu)的。理論和實(shí)驗(yàn)證明，所有晶體結(jié)構(gòu)的宏觀對(duì)稱(chēng)性，可概括為宏觀對(duì)稱(chēng)性，可概括為3232個(gè)晶體點(diǎn)群個(gè)晶體點(diǎn)群。 對(duì)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作的類(lèi)型對(duì)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作的類(lèi)型, ,固體物理固體物理中慣用中慣用熊夫利符熊夫利符號(hào)號(hào)(Schoenflies notation)標(biāo)記標(biāo)記;

20、 ;晶體學(xué)家慣用晶體學(xué)家慣用國(guó)際符號(hào)國(guó)際符號(hào)(Schoenflies notation)標(biāo)記標(biāo)記. .在晶體結(jié)構(gòu)分析中在晶體結(jié)構(gòu)分析中, ,常用后者常用后者. P28-29P28-29表表2.12.1給出了給出了3232個(gè)晶體學(xué)點(diǎn)群，為了便個(gè)晶體學(xué)點(diǎn)群，為了便于大家看懂，下面給出符號(hào)的說(shuō)明于大家看懂，下面給出符號(hào)的說(shuō)明12346,nCC C C C C表示表示n n次旋轉(zhuǎn)軸次旋轉(zhuǎn)軸 n=1,2,3,4,612346,nSS S S S S表示表示n n次旋轉(zhuǎn)次旋轉(zhuǎn)- -反反演軸演軸 n=1,2,3,4,62346,nDD D D D表示表示n個(gè)垂直于主軸的個(gè)垂直于主軸的2次旋轉(zhuǎn)軸次旋轉(zhuǎn)軸n=2

21、,3,4,61iCSi表示中心反演表示中心反演T四個(gè)四個(gè)3次軸、三個(gè)次軸、三個(gè)2次軸，按四面體型分布次軸，按四面體型分布熊夫利符號(hào)熊夫利符號(hào)2sCS表示鏡面反映表示鏡面反映O四個(gè)四個(gè)3次軸、三個(gè)次軸、三個(gè)4次軸，按八面體型分布次軸，按八面體型分布為了表明為了表明對(duì)稱(chēng)面相對(duì)于旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱(chēng)面相對(duì)于旋轉(zhuǎn)軸的位置，還有如下的位置，還有如下附加指標(biāo)：附加指標(biāo)：下角標(biāo)下角標(biāo)h(水平水平)表示垂直于旋轉(zhuǎn)軸表示垂直于旋轉(zhuǎn)軸下角標(biāo)下角標(biāo)v(鉛直鉛直)表示平行于旋轉(zhuǎn)軸表示平行于旋轉(zhuǎn)軸下角標(biāo)下角標(biāo)d(對(duì)角對(duì)角)表示平行于主軸且平分表示平行于主軸且平分2次軸之間的夾角次軸之間的夾角 國(guó)際符號(hào)國(guó)際符號(hào)熊夫利符號(hào)熊夫利符號(hào)

22、 國(guó)際符號(hào)以國(guó)際符號(hào)以不超過(guò)三個(gè)不超過(guò)三個(gè)幾何上的幾何上的從優(yōu)方向從優(yōu)方向來(lái)描述晶體的對(duì)稱(chēng)類(lèi)型，這些方向或來(lái)描述晶體的對(duì)稱(chēng)類(lèi)型，這些方向或平行于對(duì)平行于對(duì)稱(chēng)軸或垂直于對(duì)稱(chēng)面稱(chēng)軸或垂直于對(duì)稱(chēng)面國(guó)際符號(hào)國(guó)際符號(hào)n1,2,3,4,6 n次旋轉(zhuǎn)軸次旋轉(zhuǎn)軸nC1, 2, 3, 4,6n nS旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)-反演軸反演軸 (2)m 鏡面反映鏡面反映 2sCS1iCSi表示中心反演表示中心反演Inm垂直于鏡面的垂直于鏡面的n次旋轉(zhuǎn)軸次旋轉(zhuǎn)軸 nm平行于鏡面的平行于鏡面的n次旋轉(zhuǎn)軸次旋轉(zhuǎn)軸 2n垂直于一個(gè)或多個(gè)垂直于一個(gè)或多個(gè)2次軸次軸 的的n次主軸次主軸 2n垂直于一個(gè)或多個(gè)垂直于一個(gè)或多個(gè)2次軸次軸 的旋轉(zhuǎn)反演

23、軸的旋轉(zhuǎn)反演軸 nm平行于鏡面的平行于鏡面的n次旋轉(zhuǎn)反演軸次旋轉(zhuǎn)反演軸 如旋轉(zhuǎn)如旋轉(zhuǎn)-反演對(duì)稱(chēng)軸并反演對(duì)稱(chēng)軸并不都是獨(dú)立的基本獨(dú)立的基本對(duì)稱(chēng)素對(duì)稱(chēng)素。如：。如：12i1123456i 3312m21 注意，以上許多的操作并不都是獨(dú)立的注意，以上許多的操作并不都是獨(dú)立的/nmn mmm或垂直于一個(gè)鏡面但平行于其它反映面的垂直于一個(gè)鏡面但平行于其它反映面的n次次旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸 ABDCEFGH正四面體既無(wú)四正四面體既無(wú)四度軸也無(wú)對(duì)稱(chēng)心度軸也無(wú)對(duì)稱(chēng)心6=3+m12345661 2 3 4 5 CADGFHEB參考方俊鑫書(shū)參考方俊鑫書(shū)P37-39P37-39旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱(chēng)操作中只有旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱(chēng)操作中只有4

24、 4度度旋轉(zhuǎn)反演旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱(chēng)操作是獨(dú)立的對(duì)稱(chēng)操作是獨(dú)立的 獨(dú)立的對(duì)稱(chēng)操作有獨(dú)立的對(duì)稱(chēng)操作有8 8種種, ,即即1，2，3，4，6，i，m， 。 或或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。 4123443 1 4 2 所有點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作都可由這所有點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作都可由這8 8種操作或它們種操作或它們的組合來(lái)完成。的組合來(lái)完成。一個(gè)晶體的全部對(duì)稱(chēng)操作構(gòu)成一個(gè)晶體的全部對(duì)稱(chēng)操作構(gòu)成一個(gè)群一個(gè)群，每個(gè)操作都是群的一個(gè)元素。，每個(gè)操作都是群的一個(gè)元素。對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性不同的晶體屬于不同的群不同的晶體屬于不同的群。由旋轉(zhuǎn)、中心反演、。由旋轉(zhuǎn)、中心反演、鏡象和旋轉(zhuǎn)鏡象和旋轉(zhuǎn)-反演反演點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作構(gòu)成

25、構(gòu)成3232個(gè)個(gè)點(diǎn)群。點(diǎn)群。3.3.七個(gè)晶系七個(gè)晶系 在不考慮平移對(duì)稱(chēng)操作的基礎(chǔ)上，在不考慮平移對(duì)稱(chēng)操作的基礎(chǔ)上，3232個(gè)點(diǎn)群個(gè)點(diǎn)群屬于屬于7 7個(gè)晶系。個(gè)晶系。 7 7個(gè)晶系的劃分，可以說(shuō)是個(gè)晶系的劃分，可以說(shuō)是從簡(jiǎn)單格子出發(fā)來(lái)考慮的，簡(jiǎn)從簡(jiǎn)單格子出發(fā)來(lái)考慮的，簡(jiǎn)單格子含有一個(gè)格點(diǎn)。單格子含有一個(gè)格點(diǎn)。考慮到格矢考慮到格矢112233nRn an an a 所以，晶體的三維周期性結(jié)構(gòu)由所以，晶體的三維周期性結(jié)構(gòu)由 三個(gè)矢量的三個(gè)矢量的方向方向和和長(zhǎng)度長(zhǎng)度來(lái)決定，存在來(lái)決定，存在7 7類(lèi)不同類(lèi)不同的組合的組合，即，即7 7個(gè)晶系個(gè)晶系。123,a a a 7 7個(gè)晶系為：個(gè)晶系為：三斜三斜晶

26、系、晶系、單斜單斜晶系、晶系、正交正交晶系、晶系、三角三角晶系、晶系、四方四方晶系、晶系、六角六角晶系、晶系、立方立方晶系。晶系。( (按對(duì)稱(chēng)性來(lái)排序按對(duì)稱(chēng)性來(lái)排序) )1( )a a 3( )a c 2( )a b7.7.立方晶系立方晶系：090abc5.5.三角晶系：三角晶系：0090120abc6.6.六角晶系六角晶系：0090120abc3.3.正交晶系正交晶系：090abc4.4.四方晶系四方晶系090abc 090abc2.2.單斜晶系單斜晶系：1.1.三斜晶系三斜晶系： abc7 7個(gè)晶系個(gè)晶系( (由由簡(jiǎn)單格子簡(jiǎn)單格子確定確定, ,用符號(hào)用符號(hào)P P表示表示) )1( )a a

27、 3( )a c 2( )a b三、空間群和三、空間群和1414種布拉維格子種布拉維格子7 7個(gè)晶系個(gè)晶系(crystal system)相應(yīng)的點(diǎn)群相應(yīng)的點(diǎn)群122436,hhhdhhS CDDDDO其它點(diǎn)群為這其它點(diǎn)群為這7 7個(gè)點(diǎn)群的子群個(gè)點(diǎn)群的子群( (見(jiàn)見(jiàn)P28P28表表2.12.1) ) 如果進(jìn)一步考慮晶體的如果進(jìn)一步考慮晶體的微觀對(duì)稱(chēng)性微觀對(duì)稱(chēng)性, ,對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)操作中還應(yīng)包含操作中還應(yīng)包含: :平移、螺旋旋轉(zhuǎn)平移、螺旋旋轉(zhuǎn)和和滑移反映滑移反映. . 對(duì)稱(chēng)性在對(duì)稱(chēng)性在宏觀上宏觀上表現(xiàn)為晶體外形的對(duì)稱(chēng)及表現(xiàn)為晶體外形的對(duì)稱(chēng)及物理性質(zhì)在不同方向上的對(duì)稱(chēng)性物理性質(zhì)在不同方向上的對(duì)稱(chēng)性. .所

28、以又稱(chēng)所以又稱(chēng)宏宏觀對(duì)稱(chēng)性觀對(duì)稱(chēng)性, ,其其對(duì)稱(chēng)操作對(duì)稱(chēng)操作前面已經(jīng)講述前面已經(jīng)講述. .1.1.平移對(duì)稱(chēng)操作和空間群平移對(duì)稱(chēng)操作和空間群(1)(1)平移和平移軸：平移和平移軸：圖形中各點(diǎn)按一矢量進(jìn)行移動(dòng)的操作稱(chēng)為平移；進(jìn)行圖形中各點(diǎn)按一矢量進(jìn)行移動(dòng)的操作稱(chēng)為平移；進(jìn)行平移所憑借的直線稱(chēng)為平移軸。顯然，此時(shí)圖形應(yīng)是無(wú)限的平移所憑借的直線稱(chēng)為平移軸。顯然，此時(shí)圖形應(yīng)是無(wú)限的-點(diǎn)陣。點(diǎn)陣。 （2）螺旋旋轉(zhuǎn)與螺旋旋轉(zhuǎn)與n度螺旋軸度螺旋軸: :若繞軸若繞軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)2 /n角角以后以后, ,再再沿軸方向平移沿軸方向平移l(T/n),晶體能自身晶體能自身重合重合, ,則稱(chēng)此軸為則稱(chēng)此軸為n n度螺旋軸度螺

29、旋軸. .其中其中T是軸方向的是軸方向的周期周期, ,l是小于是小于n n的整數(shù)的整數(shù). .n只能取只能取1、2、3、4、6。 （2 2）滑移反映和滑移）滑移反映和滑移面：面：若經(jīng)過(guò)某面進(jìn)行若經(jīng)過(guò)某面進(jìn)行鏡象鏡象操作操作后后, ,再沿平行于該面再沿平行于該面的某個(gè)方向平移的某個(gè)方向平移T/n后后, ,晶晶體能自身重合體能自身重合, ,則稱(chēng)此面則稱(chēng)此面為滑移反映面為滑移反映面. . T是平行是平行方向的周期方向的周期, , n可取可取2 2或或4.4.4度螺旋軸度螺旋軸MM滑移反映面滑移反映面 點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作加上加上平移操作平移操作構(gòu)成構(gòu)成空間群空間群。全部。全部晶體構(gòu)成晶體構(gòu)成23023

30、0種種空間群，即有空間群，即有230230種對(duì)稱(chēng)類(lèi)型。種對(duì)稱(chēng)類(lèi)型。2. 142. 14種布拉維格子種布拉維格子 根據(jù)不同的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性，將晶體分為根據(jù)不同的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性，將晶體分為7 7大晶大晶系，對(duì)應(yīng)系，對(duì)應(yīng)7 7個(gè)簡(jiǎn)單格子；進(jìn)一步考慮平移對(duì)稱(chēng)個(gè)簡(jiǎn)單格子；進(jìn)一步考慮平移對(duì)稱(chēng)操作后，還有操作后，還有7 7種復(fù)式格子，所以共有種復(fù)式格子，所以共有1414種布種布拉維晶格拉維晶格。abc 7 7大晶系的特征及大晶系的特征及1414種布拉維種布拉維晶格如下所述：晶格如下所述：1.1.三斜晶系：三斜晶系： , cba 090cba2.2.單斜晶系：?jiǎn)涡本担?.3.三角晶系：三角晶系：0012090 cba簡(jiǎn)

31、單三斜簡(jiǎn)單三斜( (1) )簡(jiǎn)單單斜簡(jiǎn)單單斜( (2) ) 底心單斜底心單斜( (3) )三角三角( (4) )4.4.正交晶系：正交晶系：090 cba簡(jiǎn)單正交簡(jiǎn)單正交( (5) )，底心正交，底心正交( (6) )體心正交體心正交( (7) )，面心正交，面心正交( (8) )5.5.四角系：四角系：( (正方晶系正方晶系) )090 cba簡(jiǎn)單四角簡(jiǎn)單四角( (9) )，體心四角，體心四角( (10) )6.6.六角晶系：六角晶系：0012090 cba六角六角( (11) )7.7.立方晶系：立方晶系：090 cba簡(jiǎn)立方簡(jiǎn)立方( (12) )，體心立方，體心立方( (13) )，面心

32、立方面心立方( (14) )簡(jiǎn)單三斜簡(jiǎn)單三斜( (1) ) 090, cba簡(jiǎn)單單斜簡(jiǎn)單單斜( (2) )底心單斜底心單斜(3)1 1）. .三斜晶系：三斜晶系： 2 2）. .單斜晶系：?jiǎn)涡本担?,cba3 3）. .三角晶系：三角晶系：三角三角( (4) )0012090 cba4 4）. .正交晶系：正交晶系：090 ,cba簡(jiǎn)單正交簡(jiǎn)單正交( (5) )底心正交底心正交( (6) )體心正交體心正交( (7) )面心正交面心正交( (8) )5 5）. .四方晶系四方晶系090 cba體心四方體心四方( (10) )簡(jiǎn)單四方簡(jiǎn)單四方( (9) )6 6）. .六角晶系：六角晶系：00

33、12090 cba六角六角( (11) )7 7）. .立方晶系：立方晶系：090 cba簡(jiǎn)立方簡(jiǎn)立方( (12) )體心立方體心立方( (13) )面心立方面心立方( (14) ) 從表面上來(lái)看，上述布拉維格子似乎還可以從表面上來(lái)看，上述布拉維格子似乎還可以增加一些體心、面心或底心格子。但實(shí)際上，這增加一些體心、面心或底心格子。但實(shí)際上，這樣做所得的樣做所得的格子仍是格子仍是1414種之一種之一，或者不是布拉維，或者不是布拉維格子。格子。 如四方晶系如四方晶系只有簡(jiǎn)單四角和只有簡(jiǎn)單四角和體心四角；如果體心四角；如果增加一個(gè)面心四增加一個(gè)面心四角，結(jié)果仍是體角，結(jié)果仍是體心四角。心四角。a立方

34、立方aaaaa三方三方三斜三斜abc正交正交abcabc單斜單斜aaac六方六方aac四方四方 將相同的將相同的原子、離子或者原子集團(tuán)原子、離子或者原子集團(tuán)置于各個(gè)置于各個(gè)等價(jià)等價(jià)格點(diǎn)格點(diǎn)上上, ,就得到就得到晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu). .每種晶體結(jié)構(gòu)都是基于每種晶體結(jié)構(gòu)都是基于1414種種布拉維格子布拉維格子中的一個(gè)平移系統(tǒng)而形成的中的一個(gè)平移系統(tǒng)而形成的. .總之總之, ,布拉維布拉維格子按照點(diǎn)群來(lái)分有格子按照點(diǎn)群來(lái)分有7 7類(lèi)類(lèi), ,按空間群來(lái)分按空間群來(lái)分, ,有有1414類(lèi)；晶體類(lèi)；晶體按照點(diǎn)群來(lái)分有按照點(diǎn)群來(lái)分有3232類(lèi)類(lèi), ,按空間群來(lái)分按空間群來(lái)分, ,有有230230類(lèi)類(lèi). . 空

35、間格子空間格子與與晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)這兩個(gè)概念含義并這兩個(gè)概念含義并不相同，不相同，“格子格子”純屬幾何概念純屬幾何概念，是晶體結(jié)，是晶體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)抽象；而構(gòu)的數(shù)學(xué)抽象；而“晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)”則則具有物理具有物理意義意義。3. 3. 230230種空間群國(guó)際符號(hào)說(shuō)明種空間群國(guó)際符號(hào)說(shuō)明： 空間群國(guó)際符號(hào)的空間群國(guó)際符號(hào)的第一個(gè)字母表示布拉維格第一個(gè)字母表示布拉維格子的類(lèi)型子的類(lèi)型，即：，即：P簡(jiǎn)單格子；簡(jiǎn)單格子；I體心格子；體心格子；F面心格子；面心格子；C底心底心(a1和和a2形成的底面形成的底面);B底心底心(a2和和a3形成的底面形成的底面); A底心底心(a1和和a3形成的底面形成的底面

36、);R三角格子三角格子其余符號(hào)與其余符號(hào)與點(diǎn)群相同點(diǎn)群相同。仔細(xì)閱讀仔細(xì)閱讀P29-30，加深對(duì)加深對(duì)符號(hào)的含義的理解。如：符號(hào)的含義的理解。如：4/m;m3m等。等?？臻g群國(guó)際符號(hào)空間群國(guó)際符號(hào)四、點(diǎn)群對(duì)稱(chēng)性和晶體的物理性質(zhì)四、點(diǎn)群對(duì)稱(chēng)性和晶體的物理性質(zhì) 對(duì)于一個(gè)具體的物理體系，若知道它的幾對(duì)于一個(gè)具體的物理體系，若知道它的幾何對(duì)稱(chēng)性，就可以確定它的某種物理性質(zhì)。何對(duì)稱(chēng)性，就可以確定它的某種物理性質(zhì)。 表征晶體對(duì)稱(chēng)性和其物理性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性之間表征晶體對(duì)稱(chēng)性和其物理性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性之間關(guān)系的是所謂的關(guān)系的是所謂的Neumann原理原理，即：，即： 晶體的任一宏觀物理性質(zhì)一定具有它所屬點(diǎn)晶體的任一宏觀物理

37、性質(zhì)一定具有它所屬點(diǎn)群的一切對(duì)稱(chēng)性群的一切對(duì)稱(chēng)性. 比如：比如：1.1.一個(gè)體系具有一個(gè)體系具有鏡像反映鏡像反映對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性, ,則該對(duì)稱(chēng)操作則該對(duì)稱(chēng)操作變矢量變矢量左旋左旋為為右旋右旋, ,因而該對(duì)稱(chēng)體系因而該對(duì)稱(chēng)體系無(wú)旋光性無(wú)旋光性. .2.2.一個(gè)體系具有一個(gè)體系具有軸軸對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性, ,則偶極矢量則偶極矢量應(yīng)在軸上應(yīng)在軸上, ,因而因而如有兩個(gè)以上非重合對(duì)稱(chēng)軸如有兩個(gè)以上非重合對(duì)稱(chēng)軸, ,則體系則體系無(wú)偶極無(wú)偶極矩矩; ;3. . 19551955年年-1956-1956年年, ,別洛夫和陶格爾全面導(dǎo)出別洛夫和陶格爾全面導(dǎo)出了了磁對(duì)稱(chēng)群磁對(duì)稱(chēng)群(magnetic symmetry gr

38、oup), ,磁對(duì)稱(chēng)磁對(duì)稱(chēng)群含有一個(gè)新的對(duì)稱(chēng)性：群含有一個(gè)新的對(duì)稱(chēng)性：時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)( (t t-t)-t). .顯然，若一個(gè)系統(tǒng)具有顯然，若一個(gè)系統(tǒng)具有時(shí)間反演時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)( (t t-t),-t),那么其中的電流和磁矩一定那么其中的電流和磁矩一定為零為零. .而而時(shí)間反演對(duì)時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)的稱(chēng)的破缺破缺, ,則意味著則意味著電流和磁矩電流和磁矩不為零不為零2.3 2.3 幾種常見(jiàn)的晶體結(jié)構(gòu)幾種常見(jiàn)的晶體結(jié)構(gòu) 大部分內(nèi)容我們前面已經(jīng)講過(guò)了，這一節(jié)大部分內(nèi)容我們前面已經(jīng)講過(guò)了，這一節(jié)自己課下進(jìn)一步學(xué)習(xí)，這里僅僅補(bǔ)充說(shuō)明一下自己課下進(jìn)一步學(xué)習(xí)，這里僅僅補(bǔ)充說(shuō)明一下HCPHCP結(jié)構(gòu)的一種技術(shù)上常用的晶面標(biāo)記方法結(jié)構(gòu)的一種技術(shù)上常用的晶面標(biāo)記方法 若若有對(duì)稱(chēng)面有對(duì)稱(chēng)面, ,偶極矩應(yīng)偶極矩應(yīng)在對(duì)稱(chēng)面在對(duì)稱(chēng)面上上; ;若有兩若有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)面?zhèn)€對(duì)稱(chēng)面, ,偶極矩應(yīng)在兩對(duì)稱(chēng)面的交線上偶極矩應(yīng)在兩對(duì)稱(chēng)面的交線上. .H