經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-兩個(gè)重要極限

1、一、夾逼準(zhǔn)則一、夾逼準(zhǔn)則二、單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則二、單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則四、連續(xù)復(fù)利四、連續(xù)復(fù)利極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限第五節(jié)第五節(jié)三、兩個(gè)重要極限三、兩個(gè)重要極限連續(xù)復(fù)利連續(xù)復(fù)利一、夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果數(shù)列如果數(shù)列nnyx ,及及 nz滿足下列條件滿足下列條件: : ,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末數(shù)列那末數(shù)列nx的極限存在的極限存在, , 且且axnn lim. . 證證,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN ,1 ayNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng),max21NNN 取取恒有恒有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Nn , ayan即即,

2、2 azNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng), azan上兩式同時(shí)成立上兩式同時(shí)成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果當(dāng)如果當(dāng)),(00 xUx ( (或或Mx ) )時(shí)時(shí), ,有有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. . 注意注意: :.,的的極極限限是是容容易易求求的的與與并并且且與與鍵鍵是是構(gòu)構(gòu)造造出出利利用用夾夾逼逼準(zhǔn)準(zhǔn)則則求求極極限限關(guān)關(guān)nn

3、nnzyzy準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I和和準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I稱為稱為夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則.例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn例例2 求求.)321(lim1nnnn 解解由由,313213)321(11nnnnnn 易見對任意自然數(shù)易見對任意自然數(shù),n有有, 3313211 nn故故.3331321313111nnnnn 而而, 313lim1 nn, 333lim1 nn所以所以例例2 求求.)321

4、(lim1nnnn 解解 而而, 313lim1 nn, 333lim1 nn所以所以nnnn1)321(lim . 3 nnnn1313213lim 例例3解解求求.)(1)1(11lim222 nnnnn設(shè)設(shè).)(1)1(11222nnnnxn 顯然顯然 ,2222)2(1)2(1)2(141nnnnn nx 22221111nnnnn 又又, 041lim2 nnn, 01lim2 nnn由夾逼準(zhǔn)則知由夾逼準(zhǔn)則知, 0lim nnx即即. 0)(1)1(11lim222 nnnnn例例4解解求求.!limnnnn 由由nnnnnnnn 321!nnnnnnn 21,22n 易見易見.2!

5、02nnnn 又又. 02lim2 nn所以所以. 0!lim2 nnn例例 5 求極限求極限.coslim0 xx解解 因?yàn)橐驗(yàn)?2222sin2cos10222xxxx 故由準(zhǔn)則故由準(zhǔn)則 I, 0)cos1(lim0 xx故故. 1coslim0 xx得得二、單調(diào)有界準(zhǔn)則二、單調(diào)有界準(zhǔn)則如果數(shù)列如果數(shù)列滿足條件滿足條件nx,121 nnxxxx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)則準(zhǔn)則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限. .例如例如, ,單調(diào)增加數(shù)列單調(diào)增加數(shù)列: :單調(diào)減少數(shù)列單調(diào)減少數(shù)列: :.11nxn .11nxn x1x2x3x1 nx

6、nx幾何解釋幾何解釋:AM例例6證證設(shè)有數(shù)列設(shè)有數(shù)列, 31 x,312xx ,31 nnxx求求.limnnx 顯然顯然,1nnxx nx是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的. .下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明nx有界有界. .因?yàn)橐驗(yàn)? 331 x假定假定, 3 kx則則kkxx 3133 . 3 所以所以nx是有界的是有界的. . 從而從而Axnn lim存在存在. .由遞推關(guān)系由遞推關(guān)系,31nnxx 得得,321nnxx 即即,32AA ),3(limlim21nnnnxx 故故解得解得,2131 A2131 A(舍去舍去). .所以所以.2131lim nnxAC1.作為準(zhǔn)則作為

7、準(zhǔn)則 的應(yīng)用，下面證明一個(gè)重要的極的應(yīng)用，下面證明一個(gè)重要的極限限1sinlim0 xxx,O設(shè)單位圓設(shè)單位圓如右圖，如右圖，,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD.ACO ，得作單位圓的切線,xOAB的圓心角為扇形,BDOAB的高為 (0)2AOBxx 圓圓心心角角三、兩個(gè)重要極限三、兩個(gè)重要極限,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式對于上式對于 x,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又

8、. 1sinlim0 xxx例例7解解求求.tanlim0 xxxxxxxxxxcos1sinlimtanlim00 xxxxxcos1limsinlim00 . 1 例例8解解求求.5sin3tanlim0 xxxxxxxxxx3cos15sin3sinlim5sin3tanlim00 xxxxxx3cos15355sin33sinlim0 15311 .53 例例9解解求求.cos1lim20 xxx 原式原式2202sin2limxxx 22022sinlim21 xxx2022sinlim21 xxx2121 .21 例例1010 求求xxxarcsinlim0解解: 令令,arcsi

9、n xt 則則,sintx 因此因此原式原式tttsinlim0 1lim0tttsin1例例10解解下列運(yùn)算過程是否正確下列運(yùn)算過程是否正確: :xxxxxxxxsintanlimsintanlim xxxxxxsinlimtanlim . 1 這種運(yùn)算是錯誤的這種運(yùn)算是錯誤的. . 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí), , 1tanxx, 1sinxx本題本題 , x所以不能應(yīng)用上述方法進(jìn)行計(jì)算所以不能應(yīng)用上述方法進(jìn)行計(jì)算. .例例11下列運(yùn)算過程是否正確下列運(yùn)算過程是否正確: :xxxsintanlim 正確的作法如下正確的作法如下. .令令, tx 則則; tx 當(dāng)當(dāng) x時(shí)時(shí), , 0t)sin()tan

10、(limsintanlim0ttxxtx . 1sintanlim0 ttttt于是于是tttsintanlim0 例例12解解計(jì)算計(jì)算.cossin1lim20 xxxxx xxxxxcossin1lim20 xxxxxxxxcossin1)cossin1(lim20 220sincos1)cossin1limxxxxxxxxx 12111 .34 exxx )11(lim定義定義ennn )11(limnnnx)11( 設(shè)設(shè) 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( 2、準(zhǔn)則、準(zhǔn)則的應(yīng)用，可以證明一個(gè)

11、重要的極限的應(yīng)用，可以證明一個(gè)重要的極限).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e類似地類似地,因因此此的的極極限限都都存存在在且且等等于于時(shí)時(shí)，函函數(shù)數(shù)或或取取實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)而而趨趨向向可可以以證證明明，當(dāng)當(dāng),)11(exxx .)11(limexxx ezzxxzzz 10)1(lim,01于于是是

12、有有時(shí)時(shí)，則則當(dāng)當(dāng)利利用用代代換換例例13解解求求.11lim3 nnn311lim nnn 31111limnnnn31111lim nnnn1 e. e 例例14解解.)21(lim10 xxx 求求xxx10)21(lim 2210)21(lim xxx.2 e例例15解解求求.11limxxx xxx 11limxxx 11lim111lim xxxxxx 111lim.1e 例例16解解求求.23lim2xxxx xxxx223lim 2211lim xxx222211lim xxx422211211lim xxxx.2e 例例17解解求求.1lim22xxxx xxxx 1lim2

13、2xxx 111lim211222111lim xxxxx0e . 1 例例1818解解.)1ln(lim0 xxx 求求. 1ln)1(limln)1ln(lim)1ln(lim10100 exxxxxxxxx例例1919解解)1ln(lim1lim00uuxeuxx .1lim0 xexx 求求,1uex 令令),1ln(ux 即即, 0,0ux有有時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)uuu)1ln(1lim0 . 1 三、單利與復(fù)利三、單利與復(fù)利利息是指借款者向貨款者支付的報(bào)酬利息是指借款者向貨款者支付的報(bào)酬, ,它是根據(jù)本它是根據(jù)本金的數(shù)額按一定比例計(jì)算出來的金的數(shù)額按一定比例計(jì)算出來的. .利息又有存款利利

14、息又有存款利單利計(jì)算公式單利計(jì)算公式 設(shè)初始本金為設(shè)初始本金為p(元元), ,銀行年利率為銀行年利率為. r則第一年末本利和為則第一年末本利和為rppS 1)1(rp 則第二年末本利和為則第二年末本利和為rprpS )1(2)21(rp 第第n年末的本利和為年末的本利和為)1(nrpSn 息息、債款利息、貼現(xiàn)利息等債款利息、貼現(xiàn)利息等貨款利息、貨款利息、幾種主要形式幾種主要形式.復(fù)利計(jì)算公式復(fù)利計(jì)算公式 設(shè)初始本金為設(shè)初始本金為p(元元), ,銀行年利率為銀行年利率為. r則第一年末本利和則第一年末本利和rppS 1)1(rp 則第二年末本利和則第二年末本利和)1()1(2rrprpS 本金本

15、金利息利息2)1(rp 若若n年末的本利和為年末的本利和為nnrpS)1( 四、多次付息四、多次付息現(xiàn)在來討論每年多次付息的情況現(xiàn)在來討論每年多次付息的情況. .單利付息情況單利付息情況 因每次的利息都不計(jì)入本金因每次的利息都不計(jì)入本金, ,故若故若一年分一年分n次付息次付息, , 則年末的本利和為則年末的本利和為)1(nrnpS )1(rp 即年末的本利和與支付利息的次數(shù)無關(guān)即年末的本利和與支付利息的次數(shù)無關(guān). .復(fù)利付息情況復(fù)利付息情況 因每次支付的利息都記入本金因每次支付的利息都記入本金, ,故故年末的本利和支付利息的次數(shù)是有關(guān)系的年末的本利和支付利息的次數(shù)是有關(guān)系的. .設(shè)初始本金為設(shè)

16、初始本金為p(元元), ,年利率為年利率為, r息息, 則一年末的本利和為則一年末的本利和為若一年分若一年分m次付次付mmrpS)1( 易見本利和是隨易見本利和是隨m的增大而增加的的增大而增加的. .本利和為本利和為而而n年末的年末的mnnmrpS)1( 五、連續(xù)復(fù)利五、連續(xù)復(fù)利設(shè)初始本金為設(shè)初始本金為P(元元), ,年利率為年利率為, r按復(fù)利付息按復(fù)利付息, ,m一年分一年分次付息次付息, ,則第則第t年末的本利和為年末的本利和為若若mttmrPS)1( 利用二項(xiàng)展開式利用二項(xiàng)展開式, ,有有,1)1(rmrmt 因而因而tmtrPmrP)1()1( )0( t即一年計(jì)算即一年計(jì)算m次復(fù)利

17、的本利次復(fù)利的本利復(fù)利的本利和要大復(fù)利的本利和要大, ,且復(fù)利計(jì)算次數(shù)愈頻繁且復(fù)利計(jì)算次數(shù)愈頻繁, ,計(jì)算計(jì)算和比一年計(jì)算一次和比一年計(jì)算一次復(fù)利的本利和要大復(fù)利的本利和要大, ,且復(fù)利計(jì)算次數(shù)愈頻繁且復(fù)利計(jì)算次數(shù)愈頻繁, ,計(jì)算計(jì)算所得的本利和數(shù)額就愈大所得的本利和數(shù)額就愈大, , 但是也不會無限增大但是也不會無限增大,因?yàn)橐驗(yàn)閙tmmrP)1(lim rtrmmmrP )1(limrtPe 所以所以, ,本金為本金為,P按名義年利率按名義年利率r不斷計(jì)算復(fù)利不斷計(jì)算復(fù)利, , 則則t年后的本利和年后的本利和rtPeS 注注:連續(xù)復(fù)利的計(jì)算公式在其它許多問題中也常有連續(xù)復(fù)利的計(jì)算公式在其它許

18、多問題中也常有應(yīng)用應(yīng)用如細(xì)胞分裂、樹木增長等問題如細(xì)胞分裂、樹木增長等問題. .例例20一投資者欲用一投資者欲用1000元投資元投資5年年, , 設(shè)年利率為設(shè)年利率為%,6試分別按單利、復(fù)利、每年按試分別按單利、復(fù)利、每年按4次復(fù)利和連續(xù)次復(fù)利和連續(xù)復(fù)利付息方式計(jì)算復(fù)利付息方式計(jì)算, , 到第到第5年末年末, ,該投資者應(yīng)得的本該投資者應(yīng)得的本利和利和.S解解按單利計(jì)算按單利計(jì)算506. 010001000 S1300 (元元). .按復(fù)利計(jì)算按復(fù)利計(jì)算5)06. 01(1000 S33823. 11000 23.1338 (元元). .按每年計(jì)算復(fù)利按每年計(jì)算復(fù)利4次計(jì)算次計(jì)算54)406.

19、 01(1000 S20015. 11000 34686. 11000 86.1346 (元元). .按連續(xù)復(fù)利計(jì)算按連續(xù)復(fù)利計(jì)算506. 01000 eS3 . 01000 e 86.1349 (元元). .思考題思考題求極限求極限 xxxx193lim 思考題解答思考題解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e四、小結(jié)1.兩個(gè)準(zhǔn)則兩個(gè)準(zhǔn)則2.兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 .; 1sinlim10 某過程某過程.)1(lim210e 某過程某過程,為某過程中的無窮小為某過程中的無窮小設(shè)設(shè) 思考題

20、思考題 有小兔一對，若第二個(gè)月它們成年，第三個(gè)月生下小兔一對，以后每月生產(chǎn)小兔一對. 而所生小兔亦在第二個(gè)月成年，第三個(gè)月生產(chǎn)另一對小兔，以后每月亦生產(chǎn)小兔一對. 假定每產(chǎn)一對小兔必為一雌一雄，且均無死亡，試問一年后共有小兔幾對？并求出許多年后，兔子總對數(shù)的月增長率. 解解 若用“”、“”分別表示一對未成年和成年的兔子，則根據(jù)題設(shè)有下面的小兔繁殖數(shù)量圖： 去年12月 1今年 1 月 12 月 23 月 34 月 55 月 86 月 13 從上圖可看出, 從三月份開始, 每月的兔子總數(shù)恰好等于它前面兩個(gè)月的兔子總數(shù)之和. 按此規(guī)律可寫出數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233可見一年后共有兔子233對. 按上述規(guī)律寫出的無限項(xiàng)數(shù)列為著名的斐波那契(Fibonacci)數(shù)列, 其通項(xiàng)為 1125125151nnnF且此數(shù)列有遞推關(guān)系：), 2 , 1 , 0(12nFFFnnn月相對就是第則記1%100) 1(,1nbFFbnnnn第n月的兔子對數(shù)的增長率 nnbnlim), 2 , 1 , 0(若數(shù)的月就表示許多年后兔子對則存在) 1lim(,nnb增長率。nnblim存在的證明及求法如下：證), 2 , 1(111111110nbFFFFFFFbbnnnnnnnnn用數(shù)學(xué)歸納法容易證明：數(shù)列2nb是單調(diào)增加的；數(shù)列12 nb是