考研數(shù)學(xué)強(qiáng)化班高等數(shù)學(xué)講義

1、第一講極限與連續(xù)主要內(nèi)容概括（略）重點題型講解一、極限問題類型一：連加或連乘的求極限問題1.求下列極限：(1)limn(2nJ；1)(2n1)；(3)limnk33nimk1k/V2.求下列極限:(1)lim1-n.4n211_4n223.求下列極限:(1)limnn222(3)limn/、xxx,(1)nimcos2cos歹cos歹(x0)；limnn1(n1)1sin；nlimnsinx211cosx.tanx(3)lim-x01sinx13x3ln(12x)；(4)limx1cos-xx2類型三：利用等價無窮小和麥克勞林公式求極限的問題1.求下列極限：(1)Hm1tanx1sinx；x0

2、x(1cosx)(2)xm0tanxexe；x(1cosx)(3)12cosx、x1；(4)lim(丄X(5)lim(3X)X3Xx0(6)設(shè)xmln(1型)sinxaxA，求lim纓。x0x2x2eT2.求下列極限:1.設(shè)x11,xn1,1Xn0，證明數(shù)列冷收斂，并求limnXn。2設(shè)f(x)在0,）上單調(diào)減少、非負(fù)、連續(xù),anf(k)k1n1f(x)dx(n1,2,），證明:cosxlim廠x0xsinx類型四：極限存在性問題：liman存在。n類型五：夾逼定理求極限問題:1n一土1sinX,1.求limdx;n01x12. lim(anbncn)n(a,b,c非負(fù))；n2n3.nim0)

3、。nXX(X2類型六：含參數(shù)的極限問題:1.設(shè)IXm0(x3sin*ax2b)0，求a,b；2.設(shè)limx-axb)x13，求a,b；類型七:中值定理法求極限:1、limn(arctanarctann2、limX1x2(e2x11e2x1)。類型八:變積分限函數(shù)求極限:/°(xtanx)(x11)2、設(shè)f(X)連續(xù)，且f(1)二、連續(xù)與間斷的判斷l(xiāng)n(1x)xxX1設(shè)f(x)0,x0.1x.1x,11xf(xt)dt。x31，討論函數(shù)f(x)在x0處的連續(xù)性。12討論f(x)(2X1,X三、連續(xù)性命題的證明1).(2x1),x00處的連續(xù)性。1設(shè)f(x)Ca,)且Jimf(x)存在，

4、證明f(x)在a,)上有界。2設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，任取p0,q0,證明：存在(a,b)，使得pf(a)qf(b)(pq)f()。第二講微分學(xué)第一部分一元函數(shù)微分學(xué)內(nèi)容復(fù)習(xí)(略)重點題型講解(一)與導(dǎo)數(shù)定義相關(guān)的問題1設(shè)f(X。)存在，求1叫血h)f(x。h)(2.設(shè)f(x)在xh1處連續(xù)，且012，求“1)。0)。3設(shè)f(x)在()上有定義，對任意的x,y有f(xy)f(x)f(y)，且f(0)1，求f(x)。4設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且lim也X0xf(0)e,J(x)J則lime一廠乞x0x25.設(shè)f(x)在()上有定義，且對任意的x有f(X1)2f(x)，又當(dāng)x0,1時，有f(x)

5、2x(1x)，討論f(x)在x0處的可導(dǎo)性。(二)各類求導(dǎo)數(shù)的問題精品文檔xxx.1sin1xx1.設(shè)yexe，求y;1x2設(shè)1xarctanye1x，求x(x1)(x2)(x100)，求y(0),y(101)4設(shè)f(x)由tln(1t3t2t)確定,5.設(shè)xyyx，求dy.dx6設(shè)exydytan(xy)y，求一dx7.設(shè)yxtety(x)由ty2tant23siny確定，5求巴；dx8設(shè)f(x)sinx2aex,x9arctanx2b(x1)3,x0處可導(dǎo)，求a,b；9求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)設(shè)y:xcost2dt,xx2(2)設(shè)yJf(tx2)dt，dx求dy；dx10設(shè)f(x)連續(xù),1

6、(x)0f(xt)dt，且A，求(x),并討論(x)在x0處的連續(xù)性。g(x)11.設(shè)f(x)a,xcosx,xX00，其中g(shù)(x)二階可導(dǎo)且g(0)1。(1)當(dāng)a為何值時,f(x)在x0處連續(xù)；(2)求f(x)；(3)研究f(x)在x0處的連續(xù)性。解答:(1)啊f(x)Ixm,g(x)COSx0x1COSX】x于是當(dāng)ag(0)時,f(x)在xg(0)，0處連續(xù)。(2)當(dāng)x0時，lim皿迥x0limx0g(0)cosXg(x)cosxg(0)精品文檔g(x)cosx2xg(0)xlimg(x)g(0)SinXx02x1尹g(0)，1即f(0)丄1g(0)；2當(dāng)x0時，f(x)xg(x)sinx

7、g(x)cosx2,.于是xf(x)1-1g(0),x02xg(x)sinxg(x)cosx2x(3)因為limf(x)limxg(x)sinx2g(x)cosxx0x0x2xm0吐亠叫沁11g(0)f,x0xx2所以f(x)在x0處連續(xù)。12.設(shè)f(x)在1,1上可導(dǎo)，f(x)在x0處二階可導(dǎo)，且f(0)0,f(0)f(x)fln(1x)3xx2en(x1)axb13.設(shè)f(x)nim閒，求f(x)，并討論f(x)的連續(xù)性和可導(dǎo)性。1e(三)高階導(dǎo)數(shù)問題1 .設(shè)yexsinx，求y;2 設(shè)yIn(x23x2)，求y(n)。3設(shè)f(x)xln(1x2)，求f(佝(0)。第二部分一元函數(shù)微分學(xué)的

8、應(yīng)用附：中值定理部分的推廣內(nèi)容復(fù)習(xí)(略)1設(shè)f(x)在xX。的鄰域內(nèi)n階連續(xù)可導(dǎo)，則有f(x)f(X°)f(X°)(XX0)皿(xX0)no(XX0)n)。n!(a,b),2(導(dǎo)數(shù)零點定理)設(shè)f(x)Ca,b，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)f(b)0,則存在使得f()0。3.(導(dǎo)數(shù)介值定理)設(shè)設(shè)f(x)Ca,b,在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)f(b),不妨設(shè)f(a)f(b)，則對任意的f(a),f(b)，存在(a,b)，使得f()4設(shè)f(x)Ca,b，且f(x)0(0)，則有f(x)()f(Xo)f(Xo)(xXo)，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)xXo。重點題型講解(一)中值定理等式的

9、證明類型一：目標(biāo)表達(dá)式中僅含不含端點字母，且導(dǎo)數(shù)之間相差一階1設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)1,f(1)0,證明：存在(0,1)，使得2f()f()0。12. 設(shè)f(x)在0,1上可微，且f(1)3：ex1f(x)dx，證明：存在(0,1)，使得f()f()0。13. 設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，f(0)0,f()1,f(1)0。證明：21(1) 存在(一,1)，使得f();2(2) 對任意的k(,)，存在(0,)，使得f()kf()1。類型二：目標(biāo)表達(dá)式中含兩個中值1設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)0，證明：存在，(a,b)

10、，使得baf()baf()ee_2設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)f(b)1，證明：存在，(a,b)，使得f()f()e。3設(shè)f(x)C0,1，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)0,f(1)1,證明：對任意的正數(shù)a,b，存在7(0,1)，使得ab。f()f()e。4設(shè)f(x)Ca,b，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(a0)，證明：存在1,2,3(a,b)，使f(2)22f(3)f(1)(ab)-(aabb)2-。22-類型三：目標(biāo)表達(dá)式中含有端點和中值1設(shè)f(x),g(x)a,b，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且g(x)0,證明：存在(a,b)，使得f(a)f()f()。g()g(b)g()o類型

11、四：目標(biāo)表達(dá)式為f(n)()01.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間0,3上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)f(1)f(2)-,f(-)1,證明：存在(0,3)，使得f()0。-設(shè)f(x)在0,1上三階可導(dǎo)，且f(0)f(1)0,H(x)xf(x)，證明：存在(0,1),使得H()0。4.設(shè)f(x)Ca,b，且f(a)f(b)0，證明：存在(a,b)，使得f()0。類型五：目標(biāo)表達(dá)式為f(n)()C0(其中C0為常數(shù))1.設(shè)f(x)Ca,b，在(a,b)內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，證明：存在(a,b)，使得f(b)2f-bf(a)©f()。242.設(shè)f(x)在1,1上三階連續(xù)可導(dǎo)，且f(1)0,f(1)1

12、,f(0)0,證明：存在(1,1),使得f()-。-.設(shè)a1a2an為n個不同的實數(shù)，函數(shù)f(x)在aan上有n階導(dǎo)數(shù)，并滿足f(ajf(a2)f(an)0,則對每個ca-an，存在(aan)滿足等式f(c)(caj(ca2)(ca.)f()。n!(二) 中值定理不等式的證明1.f(x)Ca,b，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)f(b)，且f(x)不是常數(shù)，證明：存在(a,b),使得2設(shè)f(x)Ca,b，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且曲線yf(x)非直線，證明：存在(a,b)，使得|f()|羋占。ba3f(x)Ca,b，在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)，且f(a)f(b)0,f(a)0，證明：存在(a,b)，使得f

13、()0。4.設(shè)f(x)在a,b上滿足f(x)|2，且f(x)在(a,b)內(nèi)取到最小值，證明:If(a)|If(b)|2(ba)。5.f(x)二階可導(dǎo)，且f(0)f(1)0,min0x1f(x)1，證明:maxf(x)0x16設(shè)f(x)在a,b上二階可導(dǎo),f(x)a,b(1n)及ki(1in),證明:k2x2kX)knf(Xn)。證明：f(x)x。7.設(shè)lim1且f(x)0,x0x8設(shè)f(x)在0,)上有定義且f(x)0,f(0)0,證明：對任意的0,b0,f(ab)f(a)f(b)。9設(shè)f(x)在a,b上二階可導(dǎo)，且f(a)f(b)0,證明：存在(a,b),使得M(M0)，證明：對此鄰域內(nèi)任一

14、不同If(x0)f(a)f(b)2f(x0)(ax°)2I12(a12x。)2,其中b是a關(guān)于X。的對稱點。11設(shè)f(x)在0,1上二階可導(dǎo)，f(0)f(1)且If(x)I2，證明：對任意的x0,1，有If(x)I1。12質(zhì)點從時間t0開始直線運動，移動了單位距離使用了單位時間，且初速度和末速度都為零。證明：在運動過程中存在某個時刻點，其加速度絕對值不小于4。(三) 求中值定理中的極限問題1.設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f(x)0，又f(xh)f(x)f(xh)h(01)。證明：lim1。h024(x)1(x0),證明:2<x(x)(四) 與極值、最值相關(guān)的命題1.設(shè)f(x),g

15、(x)在a,b二階可導(dǎo)，滿足f(x)f(x)g(x)f(x)0,且f(a)f(b)0(ab)，證明：f(x)0(xa,b)。2.求數(shù)列nnb中的最大者。(五) 不等式的證明問題1.設(shè)f(0)g(0),f(0)g(0),f(x)g(x)(x0)，證明：當(dāng)x0時，f(x)g(x)。2.證明：1xln(x.1x2)x2。3.證明：當(dāng)2x0時，有(x21)lnx(x1)。4.設(shè)baK0，證明：ln-a2(ba)。abarctanx5.當(dāng)x0時，證明一ln(1(六)方程根的個數(shù)討論x)1.討論方程xexa(a0)的根的個數(shù)。2.設(shè)0,)內(nèi)有f(x)0,且f(0)1,f(0)2，證明：f(x)0在(0,)

16、內(nèi)有且僅有一個根。3.證明方程Inx.1cos2xdx在(0,)內(nèi)有且僅有兩個根。(七)選擇題1.設(shè)f(x)在x0處二階可導(dǎo)，且limf(x)f(x)x02，則(A)f(0)是f(x)的極大值.(B)f(0)是f(x)的極小值.(C)(0,f(0)是曲線yf(x)的拐點.(D)f(0)不是f(x)的極值點,(0,f(0)也不是曲線yf(x)的拐點.2.設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo),limx2(x2)3(A)f(2)是f(x)的極小值；(B)f(2)是f(x)的極大值;(C)(2,f(2)是曲線yf(x)的拐點;(D)f(2)不是函數(shù)f(x)的極值點，(2,f(2)也不是曲線yf(x)的拐點。3設(shè)f(

17、x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且xmof(x)x1,則(A)f(0)是f(x)的極小值；(B)f(0)是f(x)的極大值；(C)(0,f(0)是曲線yf(x)的拐點；(D)x0是f(x)的駐點但不是極值點。x4.設(shè)k0,則函數(shù)f(x)lnxk的零點個數(shù)為()e(A)0個；(B)1個；(C)2個；(D)3個。21x175.曲線yex1的漸近線的條數(shù)為()x1(A)0條；(B)1條；(C)2條；(D)3條。第三部分多元函數(shù)微分學(xué)內(nèi)容復(fù)習(xí)(一) 基本概念1.多元函數(shù)的極限：設(shè)zf(x,y)的定義域為D,M0(x0,y0)為平面上一點，若對于任意的0,總存在0,當(dāng)0.(x心)2(yy。)2時，有If(x,y)A|

18、,則稱f(x,y)當(dāng)xx°,yy0時以A為極限，記為limf(x,y)A。Xx0yy02 .多元函數(shù)的連續(xù)：設(shè)zf(x,y)在點M°(X0,y。)的鄰域內(nèi)有定義，若limf(x,y)f(x0,y0)，則稱函數(shù)zf(x,y)在點M0(x0,y0)處連續(xù)。xxqyyo3 .偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)zf(x,y)在點Mo(xo,yo)的鄰域內(nèi)有定義，若limf(xox,yo)f(xo,yo)存在，稱函數(shù)zx0f(x,y)在點Mq(xq,yo)處對x可偏導(dǎo)，極限(xo,yo)(xo,yo)f(xo,yoy)f(Xo,yo)存在，稱函數(shù)精品文檔xf(x,y)在點Mo(Xo,yo)處對y可偏導(dǎo)，極限

19、記為fy(x0,y0),y(xo,yo)zy(xo,yo)4.可微與全微分：設(shè)Zf(x,y)在點M0(X0,yo)的鄰域內(nèi)有定義，記Byo()，其中A,B為常數(shù),Zf(XoX,yoy)f(Xo,yo)，.(x)2(y)2，則稱zf(x,y)在點Mo(Xo,yo)處可微，稱AxBy為f(x,y)在點Mo(x°,y。)處的全微分，記為dzAxBy。注解:(1)若f(x,y)在點Mo(xo,yo)處可微，則,B(xo,yo)(xo,yo)(2)若f(x,y)為可微函數(shù)時，dzdxx5.方向?qū)?shù):設(shè)zf(x,y)在點Mo(xo,yo)的鄰域內(nèi)有定義，從點Mo(xo,yo)印一條射線I,設(shè)M(

20、XoX,yoy)I，令.(x)2(y)2。f(X,y)在點Mo(Xo，yo)處沿若lim丄°X±y刃一f(Xjyo)存在，稱此極限為函數(shù)zo射線I的方向?qū)?shù)，記為丄|MI注解：(1)設(shè)zf(x,y)在點Mo(xo,yo)處可微，則|moCOSX|m°Sin(其中y為射線l與x軸正方向的夾角)設(shè)uf(x,y,z)在點Mo(Xo,yo，Zo)處可微，則|m0|m0cos|m0cos|m0coslxyz正方向的夾角)。6.梯度：設(shè)uf(x,y,z)為二元可微函數(shù)，稱,(其中，為射線l與x軸、y軸、z軸u'u:ijukuuIJJ-為函數(shù)xyzxyzz二u-uuuJ

21、k1,。yzXyzz-一iuf(x,y,z)的梯度，記為gradf(x,y,z)精品文檔注解：梯度的方向即為函數(shù)在一點處方向?qū)?shù)最大的方向，梯度的模即為方向?qū)?shù)的最大值,因為-lcosx-coscosyzuuucos,cos,cosz2u-cosz(其中為I與gradf的夾角)，所以當(dāng)0時,cos1，此時方向?qū)?shù)最大，且最大值為2u。z(二) 偏導(dǎo)數(shù)求法1 顯函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)；2 復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù):(1)f(u,v)，其中,v(t)，求詈;(3)f(u,v)，其中u(x,y),vv(x,y)，求_?,上；xyf(u,v,x)，其中uu(x,y),vv(x,y)，求上，_?；xy3隱函數(shù)(1)(組)

22、求偏導(dǎo)數(shù)：F(x,y)0，求史;dx(3)(4)F(x,y,z)F(x,y,z)G(x,y,z)F(x,y,u,v)G(x,y,u,v)0，求二，上xy0,，求史,0,dxdz.;dy，求0,(三) 多元函數(shù)微分學(xué)在函數(shù)極值上的應(yīng)用1無條件極值求函數(shù)zf(x,y)極值的步驟:(1)確定函數(shù)zf(x,y)的定義域；Zx0(2)由求出函數(shù)的駐點；Zy0(3)利用判別定理，設(shè)(X。，y。)為一個駐點，令A(yù)fxx(Xo,yo),Bfxy(x°,y°),Cfyy(x),yo),2CaseI若ACB0,則點(xo,yo)為函數(shù)的極值點，當(dāng)A0時，(x°,y°)為極小

23、點；當(dāng)A0時，(xo,yo)為極大點。CaseII若ACB20,則(x°,y°)不是極值點。2CaseIII若ACB0，則無法確定點(x。，y。)是否為極值點。2條件極值在(x,y)0下求函數(shù)zf(x,y)的極值點與極值，采用Lagrange乘數(shù)法，步驟為:(1)令Ff(x,y)(x,y)；00求出可能的極值點;Fx由FyF(1)設(shè):y(t)，取參數(shù)tt°，對應(yīng)的曲線上的點為z(t)M°(x°,y°,z°)量為T(鮎)，北0),(鮎),切線方程為:xX0yy0zZ0(t0)(t0)(t0)法平面為：(t°)(xx&

24、#176;)(t°)(yy°)(t°)(zz°)0。(2)設(shè):(,y,)，點M0(X0,y°,z0)，則切線的方向向量為G(x,y,z)0T(Fx,Fy,FzGx,Gy,Gz)M0。2.空間曲面的切平面與法線，切線的方向向設(shè)空間曲面：F(x,y,z)0,點M°(X0,y0,Z0),則切平面的法向量為nFx,Fy,Fz切平面方程為：Fx(M0)(xx0)Fy(M°)(yy°)Fz(M°)(zZ0)0,y(x,y)0(3)對可能的極值點進(jìn)行確定。(四) 多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用(數(shù)學(xué)一，該內(nèi)容包含在空間解

25、析幾何部分)1.空間曲線的切線與法平面(t)法線方程為：(x滄)(yy°)(z卻Fx(M°)Fy(M°)Fz(M°)。重點題型講解(一)多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)1求下列極限:sin(xy)ximodyaxy)moHX2討論函數(shù)f(x,y)xy2xy0,(x,y)(0,0),(x,y)3討論函數(shù)f(x,y)2宀(x,y)xy0,(x,y)(0,0)4討論函數(shù)f(x,y)1xysin3：22.xy0,(x,y)(0,0)42y22X(0'0)在點(0,0)處的連續(xù)性。(0,0)在點(0,0)處的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性與可微性。,(x,y)(0,0)在點(

26、0,0)處的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性與可微性。(二)偏導(dǎo)數(shù)的求法仁設(shè)zuxy，求du；2設(shè)f,g二階連續(xù)可微,uyf(-)xgC),yx2u2x2uyxy3設(shè)f(t)二階可導(dǎo)，g(u,v)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，且2亠zf(2xy)g(x,xy)，求一。xy4設(shè)f(exsiny,x22y)，且f二階連續(xù)可微,2z。xy5.設(shè)f(xyg(xyz)，其中f,g可微，求6設(shè)f(z)，且z是由zyx(z)確定的x,y的函數(shù),f(z),(z)可微，證明:7.設(shè)8設(shè)F(xf(x,t)，且t是由G(x,y,t)0確定的x,y的函數(shù),f(x,t),G(x,y,t)可微，求魚。dx-,yz)0,且F可微，證明:yxzyyzxy

27、。9.設(shè)uf(x,y,z)連續(xù)可偏導(dǎo)，且zz(x,y)由xexyeyzez確定，求du。精品文檔110yx(yx)z,若經(jīng)過變換y解答：由w1z_w1,1zxzxyzy又wwuwv2xwxuxvxu代入原方程得-w0。v11T(x,y)滿足方程(丄)2x(丄)yg(u,v)，且滿足a(g)2b(-ug)2v解答：g(u,v)Tuv,-(u22v2),gvTuT,guTvTuxyvxya(v丄口丄)2b(u丄vT)求原方程化成的方程形式。ww(u,v),22xyxy22u2u1wx1得-zxz(14，利用(av2(2a則2a2b0,aa(u2v2)(丄)2x2y,vw)z),xyxuv,yv2，

28、求常數(shù)a,b。代入上述關(guān)系式得2b)uv上xyb，于是u2偏導(dǎo)數(shù)在極值上的應(yīng)用1求由方程2x22y2z2解答：由4x8z2z8x1Z11,Z2所以駐點為(au，即2T2bv)()yv2，從而a8xzz0,Zy2,0)處，AZxxzz(x,y)取極小值z1；?b0所確定的函數(shù)z4y1-,wInZyz(1(xy),其中1(uw),ycw2y-uv)把函數(shù)f(x,y)變成z(x,y)的極值。2z8x162,0),(,0)。Zxy0,Czyy，ACB2y0,代入原方程得曇0，A0，函數(shù)在精品文檔16.，-在(一,0)處，AZxx7數(shù)在點(!£,0)處取極大值74,BZxy0,C158。72.

29、求f(x,y)x34x22xyy2在區(qū)域Zyy，ACB215(x,y)|1x4,1衛(wèi)0，A0，函2251上的最大值與最小值。解答：由23x8x2y2x2y0,根據(jù)判別法知f(0,0)0為極大值。令L1:x1(1y1),L2：y1(14),L3:x4(1y1),L4:y1(1x4)在J上f(1,y)52yy2，因為f(1,y)2(y1)0，所以f(1,y)單調(diào)減少，故f(1,1)4最大,f(1,1)8最小。3在L2上f(x,1)x,2c4x2x1，令f(x,21)3x8x2minf(1,1),5,1),f(x2,1),f(4,1)44一2222627，maxf(1,1),5,1),f(X2,1)

30、,f(4,1)4422226分別為f(x,1)在L2上的最大值27與最小值。類似可得在L3上f(4,y)的最大值與最小值分別為f(4,1)7與f(4,1)9，在L4上f(x,1)的最大值與最小值分別為f(4,1)7與f(1,1)8，綜上所述，f(4,1)7與4f(-2231)4422226分別為f(x,y)在D上的最大值與最小值。273求函數(shù)z2x12xy222y在區(qū)域D:4x2y25上的最值。解答：(1)在4x22y25內(nèi)，由zx2x12y0,Zy12x4y0得x0,y0。(2)在4x22y25上,令Fx212xy2y2(4x22y25),由Fx2x12y8x03(2,3)'(冷，1

31、2x4y2y0得(x,y)4x22y250FyF因為z(0,0)0,z(2,3)小值為50。224求橢球蕓by22z21(a0,b0,c0)內(nèi)接長方體的最大體積。a3，yc令Fxyz22(xy(a2b22z2c1),由Fxyz2x20,Fyxz22222y0,Fzxy22z0,Fx2y2z210得aaaabc解答：設(shè)內(nèi)接長方體在第一卦限的頂點坐標(biāo)為(x,y,z)，則V8xyz。X,z，則最大體積為Vmax8J3abc。寸3.39(四)偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用1求曲線a6在點(1,2,1)處的切線與法平面。10x2y2z27”古o222“2.過直線作曲面3xyz27的切平面，求此切平面方程。xyz0

32、解答：F(x,y,z)3x2y2z227，則n6x,2y,2z，過直線的平面束為10x2y2z27(xyz)0,9x17y17z270。xt2若過的曲線:yt在t1的切線為z3(t1)223.曲面4zxy上一點M的切平面為其法向量為10,2,2。(10)/6x。(2)/2y°(2)/2z)3xf22y。z。270(10)x。(2)y°(2)Z°0解得(X。，y%閃1)或者&0,%尺)(119設(shè)所求的切點為(x0,y0,z0)，則有故所求的切平面方程為9xyz270或者3,17,17)L,求平面。解答：切線L的方程為1'一1，曲面上點M(x0,y0,

33、z)處的法向量為213精品文檔xo2號，1，yyo2z2zo。則切平面方程為空(xx0)如(yy0)(zz0)0,即xx022因為L，而(1,1,0),(3,2,3)L,Xoyo2zo1269所以3xo2yo62zo，解得切點的坐標(biāo)為(一，)或者(2,2,2),22555xoy04zo4.設(shè)曲面S2x2三y2z1，平面4:2x（1）求曲面S上與平行的切平面；(2)故平面:6x3y5z9或者:x解答：（1）S上M處切平面法向量為ni2yz5o。曲面S與平面之間的最短距離。z,2y,，平面的法向量為n22,2,1，2(4)(5)(6)由n1/n2得x空-t或x2t,yt,z2t，代入S得t1，則2

34、22211一Md1,1）,M2（1,1），切平面方程為2x2yz40或者2x2yz40。2211（2）d13,d2-,所以曲面S與平面之間的最短距離為。33（五）方向?qū)?shù)與梯度1.設(shè)n是曲面2x23y2z26在點P（1,1,1）處指向外側(cè)的法向量，求u丄時'6x28y2在Pz點處沿方向n的方向?qū)?shù)。解答：令F(x,y,z)2x23y2z26，則Fx,Fy,Fz|p4x,6y,2z|p4,6,2,0取n2,3,1,則n6xuz6x28y2y8y16x28y2，所以|pzn第三講積分學(xué)第一部分不定積分內(nèi)容復(fù)習(xí)（略）重點題型講解（一）積分概念與直接積分法sinx1.設(shè)f（x）的一個原函數(shù)為，

35、求xf（x）dx。2. e|x|dx。3. max(1,x2dx。(6)1x(1(二) 換元積分法1.計算下列不定積分1(1)dx;x5x6x4(3)二dx;x5x6(5)x(1x2)100dx；卡dx;x22x2(4)-dx；x2x2112COSxxdx1(7)4dx。1x2.計算下列不定積分x(1) eexdx；(3)ln(x1x2)5dx1x23(4)(xlnx)(1Inx)dx。Inx22xlnx(1xInx)dx;(6)InxInx)2dx;3.計算下列不定積分1(1)dx；Vex1(2)1x/e(12x-dx。)(1)dxx)(2)1xx2dx；(3)5.計算下列不定積分(1)(3

36、)cotx、sinxdx22?sinx2cosxcos2x3sinxcosxsin2x-a2cos2xb2sin2xdx(ab);sinxcosx,5dx；1dx;12tanx(cosxsinx)精品文檔(7)(9)1sinxx.edx；1cosx1dx；1sinxcosx(8)sinx1sinx(10)dx。v'2sinxcosx(三) 分部積分法計算不定積分1.x2arccotxdx;第二部分定積分及其應(yīng)用內(nèi)容復(fù)習(xí)(略)重點題型講解(一)基本不定積分的計算1.計算下列定積分5T(1sin4x)dx；4(1)(2)In10°x2)ndx；(3)24sinxx41e(4)xx

37、e(5)0xsin2xsin4xdx；(6)0(12dx；x)21ln(1x)01x2dx;(7)(1)72sinx(-21x)dx；1cosx(2)q|cosx|dx；n(3)°x|cosx|dx；(4)f(x)C,，且f(x)x1cos2f(x)sinxdx，求f(x);(5)xf(x)1et2tdt,求120x2f(x)dx;(6)f(x)可微，且f(0)0,F(x)xtn01f(xntn)dt，求冷。1,x3設(shè)f(x)12x12,xf(x1)dx。4.設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且F(x)x0(x2t)f(t)dt，證明:(1)若f(x)為偶函數(shù)，則F(x)也是偶函數(shù);206cos

38、xdx04x(2)若f(x)為非增函數(shù)，貝UF(x)為非減函數(shù)。精品文檔5設(shè)g(x)為可微函數(shù),f(x)f(x)為其反函數(shù)(x0)，且01-g(t)dt(xf(1)2o2xf(x)dx，證明：存在2f()f()0。f(x)0為以T為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：lim1Xf(t)dtx010設(shè)f(x)在a,a(a0)上二階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)0。(1)寫出f(x)的帶拉格郎日余項的一階馬克勞林公式;8)，求f(x)。36設(shè)xtedtxex,(1)0求xm及l(fā)im。x7.設(shè)f(x)Ca,b，且baf(x)dxbaxf(x)dx0,證明:函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)至少兩個零點。(二)定積分等式的證明1設(shè)f

39、(x)Ca,b，證明:bf(x)dxabaf(abx)dx。2設(shè)f(x)Ca,b，證明:bf(x)dxa(ba)10fa(ba)xdx。3設(shè)f(x),g(x)在a,b上連續(xù)，證明：存在(a,b)，使得bf()g(x)dxg()af(x)dx。4設(shè)f(x)f(x)代g(x)為偶函數(shù),(1)證明:aaf(x)g(x)dxaaA0g(x)dx；(2)計算2|sinx|arctanexdx。2f(x)是連續(xù)函數(shù)，證明:xu00f(t)dtdux0(Xu)f(u)du。f(x)C2,4,f(3)證明：存在(2,4),使得f()432f(x)dx。f(x)C0,a，證明:1f(x)dxxf(y)dy

40、67;a20f(t)dt。f(x)在區(qū)間0,1上可導(dǎo),(0,1)，使得11設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上二階連續(xù)可導(dǎo),證明：存在(a,b)，使得babaf(x)dx(ba)f()Sf()。24(三)定積分不等式的證明1設(shè)f(x)Ca,b，證明:b2b2f(x)dx(ba)f(x)dx。a2.設(shè)對任意的x,ya,b，有|f(x)f(y)l|xy|，證明:3.設(shè)an4設(shè)5.設(shè)6設(shè)7.設(shè)8設(shè)9設(shè)b|af(x)dxf(a)(ba)|o4tannxdx(n2)，證明:f(x)Ca,b且單調(diào)增加，證明:(ba)2212(n1)anbaxf(x)dxf(x)在(0,)上連續(xù)且單調(diào)減少，證明:f(x)C0,1且單調(diào)

41、減少，證明：對任意的f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)可導(dǎo)，且f(a)b2(ba)2b2f(x)dxf(x)dx。a2af(x)在a,b上連續(xù)可導(dǎo)，且1b|f(x)|2a|f(x)|dx(af(x)在0,a上連續(xù)可導(dǎo),其中Mmax|f(x)|。x0,a10.設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)可微,11設(shè)12.設(shè)10f(x)dx1max40x112(n1)°Sbf(x)dx。2anf(x)dxk10，證明:f(a)f(b)0,xb)。f(0)0,證明:f(0)f(1)If(x)|。f(x)在a,b上連續(xù)可微，證明：對任意的1aa|f(x)|0|f(x)|dx0|f(x)|dx。a00f(x)有界，且f(

42、x)連續(xù)，對任意的x(13設(shè)f(x)連續(xù)可導(dǎo)，且mf(x)M,f(k)f(1)f(x)dx證明:a0f(x)dx證明:a,b,有)有|f(x)f(x)|n1f(x)dx。f(x)dx。1，證明:(1)求lima014a2aa(f(ta)f(ta)dt；(2)證明:14設(shè)f(X)0,X0,1，證明:1f(x2)dx0f(1)。(四)廣義積分2.2xdx;x3dx1(X_1)(3?x)dx。x.x15.dx(x1)4,x22x6.7.°2lnsinxdx。定積分的應(yīng)用1.設(shè)yf(x)為區(qū)間0,1上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)。(1)證明存在c(0,1)，使得在區(qū)間0,c上以f(c)為高的矩形面積,等于

43、區(qū)間c,1上以yf(x)為曲邊的曲邊梯形的面積。(2)設(shè)f(x)在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)?兇，證明(1)中的c是唯一的。x2.求由圓x2y22y與拋物線yx2所圍成平面圖形的面積。2222223.求雙紐線(xy)a(xy)所圍成的面積。24.求由曲線y4x與x軸圍成的部分繞直線x3旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積。5.設(shè)f(x)滿足xf(x)2f(x)x，由yf(x),x1及x軸(x0)所圍成的平面區(qū)域為D，若D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體體積最小，求：(1)曲線yf(x)的方程；(2)曲線的原點處的切線與曲線及直線x1圍成的圖形面積。6.為清除井底污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥提出井口。設(shè)井深30米，都自重400牛，纜繩每米重50牛，抓斗盛污泥2000牛，提升速度為3米/秒,在提升過程中，污泥以20牛/秒的速度從抓斗中漏掉?，F(xiàn)將抓斗從井底提升至井口，問克服重力做功多少？第三部分二重積分與三重積分內(nèi)容復(fù)習(xí)(略)重點題型講解(一)重積分基本概念與性質(zhì)yd，求fxy(x,y)d。D1.設(shè)fxy(x,y)連續(xù)，其中D(x,y)|axb,c222.設(shè)D:xyr2，求limr0rln(12r)D22exycos(xy)dxdy。精品文檔x0V3設(shè)f(x,y),g(x,y)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，且g(x,y)0，證明：存在(,)D，使得f(x,y)g(x,y