常微分方程的比較定理及其應(yīng)用pdf

1、常微分方程的比較定理及其推廣數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)105012005155許小燕指導(dǎo)教師：余贊平【摘要】本文在比較定理的基礎(chǔ)上，利用上下界定函數(shù)的方式，研究一階微分方程初值問題和二階微分方程初值問題的解的存在性及其估計(jì).【關(guān)鍵詞】一階微分方程；二階微分方程；初值問題；比較定理；微分不等式1 .前言常微分方程的比較定理是解決常微分方程初值問題的一類重要定理，關(guān)于比較定理及其應(yīng)用的研究，已有一些進(jìn)一步的結(jié)果1-3,本文將通過上下界定函數(shù)的方式，對一階微分方程的初值問題dyf(x,y)dxyx).y.00和二階微分方程的初值問題y'=f(x,y,y')1-3'

2、'y(x0)=y0,y(x)=丫01-4的解的存在性及其估計(jì)進(jìn)行研究.定義14設(shè)f(x,y)在矩形區(qū)域R=(x,y)R2：|x-x0|<a,|y-y0|<b上連續(xù)，令M=max|f(x,y)|:(x,y)R,h=min_a,.再設(shè)？(x)和(Xx)分別是初值問題M(1-1),(1-29區(qū)間I=xo-h,x0+h上的兩個(gè)解，使得對初值問題(1-1),(1-2)的任意一個(gè)解巾(x),者B有當(dāng)xx0-h,x0+h時(shí),?(x)&巾(x)&Mx),則稱？(x)和Wx)分別是初值問題(1-1)的最小解和最大解.以下介紹幾個(gè)重要的引理:1.1 皮亞諾存在定理皮亞諾于188

3、6年率先證出一階微分方程y=f(x,y)可解的唯一條件是f(x,y)的連續(xù)性引理15設(shè)函數(shù)f(x,y)在矩形區(qū)域|x-xo|<a,|y-yo|<b內(nèi)連續(xù)，則初值問題(1-1),(1-2近區(qū)間|x-xo|0h上至少有一個(gè)解y=y(x),其中常數(shù)h=min(a,b),而M=max|f(x,y)|,M(ky)R1.2 解的延拓定理由于皮亞諾定理只能保證局部范圍內(nèi)初值問題解的存在性，而研究解在大范圍內(nèi)的存在性就需要用到以下的解的延拓定理.引理26設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域R上連續(xù)，P0為區(qū)域R內(nèi)任一點(diǎn)，并設(shè)r為微分方程(1-1封過P0點(diǎn)的任一條積分曲線，則積分曲線r將在區(qū)域R內(nèi)延伸到邊界(換

4、句話說，對于任何有界閉區(qū)域Ri(P0Rir),積分曲線r將延伸到ri之外).1.3 比較定理在微分方程初值問題的研究中，還有一類重要的定理一一比較定理.引理3冏(第一比較定理)設(shè)函數(shù)f(x,y)與F(x,y)都在平面區(qū)域R內(nèi)連續(xù)且滿足不等式f(x,y)<F(x,y),(x,y)R；又設(shè)函數(shù)y=?(x)與y=Wx)在區(qū)間a<x<b上分別是初值問題生=f(x,y),y(xo)=yodx與8=F(x,y),y(xo)=yodx的解，其中(x0,y0)R.則有?(x)<(Kx),當(dāng)x0<x<b;?(x)>4(x),當(dāng)a：二x:二x0.引理4冏(第二比較定理)設(shè)

5、函數(shù)f(x,y)與F(x,y)都在平面區(qū)域R內(nèi)連續(xù)且滿足不等式f(x,y)<F(x,y),(x,y)R；又設(shè)函數(shù)y=?(x)與y=Wx)在區(qū)間a<x<b上分別是初值問題dy=f(x,y),y(沏)=y。1-5dx與dy=F(x,y),y(刈)=y01-6dx的解，其中(x0,y0)R,并且y=?(x)是(1-5)的右行最小解和左行最大解(或者：y=小(x)是(1-6)的右行最大解和左行最小解)，則有如下比較關(guān)系:?(x)w&x),當(dāng)X0<x<b;?(x)a.x),當(dāng)a<x<X0.2 .比較定理在一階微分方程初值問題中的推廣2.1 第一比較定理的

6、推廣定理1設(shè)？(x)、Wx)C1xo,a,?(x)<小(x),?(x)<fx,?(x),小'(x)>fx,(Xx),xxo,a,?(xo)Wyo<()(xo);且f(x,y)在包含l區(qū)域xo,ax?(x),(|)(x)的區(qū)域D上連續(xù)，則初值問題(1-1),(1-2)的任一解y(x),在其右側(cè)存在區(qū)域xo,a上，必有?(x)<y(x)<(|)(x).證明由皮亞諾定理可知，解y(x)在xo,c(c<a)上存在.下證？(x)<y(x)<Wx),為此采用反證法.先證y(x)wMx),xxo,c若不然，則存在xi(xo,c使得y(Xi)>

7、;Mx1).令x2=supxxo,x1|y(x)<Mx).顯然，xo<x2<x1,且y(x2)=Mx2).而當(dāng)x(x2,x1時(shí)，y(x)A4(x);若令h(x)=y(x)-(|)(x),則h(x2)=o,且當(dāng)x(x2,x1時(shí)，h(x)>o,所以，h(x2)>o.但另一方面，h(x2)=y(x2)-小(x2)<fx2,y(x2)-fx2,(Xx2)=o,這與h'(x2)>o產(chǎn)生矛盾.這表明，y(x)&Wx),xxo,c；同理可證，?(x)<y(x),xxo,c.再由解的延拓定理可知，解y=y(x)在整個(gè)xo,a上存在，且滿足？(x)

8、<y(x)<(|)(x)。定理2設(shè)？(x)、網(wǎng)x)C1b,xo,?(x)&Mx),?(x)>fx,?(x),r(x)<fx,Mx),xb,xo,?(xo)<yo<(|)(xo);且f(x,y)在包含閉區(qū)域xo,ax?(x),(|)(x)的區(qū)域D上連續(xù)，則初值問題(1-1)(1-2)的任一解y(x),在其左側(cè)存在區(qū)域b,X0上，必有?(x)<y(x)<Mx)證明由皮亞諾定理可知，解y(x)在d,xo(d>b)上存在.3下證？(x)<y(x)<Wx),為此采用反證法.先證y(x)w小(x),xd,X0.若不然，則存在xid,

9、X0)使得y(xi)>()(xi).令x2=infxxi,xo|y(x)<()(x).顯然，x1<x2<x0,且y(x2)=wx2).而當(dāng)xxi,x2)時(shí)，y(x)>(|)(x)；若令h(x)=y(x)-Mx)，則h(x2)=0,且當(dāng)xxi,x2)時(shí)，h(x)>0,所以，h'(x2)<0.但另一方面，h(x2)=y(x2)-小(x2)Afx2,y(x2)-f僅2,-x2)=0,這與h'(x2)<0產(chǎn)生矛盾.這表明，y(x)<(|)(x),xd,x0；同理可證，?(x)<y(x),xd,x0.再由解的延拓定理可知，解y=

10、y(x)在整個(gè)b,x0上存在，且滿足？(x)<y(x)<()(x)。2.2第二比較定理的推廣定理3設(shè)？(x)、除)Cix0,a,?(x)&(Xx),?(x)&fx,?(x),1(x)fx,小(x),xx0,a,?(x0)<Y0<(|)(x0);且f(x,y)在包含|區(qū)域x°,ax?(x),嶇)的區(qū)域D上連續(xù)，則初值問題(i-i),(i-2)的存在解y(x)Cix0,a,滿足?(x)Wy(x)w網(wǎng)x),xx0,a.證明由f(x,y)構(gòu)造截?cái)嗪瘮?shù)F(x,y)=fx,T(y),其中函數(shù)?(x),y；?(x)Ky)=y,?(x)<y<檢),

11、x%,a.Mx),y“x)顯然，F(xiàn)(x,y)也在D上連續(xù)，從而初值問題dy才(x,y)(2-i)dxy(x0)=y0(2-2)有解y(x)C1x0,c,(c<a),下證這樣的解y(x)滿足?(x)<y(x)<()(x),xx0,c.先用反證法證明y(x)&小(x),xX0,c若不然，則存在xi(x0,c使得y(xi)>6(xi).令x2=supxxo,xi|y(x)w6(x).顯然，x00x2cxi且y(x2)=wx2).且當(dāng)x(x2,xi時(shí)，y(x)AMx)；若令h(x)=y(x)-()(x),則h(x2)=0,且當(dāng)x(x,xi時(shí)，h(x)>0.因此，由

12、中值定理知，存在己(x2,xi)使得h'(O>0(2-3)但另一方面，h'(0=y'(0-，<己,丫(y2)-=fE,M9-f”)=0即有h'(。00(2-4)這與(2-3仔盾.這表明，y(x)<(|)(x),xx0,c；同理可證，?(x)<y(x),xxo,c.從而，初值問題(2-i),(2-2)有解y(x)滿足？(x)&y(x)&小(x),x區(qū),c(c<a).由解的延拓定理可知，初值問題(2-i),(2-2)的解y(x)經(jīng)延拓后在xx0,a存在，且滿足?(x)<y(x)<Mx).即初值問題(i-i),

13、(i-2X解y(x)滿足?(x)<y(x)<(|)(x),xx0,a.定理4設(shè)？(x)、-x)Cib,x0,?(x)<()(x),?(x)>fx,?(x),()'(x)<fx,Wx),xb,xo,?(x0)<y0<(|)(x0);且f(x,y)在包含l區(qū)域b,x0x?(x),標(biāo))的區(qū)域D上連續(xù)，則初值問題(i-i),(i-2)存在解y(x)Cib,x0,滿足?(x)<y(x)w&x),xb,x0.證明由f(x,y)構(gòu)造截?cái)嗪瘮?shù)F(x,y)=fx,T(y)其中函數(shù)?(x),y:二?(x)Ky)=y,?(x)<y<檢),x

14、b,X0.Mx),yaMx)顯然，F(xiàn)(x,y)也在D上連續(xù)，從而初值問題dy一一(x,y)(2-5)dxy(xo)=yo(2-6)有解y(x)C1d,xo,(d>b),下證這樣的解y(x)滿足？(x)<y(x)<(Kx),xd,x。.先用反證法證明y(x)&Wx),xd,x0.若不然，則存在x1d,x0)使得y(x1)>()(x1).令x2=infxxi,xo|y(x)<(|)(x).顯然，Xi<x2Wx0且y(x2)=4(x2).且當(dāng)xXi,x2)時(shí)，y(x)A4(x)；若令h(x)=y(x)-()(x),則h(x2)=0,且當(dāng)xxi,x2)時(shí)，h

15、(x)>0.因此，由中值定理知，存在己(xi,x2)使得h'(O<0.(2-7)但另一方面，h(0=y(0-小，>f己,丫(y,0-fM切=f屋，小-f刊=0即有h'(0>0(2-8)這與(2-7汗盾.這表明，y(x)&小(x),xd,x0；同理可證，?(x)<y(x),xd,x0.從而，初值問題(2-5),(2-6)有解y(x)滿足？(x)<y(x)&小(x),xd,xO(d>b).由解的延拓定理可知，初值問題(2-5),(2-6)的解y(x)經(jīng)延拓后在xb,x0存在，且滿足?(x)<y(x)x).即初值問題(1

16、-1),(1-2箱解y(x)滿足？(x)<y(x)<()(x),xb,x0.3.二階微分方程的初值問題的解的存在性及其估計(jì)討論過一階微分方程的初值問題的解的存在性及估計(jì)之后，我們來研究在上下解存在時(shí)，二階微分6方程的初值問題的解的存在性及估計(jì).定理5若初值問題y=f(X,y,y),xX0,b''C2x0,b,改x)&B(x),y(xo)=yo,y(xo)=vo滿足如下條件：(1)具有下解o(x)與上解B(x),即存在a(x),B(x)a(x)&B(x),xxo,b；火xo)<yo<P(xo),a(xo)<yo<P(xo)；且對

17、xxo,b及ya(x),B(x)，有a(x)<fx,y,a(x),、(x)>fx,y,、(x)；(2)f(x,y,y)在D=xo,bxo<x),B(x)xa(x),0(x)上連續(xù)；則初值問題(3-1),(3-2)在9,b上存在解y(x)C2xo,b,滿足4x)<y(x)&B(x),a(x)<y(x)&(x),xxo,b.證明構(gòu)造函數(shù)F(x,y,y)=fx,r(y),s(y),其中Kx),y>穴x)Ky)=y,a(x)<y<p(y)，xxo,b,o(x),y<o<x)j(x),y>B'(x)s(y)=y,a

18、(x)<y<p(x),xxo,b.a(x),y<a(x)顯然，F(xiàn)(x,y,y')在二%4XR2上連續(xù)且有界.考慮初值問題y'=F(x,y,y')3-3y(xo)=yo,y(沏)=vo3-4在xo,b上的解的存在性.事實(shí)上，初值問題(3-3),(3-4)的解等價(jià)于積分方程xt(y(x)=Fs,y(s),y(s)dsdtyo'(x-xo)yoJxoJxo的解.由此構(gòu)造C1xo,b上的映射xt.Ty(x)=Fs,y(s),y(s)ds|dtyo(x-xo)yo.顯然，該映射在度量IIy(x)|=|y(x)|y(x)|的意義下，為C1x0,b中的某個(gè)有

19、界凸閉集到其自身的一個(gè)連續(xù)緊映射，故根據(jù)Schauder不動點(diǎn)定理知，該映射必有不動點(diǎn)y(x)C1x0,b,即初值問題(3-3),(3-4)存在解y(x)C2xo,b.下證這樣的解y(x)必滿足J(x)wy(x)w§'(x),為此采用反證法，先證y(x)w§'(x),xx0,b.若不然，則存在x1(x0,b,使得y(xi)aB(xi).令x2=supx|y(x)Wb'(x),xx0,xi,顯然，x0<x2<x1,y(x2)=B(x2)，并且當(dāng)x(x2,xi時(shí)，y(x)>(3(x).下?(x)=y(x)-B(x),xx2,xi.由于？

20、(x2)=y(x2)-B'(x2)=0,?(x)>0,x(x2,xi,由微分中值定理知，存在七(x2,xi)使得？(GA0.但另一方面，?=y''-=FE,y(o,y'(0-b'a)=fE,ry(0,sy3)-屋”)<f屋，ry(0,B'(2-f5ry(9,0,=0這與？,(E)>0矛盾.所以，y(x)&B,(x),xx0,b.同理可證，a(x)<y(x),x沏，b.對不等式a'(x)<y'(x)&B,(x)從x0到x積分得a(x)&y(x)&B(x),xx0,b.綜合

21、上面的結(jié)果可得Fx,y(x),y'(x)=fx,ry(x),sy'(x)=fx,y(x),y(x)這表明，y(x)也是初值問題(3-1),(3-2應(yīng)x0,b上的解，故本定理的結(jié)論成立。定理6若初值問題3-73-8C2a,xo,o(x)&0(x),y1'=f(x,y,y1),xa,沏,、'y(X0)=y0,y(X0)=v。滿足如下條件：(1)具有下解o(x)與上解B(x),即存在a(x),B(x)a(x)>p(x),xa,xo；o(xo)<yo<p(xo),a(xo)>yo>p(xo)；且對xa,xo及ya(x),B(x),有

22、J(x)<fx,y,民(x),屋(x)>fx,y,0,(x)；(2)f(x,y,y)在D=a,x°乂皿),B(x)乂0(x),民(x)上連續(xù)；則初值問題(3-7),(3-8)在a,xo上存在解y(x)C2a,xo,滿足x)<y(x)&B(x),B(x)<y(x)<a(x),xa,xo.證明構(gòu)造函數(shù)F(x,y,y)=fx,r(y),s(y),其中-x),y>穴x)Ky)=y,a(x)<y<p(y)，xa,xo,o(x),y<o<x)j(x),y<J(x)s(y)=y,B(x)wyWa(x),xa,xo.a(x),

23、y>a(x)顯然，F(xiàn)(x,y,y')在D2=a,xoxR2上連續(xù)且有界.考慮初值問題y,=F(x,y,y')3-9y(xo)=yo,y(xo)=yo3-io在a,xo上的解的存在性.事實(shí)上，初值問題(3-9),(3-io)的解等價(jià)于積分方程xt(y(x)=Fs,y(s),y(9dsdtyo'(x-xo)yo3-11/。的解.由此構(gòu)造C1a,xo上的映射3-12xt_，,-Ty(x)-Fsy(9,y(s)ds|dtyo(x-xo)yo.顯然，該映射在度量卜。人IIy(x)|=|y(x)|y(x)|的意義下，為C1a,x0中的某個(gè)有界凸閉集到其自身的一個(gè)連續(xù)緊映射，故

24、根據(jù)Schauder不動點(diǎn)定理知，該映射必有不動點(diǎn)y(x)C1a,xo,即初值問題(3-9),(3-10)存在解y(x)C2a,xo.下證這樣的解y(x)必滿足3(x)<y(x)<a(x),為此采用反證法，先證y(x)<a(x),xa,x0.若不然，則存在Xia,x0),使得y(xi)>a(xi).令x2=infx|y(x)<a(x),xxi,x0,顯然，x1<x2<x0,y(x2)=a(x2),并且當(dāng)xxi,x2)時(shí)，y(x)>a(x).下?(x)=y(x)-a(x),xxi,x2.由于？(x2)=y(x2)-a(x2)=0,?(x)>0

25、,xx1,X2),由微分中值定理知，存在七(xi,X2)使得？(E)<0.但另一方面，?"=y''-/=FE,y(0,y'(0-J(/=fE,ry(Q,sy(E)-J(»>f屋，ry(2,a)-fEry(0,一=0這與？(E)<0矛盾.所以，y(x)<a(x),xa,x0.同理可證，B(x)<y(x),xa,x0.對不等式(3(x)Wy(x)Wa(x)從3至ijX積分得a(X)Wy(x)W§(x),Xa,X0.綜合上面的結(jié)果可得Fx,y(x),y'(x)=fx,ry(x),sy'(x)=fx,y(x),y'(x)這表明，y(x)也是初值問題(3-7