自動(dòng)控制7-1描述函數(shù)法

1、1237.1 7.1 典型非線性特性典型非線性特性 前面各章研究的都是線性系統(tǒng)，或者雖然是非線前面各章研究的都是線性系統(tǒng)，或者雖然是非線性系統(tǒng)，但可進(jìn)行線性化處理，從而可視為線性系統(tǒng)。性系統(tǒng)，但可進(jìn)行線性化處理，從而可視為線性系統(tǒng)。事實(shí)上，幾乎所有的實(shí)際控制系統(tǒng)，都不可避免地帶事實(shí)上，幾乎所有的實(shí)際控制系統(tǒng)，都不可避免地帶有某種程度的非線性。系統(tǒng)中只要具有一個(gè)非線性環(huán)有某種程度的非線性。系統(tǒng)中只要具有一個(gè)非線性環(huán)節(jié)，就稱(chēng)為非線性系統(tǒng)。因此實(shí)際的控制系統(tǒng)大都是節(jié)，就稱(chēng)為非線性系統(tǒng)。因此實(shí)際的控制系統(tǒng)大都是非線性系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)。 本章將主要討論關(guān)于非線性系統(tǒng)的基本概念，以本章將主要討論關(guān)于非線性

2、系統(tǒng)的基本概念，以及兩種基本分析方法：描述函數(shù)法和相平面法。及兩種基本分析方法：描述函數(shù)法和相平面法。 4 在控制系統(tǒng)中，若控制裝置或元件其輸入輸出在控制系統(tǒng)中，若控制裝置或元件其輸入輸出間的靜特性曲線，不是一條直線，則稱(chēng)為非線性特間的靜特性曲線，不是一條直線，則稱(chēng)為非線性特性。如果這些非線性特性不能采用線性化的方法來(lái)性。如果這些非線性特性不能采用線性化的方法來(lái)處理，稱(chēng)這類(lèi)非線性為本質(zhì)非線性。為簡(jiǎn)化對(duì)問(wèn)題處理，稱(chēng)這類(lèi)非線性為本質(zhì)非線性。為簡(jiǎn)化對(duì)問(wèn)題的分析，通常將這些本質(zhì)非線性特性用簡(jiǎn)單的折線的分析，通常將這些本質(zhì)非線性特性用簡(jiǎn)單的折線來(lái)代替，稱(chēng)為來(lái)代替，稱(chēng)為典型非線性特性典型非線性特性。5yx

3、ka- -a0M- -M 飽和特性在控制系統(tǒng)中是普遍存在的，飽和特性在控制系統(tǒng)中是普遍存在的，放大器及放大器及執(zhí)行機(jī)構(gòu)受電源電壓或功率的限制導(dǎo)致飽和執(zhí)行機(jī)構(gòu)受電源電壓或功率的限制導(dǎo)致飽和。, , |, - -Mxay kxxaMxa1飽和特性飽和特性a為線性區(qū)寬度，為線性區(qū)寬度，k為線性區(qū)斜率。為線性區(qū)斜率。62死區(qū)特性死區(qū)特性 yxka- -a0 0,|=(- ), (+ ), 1，t lnx0/(x0 - -1) 時(shí)，時(shí)，隨隨 t 增大，增大，x(t) 遞增；遞增；t = lnx0 /(x0 - -1) 時(shí)，時(shí)，x(t)為無(wú)窮大。為無(wú)窮大。當(dāng)當(dāng)x01x00 0)(122-xxxx 該方程描

4、述具有非線性阻尼的非線性二階系統(tǒng)。該方程描述具有非線性阻尼的非線性二階系統(tǒng)。 當(dāng)擾動(dòng)使當(dāng)擾動(dòng)使x1時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，因?yàn)? - (1- -x2 )1時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，因?yàn)? - (1- -x2 )0，系統(tǒng)具有正阻尼，此，系統(tǒng)具有正阻尼，此時(shí)系統(tǒng)消耗能量，時(shí)系統(tǒng)消耗能量，x(t)的運(yùn)動(dòng)呈收斂形式；的運(yùn)動(dòng)呈收斂形式； 而當(dāng)而當(dāng)x=1時(shí)，系統(tǒng)為零阻尼，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)呈等幅振蕩時(shí)，系統(tǒng)為零阻尼，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)呈等幅振蕩形式。上述分析表明，系統(tǒng)能克服擾動(dòng)對(duì)形式。上述分析表明，系統(tǒng)能克服擾動(dòng)對(duì)x的影響，保的影響，保持幅值為持幅值為1的等幅振蕩。的等幅振蕩。13 所謂所謂是指沒(méi)有外界周期變化信號(hào)的作用是指沒(méi)有外界周期變化信號(hào)的作用

5、時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的運(yùn)運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱(chēng)自振。動(dòng)，簡(jiǎn)稱(chēng)自振。 考慮著名的范德波爾方程考慮著名的范德波爾方程 0 0)(122-xxxx 該方程描述具有非線性阻尼的非線性二階系統(tǒng)。該方程描述具有非線性阻尼的非線性二階系統(tǒng)。 當(dāng)擾動(dòng)使當(dāng)擾動(dòng)使x1時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，因?yàn)? - (1- -x2 )1時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，因?yàn)? - (1- -x2 )0，系統(tǒng)具有正阻尼，此，系統(tǒng)具有正阻尼，此時(shí)系統(tǒng)消耗能量，時(shí)系統(tǒng)消耗能量，x(t)的運(yùn)動(dòng)呈收斂形式；的運(yùn)動(dòng)呈收斂形式； 而當(dāng)而當(dāng)x=1時(shí)，系統(tǒng)為零阻尼，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)呈等幅振蕩時(shí)，系統(tǒng)為零阻尼，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)呈等幅振蕩形式。上述分析表明，系

6、統(tǒng)能克服擾動(dòng)對(duì)形式。上述分析表明，系統(tǒng)能克服擾動(dòng)對(duì)x的影響，保的影響，保持幅值為持幅值為1的等幅振蕩。的等幅振蕩。14 非線性系統(tǒng)對(duì)于正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)非線性系統(tǒng)對(duì)于正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)，除了含有，除了含有與輸入同頻率的正弦信號(hào)分量外，還含有關(guān)于與輸入同頻率的正弦信號(hào)分量外，還含有關(guān)于的高的高次諧波分量，使輸出波形發(fā)生非線性畸變。若系統(tǒng)含次諧波分量，使輸出波形發(fā)生非線性畸變。若系統(tǒng)含有多值非線性環(huán)節(jié)，輸出的各次諧波分量的幅值還可有多值非線性環(huán)節(jié)，輸出的各次諧波分量的幅值還可能發(fā)生躍變。能發(fā)生躍變。 考慮有名的杜芬方程考慮有名的杜芬方程 tpxkxkxfxmcos331 x162345 15 到目

7、前為止，非線性系統(tǒng)的研究還缺乏成熟，結(jié)論不能像到目前為止，非線性系統(tǒng)的研究還缺乏成熟，結(jié)論不能像線性系統(tǒng)那樣具有普遍意義，一般要針對(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，輸入及線性系統(tǒng)那樣具有普遍意義，一般要針對(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，輸入及初始條件等具體情況進(jìn)行分析。工程上常用的方法有以下幾種：初始條件等具體情況進(jìn)行分析。工程上常用的方法有以下幾種：（1）小偏差線性化（非本質(zhì)非線性）小偏差線性化（非本質(zhì)非線性）（2）描述函數(shù)法（本質(zhì)非線性）描述函數(shù)法（本質(zhì)非線性） 這是一種頻域分析方法，其實(shí)質(zhì)是應(yīng)用諧波線性化的方法，這是一種頻域分析方法，其實(shí)質(zhì)是應(yīng)用諧波線性化的方法，將非線性特性線性化，然后用頻率法的結(jié)論來(lái)研究非線性系統(tǒng)。將非線

8、性特性線性化，然后用頻率法的結(jié)論來(lái)研究非線性系統(tǒng)。它是線性理論中的頻率法在非線性系統(tǒng)中的推廣，這種方法不它是線性理論中的頻率法在非線性系統(tǒng)中的推廣，這種方法不受系統(tǒng)階次的限制。受系統(tǒng)階次的限制。（3）相平面法（本質(zhì)非線性）相平面法（本質(zhì)非線性） 相平面法是求解一、二階常微分方程的圖解法。通過(guò)在相相平面法是求解一、二階常微分方程的圖解法。通過(guò)在相平面上繪制相軌跡，可以求出微分方程在任何初始條件下的解。平面上繪制相軌跡，可以求出微分方程在任何初始條件下的解。這是一種時(shí)域分析法，但僅適用于一階和二階系統(tǒng)。這是一種時(shí)域分析法，但僅適用于一階和二階系統(tǒng)。 （4）計(jì)算機(jī)求解法計(jì)算機(jī)求解法 用模擬計(jì)算機(jī)或數(shù)

9、字計(jì)算機(jī)直接求解非線性微分方程，對(duì)于用模擬計(jì)算機(jī)或數(shù)字計(jì)算機(jī)直接求解非線性微分方程，對(duì)于分析和設(shè)計(jì)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)是非常有效的方法。分析和設(shè)計(jì)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)是非常有效的方法。167.2 描述函數(shù)描述函數(shù)法法： 當(dāng)系統(tǒng)滿足一定的假設(shè)條件時(shí)，系統(tǒng)中非線性當(dāng)系統(tǒng)滿足一定的假設(shè)條件時(shí)，系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出可用一次諧波分量來(lái)近環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出可用一次諧波分量來(lái)近似，由此導(dǎo)出非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，即描似，由此導(dǎo)出非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，即描述函數(shù)。這時(shí)非線性系統(tǒng)就近似等效為一個(gè)線性系統(tǒng)，述函數(shù)。這時(shí)非線性系統(tǒng)就近似等效為一個(gè)線性系統(tǒng)，并可應(yīng)用線性系統(tǒng)理論中的頻率

10、法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行頻域分并可應(yīng)用線性系統(tǒng)理論中的頻率法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析。析。 描述函數(shù)法主要用于分析在無(wú)外作用的情況下，描述函數(shù)法主要用于分析在無(wú)外作用的情況下，非線性系統(tǒng)的非線性系統(tǒng)的和和。17 1. 描述函數(shù)的應(yīng)用條件描述函數(shù)的應(yīng)用條件（1）非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可簡(jiǎn)化成一個(gè)非線性環(huán)節(jié)）非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可簡(jiǎn)化成一個(gè)非線性環(huán)節(jié)N 和一個(gè)線性部分和一個(gè)線性部分G(s)串聯(lián)的閉環(huán)結(jié)構(gòu)。串聯(lián)的閉環(huán)結(jié)構(gòu)。xyNG(s)r(t)=0c(t)（2）非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出靜特性曲線是奇對(duì)稱(chēng)的）非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出靜特性曲線是奇對(duì)稱(chēng)的， 即即 y(x) = - - y(- -x)。（3）系統(tǒng)的線性部分具有良好的低通

11、濾波特性。）系統(tǒng)的線性部分具有良好的低通濾波特性。7.2.1 描述函數(shù)的描述函數(shù)的定義定義182.描述函數(shù)的定義描述函數(shù)的定義 設(shè)系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)輸入信號(hào)是正弦信號(hào)設(shè)系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)輸入信號(hào)是正弦信號(hào)x(t) = Asin t則其輸出一般為周期性的非正弦信號(hào)，可以展成傅氏則其輸出一般為周期性的非正弦信號(hào)，可以展成傅氏級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)0nnn=1( ) =+(cos+sin)y tAAntBnt 22nn0011=( )cosd=( )sindAy tnttBy tntt非線性環(huán)節(jié)奇對(duì)稱(chēng)非線性環(huán)節(jié)奇對(duì)稱(chēng)，則有，則有A0 = 0其中，其中，A0 是直流分量；是直流分量； Ancosnt+Bnsinnt 為

12、為 n次諧波分量；次諧波分量； An、Bn 為傅里葉系數(shù)。為傅里葉系數(shù)。0 201=( )d2Ay tt19 由于在傅氏級(jí)數(shù)中由于在傅氏級(jí)數(shù)中n越大，諧波分量的頻率越高，越大，諧波分量的頻率越高，An, Bn越小。此時(shí)若系統(tǒng)又滿足第三個(gè)條件，則高次諧越小。此時(shí)若系統(tǒng)又滿足第三個(gè)條件，則高次諧波分量又進(jìn)一步被充分衰減，故可認(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的波分量又進(jìn)一步被充分衰減，故可認(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出只含基波分量，即穩(wěn)態(tài)輸出只含基波分量，即11111( )( ) =cos+sinsin()y ty tAtBt =Yt + 1 2210011=( )cosd=( )sindAy tttBy ttt22111

13、YAB111= arctanAB20類(lèi)似于線性系統(tǒng)中頻率特性的定義，我們把非線性元類(lèi)似于線性系統(tǒng)中頻率特性的定義，我們把非線性元件穩(wěn)態(tài)輸出的基波分量與輸入正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)比定義件穩(wěn)態(tài)輸出的基波分量與輸入正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)比定義為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，用為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，用N(A)來(lái)表示。來(lái)表示。122j11111+( )=e=arctanABYAN AAAB 由非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的定義可以看出：由非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的定義可以看出： (1) 描述函數(shù)類(lèi)似于線性系統(tǒng)中的頻率特性，利用描述函數(shù)類(lèi)似于線性系統(tǒng)中的頻率特性，利用描述函數(shù)的概念便可以把一個(gè)非線性元件近似地看作描述函數(shù)的概念便可以把一個(gè)非線

14、性元件近似地看作一個(gè)線性元件，因此又叫做諧波線性化。一個(gè)線性元件，因此又叫做諧波線性化。 (2) 描述函數(shù)表達(dá)了非線性元件對(duì)基波正弦量的傳描述函數(shù)表達(dá)了非線性元件對(duì)基波正弦量的傳遞能力。遞能力。對(duì)于常見(jiàn)非線性特性，描述函數(shù)僅是對(duì)于常見(jiàn)非線性特性，描述函數(shù)僅是A的函的函數(shù)，記為數(shù)，記為N(A)。217.2.2 描述函數(shù)的求法描述函數(shù)的求法 （1）首先由非線性靜特性曲線，畫(huà)出正弦信號(hào)輸首先由非線性靜特性曲線，畫(huà)出正弦信號(hào)輸入下的輸出波形，并寫(xiě)出輸出波形入下的輸出波形，并寫(xiě)出輸出波形y(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 （2）利用傅氏級(jí)數(shù)求出）利用傅氏級(jí)數(shù)求出y(t) 的基波分量。的基波分量。 （3

15、）將求得的基波分量代入定義式，即得）將求得的基波分量代入定義式，即得N(A) 。 下面計(jì)算幾種典型非線性特性的描述函數(shù)。下面計(jì)算幾種典型非線性特性的描述函數(shù)。 1. 理想繼電器特性理想繼電器特性 yx0M- -M220 x t2 特點(diǎn)：特點(diǎn)：1）方波信號(hào)）方波信號(hào)2）與）與x(t)同周期同周期3）奇函數(shù)）奇函數(shù)yx0M- -M y0 tM 2 - -M23直流分量直流分量為：為：基波余弦分量的系數(shù)基波余弦分量的系數(shù) A1為：為：0 -22002011=( )d=dd22=dd02Ay ttMt-MtMtt1 -2020201=( )cosd1cosdcosd=cosdcosd0Ay tttMt

16、t-MttMtttt24所以基波分量為所以基波分量為1( ) =sin4My tt故理想繼電器特性的描述函數(shù)為故理想繼電器特性的描述函數(shù)為即即 N(A)的相位角為零度的相位角為零度,幅值是輸入正弦信號(hào)幅值是輸入正弦信號(hào)A的函數(shù)的函數(shù).11Y4MN(A)= =AA基波正弦分量的系數(shù)基波正弦分量的系數(shù)B1為為：1 -2020201=( )sind1sindsind=sindsindBy tttMtt-MttM4Mtttt252.飽和特性飽和特性 直流分量與基波余弦分量直流分量與基波余弦分量的系數(shù)為零的系數(shù)為零A0 = A1= 0，而基，而基波正弦分量的系數(shù)波正弦分量的系數(shù)B1為為y0 x t2 1

17、A a- - 1x0Mka- -M- -M y0 tM 2 1- - 1 特點(diǎn)：特點(diǎn)：1）與）與x(t)同周期同周期2）奇函數(shù)）奇函數(shù)26 式中式中1=arctan(a/A)?？傻蔑柡吞匦缘拿枋龊瘮?shù)為可得飽和特性的描述函數(shù)為12102021( )sin4sin()2arcsin1 ()By ttdtkAtdtkAaaaAAA-212( )arcsin1 ()BkaaaN AAAAA- 由上式可見(jiàn)，飽和特性的由上式可見(jiàn)，飽和特性的N(A)也是輸入正弦信號(hào)幅值也是輸入正弦信號(hào)幅值A(chǔ)的函數(shù)。這說(shuō)明飽和特性等效于一個(gè)變系數(shù)的比例環(huán)的函數(shù)。這說(shuō)明飽和特性等效于一個(gè)變系數(shù)的比例環(huán)節(jié)，當(dāng)節(jié)，當(dāng)Aa時(shí)，比例系

18、數(shù)總小于時(shí)，比例系數(shù)總小于k。27 以上介紹了描述函數(shù)的基本求法，對(duì)于復(fù)雜的非以上介紹了描述函數(shù)的基本求法，對(duì)于復(fù)雜的非線性特性，完全可以利用這種力法求出其描述函數(shù)，線性特性，完全可以利用這種力法求出其描述函數(shù)，但計(jì)算也復(fù)雜得多。此時(shí)也可以將復(fù)雜的非線件特性但計(jì)算也復(fù)雜得多。此時(shí)也可以將復(fù)雜的非線件特性分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單非線性特性的組合，即串并聯(lián)，再分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單非線性特性的組合，即串并聯(lián)，再由已知的這些簡(jiǎn)單非線性特性的描述函數(shù)求出復(fù)雜非由已知的這些簡(jiǎn)單非線性特性的描述函數(shù)求出復(fù)雜非線件特件的描述函數(shù)。線件特件的描述函數(shù)。7.2.3 組合非線性特性的描述組合非線性特性的描述1非線性特性的并聯(lián)計(jì)

19、算非線性特性的并聯(lián)計(jì)算 設(shè)有兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)，且其非線性特性都是設(shè)有兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)，且其非線性特性都是單值函數(shù)，即它們的描述函數(shù)都是實(shí)數(shù)。單值函數(shù)，即它們的描述函數(shù)都是實(shí)數(shù)。28x(t)y1(t)y11(t)N1y12(t)N2 y1(t) = y11(t) + y12(t) = N1Asin t + N2Asin t = (N1+ N2 ) Asin t N = (N1+ N2 ) 總的描述函數(shù)總的描述函數(shù) 若干個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)后的總的若干個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)后的總的 描述函數(shù)，等于描述函數(shù)，等于各非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)之和。當(dāng)各非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)之和。當(dāng)N1和和N2是復(fù)數(shù)時(shí)，該是復(fù)數(shù)時(shí)，該結(jié)

20、論仍成立。結(jié)論仍成立。290M0kxy+xk0My 一個(gè)具有死區(qū)的一個(gè)具有死區(qū)的非線性環(huán)節(jié)，求描述函數(shù)非線性環(huán)節(jié)，求描述函數(shù)N(A)。30 解：該死區(qū)非線性特性可分解為解：該死區(qū)非線性特性可分解為一個(gè)死區(qū)繼電一個(gè)死區(qū)繼電器特性器特性和和一個(gè)典型死區(qū)特性一個(gè)典型死區(qū)特性的并聯(lián)，描述函數(shù)為的并聯(lián)，描述函數(shù)為221242( )1 ()arctan1 ()2242sin1 ()MkN AAAAAAkMkkAAAA- 其中2非線性特性的串聯(lián)計(jì)算非線性特性的串聯(lián)計(jì)算必須首先求出這兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的非線性必須首先求出這兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的非線性特性，然后根據(jù)等效的非線性特性求出總的描述函數(shù)。特

21、性，然后根據(jù)等效的非線性特性求出總的描述函數(shù)。x(t)N1y(t)N2z(t)311 20 x y 例例7-2 求圖所示兩個(gè)非線性特性串聯(lián)后總的描述函求圖所示兩個(gè)非線性特性串聯(lián)后總的描述函數(shù)數(shù)N(A)。 k1=11 20 xz1 20 z yk2=2k=2321 20 x yk=23321112222222( )arctan1()22arctan1()24212211arcsinarcsin1()1()kN AAAAkAAAAAAAAA-其中A1等效為一個(gè)死區(qū)加飽和的非線性特性，分解為兩個(gè)具等效為一個(gè)死區(qū)加飽和的非線性特性，分解為兩個(gè)具有完全相同的線性區(qū)斜率有完全相同的線性區(qū)斜率k=2和不同死

22、區(qū)寬度和不同死區(qū)寬度 1=1及及 2=2的死區(qū)特性的并聯(lián)相減。的死區(qū)特性的并聯(lián)相減。 34 前面介紹了描述函數(shù)的定義及其求法。通過(guò)描述前面介紹了描述函數(shù)的定義及其求法。通過(guò)描述函數(shù)，一個(gè)非線性環(huán)節(jié)就可看作一個(gè)線性環(huán)節(jié)，而非函數(shù)，一個(gè)非線性環(huán)節(jié)就可看作一個(gè)線性環(huán)節(jié)，而非線性系統(tǒng)就近似成了線性系統(tǒng)，于是就可進(jìn)一步應(yīng)用線性系統(tǒng)就近似成了線性系統(tǒng)，于是就可進(jìn)一步應(yīng)用線性系統(tǒng)的線性系統(tǒng)的頻率法頻率法進(jìn)行分析進(jìn)行分析.7.2.4 用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng) 這種利用描述函數(shù)對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行分析的方法這種利用描述函數(shù)對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行分析的方法稱(chēng)為稱(chēng)為描述函數(shù)法描述函數(shù)法，這種方法只

23、能用于分析系統(tǒng)的穩(wěn)定，這種方法只能用于分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩。性和自振蕩。1. 假設(shè)非線性元件和系統(tǒng)滿足上節(jié)所要求的描述函假設(shè)非線性元件和系統(tǒng)滿足上節(jié)所要求的描述函數(shù)法的應(yīng)用條件，則非線性環(huán)節(jié)可以用描述函數(shù)數(shù)法的應(yīng)用條件，則非線性環(huán)節(jié)可以用描述函數(shù)N(A)來(lái)表示，而線性部分可用傳遞函來(lái)表示，而線性部分可用傳遞函G(s)或頻率特性或頻率特性G(j)表示。表示。35x(t)y(t)N (A)G(s)r(t)=0c(t)()(1)()()()()(jGANjGANjRjCj0)()(1jGAN而閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為而閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為或或式中式中- -1/N(A)叫做非線性特性的負(fù)倒描述函數(shù)叫做

24、非線性特性的負(fù)倒描述函數(shù)(負(fù)倒特性負(fù)倒特性曲線曲線)。由結(jié)構(gòu)圖可以得到線性化后的閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為由結(jié)構(gòu)圖可以得到線性化后的閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為)(1)(ANjG-36 對(duì)比在線性系統(tǒng)分析中應(yīng)用奈氏判據(jù)，當(dāng)滿足對(duì)比在線性系統(tǒng)分析中應(yīng)用奈氏判據(jù)，當(dāng)滿足G( j ) = - -1時(shí)，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，即系統(tǒng)是等幅振蕩時(shí)，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，即系統(tǒng)是等幅振蕩狀態(tài)。顯然，狀態(tài)。顯然，- -1/N(A)相當(dāng)于線性系統(tǒng)中的相當(dāng)于線性系統(tǒng)中的(- -1, j0)點(diǎn)。點(diǎn)。區(qū)別在于，線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是區(qū)別在于，線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是(- -1, j0)。而非線性。而非線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是- -1

25、/N(A)曲線。曲線。 綜上所述，利用奈氏判據(jù)，可以得到非線性系統(tǒng)綜上所述，利用奈氏判據(jù)，可以得到非線性系統(tǒng)的的方法：方法： 首先求出非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)首先求出非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)N(A)，然后在極，然后在極坐標(biāo)圖上分別畫(huà)出線性部分的坐標(biāo)圖上分別畫(huà)出線性部分的G( j )曲線和非線性部分曲線和非線性部分的的- -1/N(A)曲線，并曲線，并假設(shè)假設(shè)G(s)的極點(diǎn)均在的極點(diǎn)均在s 左半平面左半平面，則則37 (1) 若若G(s)曲線不包圍曲線不包圍- -1/N(A)曲線，則非線性系曲線，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。統(tǒng)是穩(wěn)定的。 (2) 若若G(s)曲線包圍曲線包圍- -1/N(A)曲線，則非線性系統(tǒng)

26、曲線，則非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。是不穩(wěn)定的。G( j )0Im-1/N(A)ReG( j )0ImRe-1/N(A)38G( j )0ImRe-1/N(A)M2M1 (3) 若若G(s)曲線與曲線與- -1/N(A)曲線相交，則在理論上曲線相交，則在理論上將產(chǎn)生等幅振蕩或稱(chēng)為自振蕩。將產(chǎn)生等幅振蕩或稱(chēng)為自振蕩。39 具有具有死區(qū)死區(qū)繼電器特性非線性系繼電器特性非線性系統(tǒng)如圖所示，試確定統(tǒng)如圖所示，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的范圍的范圍。013Ks(s+1)(0.5s+1)r(t)=0c(t)40-1/N(A)21A-= -A1N(A)112 1 - ()A其中解：死區(qū)繼電器特性的負(fù)倒描述函

27、數(shù)為解：死區(qū)繼電器特性的負(fù)倒描述函數(shù)為當(dāng)當(dāng)A=1時(shí)，時(shí)， - -1/N(A) = - -當(dāng)當(dāng)A=時(shí)，時(shí)， - -1/N(A)= - -。其極值發(fā)生在其極值發(fā)生在A=1.414處，處，此時(shí)，此時(shí)， - -1/N(A)= -/6。0ImReG( j )(10.5(1K)G(jjjj1)1.25(0.25)0.5K(1j11.250.251.5K24224-M2M12Mhh2A-41ImG( j )= 0，得得G( j )曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處的頻率曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處的頻率 =1.414。將將 =1.414代入實(shí)部，得該交點(diǎn)為負(fù)實(shí)軸代入實(shí)部，得該交點(diǎn)為負(fù)實(shí)軸上上- -K/3這點(diǎn)。令這點(diǎn)。令解得解得- -

28、36K2K422. 下面從信號(hào)的角度分析自振蕩產(chǎn)生的條件。在圖下面從信號(hào)的角度分析自振蕩產(chǎn)生的條件。在圖示非線性系統(tǒng)中，若產(chǎn)生自蕩，則意味著系統(tǒng)中有一示非線性系統(tǒng)中，若產(chǎn)生自蕩，則意味著系統(tǒng)中有一個(gè)正弦信號(hào)在流通，不妨設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)為個(gè)正弦信號(hào)在流通，不妨設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)為x(t)=Asin t則非線性環(huán)節(jié)輸出信號(hào)基波分量為則非線性環(huán)節(jié)輸出信號(hào)基波分量為y1(t)=N(A)A sin t + N(A)而線性部分的輸出信號(hào)為而線性部分的輸出信號(hào)為c(t) =G( j )N(A)Asin t + G( j )+ N(A)根據(jù)系統(tǒng)中存在自振蕩的假設(shè)，根據(jù)系統(tǒng)中存在自振蕩的假設(shè)，r(t)

29、=0，故，故x(t) = - - c(t)即即 Asin t = - -G( j )N(A)Asin t + G( j )+ N(A)43所以所以 G( j )N(A) = 1 G( j ) + N(A) = - G( j )0ImRe -1/N(A)M2M1dcbaM1點(diǎn)是穩(wěn)定的自振蕩。點(diǎn)是穩(wěn)定的自振蕩。M2是不穩(wěn)定的振蕩點(diǎn)。是不穩(wěn)定的振蕩點(diǎn)。 對(duì)于穩(wěn)定的自振蕩，其對(duì)于穩(wěn)定的自振蕩，其振幅和頻率是確定的，并可振幅和頻率是確定的，并可以測(cè)量得到。計(jì)算時(shí)以測(cè)量得到。計(jì)算時(shí):可由可由- -1/ N(A)曲線的自曲線的自變量變量A 的大小來(lái)確定，的大小來(lái)確定，由由G( j )曲線的自曲線的自變量變量

30、 來(lái)確定。來(lái)確定。)(1)(ANjG-44值得注意的是，由前面推導(dǎo)自振蕩產(chǎn)生的條件時(shí)可知，值得注意的是，由前面推導(dǎo)自振蕩產(chǎn)生的條件時(shí)可知，對(duì)于穩(wěn)定的自振蕩，計(jì)算所得到的振幅和頻率是非線對(duì)于穩(wěn)定的自振蕩，計(jì)算所得到的振幅和頻率是非線性環(huán)節(jié)的輸入性環(huán)節(jié)的輸入信信號(hào)號(hào)x(t)=Asin t的振幅和頻率，而不是的振幅和頻率，而不是系統(tǒng)的輸出信號(hào)系統(tǒng)的輸出信號(hào)c(t)。 具有理想繼電器特性非線性系統(tǒng)如圖具有理想繼電器特性非線性系統(tǒng)如圖所示，試確定其自振蕩的幅值和頻率。所示，試確定其自振蕩的幅值和頻率。01r(t)=0c(t)10s(s+1)(s+2)- -145解：理想繼電器特性的描述函數(shù)為解：理想繼電器特性的描述函數(shù)為AAMAN44)(G( j )0ImRe- -1/N(A)(2(110)G(jjjj4)5()10(2j453024224-求求G( j )與與- -1/N(A)曲線的交點(diǎn)。曲線的交點(diǎn)。令令I(lǐng)mG( j ) =0，得，得 =1.414 (rad/s)。Re G( j ) =1.414= - -1.66A=2.14)(1AAN-1.664)(1-AAN460132