空間直線及其方程ppt課件

1、 78 空間直線及其方程空間直線及其方程一、空間直線的普通方程一、空間直線的普通方程二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程三、兩直線的夾角三、兩直線的夾角四、直線與平面的夾角四、直線與平面的夾角五、雜例五、雜例方向向量、直線的對(duì)稱式方程、直線的參數(shù)方程兩直線的夾角及夾角余弦、兩直線平行與垂直的條件直線與平面的夾角、夾角正弦直線與平面平行與垂直的條件平面束一、空間直線的普通方程一、空間直線的普通方程 空間直線L可以看作是兩個(gè)平面 1和 2的交線 假設(shè)兩個(gè)相交平面 1和 2的方程分別為A 1xB 1yC 1zD 10和A 2xB 2yC 2zD 20，那么直線L上的任

2、一點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足方程組 反過來，假設(shè)點(diǎn)M不在直線 L 上，那么它不能夠滿足上述方程組因此，直線L可以用上述方程組來表示 上述方程組叫做空間直線的普通方程xyzO 1 2L. 0, 022221111DzCyBxADzCyBxA二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程方向向量： 假設(shè)一個(gè)非零向量平行于一條知直線，這個(gè)向量就叫做這條直線的方向向量xyzOs二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程方向向量： 假設(shè)一個(gè)非零向量平行于一條知直線，這個(gè)向量就叫做這條直線的方向向量為知時(shí)，直線L的位置就完全確定了確定直線的條件： 當(dāng)直線L上一點(diǎn)M0(x

3、0，y0，x0)s m，n，p和它的一方向向量xyzOM0s方向向量： 假設(shè)一個(gè)非零向量平行于一條知直線，這個(gè)向量就叫做這條直線的方向向量為知時(shí)，直線L的位置就完全確定了確定直線的條件： 當(dāng)直線L上一點(diǎn)M0(x0，y0，x0)和它的一方向向量xyzOM0s m，n，ps二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程直線的對(duì)稱式方程： 設(shè)直線L上一點(diǎn)M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量 s m, n, p為知，再設(shè)點(diǎn)M (x, y, z) 為直線L上的任一點(diǎn)，與L的方向向量 s 平行從而有所以兩向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，由于s m，n，p，此方程組就是直線 L 的方

4、程，叫做直線的對(duì)稱式方程或點(diǎn)向式方程xyzOM0Mpzznyymxx000，s那么向量MM0 xx 0，yy 0，zz 0，MM0 直線的任一方向向量的坐標(biāo)m、n、p叫做這直線的一組方向數(shù)，而向量的方向余弦叫做該直線的方向余弦方向數(shù)： t，直線的參數(shù)方程： 設(shè)這個(gè)方程組就是直線的參數(shù)方程那么pzznyymxx000.,000ptzzntyymtxx 例1 用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線 解 令x1，有所求直線的方向向量可取為解此方程組，得y0，z2，于是得直線上的一點(diǎn)(1，0，2) 平面x + y + z + 1=0和2x - y + 3z + 4= 0的法線向量分別為. 0432, 01zy

5、xzyx. 63, 2zyzyn11，1，n22，1，3312111kjisn1 n24ij3k得所給直線的參數(shù)方程為 令 32141zyx t ，.32,41tztytx所給直線的對(duì)稱式方程為32141zyx 例1 用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線 解 令x1，有所求直線的方向向量可取為解此方程組，得y0，z2，于是得直線上的一點(diǎn)(1，0，2) 平面x + y + z + 1=0和2x - y + 3z + 4= 0的法線向量分別為. 0432, 01zyxzyx. 63, 2zyzyn11，1，n22，1，3sn1 n2 4ij3k 兩直線的方向向量的夾角( 通常指銳角)叫做兩直線的夾角 設(shè)

6、直線L1和L2的方向向量分別為s1m1，n1，p1和n2m2，n2，p2，那么L1和L2的夾角j 就是(s1,s2)和(s1,s2)p (s1,s2)兩者中的銳角，因此cos j |cos(s1,s2)|三、兩直線的夾角三、兩直線的夾角來確定直線L 1和L 2的夾角j可由cos j222222212121212121|pnmpnmppnnmm 兩直線L 1、L 2相互平行或重合相當(dāng)于 從兩向量垂直、平行的充分必要條件立刻推得以下結(jié)論： 兩直線L 1、L 2相互垂直相當(dāng)于 m 1m 2n 1n 2p 1p 20；212121ppnnmm 設(shè)兩直線的夾角為j ，那么 解兩直線的方向向量分別為cos

7、 j 222222) 1()2(21)4(1| ) 1(1)2()4(21 |2122，4 所以 s11，4，1和和s22，2，113411zyx1222zyx 例2 求直線L1: 和L2: 的夾角 例2四、直線與平面的夾角四、直線與平面的夾角 當(dāng)直線與平面不垂直時(shí)，直線和它在平面上的投影直線的夾當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，)角j(0 j )稱為直線與平面的夾角， 2 規(guī)定直線與平面的夾角為 2 因此sin j 222222|pnmCBACpBnAmsin j | cos(s,n) |按兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式，有 設(shè)直線的方向向量和平面的法線向量分別為sm，n，p，nA，B，C，直線與平面的夾角為

8、j ，那么j | (s,n)|，2 由于直線與平面垂直相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法線向 量 平 行 ， 所 以 ， 直 線 與 平 面 垂 直 相 當(dāng) 于 由于直線與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法線向量垂直，所以，直線與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于A mB nC p0pCnBmA由此可得所求直線的方程為 例3 求過點(diǎn)(1，2，4)且與平面2x3yz40垂直的直線的方程 解 平面的法線向量2，3，1可以作為所求直線的方向向量143221zyx五、雜例五、雜例于是所求直線的方程為 例4 求與兩平面 x4z3 和 2xy5z1 的交線平行且過點(diǎn)(3，2，5)的直線的方程 解

9、平面x4z3和2xy5z1的法線向量分別為兩平面交線的方向向量為此向量可作為所求直線的方向向，153243zyxn11，0，4，n22，1，5，(4i3jk)，512401kjisn1 n2x1，y2，z2 解 所給直線的參數(shù)方程為x2t，y3t，z42t，代入平面方程中，得2(2t)(3t)(42t)60解上列方程，得t1 將t1代入直線的參數(shù)方程，得所求交點(diǎn)的坐標(biāo)為241312zyx 例5 求直線 與平面2xyz60的交點(diǎn) 例5 L 例6 求過點(diǎn)(2，1，3)且與直線垂直相交的直線的方程PM12131zyx 例6 求過點(diǎn)(2，1，3)且與直線垂直相交的直線的方程 解 先作一個(gè)過知點(diǎn)且與知直

10、線垂直的平面，這個(gè)平面的方程為3(x2)2(y1)(z3)0再求所作平面與知直線的交點(diǎn)，令 t得參數(shù)方程 x13t ，y12t ，zt 得12131zyx12131zyx,72x,713y.73z將參數(shù)方程代入平面方程，得 73t將 代入?yún)?shù)方程，73t12131zyx所求直線的方程為 例6 求過點(diǎn)(2，1，3)且與直線垂直相交的直線的方程 解 先作一個(gè)過知點(diǎn)且與知直線垂直的平面，這個(gè)平面的方程為3(x2)2(y1)(z3)0再求所作平面與知直線的交點(diǎn)，431122zyx722，7131，7333762，1，4以點(diǎn)(2，1，3)為起點(diǎn)，以點(diǎn)(72，713，73)為終點(diǎn)的向量為交點(diǎn)的坐標(biāo)為(72

11、，713，73) 思索三元一次方程：A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0，即 A 1lA 2)x(B 1lB 2)y(C 1lC 1)zD 1lD 20， 設(shè)直線L的普通方程為平面束：另一方面，任何經(jīng)過直線L的平面也一定包含在上述經(jīng)過L的平對(duì)于任何一個(gè)l值，上述方程都表示一個(gè)平面，而且這些平面都也就是說，這個(gè)方程表示經(jīng)過直線L的一族平面經(jīng)過直線L 經(jīng)過定直線的一切平面的全體稱為平面束面族中 方程 A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0就是經(jīng)過直線L 的平面束方程. 0, 022221111DzCyBxADzCyBxAA 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0L0, 022221111DzCyBxADzCyBxA的平面束方程 通過直線L： 例7 求直線在平面xyz0上的投影直線的方程L垂直于 的平面投影直線01, 01zyxzyx 例7 求直線在平面xyz0上的投影直線(x