微積分教學(xué)大綱

1、微積分教學(xué)大綱最具挑戰(zhàn)性的挑戰(zhàn)莫過于提升自我。一一邁克爾F斯特利最具挑戰(zhàn)性的挑戰(zhàn)莫過于提升自我。一一邁克爾F斯特利微積分教學(xué)大綱（試行）適用專業(yè)：全院理工類專科各專業(yè)（2007年3月）一、本課程的性質(zhì)與任務(wù)微積分課程，是成人高等教育理工類各專業(yè)專科教學(xué)計(jì)劃中的一門必修的重要基礎(chǔ)理論課。它為學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程，以及為今后進(jìn)一步獲得科技知識(shí)奠定必要的基礎(chǔ)。通過本課程的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生獲得微積分課程內(nèi)容的基本概念、基本理論和基本運(yùn)算技能。要通過各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，逐步培養(yǎng)學(xué)生具有初步抽象概括問題的能力、初步的邏輯推理能力和自學(xué)能力、一定的運(yùn)算能力。二、本課程與有關(guān)課程的關(guān)系高等數(shù)學(xué)是以中學(xué)教學(xué)為基礎(chǔ)的一門先行

2、課。它是為以后學(xué)習(xí)其它基礎(chǔ)理論課、技術(shù)基礎(chǔ)課、專業(yè)基礎(chǔ)課、專業(yè)課等后繼課程提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。三、教學(xué)說明1、根據(jù)成人高等教育的?？婆囵B(yǎng)目標(biāo)，在基礎(chǔ)課的教學(xué)中，教材要求"以應(yīng)用為目的，以必需、夠用為度"。因此，教材名稱改為微積分，本課程與本科相比，我們做了以下幾點(diǎn)不同： 數(shù)學(xué)知識(shí)的覆蓋面。在保持?jǐn)?shù)學(xué)自身的系統(tǒng)性、邏輯性的基礎(chǔ)上，一元函數(shù)微積分的內(nèi)容與本科基本相比，作了一定減少，多元函數(shù)微積分的內(nèi)容只作重點(diǎn)介紹。 對(duì)難度較大的某些基礎(chǔ)理論，嚴(yán)密論證與推導(dǎo)，與本科相比，應(yīng)有較大的削減，而且著重幾何解釋。 基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，與本科相比，應(yīng)基本相同。在運(yùn)算能力方面，專科只重視基本

3、運(yùn)算技能的訓(xùn)練，減少技巧性較強(qiáng)的運(yùn)算。2、授課學(xué)時(shí)為96學(xué)時(shí)，其中可用66學(xué)時(shí)左右講授一元函數(shù)微積分，且由學(xué)院組織統(tǒng)考，余下30學(xué)時(shí)介紹二元函數(shù)微分學(xué)、積分學(xué)及微分方程三部份，這些內(nèi)容不考試，但要安排課后作業(yè)。四、本課程內(nèi)容（一）函授、極限、連續(xù)1 .函數(shù)定義及定義域；2 .函數(shù)值與函數(shù)記號(hào)；3 .函數(shù)簡(jiǎn)單性態(tài)（有界性、奇偶性、單調(diào)性、周期性）；4 .基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)、分段函數(shù)；5 .數(shù)列極限；6 .函數(shù)極限；7 .單側(cè)極限；8 .無窮小概念及其性質(zhì)；9 .無窮小與無窮大的關(guān)系，無窮小比較；10 .極限運(yùn)算法則，兩個(gè)重要極限；11 .連續(xù)函數(shù)定義，函數(shù)的間斷點(diǎn)；12 .閉區(qū)間上

4、連續(xù)函數(shù)性質(zhì)（介值定理、最大、最小值定理）（二）一元函數(shù)微分學(xué)1 .導(dǎo)數(shù)定義；2 .導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程與法線方程；3 .函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則；4 .復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；5 .高階導(dǎo)數(shù)；6 .微分概念及其運(yùn)算；7 .介紹三個(gè)中值定理；8 .洛必達(dá)法則；9 .函數(shù)單調(diào)性判定；10 .函數(shù)的極值；11 .曲線的凹凸與拐點(diǎn)12 .最大值、最小值問題。（三）一元函數(shù)積分學(xué)1 .原函數(shù)的概念;2 .不定積分的概念；3 .不定積分基本性質(zhì)、基本積分公式；4 .不定積分第一換元法；5 .不定積分第二換元法；6 .不定積分分部積分法；7 .引入定積分概念的實(shí)例；8 .定積分定義與幾何意義；9 .定

5、積分性質(zhì)；10 .變上限的定積分的求導(dǎo)定理；11 .微積分基本定理；12 .定積分的換元積分法；13 .定積分的分部積分法；14 .定積分應(yīng)用的微元法；15 .平面圖形的面積；16 .旋轉(zhuǎn)體體積17 .廣義積分。（四）空間解析幾何1 .空間直角坐標(biāo)系，兩點(diǎn)距離公式;2 .向量概念及其線性運(yùn)算；3 .平面方程；4 .直線方程；5 .二次曲面（五）多元函數(shù)微積分1 .多元函數(shù)極限與連續(xù);2 .偏導(dǎo)數(shù);3 .全微分;4 .介紹多元函數(shù)極值。（六）重積分1 .二重積分的概念與性質(zhì)；2 .二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算法;3 .二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算法；4 .二重積分應(yīng)用。（七）微分方程1 .微分方程基本

6、概念；2 .可分離變量的微分方程；3 .一階線性微分方程；4 .兩種可降價(jià)的高階微分方程；5 .二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)；6 .二階常系數(shù)線性齊次與非齊次微分方程。五、各部分內(nèi)容的基本要求（一）函數(shù)、極限、連續(xù)（約8學(xué)時(shí)）重點(diǎn)：初等函數(shù)概念、極限運(yùn)算法則，兩個(gè)重要極限。難點(diǎn)：如何把復(fù)合函數(shù)分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的左右極限。說明：函數(shù)、極限是中學(xué)學(xué)過的內(nèi)容，主要是復(fù)習(xí)總結(jié)和提高。1 .理解函數(shù)記號(hào)的意義，并會(huì)運(yùn)用。2 .會(huì)判斷函數(shù)的奇偶性。3 .熟悉的把復(fù)和函數(shù)分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)。4 .介紹極限定義。5 .熟悉利用極限運(yùn)算法則和利用兩個(gè)重要極限結(jié)論去求極限。（兩個(gè)重要極限只證）。

7、最具挑戰(zhàn)性的挑戰(zhàn)莫過于提升自我。一一邁克爾F斯特利6 .知道無窮小的概念及會(huì)比較兩個(gè)無窮小。最具挑戰(zhàn)性的挑戰(zhàn)莫過于提升自我。一一邁克爾F斯特利7 .會(huì)求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的左右極限。8 .用幾何說明在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。(二)一元函數(shù)微分學(xué)(約28學(xué)時(shí))重點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的微分法，求型不定式的極限，求函數(shù)的極值，曲線的拐點(diǎn)。難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的微分法。說明：(1)理解導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義，介紹切線方程與法線方程。(2)可以證明一兩個(gè)導(dǎo)數(shù)的基本公式及求導(dǎo)法則。(3)說明復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，著重應(yīng)用。(4)介紹如何求n階導(dǎo)數(shù)。(5)羅爾定理，拉格朗目中值定理可以不證明，只作幾何解釋。(6)洛必達(dá)法則

8、可以不證，但要學(xué)生熟悉求兩種不定式，介紹如何求與兩種不定式。(7)函數(shù)的增減性，極值相關(guān)定理可以不證，只作幾何解釋。但要求能熟悉判別函數(shù)增減性和求函數(shù)的極值，可以講解幾何應(yīng)用。(8)曲線的凹凸性及曲線拐點(diǎn)的相關(guān)定理，只作幾何解釋。會(huì)判斷曲線的凹凸性及求曲線的拐點(diǎn)。(三)一元函數(shù)積分學(xué)(約30學(xué)時(shí))重點(diǎn)：不定積分、定積分的湊微方法，定積分的換元法，利用定積分求平面圖形面積觀點(diǎn)，難點(diǎn)：湊微分法，利用微元法用定積分求平面圖形面積。說明：(1)了解不定積分及定積分的性質(zhì)；(2)多舉例子要求學(xué)生熟悉掌握湊微分法，第二換元法，(重點(diǎn)是根式置換法）簡(jiǎn)單的有理函數(shù)式積分法，分部積分法（重點(diǎn)是四種分部積分函數(shù)類

9、型），其方法的相關(guān)定理可不證。（3）可以證明變上限函數(shù)求導(dǎo)定理，及會(huì)對(duì)變上限函數(shù)求導(dǎo)。（4） 了解利用換元法證明一些題目。（5） 了解求平面圖形面積，介紹如何求旋轉(zhuǎn)體體積。（6） 了解判別廣義積分的斂散性。（四）空間解釋幾何（約6學(xué)時(shí)）重點(diǎn)：認(rèn)識(shí)常用的二次曲面方程及其圖形難點(diǎn)：部分學(xué)生空間概念較差，不易理解空間曲面形狀及其特點(diǎn)說明：1、通過介紹直角坐標(biāo)系，使學(xué)生建立初步的空間概念，掌握向量運(yùn)算（加、減、數(shù)乘、數(shù)量積、向量積）2、明確空間解析幾何兩大問題；3、介紹點(diǎn)法式平面方程的建立，知道一般式及各種特殊平面（如坐標(biāo)面，過原點(diǎn)的平面，平行坐標(biāo)的平面，平行坐標(biāo)軸的平面）三點(diǎn)式可舉例介紹。4、介紹直

10、線的對(duì)稱式方程，其他形式可舉例說明；5、利用平面法向量，直線的方向向量，確定平面與平面，直線與直線，直線與平南之間的關(guān)系。6、介紹"多元函數(shù)積分"中常用的曲面：如球、橢圓、柱、拋物面。（五）二元函數(shù)微分學(xué)（約8學(xué)時(shí)）重點(diǎn)：求偏導(dǎo)數(shù)與全微分。難點(diǎn)：隱函數(shù)求導(dǎo)說明：1、二元函數(shù)的極限與連續(xù)，雖屬基本概念但非?？粕囊?，舉例說明即可。2、求偏導(dǎo)是本章重點(diǎn)，務(wù)必理解偏導(dǎo)數(shù)的概念，多分析例子，使學(xué)生熟悉掌握求導(dǎo)法，要求會(huì)求二階偏導(dǎo)。3、隱函數(shù)求導(dǎo)法可以引導(dǎo)學(xué)生去解決求一元隱函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，對(duì)二元隱函數(shù)也只求一階偏導(dǎo)。4、主要介紹無條件極值，條件極值舉例說明即可。（六）二元函數(shù)積分學(xué)

11、（約8學(xué)時(shí)）重點(diǎn)：二重積分在直角坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系的計(jì)算法。難點(diǎn)：畫出積分域來選積分次序及定限。說明：1、通過曲頂柱體體積，變密度的薄板質(zhì)量正確理解二重積分定義及其幾何意義。2、二重積分如何化為二次積分是本章的重點(diǎn)，因此要多舉例子。也要會(huì)掌握直角坐標(biāo)系下二次積分的交換積分次序，使學(xué)生更明確如何定限。3、極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分，以積分域?yàn)閳A、半圓及圓環(huán)為主。（七）微分方程（約8學(xué)時(shí)）重點(diǎn)：解一階可分離的方程，一階線性方程，二階常系數(shù)線性齊次方難點(diǎn)：確定二階常系數(shù)線性非齊次特解待定形式。說明：1、可分離變量方程；2、解一階線性方程主要利用公式法；3、二階常系數(shù)線性齊次方程；4、舉例說明二階常系數(shù)線性

12、非齊次微分方程，（自由項(xiàng)是）的解法。推薦用書，華工成人教育系列教材微積分吳滿，曾令武編華南理工大學(xué)出版社出版（2007年版）微積分理工類考試大綱（一元微積分）一、考試目的通過考試，使學(xué)生能理解或了解一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)的基本概念，基本理論和基本方法；知道各部分知識(shí)的結(jié)構(gòu)及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；且具有初步的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力；并運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)正確地、簡(jiǎn)捷地計(jì)算。一元微積分的考試，旨在"理解"、"掌握"和"了解"、"會(huì)"兩個(gè)層次上對(duì)考生進(jìn)行測(cè)評(píng)。這里"理解"和"了解&q

13、uot;兩詞分別是對(duì)概念、理論的高層次與低層次要求。"掌握"和"會(huì)"（或知道）兩詞分別是對(duì)方法、運(yùn)算的高層次與低層次要求。在使用時(shí)，注意區(qū)分，以便掌握重點(diǎn)二、考試內(nèi)容及要求(一)函數(shù)、極限、連續(xù)(1)理解函數(shù)記號(hào)f(x)的意義并會(huì)運(yùn)用。(2)了解函數(shù)的幾種簡(jiǎn)單性質(zhì)，掌握判斷函數(shù)的奇偶性。(3)掌握基本初等函數(shù)及其圖形。(4)理解復(fù)合函數(shù)概念，掌握將一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解為基本初等函數(shù)或它們的和與積。(5)掌握極限四則運(yùn)算法則。(6)會(huì)求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的左右極限。(7)掌握用兩個(gè)重要極限結(jié)論求極限。(8)知道無窮小及其性質(zhì)，無窮小與無窮大的關(guān)系，掌握對(duì)兩個(gè)無

14、窮小進(jìn)行比較。(9)理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與間斷的概念。(10)會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)。(二)導(dǎo)數(shù)與微分(1)理解導(dǎo)數(shù)定義。了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程與法線方程。(2)掌握導(dǎo)數(shù)基本公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。(3) 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握求初等函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。(三)中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(1)掌握洛必達(dá)法則求()、()，會(huì)求(0.)、()型的極限；(2)掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間；(3)理解函數(shù)極值的概念。掌握求函數(shù)極值的方法，會(huì)解簡(jiǎn)單的最大、最小值的應(yīng)用問題(主要是幾何應(yīng)用)；(4)會(huì)判斷曲線的凹凸性，掌握求曲線的拐點(diǎn)。(四)不定積分(1)

15、理解原函數(shù)與不定積分的概念；(2)了解不定積分的性質(zhì)；(3)掌握不定積分的基本積分公式；(4)掌握積分第一換元法、第二換元法(限于簡(jiǎn)單的根式代換)；(5) 掌握分部積分四種常見的類型：；的解法。(五)定積分(1)理解定積分的概念與幾何意義；(2)了解定積分的性質(zhì)；(3)理解變上限定積分求導(dǎo)定理。掌握對(duì)變上限定積分進(jìn)行分析運(yùn)算；最具挑戰(zhàn)性的挑戰(zhàn)莫過于提升自我。一一邁克爾F斯特利(4)掌握牛頓萊尼茨公式；(5)掌握定積分的換元法和分部積分法計(jì)算定積分(同不定積分類型)；(6)會(huì)利用換元法證明一些題目；最具挑戰(zhàn)性的挑戰(zhàn)莫過于提升自我。一一邁克爾F斯特利(7)掌握用定積分求平面圖形的面積；(8)會(huì)判斷無窮區(qū)間的廣義積分?jǐn)可⑿?。樣題(理工類)1、命題原則：覆蓋面要廣，基礎(chǔ)題為主，以教材作業(yè)冊(cè)內(nèi)的題型為主選對(duì)象。計(jì)算要簡(jiǎn)單，過程不要繁瑣2、考試內(nèi)容及各內(nèi)容的分?jǐn)?shù)比例：函數(shù)、極限、連續(xù)約15分導(dǎo)數(shù)與微分約40分積分學(xué)約45分3、試卷結(jié)構(gòu)：考試總分100分考試時(shí)間120分鐘試卷題型：簡(jiǎn)答題10題40分計(jì)算題6題48分綜合題2題12分理工類樣題一、110題每題4分，共4