掌握內(nèi)容熱量傳遞的三種基本方式的概念特點(diǎn)及基本定律

1、4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想及內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立一.數(shù)值解法的基本概念1.實(shí)質(zhì)：對(duì)物理問題進(jìn)行數(shù)值解法的基本思路可以概括為：把原來在時(shí)間、空間坐標(biāo)系中連續(xù)的物理量的場(chǎng)，如導(dǎo)熱物體的溫度場(chǎng)等，用有限個(gè)離散點(diǎn)上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，來獲得離散點(diǎn)上被求物理量的值。該方法稱為數(shù)值解法。這些離散點(diǎn)上被求物理量值的集合稱為該物理量的數(shù)值解。定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離觸化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場(chǎng)的迭代初值ffi41物理問題的數(shù)值求解過程第九章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法1 .重點(diǎn)內(nèi)容：掌握導(dǎo)熱問題數(shù)值解法的基本思路；利用熱平衡法和泰勒級(jí)數(shù)展開法建立節(jié)點(diǎn)的離散方程。2

2、 .掌握內(nèi)容：數(shù)值解法的實(shí)質(zhì)。3 .了解內(nèi)容：了解非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的兩種差分格式及其穩(wěn)定性。由前述可知，求解導(dǎo)熱問題實(shí)際上就是對(duì)導(dǎo)熱微分方程在定解條件下的積分求解，從而獲得分析解。但是，對(duì)于工程中幾何形狀及定解條件比較復(fù)雜的導(dǎo)熱問題，從數(shù)學(xué)上目前無法得出其分析解。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，對(duì)物理問題進(jìn)行離散求解的數(shù)值方法發(fā)展得十分迅速，并得到廣泛應(yīng)用，并形成為傳熱學(xué)的一個(gè)分支一一計(jì)算傳熱學(xué)（數(shù)值傳熱學(xué)），這些數(shù)值解法主要有以下幾種：（1）有限差分法；（2）有限元方法；（3）邊界元方法。數(shù)值解法能解決的問題原則上是一切導(dǎo)熱問題，特別是分析解方法無法解決的問題。如：幾何形狀、邊界條件復(fù)雜、物性不均、

3、多維導(dǎo)熱問題。分析解法與數(shù)值解法的異同點(diǎn)：相同點(diǎn)：根本目的是相同的，即確定t=f（x,y,z,jQ=g（x,y,z,±。不同點(diǎn)：數(shù)值解法求解的是區(qū)域或時(shí)間空間坐標(biāo)系中離散點(diǎn)的溫度分布代替連續(xù)的溫度場(chǎng)；分析解法求解的是連續(xù)的溫度場(chǎng)的分布特征，而不是分散點(diǎn)的數(shù)值。建立控制方程及定解條件2.基本思路：數(shù)值解法的求解過程可用框圖4-1表示。由此可見:(1)物理模型簡(jiǎn)化成數(shù)學(xué)模型是基礎(chǔ);(2)建立節(jié)點(diǎn)離散方程是關(guān)鍵；(3)一般情況微分方程中，某一變量在某一坐標(biāo)方向所需邊界條件的個(gè)數(shù)等于該變量在該坐標(biāo)方向最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。二.數(shù)值求解的步驟如圖4-2(a),二維矩形域內(nèi)無內(nèi)熱源、穩(wěn)態(tài)、常物性的導(dǎo)

4、熱問題采用數(shù)值解法的步驟如下：(1)建立控制方程及定解條件控制方程：是指描寫物理問題的微分方程。針對(duì)圖示的導(dǎo)熱問題，它的控制方程(即導(dǎo)熱微分方程)為：-22.二t:t2JT-.J一x二y(a)邊界條件：x=0時(shí)，t=t0;x=H時(shí)，Xh2t(H,y)-1f1改x土當(dāng)y=0時(shí)，一入目=兒t(x,0)tf】為y3當(dāng)y=W時(shí)，一入=h3t(x,W)-tf】圖4-2導(dǎo)熱問題數(shù)值求解示例(2)區(qū)域離散化(確立節(jié)點(diǎn))用一系列與坐標(biāo)軸平行的網(wǎng)格線把求解區(qū)域劃分成若干個(gè)子區(qū)域，用網(wǎng)格線的交點(diǎn)作為需要確定溫度值的空間位置，稱為節(jié)點(diǎn)(結(jié)點(diǎn))，節(jié)點(diǎn)的位置用該節(jié)點(diǎn)在兩個(gè)方向上的標(biāo)號(hào)m,n表示。相鄰兩節(jié)點(diǎn)間的距離稱步長(zhǎng)

5、，計(jì)為Ax、Ay0每個(gè)節(jié)點(diǎn)都可以看成是以它為中心的一個(gè)小區(qū)域的代表，把節(jié)點(diǎn)代表的小區(qū)域稱為元體(又叫控制容積)，如圖4-2(b)。(3)建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程(離散方程)節(jié)點(diǎn)上物理量的代數(shù)方程稱離散方程。其過程如下：首先劃分各節(jié)點(diǎn)的類型；其次，建立節(jié)點(diǎn)離散方程；最后，代數(shù)方程組的形成。對(duì)節(jié)點(diǎn)(m,n)的代數(shù)方程，當(dāng)Ax=Ay時(shí)，有：1tm,n(tmH4,ntmJ,ntm,nH4tm,nj)(b)4(4)設(shè)立迭代初場(chǎng)代數(shù)方程組的求解方法有直接解法與迭代解法，傳熱問題的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代法求解時(shí)，需對(duì)被求的溫度場(chǎng)預(yù)先設(shè)定一個(gè)解，這個(gè)解稱為初場(chǎng)，并在求解過程中不斷改進(jìn)。(5)求解

6、代數(shù)方程組如圖4-2(b),除m=4的左邊界上各節(jié)點(diǎn)的溫度已知外，其余(M4JN個(gè)節(jié)點(diǎn)均需建立離散方程，共有(M-4N個(gè)方程，則構(gòu)成一個(gè)封閉的代數(shù)方程組。求解時(shí)遇到的問題：線性；非線性；收斂性等。線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項(xiàng)系數(shù)在整個(gè)求解過程中不再變化；非線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項(xiàng)系數(shù)在整個(gè)求解過程中不斷更新。是否收斂判斷：是指用迭代法求解代數(shù)方程是否收斂，即本次迭代計(jì)算所得之解與上一次迭代計(jì)算所得之解的偏差是否小于允許值。關(guān)于變物性(物性為溫度的函數(shù))導(dǎo)熱問題，建立的離散方程，四個(gè)鄰點(diǎn)溫度的系數(shù)不是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。在迭代計(jì)算時(shí)，這些系數(shù)應(yīng)不斷更新，這是非線

7、性問題。(6)解的分析通過求解代數(shù)方程，獲得物體中的溫度分布，根據(jù)溫度場(chǎng)應(yīng)進(jìn)一步計(jì)算通過的熱流量，熱應(yīng)力及熱變形等。因此，對(duì)于數(shù)值分析計(jì)算所得的溫度場(chǎng)及其它物理量應(yīng)作詳細(xì)分析，以獲得定性或定量上的結(jié)論。三、穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱中位于計(jì)算區(qū)域內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法4.基本概念(4)內(nèi)節(jié)點(diǎn)：位于計(jì)算區(qū)域內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)，稱內(nèi)節(jié)點(diǎn)。(2)差分格式：差商中的差分可以用向前、向后、中心差分表示的格式稱差分格式。2.基本方法方法：泰勒級(jí)數(shù)展開法；熱平衡法。以下分述之。(4)泰勒級(jí)數(shù)展開法如圖4-3所示，以節(jié)點(diǎn)（m,n）處的二階偏導(dǎo)數(shù)為例，對(duì)節(jié)點(diǎn)（m+1,n)及（m1,n）分別寫出函數(shù)t對(duì)（m,n）點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)展開式:

8、tm,n+Ax包Cxm,nAx2已2t上Ax3已3t2exm,n6exm,n44Ax4t-424ex(c)m,n=tm,n一*t.:xm,n22+宣亞2r-u22exm,nx3邑+Ax4g4t6笈3m,n24班(d)m,n(a)+(b)得:2ttm1,n+tmJ.,n二2tm,n'-x2三xm,n4.4,xt12+':2t變形為x2的表小式得:m,n(f):2t-2;xm,n=tm1,n+tm可2tmm+0x2.x2上式是用三個(gè)離散點(diǎn)上的值計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)%的嚴(yán)格表達(dá)式，其中：0（Ax2麻截?cái)嗾`xm,n差，誤差量級(jí)為Ax2,即表示未明確寫出的級(jí)數(shù)m,n-4ex用3內(nèi)節(jié)點(diǎn)離fR方程的

9、建立余項(xiàng)中Ax的最低階數(shù)為2。在數(shù)值計(jì)算時(shí)，用三個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)上的值近似表示二階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式即可，則相應(yīng)的略去0（Ax2）。于是得：同理:2Ct-2ex-2i二t-2ym,nm,ntm1,n+tm-1,n2tm,nx2tm,n1+tm,n-2tm,ny2(4-1a)(4-1b)根據(jù)導(dǎo)熱問題的控制方程（導(dǎo)熱微分方程）22二t二t-2.2x二y=0得:tm書,n+tm,n2tm,n*2十.Xtm,nl+tm,n2tm,n=0y(4-2)1.AXAy，人有：tm,n=一(tmH4,n+tm,n+tm,n書+tm,n4（2）熱平衡法：對(duì)每個(gè)元體，可用傅元體在垂直紙面方向取其本質(zhì)是傅里葉導(dǎo)熱定律和能量守恒定

10、律的體現(xiàn)里葉導(dǎo)熱定律寫出其能量守恒的表達(dá)式。如圖4-3所示,單位長(zhǎng)度，通過元體界面（w,e,n,s）所傳導(dǎo)的熱流量可以對(duì)有關(guān)的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)根據(jù)傅里葉定律寫出：從節(jié)點(diǎn)（m-1,n）通過界面W專導(dǎo)到節(jié)點(diǎn)（m,n）的熱流量為：(g)t/tm-J,nm,n:'Jw-17:x同理：通過界面e,n,s傳導(dǎo)給節(jié)點(diǎn)（m,n）的熱流量:t,一tm1,nm,na二y；：X(h)其中規(guī)定：導(dǎo)入元體（負(fù)。tLt中w='.以"tm，nyt“一tm,nJm,nKw='X-y，根據(jù)能量守恒定律可知:(j)(4-3)m,n）的熱流量為正；導(dǎo)出元體（m,n）的熱流量為將式（g）、（h）、（i）、（

11、j）代入式（4-3）,當(dāng)Ax=Ay時(shí)即得式（b）。說明： 上述分析與推導(dǎo)是在笛卡兒坐標(biāo)系中進(jìn)行的； 熱平衡法概念清晰，過程簡(jiǎn)捷； 熱平衡法與22建立微分方程的思路與過程一致，但不同的是前者是有限大小的元體，后者是微元體。4-2邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解2.xm,n21Xqw2tm,n+tm,n1-tm,nd+-圖4-5外部角點(diǎn)與內(nèi)部用點(diǎn)圖4Y平直邊界上的節(jié)點(diǎn)對(duì)于第一類邊界條件的導(dǎo)熱問題，所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程組成一個(gè)封閉的代數(shù)方程組，即可求解；第二類或第三類邊界條件的導(dǎo)熱問題，所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程組成的代數(shù)方程組是不封閉的，因未知邊界溫度，因而應(yīng)對(duì)位于該邊界上的節(jié)點(diǎn)補(bǔ)充相應(yīng)的代數(shù)方程

12、，才能使方程組封閉，以便求解。一、用熱平衡法導(dǎo)出典型邊界點(diǎn)上的離散方程在下面的討論中，先把第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來考慮，并以qw代表邊界上已知的熱流密度值或熱流密度表達(dá)式，用熱平衡方法導(dǎo)出三類典型邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程，然后針對(duì)qw的三種不同情況使導(dǎo)得的離散方程進(jìn)一步具體化，為使結(jié)果更具一般性，假設(shè)物體具有內(nèi)熱源A（不必均勻分布）1 .位于平直邊界上的節(jié)點(diǎn)如圖4-4所示有陰影線的區(qū)域，邊界節(jié)點(diǎn)（m,n）只能代表半個(gè)元體，設(shè)邊界上有向該元體傳遞的熱流密度為qw,據(jù)能量守恒定律對(duì)該元體有：tmd,ntm,n-Xtm,n1tm,n-：Xtm,nJ-tm,n二X二y黑兇+卜+兒+mn+Ayq

13、w=0(4-4a)x2y2y2，1(4-4b)若Ax=Ay時(shí)，貝(J：tmn=，42 .外部角點(diǎn)如圖4-5所示，二維墻角計(jì)算區(qū)域中，節(jié)點(diǎn)AE均為外部角點(diǎn)，其特點(diǎn)是每個(gè)節(jié)點(diǎn)僅代表1/4個(gè)以Ax、Ay為邊長(zhǎng)的元體。假設(shè)邊界上有向該元體傳遞的熱流密度為qw,則據(jù)能量守恒定律得其熱平衡式為:&ytm,ntm,n_Axtm,nJLtm,ntm,n.2,一t+t+-5.2,xqwLm,n丁Lm,n丁2,(4-5b)(4-5a)"：；"yq-04m,n2qw-u3 .內(nèi)部角點(diǎn)：圖4-5中的F點(diǎn)為內(nèi)部角點(diǎn)，代表了3/4個(gè)元體，同理得:tmd,ntm,ntm,n+1-tm,n,xtm

14、,n_1tm,n+兒&x+丸+xy2m1,ntm,n3.xy_xy，r，'m,n'Zx42(4-6a)qw=0_1tm,n2tm_1,n+2tm,n+1+tm,n_1+t6m+1,n+3x，Jm,n2i，xqw(4-6b)4 .討論有關(guān)qw的三種情況:(1)若是絕熱邊界貝Uqw=0,即令上式qw=0即可。(2)若時(shí)qw。0流出元體,則以給定的qw值代入上述方程，注意：流入元體，qw取正,qw取負(fù)。(3)若屬對(duì)流邊界則qw=h(tf-tm,n將此表達(dá)式代入式(4-4)(4-6),并將此項(xiàng)中tm,n與等號(hào)前的tm,n合并。對(duì)于Ax=Ay的情形，有:平直邊界:x2：'

15、2hV2tm,n=2tm.1,n+tm“itf(4-7)對(duì)外角點(diǎn):21=t/一ktm,nm4,nm,n4x2中+m,n2hxtf(4-8)對(duì)內(nèi)角點(diǎn):2.八一，,3Xmn2hXm,n=2tm,n+2tm,n+1+tm+tm+1,n+m,n+2hiXtf2,(4-9)其中無量綱數(shù)處是以網(wǎng)格步長(zhǎng)Ax為特征長(zhǎng)度的畢渥數(shù)，即為BiA,n,u7是在對(duì)流邊界條件的離散過程中引入的。二、代數(shù)方程的求解方法1 .直接解法：通過有限次運(yùn)算獲得精確解的方法,法等。這一方法的缺點(diǎn)是計(jì)算所需的計(jì)算機(jī)內(nèi)存較大,使用不便。2 .迭代法：先對(duì)要計(jì)算的場(chǎng)作出假設(shè)（設(shè)定初場(chǎng)）如：矩陣求逆、高斯消元當(dāng)代數(shù)方程的數(shù)目較多時(shí),在迭代計(jì)

16、算中不斷予以改進(jìn)，直到計(jì)算前的假定值與計(jì)算結(jié)果相差小于允許值為止的方法，稱迭代計(jì)算收斂。目前應(yīng)用較多的是：節(jié)點(diǎn)溫度的最新值。（2）算出的值。設(shè)有一個(gè)三元方程組,（1）高斯一賽德爾迭代法：每次迭代計(jì)算，均使用用雅可比迭代法：每次迭代計(jì)算，均用上一次迭代計(jì)記為:a11t1,a12t2,a13t3=b1a21t1+a22t2+a23t3=b21a31t1+a32t2*a33t3=b3其中a/i=1,2,3;j=1,2,3）及h（i=1,2,3怩已知的系數(shù)（設(shè)均不為零）及常數(shù)。采用高斯一賽德爾迭代法的步驟：（1）將三元方程變形為迭式方程：13-（bla12t2a13t3）aii.1.一b2a21t1a

17、23t3(b)t3a221b3a31t1a32t2a33（2）假設(shè)一組解（迭代初場(chǎng)），記為：t，）t20lt30并代入迭代方程求得第一次解t$）t31每次計(jì)算都用t的最新值代入。例如當(dāng)由式（b）中的第三式計(jì)算t31府代入的是tj及t，"值(3)以計(jì)算所得之值作為初場(chǎng)，重復(fù)上述計(jì)算，直到相鄰兩次迭代值之差小于允許值，則稱迭代收斂，計(jì)算終止。三、判斷迭代收斂的準(zhǔn)則判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則一般有以下三種：maxt)tf*忤w(4-10a)maxmaxtfLtftth(4-10b)tf).tf?tCx(4-10c)其中上角標(biāo)k及k+1表示迭代次數(shù)，tU)為第k次迭代計(jì)算所得的計(jì)算區(qū)域中的最大值

18、。若計(jì)算區(qū)域中有接近于零的t時(shí)，采用式(4-10c)比較合適。說明：(1)對(duì)于一個(gè)代數(shù)方程組，若選用的迭代方式不合適，有可能導(dǎo)致發(fā)散，即稱迭代過程發(fā)散；(2)對(duì)于常物性導(dǎo)熱問題組成的差分方程組，迭代公式的選擇應(yīng)使一個(gè)迭代變量的系數(shù)總是大于或等于該式中其他變量系數(shù)絕對(duì)值的代數(shù)和，此時(shí)，結(jié)果一定收斂。這一條件數(shù)學(xué)上稱主對(duì)角線占優(yōu)(對(duì)角占優(yōu))，即：a12|+|a13加,1a23|1a31|十國(guó)§a33a22(3)采用熱平衡法導(dǎo)出差分方程時(shí)，若每一個(gè)方程都選用導(dǎo)出該方程中心節(jié)點(diǎn)的溫度作為迭代變量，則上述條件必滿足，迭代一定收斂。4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法由前可知：非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱和穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱二者

19、微分方程的區(qū)別在于控制方程中多了一個(gè)非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)，其中擴(kuò)散項(xiàng)的離散方法與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱相同。本節(jié)重點(diǎn)討論：(1)非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)離散的方法；(2)擴(kuò)散項(xiàng)離散時(shí)所取時(shí)間層的不同對(duì)計(jì)算帶來的影響。圖-維非穩(wěn)蠢導(dǎo)熱時(shí)間-空間區(qū)域的離散化(1)時(shí)間步長(zhǎng)At:指從一個(gè)時(shí)間層到下一個(gè)時(shí)間層的時(shí)間問隔丁。(2)節(jié)點(diǎn)(n,i)表示空間網(wǎng)格線與時(shí)間網(wǎng)格線的交點(diǎn)，即表示了時(shí)間一空間區(qū)域中一個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置，相應(yīng)的記為t/)。2,非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散有三種不同的格式，向前差分、向后差分、中心差分。(1)向前差分將函數(shù)t在節(jié)點(diǎn)(n,i+1)對(duì)點(diǎn)(n,i)作泰勒展開，則有：爐)=t£)+金6，n,i.-：T；：2t2；：T

20、十n,i于是有:.:t(b)寸n,i其中O(Ac底示余項(xiàng)中&T的最低階為一次。由式(b)可得在點(diǎn)(n,i)處一階導(dǎo)數(shù)的向前差分表示式：tStQ(4-11)將t在節(jié)點(diǎn)(n,i-1(2)向后差分)對(duì)點(diǎn)(n,i)作泰勒展開，可得-的向后差分表-n,i(4-12)(3)中心差分-I的向前差分與向后差分之和，即得-的中心差分表達(dá)式:Cl,iC4n,i(4-13)目廠)“16Tn,i2AT、一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程的離散方法1,泰勒級(jí)數(shù)展開法(1)顯式差分格式一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程中的擴(kuò)散項(xiàng)離散與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程中的方法相同，對(duì)一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程中的擴(kuò)散項(xiàng)采用中心差分；非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)采用向前差分。則有

21、：atm(414a)變形得:11r工=舊+內(nèi))+'ix2aAr.x2tni(414b)求解非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程，是從已知的初始溫度分布出發(fā)，根據(jù)邊界條件依次求得以后各個(gè)時(shí)間層上的溫度值。由此可見，只要i時(shí)層上各節(jié)點(diǎn)的溫度已知，那么i+1時(shí)層上各節(jié)點(diǎn)的溫度即可算出，且不需設(shè)立方程組求解。此關(guān)系式即為顯式差分格式。優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算工作量??；缺點(diǎn)：受時(shí)間及空間步長(zhǎng)的限制。（2）隱式差分格式對(duì)一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程中的擴(kuò)散項(xiàng)在（i+1）時(shí)層上采用中心差分，非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)在節(jié)點(diǎn)（n,i+1）處對(duì)節(jié)點(diǎn)（n,i）采用向前差分，得：(4-15)t卜）一4）_qr）-2tni+1）ni11）二X2式中已知的是i時(shí)層上

22、的值t/上而未知量有3個(gè)，因此不能直接由上式立即算出4而必須求解（i+1）時(shí)層上的一個(gè)聯(lián)立方程組，才能算出（i+1）時(shí)層各節(jié)點(diǎn)的溫度，此種差分格式稱隱式差分格式。優(yōu)點(diǎn)：不受時(shí)間及空間的步長(zhǎng)影響；缺點(diǎn)：計(jì)算工作量大。綜上可知：非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程中，擴(kuò)散項(xiàng)采用中心差分，非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)采用向前差分得到顯式差分格式；非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程中，擴(kuò)散項(xiàng)采用中心差分，非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)采用向后差分得到隱式差分格式。2.熱平衡法（1）優(yōu)點(diǎn)：不受網(wǎng)格是否均勻限制；不受物性是否為常數(shù)限制（2）求解方法以一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱邊界節(jié)點(diǎn)為例，應(yīng)用熱平衡法建立節(jié)點(diǎn)離散方程。如圖4-9所示，一無限大平板，右側(cè)面受周圍流體的冷卻，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h,此

23、時(shí)邊界節(jié)點(diǎn)N代表了寬為&X的元體。2根據(jù)傅立葉定律，在i時(shí)層上，從節(jié)點(diǎn)(N-1)傳導(dǎo)給節(jié)點(diǎn)N的熱流量，即從(N-1)傳給元體&單位面積的熱流量為：2(a)。、tN)i-tN)qN1,N='.X根據(jù)牛頓冷卻公式，平板右側(cè)被冷卻時(shí)，在i時(shí)層上其單位面積的熱流量為:qc=h(tf-tN)(b)心”1-蔑2a2a；i.RN12h：Pcx"(4-16b)圖4-9邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立在i時(shí)層上元體熱力學(xué)能的增量為:(c)據(jù)能量守恒定律可知：在i時(shí)層通過導(dǎo)熱和對(duì)流進(jìn)入元體的能量應(yīng)等于元體熱力學(xué)能的變化量，則有：tNi-tNi一；xtN1-tNh+h1tf-tN>Pc

24、(4-16a)LX2；經(jīng)整理得:其中"1是以Ax為特征長(zhǎng)度的傅里葉數(shù)，稱網(wǎng)x2格傅里葉數(shù)，記為：Fo&h一項(xiàng)可作如下變化：3：xh:hx隹;在/T=F°gA啦稱為網(wǎng)格畢渥數(shù)，記為Bi&于是式(4-16b)可改寫為：tN+LtN看一2Fo&Bi&-2FoA)+2Fo&)1+2Fo&Bi&f(4-16c)說明：對(duì)多維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題應(yīng)用熱平衡法來建立離散方程的原則與過程與之類似。至此，可以把第三類邊界條件下、厚度為26的無限大平板的數(shù)值計(jì)算問題作一歸納。由于問題的對(duì)稱性，只要求解一半厚度即可，其數(shù)學(xué)描寫見式（3-11）到（3

25、-14）。此處不再重復(fù)。設(shè)將計(jì)算區(qū)域等分為（N-1）等份（N個(gè)節(jié)點(diǎn)），節(jié)點(diǎn)1為絕熱的對(duì)稱面，節(jié)點(diǎn)N為對(duì)流邊界，則與微分形式的數(shù)學(xué)描寫相對(duì)應(yīng)的離散形式為：t/。FotnQ+tQ"(1-2FoH)(417)n=1,2,N-1tfLt0,n=1,2,，N(4-18)ttN11-2FoABiA-2FoA)+2FoAtNiJ1+2FoABiAtf(4-19)t2具tg)(4-20)其中式（420）是絕熱邊界的一種離散方式，在確定甲）之值時(shí)需要用到也）。根據(jù)對(duì)稱性該值等于4）。這樣從已知的初始分布to出發(fā)，利用式（417）至（4-19）可以依次求得第二時(shí)層、第三時(shí)層直到I時(shí)層上的溫度值（見圖48

26、）。至于空間步長(zhǎng)效及時(shí)間步長(zhǎng)丁的選取，原則上步長(zhǎng)越小，計(jì)算結(jié)果越接近于精確解，但所需的計(jì)算機(jī)內(nèi)存及計(jì)算時(shí)間則大大增加。此外，工與Ax之間的關(guān)系還受到顯式格式穩(wěn)定性的影響。三、討論一維導(dǎo)熱問題顯式差分格式穩(wěn)定性限制的物理意義從離散方程的結(jié)構(gòu)分析，對(duì)于一維導(dǎo)熱顯式格式的內(nèi)節(jié)點(diǎn)方程，點(diǎn)n上i+1時(shí)刻的溫度是在該點(diǎn)i時(shí)刻溫度的基礎(chǔ)上計(jì)及了左右兩鄰點(diǎn)溫度的影響后得出的。若兩鄰點(diǎn)的影響保持不變，則合理的情況是：4遍高，則11r越高；tf）越低,則d*越低。在上式中，滿足這種合理性是有條件的，即上式中tn標(biāo)的系數(shù)必大于等于零，即：Fo片Of<-（4-21）x22否則，將出現(xiàn)不合理情況。若1-2Fo4<0,