常系數(shù)線性微分方程

1、 第第 五五 節(jié)節(jié) 常系數(shù)線性微分方程常系數(shù)線性微分方程一、常系數(shù)齊次線性方程通解求法一、常系數(shù)齊次線性方程通解求法)(1) 1(1)(xfyayayaynnnnn階常系數(shù)非齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式階常系數(shù)非齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式021 yayay二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式)(21xfyayay n階常系數(shù)齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式階常系數(shù)齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式01) 1(1)(yayayaynnnn-特征方程特征方程,rxye設(shè)解為:將其代入上方程將其代入上方程, 得得0)(2

2、12rxearar, 0 rxe故有故有0212arar,2422112, 1aaar特征根特征根021 yayay1. 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解求法法 有兩個不相等的實(shí)根有兩個不相等的實(shí)根,2422111aaar,11xrey ,22xrey 兩個線性無關(guān)的特解兩個線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;2121xrxreCeCy )0( 特征根為特征根為 有兩個相等的實(shí)根有兩個相等的實(shí)根)0(得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;)(121xrexCCy ,2121arr,2422112aaar 有一對共軛復(fù)根有一對共軛復(fù)根,1ir,2

3、ir得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為).sincos(21xCxCeyx 有兩個相等的實(shí)根有兩個相等的實(shí)根,11xrey ,2121arr)0( 一特解為一特解為得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;)(121xrexCCy 代入原方程并化簡，代入原方程并化簡，將將222yyy ,0)()2(2112111 uararuaru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 則則,)(12xrexuy 設(shè)設(shè)另另一一特特解解為為特征根為特征根為.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解為故所求通解為.)(221xexCCy

4、 例例1 1例例2 2.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0522 rr解得解得,2121ir，故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(21xCxCeyx 2. n 階常系數(shù)齊次線性方程解法階常系數(shù)齊次線性方程解法01)1(1)(yayayaynnnn特征方程為特征方程為0111nnnnararar特征方程的根特征方程的根通解中的對應(yīng)項(xiàng)通解中的對應(yīng)項(xiàng)rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk復(fù)復(fù)根根重重共共軛軛若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110注意注意n次代數(shù)方程有次代數(shù)方程有n個根個根, 而特

5、征方程的每一個而特征方程的每一個根都對應(yīng)著通解中的一項(xiàng)根都對應(yīng)著通解中的一項(xiàng), 且每一項(xiàng)各一個且每一項(xiàng)各一個任意常數(shù)任意常數(shù).nnyCyCyCy 2211特征根為特征根為irr31, 22, 11故所求通解為故所求通解為).3sin3cos(3221xCxCeeCyxx解解特征方程為特征方程為:例例3 3 解方程解方程: :, 08 yy, 083r, 0)42)(2(2rrr例例4 4 解方程解方程: :. 0512104)4( yyyyy解解特征方程為特征方程為:. 0512104234rrrr特征根為特征根為. 0)52() 1(22rrr.21, 14, 32, 1irr故所求通解為故

6、所求通解為).2sin2cos()(4321xCxCeexcCyxx練習(xí)練習(xí) 求方程的通解：求方程的通解：1.120.yyy2.320.yy3.90.yy4.8160.yyy5.0.yy答案：答案：34121.xxyc ec e23122.xycc e123.sin3cos3 .ycxcx4124.().xycc x e2123335.( cossin)22xxy cee cx cx12( ) (1)yay a yf x二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)齊次方程對應(yīng)齊次方程120,ya ya y 的解為y通則則(1)通解結(jié)構(gòu)通解結(jié)構(gòu),yyy難點(diǎn)難點(diǎn)：如何求特解如何求特解 ？

7、方法方法：待定系數(shù)法：待定系數(shù)法.1.()():xmfxePx型二二. 二階常系數(shù)非齊次線性方程解的求法二階常系數(shù)非齊次線性方程解的求法則有特解則有特解:( ).Kxmyx Qx e不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(. 0k是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 )2(. 1k是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(. 2k( ).mmQxP與 是同次多項(xiàng)式y(tǒng),)(xQexymxk設(shè) 是重根是重根是單根是單根不是根不是根2,10k上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性階常系數(shù)非齊次線性微分方程（微分方程（k是重根次數(shù)）是重根次數(shù)）.注意注意xmexpyay

8、ay)(21 的特解的特解:例例 寫出下列方程的特解形式寫出下列方程的特解形式:xexyyy 232. 1.33. 23xeyyyy 解解 1.特征方程為特征方程為:. 1, 3032212rrrr.)(2xeCBxAxxy解解 2.特征方程為特征方程為:101333 , 2, 123rrrr.3xAey.232的的通通解解求求方方程程xxeyyy 解解對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxececy是單根，是單根，2 ,)(2xeBAxxy設(shè)代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2) 121(于是原

9、方程通解為原方程通解為.) 121(2221xxxexxeCeCy 例例 4 4例例 5.123的通解求方程 yyy解解特征根特征根，2121 rr對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解,221xxececy是根，0不不,Ay 設(shè)代入方程代入方程, 得得.21A原方程通解為原方程通解為:.21221xxeCeCy例例 6.1232的通解求方程 xxeyyy解解. 1)()(221xxexfxf原方程通解為原方程通解為:.21) 121(2221xxxexxeCeCy型、sin)(cos)()(2xxPxxPexfnlx(1)(2)( )cos( )sin,kxmmx eRxxRxx則特解為則特解為:

10、y次多項(xiàng)式，次多項(xiàng)式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max ,10是單根不是根iik解解例例5 5寫出下列方程的特解形式寫出下列方程的特解形式:.cos2cos. 1xxyy 特征根特征根ir2, 1.3cos21cos21cos2cos)(xxxxxfxxfcos21)(1的特解的特解)sincos(111xBxAxyxxf3cos21)(2的特解的特解)3sin3cos(222xBxAy.3sin3cos)sincos(221121xBxAxBxAxyyy.2sin4的通解求方程xxyy 解解對應(yīng)齊方通解對應(yīng)齊方通解,2sin2cos21xCxCyi 2代入原方

11、程代入原方程:例例6 6是特征方程的單根是特征方程的單根,.2sin)(2cos)(2211xBxAxBxAxyxABxA2cos)248(122.2sin2sin)248(211xxxABxA比較系數(shù)得比較系數(shù)得:.161, 0, 0,812211BABA.2sin)1612cos81xxxxy通解為通解為: yyy四、小結(jié)四、小結(jié)1. 二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解得到相應(yīng)的通解. (見下表見下表)021

12、2arar021 yayay 特征根的情況特征根的情況 通解的表達(dá)式通解的表達(dá)式實(shí)根實(shí)根21rr 實(shí)根實(shí)根21rr 復(fù)根復(fù)根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 可以是復(fù)數(shù)）可以是復(fù)數(shù)） (),()()1(xPexfmx ( );kxmyx e Q x2. 非齊次方程求特解非齊次方程求特解: 是重根是重根是單根是單根不是根不是根2,10k,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx (1)(2)( )cos( )sin;kxmmyx eRxxRxx,10 是單根是單根不是根不是根jjk. 1) 1 () 1 (,2

13、 yyexeyyyxx解解特征方程特征方程, 0122 rr, 121rr對應(yīng)的齊次方程的通解為對應(yīng)的齊次方程的通解為.)(21xexCCy設(shè)原方程的特解為設(shè)原方程的特解為,)(2*xebaxxy 例例9 解方程解方程,21,61 ba代入原方程比較系數(shù)得原方程的一個特解為原方程的一個特解為,2623*xxexexy 故原方程的通解為故原方程的通解為.26)(2321xxxexexexCCy 代入初始條件代入初始條件.有有.26)121(61223xxxexexexeey .3x例2求方程y -y -6y=xe 的一個特解形式.3x答: x(Ax+B)e04考題2.30yyy例3(03考題)

14、解方程212:xxyc ec e答補(bǔ)充題補(bǔ)充題1(),(0),2()(),().fxffxdxfx dyfxxL例 4已 知可 微 且同 時 使 線 積 分e與 路 徑 無 關(guān)求:,( )( ).xPQef xfxyx 解( )( ).xfxf xe 1:( ).2xxf xcee其通解1(0),1.2fc由得1( ).2xxf xee2.xxyyyxee 求通解例例5 5解解特征方程特征方程, 0122 rr特征根特征根, 121 rr對應(yīng)的齊次方程的通解為對應(yīng)的齊次方程的通解為12().xyCC x e設(shè)原方程的特解為設(shè)原方程的特解為,)(2*xebaxxy ,2)3()(23*xebxx

15、baaxy 則則,2)46()6()(23*xebxbaxbaaxy 代代入入原原方方程程比比較較系系數(shù)數(shù)得得將將)(,)(,* yyy,21,61 ba原方程的一個特解為原方程的一個特解為,2623*xxexexy 故原方程的通解為故原方程的通解為.26)(2321xxxexexexCCy .212yyy 求求通通解解例例6 6解解.x方方程程不不顯顯含含,dydPPyPy 令令代入方程，得代入方程，得,212yPdydPP ,112yCP 解解得得，, 11 yCP, 11 yCdxdy即即故方程的通解為故方程的通解為.12211CxyCC 解法解法：歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變歐拉

16、方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變量代換可化為常系數(shù)微分方程量代換可化為常系數(shù)微分方程.二、歐拉方程二、歐拉方程)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn 的方程的方程(其中其中nppp21,形如形如叫叫歐拉方程歐拉方程.為常數(shù)為常數(shù))特點(diǎn)特點(diǎn)：各項(xiàng)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與乘積因子自各項(xiàng)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與乘積因子自變量的方次數(shù)相同變量的方次數(shù)相同作變量變換作變量變換,lnxtext 或或,1dtdyxdxdtdtdydxdy ,1)1(22222dtdydtydxdtdyxdxddxyd將自變量換為將自變量換為, t,2312233333 dtdydtyddtydxdxyd用用D表示對

17、自變量表示對自變量t的求導(dǎo)運(yùn)算的求導(dǎo)運(yùn)算.dtdD 則則,Dyyx ,)1()(2222yDDyDDdtdydtydyx ,) 2)(1()23(232322333yDDDyDDDdtdydtyddtydyx .) 1() 1()(ykDDDyxkk 將上式代入歐拉方程，則化為以將上式代入歐拉方程，則化為以 為自變量為自變量的常系數(shù)的常系數(shù)線性微分方程線性微分方程.求出這個方程的解后，求出這個方程的解后，t把把 換為換為 ，xln即得到原方程的解即得到原方程的解.一般地，一般地，例例 8求求22334xyxyxyx 的通解的通解解解作變量變換作變量變換,lnxtext 或或t四、小結(jié)四、小結(jié)1

18、. 二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解得到相應(yīng)的通解. (見下表見下表)原方程化為原方程化為,34) 1()2)(1(2teDyyDDyDDD 即即,332223teDyyDyD 或或.33222233tedtdydtyddtyd (1)其特征方程其特征方程, 03223 rrr. 3, 1, 0321 rrr.33213321xCxCCeCeCCytt設(shè)特解設(shè)特解:.2121,2.22xeyAeytt通解通解:.2123321xxCxCCy0212arar021 yayay 特征根的情況特征根的情況 通解的表達(dá)式通解的表達(dá)式實(shí)根實(shí)根21rr 實(shí)根實(shí)根21rr 復(fù)根復(fù)根 ir