高等結(jié)構(gòu)力學 海大課件

1、 具有阻尼的單自由度體系的振動模型如圖具有阻尼的單自由度體系的振動模型如圖(a)所示。所示。k11m圖圖(a)Fp(t)CI (t)Fp(t)mS(t)R(t) tymtI 慣性力 tyktS11彈性恢復(fù)力 tyCtR阻尼力 tFp干擾力對隔離體列動力平衡方程得對隔離體列動力平衡方程得 tFykyCymp11 (2-18)這就是這就是。 體系的阻尼特性用阻尼減振器表示。阻尼系數(shù)為體系的阻尼特性用阻尼減振器表示。阻尼系數(shù)為C，質(zhì)量質(zhì)量m為隔離體，為隔離體，。作用質(zhì)量作用質(zhì)量m上的力有上的力有 在在(2-18)式中令干擾力式中令干擾力Fp(t)=0，即得考慮粘滯阻尼作用，即得考慮粘滯阻尼作用時單自

2、由度體系時單自由度體系的運動方程為的運動方程為 18211tFykyCymp 011ykyCym (2-19)： ;112mkmC2則上式可則上式可 這是一個這是一個，其解的形式為，其解的形式為y=ert，代入上式得特征方程為，代入上式得特征方程為 0222rr122, 1r于是于是(2-20)式的通解為式的通解為 022yyy (2-20)k11mCtrtreCeCy2121其具體的表達形式取決于其具體的表達形式取決于 的具體的具體結(jié)果。討論如下結(jié)果。討論如下 12此時此時r1和和r2為為22, 11ir21令：利用利用;2sinieeii2cosiiee解可以寫成解可以寫成 tCtCety

3、tsincos21設(shè)設(shè)為為y(0)=y0， ，可得，可得 00vy122, 1r00201yvCyC則則 tyvtyetytsincos000(2-21)改寫成單項的形式為改寫成單項的形式為 000120020tansinyvyyvyAteAtyt(2-22)由由(2-22)式式，弱阻尼的自由振動是一種，弱阻尼的自由振動是一種，雖然它不是嚴格意義的周期運動，但質(zhì)點在相鄰雖然它不是嚴格意義的周期運動，但質(zhì)點在相鄰的的是相等的是相等的 tCtCetyvyyytsincos0;02100把這種振動把這種振動;為周期；隔習慣上，仍稱此時間間2T；稱為衰減振動的圓頻率稱為衰減振動振幅；teAy0v0ty

4、圖圖(b)若用若用An表示時刻表示時刻tn的振幅，的振幅，An+1表示經(jīng)過了一個周期表示經(jīng)過了一個周期T 后后的振幅，則的振幅，則 有阻尼的自由振動的有阻尼的自由振動的y t曲線如圖曲線如圖(b)所示。所示。TTttnneeAeAAAnn1y0v0ty圖圖(b)TTttnneeAeAAAnn1，相隔一個周期后的，相隔一個周期后的為常數(shù)，即為常數(shù)，即振幅是按振幅是按衰減的。衰減的。在有阻尼的振動問題中，在有阻尼的振動問題中， 是一個非常重要的參數(shù)，稱是一個非常重要的參數(shù)，稱為為，工程中常根據(jù)上式來確定阻尼比，工程中常根據(jù)上式來確定阻尼比 。對上式兩邊取對數(shù)得對上式兩邊取對數(shù)得 22ln1TAAn

5、n2則(2-23) 稱為稱為此時此時r1和和r2為為21rr(2-20)式的解為式的解為 022yyy (2-20) 21CtCetyt(2-24)其其y t曲線如圖曲線如圖(c)所示。所示。 ty0v0y圖圖(c)(2-24)式式，體系從，體系從，逐步返回到靜平衡，逐步返回到靜平衡位置，位置，。這是因為阻尼作用較大，體系受干擾。這是因為阻尼作用較大，體系受干擾平衡位置所積蓄的平衡位置所積蓄的，在恢復(fù)到平衡位置的過，在恢復(fù)到平衡位置的過程中全部消耗于程中全部消耗于的影響，的影響，的能量來引起的能量來引起振動。這種情況稱為振動。這種情況稱為。此時的阻尼系數(shù)稱為。此時的阻尼系數(shù)稱為，用，用ccr表

6、示。表示。 122, 1r得由mccr211221kmmccr此時此時r1和和r2為為122, 1r2sinhee利用歐拉公式：2coshee(2-20)式的解可以寫成為式的解可以寫成為 tCtCetyt1cosh1sinh2221(2-25)其其y t曲線如圖曲線如圖(c)。它也。它也。這種情況稱為。這種情況稱為。在實際工程中很小遇到這種情況，。在實際工程中很小遇到這種情況，故不再進一步討論。故不再進一步討論。 022yyy （2-20）122, 1rty0v0y圖圖(c) 圖示門架為一單層建筑的計算簡圖。設(shè)橫梁的圖示門架為一單層建筑的計算簡圖。設(shè)橫梁的EI= ，EA= ，房蓋系統(tǒng)和橫梁的重

7、量及立柱部分質(zhì)量可以認為集，房蓋系統(tǒng)和橫梁的重量及立柱部分質(zhì)量可以認為集中于橫梁上。設(shè)總重量為中于橫梁上。設(shè)總重量為W，為了確定水平振動時門架的，為了確定水平振動時門架的動力特征，進行以下振動實驗：動力特征，進行以下振動實驗： 在橫梁加一水平力在橫梁加一水平力Fp=98kN，門架，門架的側(cè)移的側(cè)移y0=0.5cm，然后突然釋放，使，然后突然釋放，使結(jié)構(gòu)作自由振動，并測得一個周期后結(jié)構(gòu)作自由振動，并測得一個周期后橫梁擺回側(cè)移為橫梁擺回側(cè)移為 y1=0.4cm，周期為，周期為T =1.5s。 分析：求分析：求 C mC2,2mk112223. 04 . 05 . 0lnln10AAEI=EA=m例

8、例2.8圖圖0355. 02屬于屬于情況，故可取情況，故可取T=T=1.5s1 -s189. 42TmkN106 .193011yFkp1120Tkg1012. 16211km則阻尼系數(shù)為則阻尼系數(shù)為msN10333. 0189. 41012. 120355. 0266mCTeyy505Teyy01,cm164. 0501505yyeyyT2在橫梁加一水平力在橫梁加一水平力Fp=98kN，門架的側(cè)移門架的側(cè)移y0=0.5cm 有阻尼體系（有阻尼體系（）在一般動力荷載）在一般動力荷載Fp(t)作用下，作用下，其動力位移也可表示為其動力位移也可表示為。由（。由（2-21）式知，單）式知，單獨由初始

9、速度獨由初始速度)引起的振動為引起的振動為 tvetytsin0利用上式，象無阻尼情況一樣，可以導(dǎo)出瞬時沖量利用上式，象無阻尼情況一樣，可以導(dǎo)出瞬時沖量 引起的動力響應(yīng)為引起的動力響應(yīng)為 ttmtFeyptdsind把把的加載過程看成為的加載過程看成為組成組成的，則對于的，則對于t= 到到t= +d 的的沖量沖量dS=Fp( )d 來說，來說，它所引起的動力響應(yīng)為它所引起的動力響應(yīng)為 dsindtmFeypt tyvtyetytsincos000（2-21） tFp(t)t圖圖(b)dS=Fp( )d d 則當則當時，一般動力荷載時，一般動力荷載Fp(t)所引起的動力所引起的動力響應(yīng)為響應(yīng)為

10、ttptteFmyty00dsin1d(2-26) 下面討論當下面討論當時，時，F(xiàn)p(t)所引起的所引起的動力響應(yīng)。動力響應(yīng)。 tFtFppsin設(shè)：將上式代入（將上式代入（2-26）式得）式得 ttptemFty0dsinsin積分可得積分可得 272sinsincossincos2121tBttBetBtBtyt dsindtmFeyptmFBmFBpp2222222222222221442式中 272sinsincossincos2121tBttBetBtBtyt上式說明，振動由兩部分組成上式說明，振動由兩部分組成與干擾力的頻率與干擾力的頻率 一致一致則與體系的衰減振動圓頻率則與體系的衰

11、減振動圓頻率 一致。一致。 由于阻尼的作用，頻率為由于阻尼的作用，頻率為 的那一部分振動（稱為的那一部分振動（稱為）因含有）因含有e- t，將因衰減而很快消失。，將因衰減而很快消失。最后只剩下頻率為最后只剩下頻率為 的那一部分振動的那一部分振動(稱為稱為)下面討論穩(wěn)態(tài)受迫振動的一些性質(zhì)。下面討論穩(wěn)態(tài)受迫振動的一些性質(zhì)。 由由(2-27)式知，穩(wěn)態(tài)受迫振動的方程為式知，穩(wěn)態(tài)受迫振動的方程為 tBtBtysincos21將其表示為單項的形式為將其表示為單項的形式為 tAtysin(2-28)式中式中 2212222222tan41mFAp(2-29) ,112kFmFypps因為 2222411s

12、yA (2-30) tBttBetBtBtytsinsincossincos2121(2-27)2222411syA (2-30) ，動力系數(shù)，動力系數(shù)與與 有關(guān)，有關(guān)，與與 有關(guān)有關(guān) 。下圖給出了不同的。下圖給出了不同的 值時值時曲線。曲線。 4.03.02.01.00.51.01.52.0 =1 =0.5 =0.2 =0由圖可以看出由圖可以看出 (1)，這表明這表明體系的振動的體系的振動的，可近，可近似地將似地將Fpsin t作為靜力荷載作為靜力荷載來計算。來計算。 4.03.02.01.00.51.01.52.0 =1 =0.5 =0.2 =0(2) 當當 1( )時時， 0這表明這表明

13、，體系振動的體系振動的，且質(zhì)量，且質(zhì)量m接接近于不動或在靜平衡位置附近于不動或在靜平衡位置附近做幅度微小的近做幅度微小的。 (3) 當當 1( )時時，則，則 很大很大這時阻尼比這時阻尼比 對對 的影響很大。在的影響很大。在0.75 1.25（習慣上稱（習慣上稱為為）的范圍內(nèi)，阻尼力顯著地減小了受迫振動的位）的范圍內(nèi)，阻尼力顯著地減小了受迫振動的位移，但在此范圍以外的區(qū)域，阻尼力的影響較小，移，但在此范圍以外的區(qū)域，阻尼力的影響較小，。 4.03.02.01.00.51.01.52.0 =1 =0.5 =0.2 =0(4) 。利用求極值的方法，不難利用求極值的方法，不難求得，當求得，當 時時

14、的取的取得最大值。但因阻尼比得最大值。但因阻尼比 很小，很小，在工程計算時，仍近似地將在工程計算時，仍近似地將 =1時的值作為最大值，并稱時的值作為最大值，并稱此時的振動為此時的振動為。 此時的動此時的動力系數(shù)為力系數(shù)為 22121(2-31) ，由，由(2-28)式知，式知，動力響應(yīng)為干擾力動力響應(yīng)為干擾力Fp(t)不同步。不同步。其相位差為其相位差為 2122112tan2tan tAtysin(2-28) 當當 1時，時，0 1時，時， /2 當當 =1時，時， = /2 也就是說，只要有阻尼的存在，位移總是也就是說，只要有阻尼的存在，位移總是于振動荷載。于振動荷載。，將，將 = /2代

15、入動力響應(yīng)方程可得代入動力響應(yīng)方程可得 tytyscos tymymtIscos2 相應(yīng)的慣性力為 tykyktSscos1111彈性恢復(fù)力為1122kmm注意：共振時有可知可知共振時共振時與與相互平衡相互平衡。2112tan tytyssintyyssin又因為注意到共振注意到共振( =1)時，時，,21。則阻尼力為。則阻尼力為 tymtymyctRsssinsin2122tFtykpssinsin11這說明，這說明，共振時共振時與與相互平衡相互平衡，故運動呈穩(wěn)態(tài)，而在故運動呈穩(wěn)態(tài)，而在受迫振動時，因無此阻尼項受迫振動時，因無此阻尼項與干擾力相平衡，故出現(xiàn)位移與內(nèi)力無限增大現(xiàn)象。與干擾力相平衡，故出現(xiàn)位移與內(nèi)力無限增大現(xiàn)象。 如圖示結(jié)構(gòu)當初始條件為零時，求地面水平運動引如圖示結(jié)構(gòu)當初始條件為零時，求地面水平運動引起的動力反應(yīng)。起的動力反應(yīng)。地面在水平方向若發(fā)生運動地面在水平方向若發(fā)生運動,體系將體系將產(chǎn)生受迫振動。如產(chǎn)生受迫振動。如或或?qū)Y(jié)構(gòu)的影響都屬于該類問題。對結(jié)構(gòu)的影響都屬于該類問題。如題如題2.9圖所示單自由度體系，在質(zhì)圖所示單自由度體系，在質(zhì)量量m上并沒有直接作用動力荷載。設(shè)上并沒有直接作用動力荷載。設(shè)地面的水平運動為地面的水平運動為yg(t)，于是質(zhì)量，于是質(zhì)量m發(fā)生了發(fā)生了的位移的位移y(t)，在任一，在任一時刻時刻t，質(zhì)量，質(zhì)量m的的為為yg(t)