數(shù)學(xué)歸納法教案

1、§數(shù)學(xué)歸納法教案一、教情分析數(shù)學(xué)歸納法作為直接證明的一種特殊方法，主要用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。人教課標(biāo)版教科書把數(shù)學(xué)歸納法安排在選修2-2第二章推理與證明中，教學(xué)時(shí)間為2課時(shí)，本教案為數(shù)學(xué)歸納法的第一節(jié)課。在此之前，學(xué)生已經(jīng)通過數(shù)列一章內(nèi)容和推理與證明內(nèi)容的學(xué)習(xí)，初步掌握了由有限多個(gè)特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，即不完全歸納法，知道不完全歸納法是研究數(shù)學(xué)問題，猜想或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的重要手段。但是，由有限多個(gè)特殊事例得出的結(jié)論的歸納推理是合情推理，而由合情推理得出的結(jié)論未必正確。因此，在不完全歸納法的基礎(chǔ)上，必須進(jìn)一步學(xué)習(xí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)的論證方法數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法是促進(jìn)學(xué)生從有

2、限思維發(fā)展到無限思維的一個(gè)重要載體，也是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的推理能力及抽象思維能力的好素材。二、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能目標(biāo) （1）了解不完全歸納法屬于合情推理，而由合情推理得出的一般結(jié)論未必正確。（2）能以遞推思想為指導(dǎo)， 理解數(shù)學(xué)歸納的原理與實(shí)質(zhì)（3）掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟；會(huì)用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡(jiǎn)單的與整 數(shù)有關(guān)的命題2.過程與方法目標(biāo)（1）通過對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的構(gòu)建過程發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想、分析能力和嚴(yán)密的邏輯推理能力。（2）借助“多米諾骨牌”讓學(xué)生體會(huì)類比的思想。（3）感受從有限思維發(fā)展到無限思維的思考過程。3.情感態(tài)度價(jià)值

3、觀（1）利用多米諾骨牌，努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和課堂效率。 （2）通過對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的探究，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和不怕困難，勇于探索的精神。三、教學(xué)重難點(diǎn)1.重 點(diǎn)理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，明確用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟，初步會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明簡(jiǎn)單的與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)恒等式。2.難 點(diǎn)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，即理解數(shù)學(xué)歸納法證題的嚴(yán)密性與有效性。四、教學(xué)手段與方法多媒體輔助，采用情境教學(xué)法、類比教學(xué)法、自主探究、合作交流的教學(xué)模式，問題探究和啟發(fā)式相結(jié)合的教學(xué)方法。五、教學(xué)過程1、創(chuàng)設(shè)問題情境（1）法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬觀察到：都是質(zhì)數(shù)，于是他用歸納推理提出猜想：任何形

4、如 （n）的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，這就是著名的費(fèi)馬猜想。半個(gè)世紀(jì)以后，數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)，第5個(gè)費(fèi)馬數(shù)不是質(zhì)數(shù),從而推翻了費(fèi)馬的猜想。這告訴我們，由合情推理所獲得的結(jié)論不一定可靠。（2）提出數(shù)學(xué)問題數(shù)列，已知，通過對(duì)1,2,3,4前四項(xiàng)的歸納，我們能否猜想出通項(xiàng)公式？設(shè)計(jì)意圖：借助數(shù)學(xué)史料，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)歸納法，并回顧之前學(xué)習(xí)，了解不完全歸納法的局限性，同時(shí)肯定它的價(jià)值和意義。提出問題，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想的意識(shí)和數(shù)學(xué)概括能力概括能力是思維能力的核心魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的心理學(xué)認(rèn)為“遷移就是概括”，我所找的突破口就是學(xué)生的概括過程。剛才我們從有限項(xiàng)歸納猜想得到的通項(xiàng)公式一定是正確的嗎？怎么去驗(yàn)證？正

5、整數(shù)有無限多個(gè)，不可能一一驗(yàn)證，那么該如何證明這類有關(guān)正整數(shù)的命題呢？我們要尋求一種方法：通過有限步驟推理，證明取所有正整數(shù)都成立。引出數(shù)學(xué)歸納法。設(shè)計(jì)意圖：怎么驗(yàn)證不完全歸納法所得結(jié)論，構(gòu)造懸念，激發(fā)學(xué)生探究問題的欲望，問題層層遞進(jìn)，為學(xué)生營(yíng)造探究的課堂氛圍。特點(diǎn)是師生互動(dòng)，學(xué)生能積極參與。（3）演示多米諾骨牌游戲，分解過程，引導(dǎo)學(xué)生思考：多米諾骨牌全部倒下要滿足什么條件設(shè)計(jì)意圖：展示多米諾骨牌游戲，活躍課堂氛圍，激發(fā)學(xué)生的興趣。這里從生活中多米諾骨牌引入，使抽象的原理寓于簡(jiǎn)單的事例當(dāng)中，通俗易懂，讓學(xué)生觀察多米諾骨牌倒下過程，將抽象的數(shù)學(xué)找到現(xiàn)實(shí)的固著點(diǎn)，形象化的展示，通過探討骨牌全部倒下

6、的條件，初步嘗試，感性認(rèn)識(shí)，為類比得出數(shù)學(xué)歸納法做鋪墊。2、類比探究你認(rèn)為證明數(shù)列的通項(xiàng)公式是這個(gè)猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？能類比多米諾骨牌游戲解決這個(gè)問題嗎？設(shè)計(jì)意圖：把問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)類比，激起學(xué)生探究熱情，讓學(xué)生將生活例子回歸理性，幫助學(xué)生積極思考，主動(dòng)構(gòu)建新知識(shí)。 類比“多米諾骨牌”的原理來驗(yàn)證情境1中對(duì)于通項(xiàng)公式猜想，設(shè)想將全部正整數(shù)由小到大依次排列為無限長(zhǎng)一隊(duì)，將多米諾骨牌原理中的第一塊骨牌倒下對(duì)應(yīng)于驗(yàn)證猜想成立，第塊倒下，使第塊倒下對(duì)應(yīng)于當(dāng)時(shí)猜想成立，即，那么能推出時(shí)等式也成立，那么，這樣，對(duì)于猜想，時(shí)等式成立時(shí)等式成立時(shí)等式成立所以取任何正整數(shù)猜想都

7、成立，即數(shù)列的通項(xiàng)公式是設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生經(jīng)歷一次數(shù)學(xué)研究與發(fā)現(xiàn)的完整過程，并進(jìn)一步熟悉數(shù)學(xué)歸納法。3、概念新知上面這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法一般被用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，下面請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)一下用數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟。學(xué)生交流后，共同總結(jié)：（1）證明當(dāng)取第一個(gè)值（例如或2等）時(shí)結(jié)論正確；（2）假設(shè)當(dāng)（，且）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)時(shí)結(jié)論也正確。根據(jù)（1）和（2），可知命題對(duì)從開始的所有正整數(shù)都正確。概括起來就是“兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論?！?設(shè)計(jì)意圖：方法的提煉事實(shí)是對(duì)一種模式的提煉，通過對(duì)引例數(shù)學(xué)問題的解決過程的體驗(yàn)，學(xué)生由感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，感受數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性，理解類比在我們解決

8、問題中的作用，培養(yǎng)學(xué)生合作交流和歸納抽象的能力。4、提問質(zhì)疑，理解升華問題1：數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟各起到了怎樣的作用呢？問題2：第一步中起點(diǎn)可作適當(dāng)偏移。如邊形內(nèi)角和問題3：這一思想方法在生活中由應(yīng)用嗎？（比如火車開動(dòng)）設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}1,2讓學(xué)生更深刻的了解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)，問題3通過舉例子，讓學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活之間的聯(lián)系和類比，增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。5、鞏固新知，規(guī)范步驟例：用數(shù)學(xué)歸納法證明： 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生應(yīng)用中感受數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)，同時(shí)注意學(xué)生在書寫表達(dá)上是否規(guī)范。6、小結(jié)（師生共同完成）（1）數(shù)學(xué)歸納法能解決哪些問題？（與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明）（2）數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟是什么？（兩步驟一結(jié)論）（3）它的核心思想是什么？（無窮遞推）設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生的學(xué)后總結(jié)與反思，是知識(shí)得以內(nèi)化的必要過程.7、布置作業(yè)選修2-2第96頁(yè)習(xí)題2.3 A組思考題（為進(jìn)一步深入學(xué)