結構力學影響線1

1、基本要求：基本要求： 掌握掌握影響線的概念和繪制影響線的基本方法。熟練掌握熟練掌握靜定梁的內力和反力影響線的繪制。了解了解桁架影響線和結點荷載作用下梁的影響線繪制； 理解理解影響量的計算和最不利荷載位置的確定。了解了解內力包絡和絕對最大彎矩。 移動荷載及影響線的概念移動荷載及影響線的概念 靜力法作影響線靜力法作影響線 用機動法作影響線用機動法作影響線 影響線的應用影響線的應用 簡支梁的絕對最大彎矩和內力包絡圖簡支梁的絕對最大彎矩和內力包絡圖本本 章章 內內 容容 靜力法作桁架的影響線靜力法作桁架的影響線大小、方向不變，荷載作用點改變的荷載大小、方向不變，荷載作用點改變的荷載。結構的反應（反力、

2、內力等）隨荷載作用位結構的反應（反力、內力等）隨荷載作用位置的改變而改變。置的改變而改變。移動荷載作用下結構的最大響應計算。線彈移動荷載作用下結構的最大響應計算。線彈性條件下，影響線是有效工具之一。性條件下，影響線是有效工具之一。 工程中的移動荷載是多種多樣的，不可能針對每一個結構在各種移動荷載作用下產生的效果進行一一的分析，研究移動荷載對結構各種力學物理量的變化規(guī)律。一般只需研究具有典型意義的一個豎向單位集中荷載 FP = 1 沿結構移動時，某一量值（內力、支反力等）的變化規(guī)律，再利用疊加原理，求出移動荷載對結構某一量值的影響。FP=1xy=FB1FP=1FBFB影響線DyD當單位移動荷載當

3、單位移動荷載FP=1=1在結構上移動時，用來表示某在結構上移動時，用來表示某一量值一量值Z Z變化規(guī)律的圖形，稱為該量值變化規(guī)律的圖形，稱為該量值Z Z的影響線。的影響線。 注意：注意： 在Z的影響線中, 橫標表示的是FP=1的作用位置；豎標表示的是量值Z的值。Z的影響線與量值Z相差一個力的量綱。所以反力、剪力、軸力的影響線無量綱，而彎矩影響線的量綱是長度。繪制影響線時，正值畫在基線之上，負值畫在基線之下 FP=1Fyx3/41/21/41-反力反力F的影響線的影響線FP1FP2FA=FP1*3/4+FP2*1/4用靜力法作影響線是指用靜力計算的方法列出指用靜力法作影響線是指用靜力計算的方法列

4、出指定量值的影響線方程，再據(jù)此繪出影響線。其步驟定量值的影響線方程，再據(jù)此繪出影響線。其步驟如下：如下： 選定坐標系，將FP =1置于任意位置，以自變量x表示FP =1的作用位置。對于靜定結構可直接由分離體的靜力平衡條件，求出指定量值與x之間的函數(shù)關系，即影響線方程。由影響線方程作出影響線。 以自變量以自變量x x表示表示F FP P=1=1的作的作用位置，通過平衡方程，建用位置，通過平衡方程，建立反力和內力的影響線函數(shù)立反力和內力的影響線函數(shù) 并作影響線。并作影響線。1、支座反力影響線11FBy.影響線FAy.影響線2、剪力影響線當FP=1在AC上移時取CBMCFQCFBya/l當FP=1在

5、CB上移時取ACFAy FQCMCb/l+QCFQC.影響線靜力法作單跨靜定梁的影響線CabFAyAFBy.BxFP=1l0/0, )yQCByFFFx la 0/( , YQCAyFFFlxla l,彎矩影響線CBbACa0CM0,CByxMF bbal0CM,CAylxMF aaa llab/lMC.影響線0/0,0/0,AByBAyMFx llMFlxllFBy=x/l 0 ,l 當FP=1在AC上移動 FQC=x/l 0，a）當FP=1在CB上移動 FQC=（lx）/l( a, l CabxFP=1lFAyABFBy.當FP=1在EC上時：FQC=FBy=x/l l1，a）當FP=1在

6、CF上時： FQC=FAy=（lx）/l （a，l+l2FBy=x/l l1，l+l2 伸臂梁的影響線繪制由平衡條件可得: 故欲作伸臂梁的反力及支座間的截面內力影響線，可先作簡支梁的影響線，然后向伸臂上延伸。l1abll2FP=1xABCFAyFByEF伸臂梁支座反力及支座間內力影響線方程與簡支梁對應量值的影響線方程相同，只是范圍向伸臂上延伸。+1FBy.I.La/lb/l+FQC.I.Lab/l+_Mc.I.LD當FP=1在D以里移動時D截面內力等于零， 故伸臂上截面內力影響線在該截面以外的伸臂段上才有非零值。MD.I.L-d在D以外移動時D截面才有內力d+ 1FQD.I.Ll1abll2F

7、P=1xABCFAyFByEF伸臂梁的影響線 故欲作伸臂梁的反力及支座間的截面內力影響線，可先作簡支梁的影響線，然后向伸臂上延伸。. .QBFI L左+1下面討論影響線與內力圖的區(qū)別。影響線 ablblalFQ圖 M圖內力圖 blalablFQC影響線 MC影響線 xFP=1ACablBACablBFP=11）橫坐標x：影響線圖中，x是移動荷載的位置； 內力圖中，x是梁截面位置。2）縱坐標y：影響線圖中，y是當FP=1在該位置 時影響系數(shù)的值；內力圖中，y是梁該截面的 內力值。3）荷載位置：求影響線時，F(xiàn)P=1是移動荷載； 內力圖中，荷載位置固定。FQC影響線 llblal在FQC影響線中 l

8、/2l/2l/2KFP=1Al/4l/4kFP=1AMAYBiBl/4l/4FQKxMA l/2l/2l/2KP=1AxxMAFAyMA影響線影響線lFAy影響線影響線1FQKMKxl/22/ lx P=1FQK =1MK= -(x - l/2 )FQK影響線影響線1MK影響線影響線l/21AyF 0yF 0AM l/4l/4kP=1AMAFByiBl/4l/4xx0AM /2/2AByMF lxlx FBy影響線影響線1xl/44/ lx P=1 =0MK= l/4-(x - l/4 )=l/2-xMA影響線影響線l/2l/2MKFByMK影響線影響線l/2l/4影響線影響線1Mi4/3lx

9、 P=1x3l/4Mi=3l/4 -x =1Mi影響線影響線l/4影響線影響線10yF 1ByF作多跨靜定梁的影響線，關鍵在于分清基本部分和附屬部分。作多跨靜定梁的影響線，關鍵在于分清基本部分和附屬部分。 基本梁上某量值影響線，布滿基本梁和與其相關的附屬梁，在基本梁上與相應單跨靜定梁的影響線相同，在附屬梁上以結點為界按直線規(guī)律變化。在鉸結點處影響線發(fā)生拐折，在滑動聯(lián)結處左右兩支平行。 附屬梁上某量值影響線，只在該附屬梁上有非零值，且與相應單跨靜定梁的影響線相同。 【例題】作圖示多跨靜定梁的 MK，MC，F(xiàn)QB左，MD，影響線。2m2m2m2m4m2mCFABDEGK1m+1m1m1m+ 作MK

10、、FQB左影響線：在ABC梁上按伸臂梁影響線繪制，在CDE梁上影響線為一直線，且平行于C左的直線，在鉸E處影響線發(fā)生拐折，同時注意到在D、F點MK、FQB左影響線豎標為零，由此繪出MK、FQB左影響線如圖所示。ABC是基本梁，CDE為其附屬梁，同時也是EFG的基本梁，EFG是附屬梁。I.L.MKI.L.FQB左1/21/21/2+11/22m2m2m+2m2m+2m2m2m2m4m2mCFABDEGK 作MC影響線 在基本梁ABC上豎標為零，在CDE梁單跨梁影響線繪制，在鉸E處影響線發(fā)生拐折，同時注意到在D、F點影響線豎標為零，由此繪出MK影響線如圖所示。 I.L.MCI.L.MD 作MD影響

11、線 在DE梁段的基本梁ABCD上豎標為零，在DE梁上懸臂梁影響線繪制，在鉸E處影響線發(fā)生拐折，同時注意到F點影響線豎標為零，由此繪出MD影響線如圖。作業(yè) 4-2 如圖簡支梁AB，荷載FP=1在上部縱梁上移動，縱梁支在橫梁上，橫梁由主梁支承。求主梁AB某截面內力Z的影響線。FP=1ACDKxB 由下面的證明可以得出結論： 在結點荷載作用下，主梁截面K某內力Z的影響線在相鄰結點之間是一條直線。下面以例加以證明。d 8 5d 4 3d1615橫梁縱梁主梁AB CE FRARB l=4dd/2 d/2DFP=1 MD影響線FP=1 FP=1 DxFP=1FP=1 dxd dxdxddxddMD4385

12、 結點荷載下影響線特點 1、在結點處，結點荷載與直接荷載的影響線豎標相同. 2、相鄰結點之間影響線為一直線。 結點荷載下影響線作法 1、以虛線畫出直接荷載作用下有關量值的影響線。 2、以實線連接相鄰結點處的豎標，即得結點荷載作用下該量值的影響線。MD.I.LFQCE. I.L1/21/4LIMC.43d 結點荷載作用下梁的影響線(Influence line under joint load)MA.I.L2m1m3mFRD.I.L111/2FQD右.I.LABCDEFG3m3m2m2m2m4m3m6=18m1m1m11/21/31/2FP=1x 平面桁架只承受結點荷載，單位移動荷載FP=1通過

13、縱梁橫梁（橫梁放置在結點上）系統(tǒng)傳給桁架結點，如同前面討論的簡支梁受結點荷載的情況一樣。因此，桁架任一桿的軸力影響線在兩結點之間是一直線。 求桁架桿件軸力的影響線時，把單位移動荷載FP=1依次作用在各結點上，用結點法或截面法求出桿件的軸力即可。作圖示桁架指定桿的內力影響線解：求FN1需取截面-，建立矩方程Me=0先作出簡支梁的Me影響線如圖(a)，再將其豎標除以桁架高度 a 即得FN1影響線如圖(b) 。下承上承FP=1l=6aACBDEFacdefba12345FP=1I.L.Me4a/3+(a)I.L.FN1+4/3(b)l=6aACBDEFacdefba12345求FN2需取截面-， 建

14、立投影方程FY=0先作出簡支梁的在被截節(jié)間上的某一截面剪力影響線如圖(a)所示FQE右影響線，而 FNY2=FQE右，且在相鄰節(jié)點之間為一直線，得FN2影響線如圖(b) 。FP=1I.L.FQE右+1/62/31/3(a)下承上承I.L.FN2+6/23/22(b)FP=1當桁架上下弦節(jié)點上下對齊時，繪制弦桿及斜桿內力影響線不需分上承和下承。求FN3需取截面-， 建立投影方程FY=0先作出簡支梁的在被截節(jié)間上的某一截面剪力影響線如圖(a)所示FQE右影響線，而 :FN3=FQE右，且在相鄰節(jié)點之間為一直線，得FN3影響線如圖(b) 。FP=1I.L.FQE右+1/62/31/3(a)上承I.L

15、.FN3+6/13/2(b)FP=1下承如為上承，被截載重弦節(jié)間是de，影響線如圖(b)中的虛線所示。l=6aACBDEFacdefba12345求FN4需取截面-， 建立投影方程FY=0先作出簡支梁的在被截節(jié)間上的某一截面剪力影響線如圖(a)所示FQC右影響線，而 :FNY4=FQC右，且在相鄰節(jié)點之間為一直線，得FN4影響線如圖(b) 。FP=1I.L.FQC右+1/22/31/3(a)上承+3/22/2I.L.FN2(b)FP=1下承如為上承，被截載重弦節(jié)間是cd，影響線如圖(b)中的虛線所示。6/2l=6aACBDEFacdefba12345求FN5需取截面-， 建立矩方程MC=0先作

16、出簡支梁MC影響線如圖(a)所示，再將其豎標除以桁架高度 a 即得FN5影響線如圖(b) 。P=1P=1如為上承，cd節(jié)間影響線要為直線，如圖(b)中的虛線所示。I.L.FN5(b)+上承下承4/3繪制豎桿內力影響線，和當桁架上下弦節(jié)點上下不對齊時，繪制各桿內力影響線，需區(qū)分上承和下承。I.L.MC4a/3(a)+l=6aACBDEFacdefba12345例 作圖示桁架FN1FN2的影響線。解：1）支座反力FRAFRB的影響線與跨度為5d 的簡支梁相同。RAFFP=1AEFFP=121BCDRBF5dIIh011(3 )/NRBFFFdMhh 011(2 )/ NRAFFFdMhh 2) 求

17、FN1的影響線（上承） 當FP=1在結點C左側，取截面I-I以右為隔離體：0FM 當FP=1在結點D右側，取截面I-I以左為隔離體：0FMABCD2d/h3d/h0.9d/hd/hFN1影響線（上承）6d/5h 相應簡支梁F截面的彎矩。0FMRAFFP=1AEFFP=121BCDRBF5dII011(3 )/NRBFFFdMhh 011(2 )/ NRAFFFdMhh 求FN1的影響線（下承） 當FP=1在結點E左側，取截面I-I以右為隔離體：0FM 當FP=1在結點F右側，取截面I-I以左為隔離體：0FMABEF6d/5hFN1影響線（下承）2d/h3d/h 相應簡支梁F截面的彎矩。0FMR

18、AFFP=1AEFFP=121BCDRBF5dII3) 求FN2的影響線（上承） 當FP=1在結點C左側，取截面I-I以右為隔離體：0yF222204NRBFhFhd2222024422NRBQCDhdhdFFFhh 當FP=1在結點D右側，取截面I-I以左為隔離體：0QCDF相應簡支梁節(jié)間CD的剪力。hd/22242hdRAFFP=1AEFFP=121BCDRBF5dIIh222204NRAFhFhd2222024422NRAQCDhdhdFFFhhABCD2244hdh223 420hdh2242hdh2242hdhFN2影響線(上承)hd/22242hd求FN2的影響線（下承） 當FP=

19、1在結點E左側，取截面I-I以右為隔離體：0yFRAFFP=1AEFFP=121BCDRBF5dIIh0yF2222024422NRBQEFhdhdFFFhh 當FP=1在結點F右側，取截面I-I以左為隔離體：0yF2222024422NRAQEFhdhdFFFhh0QEFF相應簡支梁節(jié)間EF的剪力。ABEFFN2影響線（下承）223 410hdh22410hdh2242hdh2242hdhhd/22242hdRAFFP=1AEFFP=121CD5dII作靜定結構影響線的作靜定結構影響線的機動法機動法的理論基礎是剛體虛功原理，的理論基礎是剛體虛功原理，是將作影響線的靜力問題轉化為作虛位移圖的幾

20、何問題。是將作影響線的靜力問題轉化為作虛位移圖的幾何問題。 虛功原理：具有理想約束的任一剛體體系，其平衡條件是：虛功原理：具有理想約束的任一剛體體系，其平衡條件是：作用于體系的所有外力在任何虛位移上所做的功的和等于零作用于體系的所有外力在任何虛位移上所做的功的和等于零ABFP=1l求圖示梁支座反力求圖示梁支座反力.1.0RBBPFBFP=1RBFP2BP-問題的提出：對于有些問題往往要知道影響線的輪廓問題的提出：對于有些問題往往要知道影響線的輪廓形狀，如何快速準確的畫出影響線，是本節(jié)主要解決的問形狀，如何快速準確的畫出影響線，是本節(jié)主要解決的問題。題。0.5RBF FP=1xFP=1xablC

21、Z(x)()(0)(11)(xxZxxZPP 1 1P(x)要求量值Z（支座反力FRA）影響線，將與Z相應的約束解除，代以未知力Z，得到有一個自由度的機構。 然后讓機構沿Z的正方向發(fā)生單位虛位移。 列出剛體虛功方程，力與位移同向時虛功為正。 Z 的影響線，基線以上的豎標為正。FP=1 作用點的豎向虛位移圖，向下為正（與FP=1同向）。 于是得到：所得虛位移圖即 Z 的影響線?；€以上的虛位移圖是正影響線，基線以下的虛位移圖是負影響線。求圖示梁求圖示梁C截面彎矩影響線截面彎矩影響線FP=1CFP=1xablCZbZab/lI.L.MC.1.0CZPM( )PCZxM-1Z令( )CPMx-機動法

22、步驟機動法步驟:1.1.去除與所求量值相應的約束，并代去除與所求量值相應的約束，并代以正向的約束力。以正向的約束力。2.2.使所得體系沿約束力的正方向發(fā)生使所得體系沿約束力的正方向發(fā)生相應的單位位移，由此得到的相應的單位位移，由此得到的P =1P =1作作用點的位移圖即為該量值的影響線。用點的位移圖即為該量值的影響線。3.3.基線以上的豎標取正號，以下取負基線以上的豎標取正號，以下取負號。號。求圖示梁求圖示梁C截面剪力影響線截面剪力影響線l/2l/2l/2KP=1A12( )PQCxFcc-121cc令b/la/lI.L.FQCFP=1CFQCFP=1xablC112.1.( )0QCQCPF

23、cFcx( )QCPFx-所作虛位移圖要滿足支承連接條件！如有豎向支撐處，不應有豎向位移。定向連接處左右桿段位移后要互相平行等。 FRAFQK影響線影響線l/2l/2l/2KFP=1AFRA影響線影響線11MA影響線影響線MkMA）1lMk影響線影響線）1l/2FQK11練習練習:作作FRB , MA , MK , FQKMi , FQi影響線影響線.l/4l/4kFP=1AiBl/4l/4機動法步驟機動法步驟:1.1.去除與所求量值相應的約束，并代以正向的去除與所求量值相應的約束，并代以正向的約束力。約束力。2.2.使所得體系沿約束力的正方向發(fā)生相應的單使所得體系沿約束力的正方向發(fā)生相應的單

24、位位移，由此得到的位位移，由此得到的F FP P =1 =1作用點的位移圖即作用點的位移圖即為該量值的影響線。為該量值的影響線。3.3.基線以上的豎標取正號，以下取負號?；€以上的豎標取正號，以下取負號。FQKFRBMi影響線影響線FRB影響線影響線1MA影響線影響線）1l/2Mk影響線影響線）1l/411練習練習:作作FRB , MA , MK , FQKMi , FQi影響線影響線.l/4l/4kFP=1AiBl/4l/4MAMkl/2FQK影響線影響線Mi）1FQiFQi影響線影響線機動法步驟機動法步驟:1.1.去除與所求量值相應的約束，并代以正向的去除與所求量值相應的約束，并代以正向的

25、約束力。約束力。2.2.使所得體系沿約束力的正方向發(fā)生相應的單使所得體系沿約束力的正方向發(fā)生相應的單位位移，由此得到的位位移，由此得到的F FP P =1 =1作用點的位移圖即作用點的位移圖即為該量值的影響線。為該量值的影響線。3.3.基線以上的豎標取正號，以下取負號。基線以上的豎標取正號，以下取負號。（1/2M1FAy影響線影響線例：作例：作FAy 、 M1 、 M2 、 FQ2 、 MB 、 FQ3、 FCy 、 FQ4 、 FQC左左 、 FQC右右 影響線影響線11ABCD12342m1m 1m1m1m1m 1m2m1m1mFAyM1影響線影響線M2影響線影響線M2（11（1MBFQ2

26、影響線影響線2ABCD12342m1m 1m1m1m1m 1m2m1m1mMB影響線影響線FQ3影響線影響線1FQ21FQ31例：作例：作FAy 、 M1 、 M2 、 FQ2 、 MB 、 FQ3、 FCy 、 FQ4 、 FQC左左 、 FQC右右 影響線影響線FCy影響線影響線ABCD12342m1m 1m1m1m1m 1m2m1m1mFQ4影響線影響線1FCy1FQ41FQC左左影響線影響線FQC左左FQC右右影響線影響線FQC右右1例：作例：作FAy 、 M1 、 M2 、 FQ2 、 MB 、 FQ3、 FCy 、 FQ4 、 FQC左左 、 FQC右右 影響線影響線xFP=1AB

27、CDl / 2l / 2l / 2l / 2一、一、 求各種荷載作用下的影響量求各種荷載作用下的影響量1）集中荷載yc1CBAFpynyiy2y1Fp1Fp2FpiFpnAB1nYAPiiiFF yYAPcFFy繪制影響線時，考慮的是繪制影響線時，考慮的是單位荷載單位荷載Fp=1的作用，當?shù)淖饔?，當若干具體荷載作用于結構若干具體荷載作用于結構時，可根據(jù)疊加原理，利時，可根據(jù)疊加原理，利用影響線計算出該內力所用影響線計算出該內力所受的總影響，即產生的該受的總影響，即產生的該內力總值稱為影響量。內力總值稱為影響量。簡化計算簡化計算y(x)2)均布荷載均布荷載FP1NiiiPyF1kZk影響線影響線

28、yky1Zk=FP1y1FP2y2+FP2y2FPNyN+ + FPNyN0當當q(x)為常數(shù)時為常數(shù)時xq(x)x x+dxkabq(x)dxXaXb( ) ( )baxkxZq x y x dx( )baxkxZqy x dx q Zk影響線影響線( )( )kdZq x dx y x 利用影響線計算在位置確定的荷載作用下某一量值利用影響線計算在位置確定的荷載作用下某一量值大小的方法如下：大小的方法如下： 作出某一量值作出某一量值Z的影響線；的影響線； 利用下式求出該量值的大小。利用下式求出該量值的大小。 11nnPiiiiiiSFyqZ例：利用影響線求例：利用影響線求k截面彎矩、剪力。截

29、面彎矩、剪力。2(/4)kMqll kl/2qql2l/2l/2l/2解：解：FQK影響線影響線1/21/21/21/2Mk影響線影響線l/4l/4l/4ql11 (22)2 2 42 2 4llllq /2ql 1202QkFqlq11nnPiiiiiiSFyqZ二、求荷載的最不利位置二、求荷載的最不利位置 如果荷載移到某一個位置，使某一指定內力達到最大值（、），則此荷載所在位置稱為最不利位置最不利位置。 我們可以利用影響線來確定最不利位置，對比較簡單的情況可以直觀地判斷最不利位置。maxmin（）一個集中荷載（）一組集中荷載（）任意分布荷載qqq三、臨界位置的判定三、臨界位置的判定(1)求

30、出使Z值達極值時荷載的位置,稱臨界位置。(2)從各個臨界位置中選出荷載的最不利位置。0+Z-Zx1R2R3R010203如何求臨界位置呢？31iii332211yRyRyRyRZ1y2y3y:x相應有當荷載移動xy1R2R3R1R2R3Riitgxyx31iii333222111yRZ)yy(R)yy(R)yy(RZZiiiiiitgRxtgxRyRZ0102031y2y3yxyiiiiiitgRxtgxRyRZ1R2R3RZxZxx0Z x0Z 使Z成為極大值極大值的臨界位置必須滿足的條件：0tgRx,0Zii即0tgR0 xii0tgR0 xii 使Z成為極小值極小值的臨界位置必須滿足的條件：0tgRx,0Zii即0tgR0 xii0tgR0 xii0tgRii一般情況下小結：極值位置時只要荷載移動 就變號。iitgR0102031y2y3yxy1R2R3R1R2R3R極值位置時只要荷載移動 就變號，它就是一個判別式。iitgR在什么情形下它才會變號呢？臨界位置臨界荷載總結：總結： 1）選一個荷載置于影響線的某個頂點；）選一個荷載置于影響線的某個頂點；2）利用判別式，看是否變號；）利用判別式，看是否變號；3）求出每個臨界位置對應的）求出每個臨界位置