第四章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

1、第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一、剛體的基本運(yùn)動(dòng)一、剛體的基本運(yùn)動(dòng)平動(dòng)：平動(dòng)：剛體：剛體：說(shuō)明：說(shuō)明：剛體的平動(dòng)：用質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)處理。剛體的平動(dòng)：用質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)處理。定軸定軸 轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)：一般剛體的運(yùn)動(dòng)：一般剛體的運(yùn)動(dòng)：二、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度、角加速度二、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度、角加速度rv線速度與角速度之間的關(guān)系：線速度與角速度之間的關(guān)系：rv由右手螺旋法則確定：由右手螺旋法則確定：右手彎曲的四指沿轉(zhuǎn)動(dòng)方向，伸直的大拇指右手彎曲的四指沿轉(zhuǎn)動(dòng)方向，伸直的大拇指即為角速度即為角速度 的方向。的方向。 注意：注意：在剛體作勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)在剛體作勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，相應(yīng)公

2、式如下：時(shí)，相應(yīng)公式如下：2 212020200ttt剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)中所用剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)中所用的角量關(guān)系及角量的角量關(guān)系及角量和線量的關(guān)系如左和線量的關(guān)系如左222 rararvdtddtddtdnt角加速度矢量：角加速度矢量：dtd圖為以角速度圖為以角速度 繞定軸繞定軸ozoz轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的一根均勻細(xì)棒。動(dòng)的一根均勻細(xì)棒。當(dāng)細(xì)棒以當(dāng)細(xì)棒以 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，第轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，第i i個(gè)質(zhì)點(diǎn)繞軸的半徑為個(gè)質(zhì)點(diǎn)繞軸的半徑為ir它相對(duì)于它相對(duì)于o o點(diǎn)的位矢為點(diǎn)的位矢為iRziRLimiLizLOir一、一、 剛體的角動(dòng)量剛體的角動(dòng)量5-25-2剛體的角動(dòng)量剛體的角動(dòng)量 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量把細(xì)棒分成許多質(zhì)點(diǎn)，其中

3、把細(xì)棒分成許多質(zhì)點(diǎn)，其中第第i i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為 im把細(xì)棒分成許多質(zhì)點(diǎn)，其中把細(xì)棒分成許多質(zhì)點(diǎn)，其中第第i i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為 imiiiivmRL因因iiRv，所以，所以 的大小為的大小為iLiiiivRmL方向如圖所示。方向如圖所示。則則 對(duì)對(duì)o o點(diǎn)的角動(dòng)量為：點(diǎn)的角動(dòng)量為：imziRLimiLizLOir從圖中可以看出：從圖中可以看出：cosiizLL因此因此2coscosiiiiiiiiizrmvrmvRmLL 而這個(gè)分量而這個(gè)分量L Lz z實(shí)際上就是各質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量沿實(shí)際上就是各質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量沿OZOZ軸的分軸的分量量LLiz iz之和。之和。對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

4、，我們感興趣的只是對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，我們感興趣的只是L L對(duì)沿對(duì)沿OZOZ軸的分量軸的分量L LZ Z，叫，叫做剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量。做剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量。剛體對(duì)剛體對(duì)OO點(diǎn)的角動(dòng)量，等于各個(gè)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的矢量和。點(diǎn)的角動(dòng)量，等于各個(gè)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的矢量和。ziRLimiLizLOir剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：2iirmJ剛體繞定軸的角動(dòng)量表達(dá)式：剛體繞定軸的角動(dòng)量表達(dá)式：JLz 式中式中 叫做剛體對(duì)叫做剛體對(duì) 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，用軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，用J J表示。表示。2iirmOz2coscosiiiiiiiiizrmvrmvRmLL221iikivmE 則該質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為：則該質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為： 剛體的轉(zhuǎn)

5、動(dòng)動(dòng)能應(yīng)該是組成剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能應(yīng)該是組成剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和。設(shè)剛體中第設(shè)剛體中第i i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為 , ,速度為速度為imiv 剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的角速度剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的角速度 相同。相同。設(shè)質(zhì)點(diǎn)設(shè)質(zhì)點(diǎn) 離軸的垂直距離為離軸的垂直距離為 ，則它的線速度，則它的線速度imir二、二、 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能iirv221 JEk 上式中的動(dòng)能是剛體因轉(zhuǎn)動(dòng)而具有的動(dòng)能，因此叫剛體的上式中的動(dòng)能是剛體因轉(zhuǎn)動(dòng)而具有的動(dòng)能，因此叫剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。 式中式中 是剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ，所以上式寫為，所以上

6、式寫為2iirmJ因此整個(gè)剛體的動(dòng)能因此整個(gè)剛體的動(dòng)能 2222121 iiiikikrmvmEEiirvmrJd2dm質(zhì)元的質(zhì)量質(zhì)元的質(zhì)量r質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離 剛體的質(zhì)量可認(rèn)為是連續(xù)分布的，所以上式可剛體的質(zhì)量可認(rèn)為是連續(xù)分布的，所以上式可 寫成積分形式寫成積分形式按轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義有按轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義有iimrJ2三、三、 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度。質(zhì)量是平動(dòng)中慣性大小的量度。質(zhì)量是平動(dòng)中慣性大小的量度。區(qū)別：區(qū)別：平動(dòng)：平動(dòng)： 平動(dòng)動(dòng)能平動(dòng)動(dòng)能 221mv線動(dòng)量線動(dòng)量mv轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)： 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 221J角

7、動(dòng)量角動(dòng)量J例題例題 求質(zhì)量為求質(zhì)量為mm、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為 l l 的均勻細(xì)棒對(duì)下面三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻細(xì)棒對(duì)下面三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：慣量：（1 1）轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心并和棒垂直；）轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心并和棒垂直；（2 2）轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端并和棒垂直）轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端并和棒垂直；（3 3）轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒上距中心為轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒上距中心為h h的一點(diǎn)并和棒垂直。的一點(diǎn)并和棒垂直。llOxdxlOxdxAlxdxAABhllOxdxlOxdxAlxdxAABh解解 如圖所示，在棒上離軸如圖所示，在棒上離軸x x 處，取一長(zhǎng)度元處，取一長(zhǎng)度元d dx x，如棒的質(zhì)量，如棒的質(zhì)量線密度為線密度為 ，這長(zhǎng)度元的質(zhì)量為，這

8、長(zhǎng)度元的質(zhì)量為d dmm= d dx x。 （1 1）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心并和棒垂直時(shí)，我們有）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心并和棒垂直時(shí)，我們有1232/2/220lxxmrJlldd20121mlJ 因因 l=ml=m，代入得，代入得（2 2）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端A A并和棒垂直時(shí)，我們有并和棒垂直時(shí)，我們有332302mlldxxJlAlxdxA（3 3）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒上距中心為）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒上距中心為h h 的的B B點(diǎn)并和棒垂直時(shí)，有點(diǎn)并和棒垂直時(shí)，有222/2/212mhmldxxJhlhlB這個(gè)例題表明，同一剛體對(duì)不同位置的轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并這個(gè)例題表明，同一剛體對(duì)不同位置的轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)動(dòng)慣

9、量并不相同。不相同。lOxdxABh例題例題 求圓盤對(duì)于通過(guò)中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。求圓盤對(duì)于通過(guò)中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)圓盤的半徑為設(shè)圓盤的半徑為R R，質(zhì)量為，質(zhì)量為mm，密度均勻。，密度均勻。rRdr解解 設(shè)圓盤的質(zhì)量面密度為設(shè)圓盤的質(zhì)量面密度為 ，在圓盤上取一半徑為，在圓盤上取一半徑為r r、寬度為、寬度為drdr的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為2 2 rdrrdr，環(huán)的質(zhì)量，環(huán)的質(zhì)量dm= dm= 2 2 rdr rdr ?？傻茫嚎傻茫?40322122mRRdrrdmrJR 四、平行軸定理四、平行軸定理以質(zhì)心以質(zhì)心drrMNdOr rOdm

10、CxyzmdmrJ2mdmdr2)(mmmdmdrdmddmr222mCdmrdmdJ22mmdmj yi xmdmrm)(1102mdJJC-平行軸定理平行軸定理jydmmixdmmmm11MNdOr rOdmCxyz平行軸定理平行軸定理JmCJdC2mdJJC 例：例：如圖所示剛體對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如圖所示剛體對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何計(jì)算？如何計(jì)算？( (棒長(zhǎng)為棒長(zhǎng)為l l、圓半徑為、圓半徑為R R）2lllm31J1 2ooRm21J 200ldmJJ2 2o2o2lR)(lmRm21lm31J 例：例：再以繞長(zhǎng)為再以繞長(zhǎng)為 l l、質(zhì)量為、質(zhì)量為 m m

11、的勻質(zhì)細(xì)桿，繞細(xì)桿一端軸轉(zhuǎn)的勻質(zhì)細(xì)桿，繞細(xì)桿一端軸轉(zhuǎn)動(dòng)為例，利用平行軸定理計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量動(dòng)為例，利用平行軸定理計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I I 。解：解：2121mlJC 222lmml121J 2ml31 一、力矩一、力矩1) 1) 力對(duì)固定點(diǎn)的矩力對(duì)固定點(diǎn)的矩FrM 這種情況相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)繞固定點(diǎn)這種情況相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)繞固定點(diǎn)OO轉(zhuǎn)動(dòng)的情形。轉(zhuǎn)動(dòng)的情形。2) 2) 力對(duì)固定軸的矩力對(duì)固定軸的矩（1 1）力垂直于轉(zhuǎn)軸）力垂直于轉(zhuǎn)軸OPdrrFM5-3 5-3 力矩力矩 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律（2 2）力與轉(zhuǎn)軸不垂直）力與轉(zhuǎn)軸不垂直FF轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸o rzF轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面 可以把力分解為平行于轉(zhuǎn)軸可以把力分

12、解為平行于轉(zhuǎn)軸的分量和垂直于轉(zhuǎn)軸的分量。的分量和垂直于轉(zhuǎn)軸的分量。 平行轉(zhuǎn)軸的力不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效果，平行轉(zhuǎn)軸的力不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效果，該力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零。該力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零。 FrM大?。捍笮。簊inrFMa)a)力的作用線與轉(zhuǎn)軸相交或平行時(shí)力對(duì)該轉(zhuǎn)軸的矩為力的作用線與轉(zhuǎn)軸相交或平行時(shí)力對(duì)該轉(zhuǎn)軸的矩為0 0；b)b)同一個(gè)力對(duì)不同的轉(zhuǎn)軸的矩不一樣；同一個(gè)力對(duì)不同的轉(zhuǎn)軸的矩不一樣；c) c)當(dāng)所給的力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩與力對(duì)交點(diǎn)當(dāng)所給的力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩與力對(duì)交點(diǎn)OO的矩等值。但不能說(shuō)完全相同。的矩等值。但不能說(shuō)完全相同。d)d)在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，如果有幾個(gè)外力同時(shí)作用在剛體上，它在定軸

13、轉(zhuǎn)動(dòng)中，如果有幾個(gè)外力同時(shí)作用在剛體上，它們的作用可以與某一個(gè)力矩相當(dāng)們的作用可以與某一個(gè)力矩相當(dāng), ,這個(gè)力矩叫做這幾個(gè)力的這個(gè)力矩叫做這幾個(gè)力的合力矩合力矩。合力矩與合力的矩是不同的概念，不要混淆。合力矩與合力的矩是不同的概念，不要混淆。在研究力對(duì)軸的矩時(shí)，可用正負(fù)號(hào)來(lái)表示力矩的方向。在研究力對(duì)軸的矩時(shí)，可用正負(fù)號(hào)來(lái)表示力矩的方向。說(shuō)明：說(shuō)明：二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律imiFiFirFififoz),(取剛體內(nèi)任一質(zhì)元取剛體內(nèi)任一質(zhì)元i i，它所受合外力為，它所受合外力為 ， 內(nèi)力為內(nèi)力為 。iFif 只考慮合外力與內(nèi)力均在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的情形。只考慮合外力與內(nèi)力均在轉(zhuǎn)動(dòng)平

14、面內(nèi)的情形。iiiiamfF 對(duì)對(duì) mmi i用牛頓第二定律：用牛頓第二定律：iniininamfF : :法法向向 法向力作用線通過(guò)轉(zhuǎn)軸，力矩為零。法向力作用線通過(guò)轉(zhuǎn)軸，力矩為零。 iiiiamfF : :切切向向兩邊乘以兩邊乘以r ri i , ,有：有：iiiiiiiramrfrF 2iiiiiiiiirmramrfrF對(duì)所有質(zhì)元的同樣的式子求和，有：對(duì)所有質(zhì)元的同樣的式子求和，有： iira 合外力矩 內(nèi)力矩之和 J 剛體所受的對(duì)于某一固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的合外力矩等于剛體對(duì)剛體所受的對(duì)于某一固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的合外力矩等于剛體對(duì)此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體在此合外力矩作用下所獲得的角加此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體

15、在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。速度的乘積。用用MM表示表示FFit it r ri i （合外力矩），有：（合外力矩），有： JM注意幾點(diǎn)注意幾點(diǎn): :1. 1. 是矢量式（在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中力矩只有兩個(gè)方向）。是矢量式（在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中力矩只有兩個(gè)方向）。2. M2. M、J J、 是對(duì)同一軸而言的。是對(duì)同一軸而言的。4. 4. 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J J是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。5.5.剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律的地位與牛頓第二定律相當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律的地位與牛頓第二定律相當(dāng)。3. 3. 具有瞬時(shí)性，是力矩的瞬時(shí)效應(yīng)。具有瞬時(shí)性，是力矩的瞬時(shí)效應(yīng)。例例 一個(gè)質(zhì)量為、半徑為的定滑輪（當(dāng)

16、一個(gè)質(zhì)量為、半徑為的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為的物定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體由靜體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體由靜止下落高度時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速止下落高度時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。度。mg解解：R Ra a m ma aT Tm mg g : :對(duì)對(duì)m m2 2M MR R2 21 1J J T TR RJ JM M對(duì)對(duì)M M：g g2 2M Mm mm m解解方方程程得得：a aM M2 2m m4 4m mg gh hR R1 1R Rv v M M2 2m m

17、4 4m mg gh h2 2a ah hv v 例例 兩個(gè)勻質(zhì)圓盤，同軸地粘結(jié)在一起，構(gòu)成一個(gè)組合輪。兩個(gè)勻質(zhì)圓盤，同軸地粘結(jié)在一起，構(gòu)成一個(gè)組合輪。小圓盤的半徑為小圓盤的半徑為r r，質(zhì)量為，質(zhì)量為mm；大圓盤的半徑；大圓盤的半徑r=2rr=2r，質(zhì)量，質(zhì)量m = 2mm = 2m。組合輪可以繞通過(guò)其中心且垂直于盤面的光。組合輪可以繞通過(guò)其中心且垂直于盤面的光滑水平固定軸滑水平固定軸o o轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)o o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=9mrJ=9mr2 2/2 /2 。兩圓。兩圓盤邊緣上分別繞有輕質(zhì)細(xì)繩，細(xì)繩下端各懸掛質(zhì)量為盤邊緣上分別繞有輕質(zhì)細(xì)繩，細(xì)繩下端各懸掛質(zhì)量為mm的的物體物體

18、A A和和B B，這一系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng)，這一系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng), ,繩與盤無(wú)相對(duì)滑動(dòng)繩與盤無(wú)相對(duì)滑動(dòng)且長(zhǎng)度不變。已知且長(zhǎng)度不變。已知r =10cm r =10cm 。 求：求：（1 1）組合輪的角加速度；）組合輪的角加速度； （2 2）當(dāng)物體上升）當(dāng)物體上升h=0.4mh=0.4m時(shí)，組合輪的角速度。時(shí)，組合輪的角速度。 ra 23 .10)19(2 sradrg : :解解得得rh : :則則為為組組合合輪輪轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)過(guò)過(guò)的的角角度度, ,設(shè)設(shè)( (2 2) )121208. 9)2(2 sradrh 解解: : (1)(1)aTTTTa mgmgrm,rm,ABo29)2(2 mrTrrT )

19、2( ra amTmgmamgT例例 如圖所示，一均勻細(xì)棒，可繞通過(guò)其端點(diǎn)并與棒垂直的如圖所示，一均勻細(xì)棒，可繞通過(guò)其端點(diǎn)并與棒垂直的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。已知棒長(zhǎng)為水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。已知棒長(zhǎng)為l l，質(zhì)量為，質(zhì)量為mm，開始時(shí)棒處于水平位，開始時(shí)棒處于水平位置。令棒由靜止下擺，置。令棒由靜止下擺，求：求：（1 1）棒在任意位置時(shí)的角加速度；）棒在任意位置時(shí)的角加速度； （2 2） 角為角為30300 0，90900 0時(shí)的角速度。時(shí)的角速度。doccmgN矩矩棒在任意位置時(shí)的重力棒在任意位置時(shí)的重力(1)(1): :解解 cos23312lgmlJM dtdmlmg231cos21)2( 003cos2dl

20、dg分分離離變變量量積積分分lg)sin3(lglg3,9023,3000cos2lmgM ddmldtdddml223131一、力矩的功一、力矩的功根據(jù)功的定義根據(jù)功的定義對(duì)一有限過(guò)程對(duì)一有限過(guò)程21dMArFAdcosdd rFdrFdMOrFrdd.P r說(shuō)明說(shuō)明1) 1) 合力矩的功合力矩的功 iiiiiiAMMMA212121d)d(d5-4 5-4 轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能二、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理二、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理kEJd)21d(2ddMAd)ddd(JtJ2121)21d(d2JAA21222121JJkE剛體上所有外力矩作功之和等于繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在此過(guò)剛體上所有外力矩作功之和等于繞

21、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在此過(guò)程中動(dòng)能的增量，這就是程中動(dòng)能的增量，這就是繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體動(dòng)能定理繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體動(dòng)能定理2) 2) 力矩的功本質(zhì)上就是力的功力矩的功本質(zhì)上就是力的功3) 3) 內(nèi)力矩作功之和為零內(nèi)力矩作功之和為零例例 一根長(zhǎng)為一根長(zhǎng)為 l , l ,質(zhì)量為質(zhì)量為 m m 的均勻細(xì)直棒的均勻細(xì)直棒, ,可繞軸可繞軸 O O 在豎直平在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng), ,初始時(shí)它在水平位置，求它由此下擺初始時(shí)它在水平位置，求它由此下擺 角時(shí)的角時(shí)的 解解00dcos2dmglMA0212JEksin21mglOM,lCxgmlgsin322/1)sin3(lgkEA 三、剛體的重力勢(shì)能三、剛體的重力勢(shì)能

22、hhihcxOmCm一個(gè)質(zhì)元：一個(gè)質(zhì)元：整個(gè)剛體：整個(gè)剛體： 一個(gè)不太大的剛體的重力勢(shì)能相當(dāng)于它的全部質(zhì)一個(gè)不太大的剛體的重力勢(shì)能相當(dāng)于它的全部質(zhì)量都集中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢(shì)能。量都集中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢(shì)能。 對(duì)于含有剛體的系統(tǒng)對(duì)于含有剛體的系統(tǒng), ,如果在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有保守如果在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有保守內(nèi)力作功內(nèi)力作功, ,則此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。則此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。常量 cmghJE221 iiiPhgmE重ciiimghhmg)(iiPighmE一一、剛體的角動(dòng)量定理、剛體的角動(dòng)量定理沖量矩（角沖量）：沖量矩（角沖量）： 表示合外力矩在表示合外力矩在t t0 0t t 時(shí)間內(nèi)的累積作用。時(shí)間內(nèi)的

23、累積作用。作用在剛體上的沖量矩等于其角動(dòng)量的增量。作用在剛體上的沖量矩等于其角動(dòng)量的增量。角動(dòng)量定理：角動(dòng)量定理：?jiǎn)挝唬簡(jiǎn)挝唬?牛頓牛頓米米秒秒LddtM 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律dtdJJM dtLddtJdM )( 00 JJLddtMLL tt0 5-5 5-5 對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒定律對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒定律J J改變時(shí)改變時(shí)00JJL二、角動(dòng)量守恒定律二、角動(dòng)量守恒定律)(0, 0CJLLMdtLdM .即常常量量則則中中，若若在在 當(dāng)物體所受的合外力矩為零時(shí)，物體的角動(dòng)量保持不變。當(dāng)物體所受的合外力矩為零時(shí)，物體的角動(dòng)量保持不變。 在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中還有在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中還有M0M0，但它與軸平行，即，但

24、它與軸平行，即Mz=0, Mz=0, 對(duì)對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)沒(méi)有作用，則剛體對(duì)此軸的角動(dòng)量依然守恒。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)沒(méi)有作用，則剛體對(duì)此軸的角動(dòng)量依然守恒。M=0M=0的原因：的原因： 可能可能F F0 0；r=0; r=0; Fr.Fr.應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律的兩種情況：應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律的兩種情況：1 1、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量保持不變的單個(gè)剛體。、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量保持不變的單個(gè)剛體。000 則時(shí)，當(dāng),JJM2 2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可變的物體。、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可變的物體。保持不變就增大，從而減小時(shí)，當(dāng)就減小；增大時(shí)，當(dāng) JJJ例例 如圖所示如圖所示, ,一質(zhì)量為一質(zhì)量為mm的子彈以水平速度射入一靜止懸于的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長(zhǎng)棒的下端

25、頂端長(zhǎng)棒的下端, ,穿出后速度損失穿出后速度損失3/4,3/4,求子彈穿出后棒的角速求子彈穿出后棒的角速度度 。已知棒長(zhǎng)為。已知棒長(zhǎng)為l, l,質(zhì)量為質(zhì)量為M.M.解解: :以以f f代表棒對(duì)子彈的阻力代表棒對(duì)子彈的阻力, ,對(duì)子彈有對(duì)子彈有0043mvvvmfdt )(子彈對(duì)棒的反作用力對(duì)棒的沖量子彈對(duì)棒的反作用力對(duì)棒的沖量矩為矩為 Jdtflldtfv0vmM0043)(mvvvmfdt Jdtflldtf因因, , 由兩式得由兩式得ffv0vmM200314943MlJMlmvJlmv 這里 請(qǐng)問(wèn)請(qǐng)問(wèn): :子彈和棒的總動(dòng)量守恒嗎子彈和棒的總動(dòng)量守恒嗎? ? 為什么為什么? ? 總角動(dòng)量守

26、恒嗎總角動(dòng)量守恒嗎? ? 若守恒若守恒, ,其方程應(yīng)如何寫其方程應(yīng)如何寫? ?200314943MlJMlmvJlmv這里例例 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為 l =0.40m 的均勻木棒，質(zhì)量的均勻木棒，質(zhì)量 M =1.00kg，可繞水平軸可繞水平軸 0在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)棒自然地豎直懸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)棒自然地豎直懸垂。現(xiàn)有質(zhì)量垂。現(xiàn)有質(zhì)量m = 8g 的子彈以的子彈以 v =200ms的速率從的速率從A點(diǎn)點(diǎn)射入棒中假定射入棒中假定A點(diǎn)與點(diǎn)與0點(diǎn)的距離為點(diǎn)的距離為 3l/4，如圖。，如圖。求：求： （1 1）棒開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度；）棒開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度； （2 2）棒的最大偏轉(zhuǎn)角。）棒的最大偏轉(zhuǎn)角

27、。AOmvl4 3l0.054MJml231+=()43l2vJm=()43lvJm=()43l=0.008200()430.40.054=8.87 rad/s解：解：子彈射入后系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：子彈射入后系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：(1)系統(tǒng)角動(dòng)量守恒系統(tǒng)角動(dòng)量守恒AOmvl4 3l(2)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，設(shè)最大偏角為系統(tǒng)機(jī)械能守恒，設(shè)最大偏角為AOmvl4 3lPkEE 由)cos1(43)cos1(2212 lmglMgJ078. 02323cos2 lmgMglJlmgMgl 006.94 求：求：棒從碰撞開始到停止轉(zhuǎn)動(dòng)所用的時(shí)間。棒從碰撞開始到停止轉(zhuǎn)動(dòng)所用的時(shí)間。Amvl1v21m2O 例例 質(zhì)

28、量為質(zhì)量為m1 1, ,長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為 l l 的均勻細(xì)棒，靜止平放在滑動(dòng)摩擦的均勻細(xì)棒，靜止平放在滑動(dòng)摩擦系數(shù)為的水平桌面上，它可繞端點(diǎn)系數(shù)為的水平桌面上，它可繞端點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)。另有一水平運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)。另有一水平運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為的質(zhì)量為m2 2的小滑塊，它與棒的的小滑塊，它與棒的A端相碰撞，碰撞前后的速端相碰撞，碰撞前后的速度分別為度分別為 及及 。m m1v2v13=Jm1l2+=Jm vl2 1m vl22=+m v21mvl123()AOmvl1v21m2解：解：由角動(dòng)量守恒得由角動(dòng)量守恒得Jm vl21=m vl22棒上棒上dx段與桌面間的摩擦力為：段與桌面間的摩擦力為：gxfmdm1=ld=dMfdx=gxmdm1lxd dx x段所產(chǎn)生摩擦力力矩為：段所產(chǎn)生摩擦力力矩為：M0=gxmdm1lxl12=gmm1l=+mv21mvg122()mt摩擦力力矩為：摩擦力力矩為：dM=gxmdm1lx由角動(dòng)量原理：由角動(dòng)量原理：M0=ttdMt013m1l2=)=13m1l2+m v21mvl123(.所用的時(shí)間為：所用的時(shí)間為：例例 質(zhì)量分別為質(zhì)量分別為M1、M2,半徑分別為半徑分別為R1 、R2的兩均勻圓柱的兩均勻圓柱,可分別繞它們本身的軸轉(zhuǎn)動(dòng)可分別繞它們本身的軸轉(zhuǎn)動(dòng),