完整版高一：零點問題的解題方法

1、課題談函數與方程(零點問題)的解題方法解就技目匕篇從近幾年高考試題看，函數的零點、方程的根的問題是高考的熱點，題型主要以選擇題、填空題為主，難度中等及以上.主要考查轉化與化歸、數形結合及函數與方程的思想.知識許瞠(1)函數零點的定義對于函數y=f(x)(xCD),把使f(x)=0成立的實數x叫做函數y=f(x)(xCD)的零點.(2)零點存在性定理(函數零點的判定)若函數y=f(x)在閉區(qū)間a,b上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數值符號相反，即f(a)f(b)<0,則在區(qū)間(a,b)內，函數y=f(x)至少有一個零點，即相應方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內至少有一個實數解.也可以

2、說：如果函數y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0,那么，函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點，即存在cC(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根.提醒此定理只能判斷出零點存在，不能確定零點的個數.(3)幾個等價關系函數y=f(x)有零點？方程f(x)=0有實數根？函數y=f(x)的圖象與函數y=0(即x軸)有交點.推廣：函數y=f(x)g(x)有零點？方程f(x)g(x)=0有實數根？函數y=f(x)g(x)的圖象與y=0(即x軸)有交點.推廣的變形：函數y=f(x)g(x)有零點？方程f(x)=g(x)有實數根？函數y=f(

3、x)的圖象與y=g(x)有交點.1?問題導考1 .函數的零點是函數y=f(x)與x軸的交點嗎？是否任意函數都有零點？提示：函數的零點不是函數y=f(x)與x軸的交點，而是y=f(x)與x軸交點的橫坐標，也就是說函數的f(x)=0有根的函數y=f(x)才有零點.嗎？零點不是一個點，而是一個實數；并非任意函數都有零點，只有2 .若函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點，一定有f(a)f(b)<0提示：不一定，如圖所示，f(a)f(b)>0.y=f(x)在(a,b)內存在唯一的零點嗎?3 .若函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)內，有f(a)f(b)<0成立，那么提示：不一定，可能有

4、多個.(4)二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與零點的關系A=b2-4acA>0A=0AV0二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象A1與x軸的交點(X1,。)，(x2,0)(xi,0)尢交點零點個數210題型月析對于日后的考試中仍以考查函數的零點、方程的根和兩函數圖象交點橫坐標的等價轉化為主要考點，涉及題目的主要考向有：1 .函數零點的求解與所在區(qū)間的判斷；2 .判斷函數零點個數；3 .利用函數的零點求解參數及取值范圍.煙例刮析考向一、函數零點的求解與所在區(qū)間的判斷1 .(2015溫州十校聯(lián)考)設可刈=皿x+x-2,則函數f(x)的零點所在的區(qū)間為()A.(0

5、,1)B,(1,2)C.(2,3)D,(3,4)【解析】法一：.f(1)=ln1+1-2=-K0,f(2)=ln2>0,f(1)f(2)v0,.,函數f(x)=lnx+x2的圖象是連續(xù)的，函數f(x)的零點所在的區(qū)間是(1,2).十法法二：函數f(x)的零點所在的區(qū)間轉化為函數g(x)=lnx,h(x)=x+2圖象交點的橫坐標所在的范圍，如圖所示，可知f(x)的零點所在的區(qū)間為(1,2).【答案】B1,2.(2015西安五校聯(lián)考)函數丫=皿3+1)與y=一的圖象父點的橫坐標所在區(qū)間為()xA.(0,1)B,(1,2)C.(2,3)D,(3,4)1 1.一.【解析】函數y=ln(x+1)與

6、y=x的圖象交點的橫坐標，即為函數f(x)=ln(x+1)1的零點，-.f(x)在(0,1+8比為增函數，且f(i)=in2-K0,f(2)=ln3萬>0,，f(x)的零點所在區(qū)間為(1,2).【答案】B3. 函數f(x)=3x7+lnx的零點位于區(qū)間(n,n+1)(nCN)內，則n=.【解析】求函數f(x)=3x-7+lnx的零點，可以大致估算兩個相鄰自然數的函數值，如f(2)=1+ln2,由于ln2<lne=1,所以f(2)<0,f(3)=2+ln3,由于ln3>1,所以f(3)>0,所以函數f(x)的零點位于區(qū)間(2,3)內，故n=2.【答案】24. (20

7、15長沙模擬)若a<b<c,則函數f(x)=(xa)(xb)+(xb)(x-c)+(xc)(x-a)的兩個零點分別位于區(qū)間()A.(a,b)和(b,c)內B.(8,a)和(a,b)內C.(b,c)和(c,+00)內D.(00,a)和(c,+00)內【解析】本題考查零點的存在性定理.依題意得f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-b)(c-a)>0,因此由零點的存在性定理知f(x)的零點位于區(qū)間(a,b)和(b,c)內.【答案】A5. (2014高考湖北卷)已知f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，f(x)=

8、x2-3x,則函數g(x)=f(x)-x+3的零點的集合為()A.1,3B.-3,-1,1,3C.2-巾，1,3D.-2-巾，1,3【解析】令xv0,則一x>0,所以f(x)=f(x)=(x)23(x)=x23x.求函數g(x)=f(x)-x+3的零點等價于求方程f(x)=3+x的解.當x>0時，x23x=3+x,解得x1=3,x2=1;當x<0時，x3x=3+x,解得x3=2y7.【答案】D技15=確定函數f(x)零點所在區(qū)間的方法(1)解方程法：當對應方程f(x)=0易解時，可先解方程，再看解得的根是否落在給定區(qū)間上.(2)利用函數零點的存在性定理：首先看函數y=f(x)

9、在區(qū)間a,b上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，則函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)內必有零點.(3)數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.講練維6.1 .已知函數f(x)=log2x,在下列區(qū)間中，包含f(x)手點的區(qū)間是()xA.(0,1)B,(1,2)C.(2,4)D,(4,+0o)31【解析】因為f(1)=6-log2l=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)=-log24=-2<0,所以函數f(x)的零點所在區(qū)間為(2,4).【答案】C2.方程10g3x+x=3的根所在的區(qū)間為()A.(0,1)B

10、,(1,2)C.(2,3)D,(3,4)【解析】法一：方程10g3x+x=3的根即是函數f(x)=1og3x+x3的零點，由于f(2)=1og32+23=1og32-1<0,f(3)=1og33+33=1>0且函數f(x)在(0,+8)上為單調增函數.，函數f(x)的零點即方程10g冰+x=3的根所在區(qū)間為(2,3).法二：方程10g3x+x=3的根所在區(qū)間即是函數y=1og3x與y2=3x交點橫坐標所在區(qū)間，兩函數圖象如圖所示.由圖知方程10g3x+x=3的根所在區(qū)間為(2,3).【答案】CA1A2A33.(2015武漢調研)設a1，A2,A3均為正數，川v尬<為，則函數f

11、(x)=+的兩個零點x-1x一江x/分別位于區(qū)間()A.(8,田和(K為內B.(無，曾和(心勸內C.(22,粉和(用，+8)內D.(8,XI)和(瓦+8)內【解析】本題考查函數與方程.利用零點存在定理求解.當xC(M初時，函數圖象連續(xù)，且x一為,f(x)一+8,x？2,f(x)一一8,所以函數f(x)在(為，期上一定存在零點；同理當xC(尬，后時，函數圖象連續(xù)，且xf及，f(x)一+8,x一沁，f(x)一一8,所以函數f(x)在(及，粉上一定存在零點，故選B.【答案】B曲例聞析考向二、判斷函數零點個數x-2,x>0,一-I_,1,已知函數f(x)=°滿足f(0)=1,且f(0)

12、+2f(-1)=0,那么函數g(x)=f(x)+x的-x2+bx+c,x<0零點個數為.11【解析】10)=1,，c=1,又f(0)+2f(1)=0,.4(一1)=1b+1=2,.上=3.，當x>0時，3一1,、g(x)=2x2=0有唯一解x=1;當xW0時，g(x)=-x2+-x+1,令9依)=0得*=一萬或x=2(舍去),綜上可知，g(x)=f(x)+x有2個零點.【答案】22. (2013高考天津卷)函數f(x)=2x|logo.5x|1的零點個數為()A.1B.2C.3D.41 .【斛析】由f(x)=2110g0.5x|1=0,可得110go.5x|=5.1.設g(x)=|

13、1og0.5x|,h(x)=萬x,在同一坐標系下分力1回出函數g(x),h(x)的圖象，可以發(fā)現(xiàn)兩個函數圖象一定有2個交點，因此函數f(x)有2個零點.【答案】B2-|x|,x<2,，.一”3. (2015局考天津卷)已知函數f(x)=2函數g(x)=3-f(2-x),則函數y=f(x)-g(x)x2,x>2,的零點個數為B.3C.4D.5【解析】分別畫出函數f(x),g(x)的草圖，觀察發(fā)現(xiàn)有2個交點.4.若定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x+2)=f(x),且當xC0,1時，f(x)=x,則函數y=f(x)-1og3|x|的零點個數是.【解析】由題意知，f(x)是周期為2的偶

14、函數.在同一坐標系內作出函數y=f(x)及y=1og3|x|的圖象,如下：觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)它們有4個交點，即函數y=f(x)1og3|x|有4個零點.5【答案】4=F5；E15=判斷函數零點個數的方法(1)解方程法：令f(x)=0,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點.(2)零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數在區(qū)間a,b上是連續(xù)不斷白曲線，且f(a)f(b)0,還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數有多少個零點或零點值所具有的性質.(3)數形結合法：轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題.先畫出兩個函數的圖象，看其交點的個數，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，

15、就有幾個不同的零點.講縹維目1 .(2015淄博期末)函數f(x)=x-ln(x+1)-1的零點個數是.【解析】函數f(x)=x-ln(x+1)-1的零點個數，即為函數y=ln(x+1)與y=x-1圖象的交點個數.在同一坐標系內分別作出函數y=ln(x+1)與y=x1的圖象，如圖，由圖可知函數f(x)=x-ln(x+1)1的零點個數是2.0,x=0,1 c一，x<0,xlgx,x>0,2 .若定義在R上的函數f(x)滿足f(x+2)=f(x),且xC1,1時，f(x)=1x2,函數g(x)=則方程f(x)g(x)=0在區(qū)間5,5上的解的個數為()A.5B.7C.8D.10【解析】依

16、題意得，函數f(x)是以2為周期的函數，在同一坐標系下畫出函數y=f(x)與函數y=g(x)的圖象，r一L5TL3-2TO/I2345工結合圖象得，當xC5,5時，它們的圖象的公共點共有8個，即方程f(x)-g(x)=0在區(qū)間5,5上的解的個數為8.【答案】C題型9析考向三、利用函數的零點求解參數及取值范圍1. (2014合肥本測)若函數f(x)=ax2X1有且僅有一個零點，則實數a的取值為()1A.0B.-4C.0或-1D.24【解析】當a=0時，函數f(x)=-x-1為一次函數，則一1是函數的零點，即函數僅有一個零點；當aw。時，函數f(x)=ax2-x-1為二次函數，并且僅有一個零點，則

17、一元二次方程ax2x1=0有兩個相一1,、，、1.一，等頭根.A=1+4a=0,斛得a=4.綜上，當a=0或a=4時，函數僅有一個季點.【答案】C2.(2014洛陽模擬)已知方程|x2a|x+2=0(a>0)有兩個不等的實數根，則實數a的取值范圍是()A.(0,4)B.(4,+00)C.(0,2)D.(2,+8)【解析】依題意，知方程x2-a|=x-2有兩個不等的實數根，即函數y=x2a|的圖象與函數y=x2的圖象有兩個不同交點.如圖，則Va>2A.恒為負C.恒為正【解析】在同一坐標系中作出.1V3 .已知函數f(x)=log2x3，右頭數x0是方程f(x)=0的解，且0<x

18、1<x0,則f(x1)的值為()B.等于零D.不小于零,一17丫=1。92*和丫=三、的圖象，由圖象知f(x1)<0.3144 .(2014高考江蘇卷)已知f(x)是定義在R上且周期為3的函數，當xC0,3)時，f(x)=x2-2x+,右函數y=f(x)-a在區(qū)間3,4上有10個零點(互不相同),則實數a的取值范圍是.1 c1【斛析】當xC0,3)時，f(x)=x2-2x+2=x122,由f(x)是周期為3的函數，作出f(x)在-3, 4上的圖象,如圖.函數y=f(x)a在區(qū)間3,4上有互不相同的10個零點，即函數y=f(x),xC3,4與y=a的圖1 ,象有10個不同交點，在坐標

19、系中作出函數f(x)在一個周期內的圖象如圖，可知當0va<2時滿足題意.【答案】0,25. (2015湖北八校聯(lián)考)已知xCR,符號x表示不超過x的最大整數，若函數f(x)='a(xw0)有且x僅有3個零點，則a的取值范圍是()34,4334,43A-05u3,2B.45U3,21 2531253c.5，3u42»萬，3u42【解析】當0vxv1時,f(x)=1a=a;當1wxv2時，f(x)=xa=：a;當2wxv3時，f(x)=即一a=2a;.f(x)=，一a的圖象是把y=寫的圖象進行縱向平移而得到的，畫出y=里的圖象，,一一3443如圖所不，通過數形結合可知aC-

20、U-.4532/J22io-i-i_【答案】A技15=已知函數有零點(方程有根)求參數取值范圍常用的方法：(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍.(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決.(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解.講練結白2x1,x<1,1.(2015萊蕪一模)已知函數f(x)=則函數f(x)的零點為()1+log2x,x>1,1A.萬，0B.-2,0八1rcC.2D.01【斛析】當xw1時，由f(x)=21=0,解得x=0;當x>1時，由f(x)=1

21、+log2x=0,解得x=又因為x>1,所以此時方程無解.綜上，函數f(x)的零點只有0.【解析】D2x1,x>0,2,已知函數f(x)=9若函數g(x)=f(x)-m有3個零點，則實數m的取值范圍是-x2-2x,x<0,2x1,x>0,【解析】畫出f(x)=的圖象，如圖x22x,x<0由函數g(x)=f(x)m有3個零點，結合圖象得：0vmv1,即mC(0,1).【答案】(0,1)2xa,xW0,3,已知函數f(x)=、有三個不同的零點，則實數a的取值范圍是.x2-3ax+a,x>0【解析】要使函數f(x)有三個不同的零點，則當x<0時，方程2x-a

22、=0,即2x=a必有一根，此時0vaW1；當x>0時，方程x2-3ax+a=0有兩個不等實卞即方程x2-3ax+a=0有2個不等正實根，于419故4-,>aA=9a24a>0,是3a>0,a>0,知色拓展必記結論有關函數零點的結論(1)若連續(xù)不斷的函數f(x)在定義域上是單調函數，則f(x)至多有一個零點.(2)連續(xù)不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號.(3)連續(xù)不斷的函數圖象通過零點時，函數值可能變號，也可能不變號.=勤加煉與=二=1.(2015高考安徽卷)下列函數中，既是偶函數又存在零點的是()A.y=cosxB.y=sinxC.y=InxD.y

23、=x2+1【解析】y=cosx是偶函數，且存在零點；y=sinx是奇函數；y=lnx既不是奇函數又不是偶函數；y=x2+1是偶函數，但不存在零點.【答案】A2,函數f(x)=2x2a的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則實數a的取值范圍是()xA.(1,3)B,(1,2)C.(0,3)D,(0,2)【解析】由題意知f(1)f(2)<0,即a(a3)v0,0vav3.3. (2016東城期末)函數f(x)=ex+%2的零點所在的區(qū)間是()C.(1,2)D,(2,3)1-7-731【解析】f2=加一4<m一4<0,f(1)=ea>。，.零點在區(qū)間1上.4. (2014昆明三中、玉

24、溪一中統(tǒng)考)若函數f(x)=3ax+12a在區(qū)間(一1,1)內存在一個零點，則a的取值范圍是()A,1，+°°B.(巴1)U:55C1，1D.(8,1)5【解析】當a=0時，f(x)=1與x軸無交點，不合題意，所以aw0；函數f(x)=3ax+12a在區(qū)間(-11,1)內是單倜函數，所以f(-1)f(1)<0,即(5a1)(a+1)>0,解得av-1或a>".5【答案】B5. f(x)是R上的偶函數，f(x+2)=f(x),當0WxW1時，f(x)=x2,則函數y=f(x)|log5x|的零點個數為()A.4B.5C.8D.10【解析】由零點的定

25、義可得f(x)=|log5x|,兩個函數圖象如圖，總共有5個交點，所以共有5個零點.10【答案】B6. (2014開封模擬)偶函數f(x)滿足f(x1)=f(x+1),且當xC0,1時，f(x)=-x+1,則關于x的方程f(x)=lg(x+1)在xC0,9上解的個數是()A.7B.8C.9D.10【解析】依題意得f(x+2)=f(x),所以函數f(x)是以2為周期的函數.在平面直角坐標系中畫出函數y=f(x)的圖象與y=lg(x+1)的圖象(如圖所示),y內(好方的“(wwvty12315678910*觀察圖象可知，這兩個函數的圖像在區(qū)間0,9上的公共點共有9個，因此，當xC0,9時，方程f(

26、x)=lg(x+1)的解的個數是9.【答案】C7. (2014南寧模擬)已知函數f(x)=lnx+3x8的零點x0a,b,且ba=1,a,bCN*,則a+b=【解析】,.f(2)=ln2+68=ln2-2<0,f(3)=ln3+9-8=ln3+1>0,且函數f(x)=lnx+3x-8在(0,+8)上為增函數，xoC2,3,即a=2,b=3.，a+b=5.【答案】58. 已知函數y=f(x)(xCR)滿足f(x+2)=f(x),當xC1,1時,f(x)=|x|,則y=f(x)與y=log7x的交點的個數為.【解析】因為f(-x+2)=f(-x),所以y=f(x)為周期函數，其周期為2

27、.在同一直角坐標系中，畫出函數y=f(x)和y=log7x的圖象如圖，當x=7時，f(7)=1,log77=1,故y=f(x)與y=log7x共有6個交點.【答案】69,若函數y=f(x)(xCR)滿足f(x+2)=f(x)且xC-1,1時，f(x)=1x2；函數g(x)=lg|x|,則函數y=f(x)與y=g(x)的圖象在區(qū)間5,5內的交點個數共有個.【解析】函數y=f(x)以2為周期，y=g(x)是偶函數，畫出圖象可知有8個交點.11-5-4-3-2-1I2345M【答案】8x3,XWa10.(2015局考湖南卷)已知函數f(x)=/xa右存在實數b,使函數g(x)=f(x)b有兩個零點，

28、則a的取值范圍是.【解析】令(«x)=x3(x<a),h(x)=x2(x>a),函數g(x)=f(x)b有兩個零點，即函數y=f(x)的圖象與直線y=b有兩個交點，結合圖象(圖略)可得a<0或(j)(a)>h(a),即av0或a3>a2,解得av0或a>1,故aC(8,0)U(1,+8).【答案】(00,0)U(1,+8)能力展示1. (2014高考山東卷)已知函數f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有兩個不相等的實根，則實數k的取值范圍是()1 -1A.0,2B.2，1C.(1,2)D.(2,+OO)【解析】先作出函

29、數f(x)=|x2|+1的圖象，如圖所示，卜"JF-2+1-1e.L6241.當直線g(x)=kx與直線AB平行時斜率為1,當直線g(x)=kx過A點時斜率為,故f(x)=g(x)有兩個不1相等的實根時，k的范圍為21.【答案】B2,若函數f(x)=ax-x-a(a>0且aw1)有兩個零點，則實數a的取值范圍是()c1-A.(2,+8)B,0,2C.(1,+8)D.(0,1)【解析】函數f(x)=axxa(a>0且aw1)有兩個零點，就是函數y=ax(a>0且aw1)與函數y=x+a(a>0且aw1)的圖象有兩個交點，由圖1知，當0vav1時，兩函數的圖象只有

30、一個交點，不符合題意；由圖2知，當a>1時，因為函數y=ax(a>1)的圖象與y軸交于點(0,1),而直線y=x+a與y軸的交點一定在點(0,1)的上方，所以兩函數的圖象一定有兩個交點，所以實數a的取值范圍是a>1.12【答案】C2-|x|,x<2,，.,，.一4一“3.(2015局考天津卷)已知函數f(x)=22x2函數g(x)=b-f(2-x),其中bCR.右函數y=f(x)g(x)恰有4個零點，則b的取值范圍是()77_77cA.“+°°B.8,4C.0,4D.4，2【解析】函數y=f(x)g(x)恰有4個零點，即方程f(x)-g(x)=0,即

31、b=f(x)+f(2x)有4個不同的實數根，即直線y=b與函數y=f(x)+f(2x)的圖象有4個不同的交點.又y=f(x)+f(2-x)=x2+x+2,x<0,2,0<x<2,作出該函數的圖象如圖所示，由圖可得，當7<bv2時，直線y=b與函數y=f(x)x25x+8,x>2,+f(2x)有4個交點.【答案】D14.已知函數f(x)滿足f(x)+1=fx+1,當xC0,1時，f(x)=x,若在區(qū)間(一1,1內，函數g(x)=f(x)mxm有兩個零點，則實數m的取值范圍是()A.0,1B.1,仆C.0,1D.0,12232【解析】當xC(1,0時，x+1C(0,1

32、,因為函數f(x)+1=1一，所以f(x)=-1-1=-fx+1fx+1x+1x,xe1,0,函數g(x)=f(x)-mx-m在區(qū)間(一1,1內有兩個零點等價1=1.即f(x)=x+1x+1x,xC0,1.于方程f(x)=m(x+1)在區(qū)間(一1,1內有兩個根，令y=m(x+1),在同一坐標系中畫出函數y=f(x)和y=1一m(x+1)的部分圖象(圖略)，可知當mC0,£時，函數g(x)=f(x)-mx-m有兩個零點.13【答案】A|x2+5x+4|,x<0,5.(2014高考天津卷)已知函數f(x)=若函數y=f(x)a|x|恰有4個零點，則實數2|x2|,x>0.a的取值范圍為.【解析】畫出函數f(x)的圖象如圖所示.函數y=f(x)ax|有4個零點