完整版小波變換課件Haar小波

1、第1章Haar小波分析1.1簡(jiǎn)介u平移方向E以較低就率作分析以較高相一率作分析丁推進(jìn)（近距離-小尺度）（高分機(jī)率）（遠(yuǎn)距離-大尺度）（低分排率）1.2平均與細(xì)節(jié)設(shè)X,X2,X3,X4是一個(gè)信號(hào)序列。定義它的平均和細(xì)節(jié):aI0(xix2)/2,，找出了xiX2和a10、di0的關(guān)系。di,0(XiX2)/2i2，這里，3,0是原信號(hào)前兩個(gè)值Xi、X2的平均。又叫低頻成分，反映前兩個(gè)值、X2的基本特征或粗糙趨勢(shì)；di,。反映了、X2的差別，即細(xì)節(jié)信息，又叫高頻成分。a1i(x3x4)/2,，找出了x3、x4和a、d的關(guān)系。di,i(X3X4)/234,同樣，曲1是原信號(hào)后兩個(gè)值X3、X4的平均，d

2、i,i反映了X3、X4的細(xì)節(jié)。我們把a(bǔ)i,0,ai,i,di,0,di,i看作是對(duì)x1，x2,X3,X4實(shí)施了一次變換的結(jié)果。變換還可以往下進(jìn)行:a0,0(ai,0ai,i)/2=(xiX2)/2(X3x”2)/2d0,0(ai,04/)/2。=(xiX2X3X4)/4am是對(duì)4個(gè)信號(hào)元素最終的平均，它是原信號(hào)最基本的信息;經(jīng)過(guò)二次變換，我們得到了原信號(hào)的另一種表示:a0,0,金,0,di,0,di,i該序列叫做原序列的小波變換，a0,0,d0,0,d1,0,d1,1叫做小波系數(shù)。還可以反過(guò)來(lái)表示:XiX2a、一這是用a1,d1,0來(lái)恢復(fù)原信d1,0號(hào)X1、X2;X3a?X4a?d111,1用

3、d1,1a2,d1,1來(lái)恢復(fù)原信號(hào)X3、X4。也就是反變換。小波變換過(guò)程的塔式算法:例如,Xi,X2,X3,X4=3,1,2,432卦z最低分辨率低頻信息，最低分辨率細(xì)節(jié)信息12,IL次高分辨率低頻信息(1.-31t次高分辨率細(xì)節(jié)信息13.lh-2b4):最高分好率信息331取一、的小波換為a。,。，d0,0,d1,0,du=,1,221.3尺度函數(shù)與小波函數(shù)(1)Haar尺度函數(shù)(t)0,0(t)(t1)0,1(t)(tk)0,k(t)不壓縮：不位移位移一個(gè)單位位移k個(gè)單位(2t)1,0(t)P-8(2(t1/2)U(2t1)(2jtk)j,k(t)1/21/2壓縮1/21倍，不位移壓縮1/

4、21倍，位移一個(gè)單位般j,k(t)(2jtk),k0,1,2,.,2j1幾個(gè)術(shù)語(yǔ)1)2)3)j為分辨率,4)壓縮,（尺度）函數(shù)jik（t）不為零的區(qū)間，上例中為Haar尺度函數(shù)的寬度為1/2j。j越大，尺度越小，分辨率越高。1/2j=2j為尺度。（分辨率越高，尺度越?。?）.Haar小波函數(shù)（t）Haar小波函數(shù)與尺度函數(shù)的關(guān)系不平移、不壓縮;平移一個(gè)單位1/2k/2(k1)/21/2j倍，移位K個(gè)單位平移K個(gè)單位。(2t)i,o(t)i(at1/2)(2ti)i,o0t(2(t加2)k)1/4t1/21/23/4t12k/22(2k1)/22(2k2)/22t111?不平移，壓縮1/2倍；

5、先平移一個(gè)單位，再壓縮1/2倍,1平移個(gè)K單位，再壓縮1/2倍。Haar小波函數(shù)的一般形式：j,k(t)=(2jtk),k0,1,.,2j位移k個(gè)單位，壓縮2j倍。(3),分段常數(shù)函數(shù)也可將序列X1,X2,X3,X4)看成分段常數(shù)序列。f(t)X1X0,1/4(t)X2X1/4,1/2(t)+X3X1/2,3/4(t)+X4X3/4,1(t)寫(xiě)成=以我的幺必打4t44V43)f(t)可用尺度函數(shù)伸縮平移的線性組合表示重寫(xiě)x1404(4)2x242既+x3424(4)2*424雪ai,0(xix2)/2a11(均x4)/2d1,0(xix2)/241(x3x4)/2f(t),a4。42融40)+

6、di,0i,o(t)九11再求平均和細(xì)節(jié)得a。和do。故得=a，44啕2%44,0a+dl,0a0,0(a1,0a1,1)/2d0,0(a1,0a1,1)/21,0(t)d1,11,1(t)注釋?zhuān)盒蛄衳，x2,x3,x4可由尺度函數(shù)和小波函數(shù)的系數(shù)來(lái)表示，既a,0,d0,0,d1,0,d1,1為X,x2,x3,x4的小波變換(系數(shù))。,1.5小波變換的計(jì)算設(shè)x1,x2,x3,x4是長(zhǎng)度為2n(n是大于1的整數(shù))的離散序列，記為an,0,.,an,2n1。函數(shù)fn(t)展開(kāi)為fn(t)an,0n,0(t)an01n,2n1(t)(1-20)將函數(shù)fn(t)做一次小波分解，得fn(t)an1,01

7、44n1,0(t).an1,2n112n11(t)4444442444442414概貌(平均或低頻部分)，用fn1(t)表示(fn1Vn1),繼續(xù)分解dn1,0n1,0(t).dn12n11n.12n11(t)1444444442n小幺414442443系數(shù)d,細(xì)節(jié)(差別或高頻部分)構(gòu)成小波變換系數(shù)的一半(1-21)重復(fù)分解多次，可得fn(t)在不同尺度下尺度函數(shù)和小波函數(shù)的展開(kāi)式。歸一化尺度函數(shù)和小波函數(shù)歸一化又叫做標(biāo)準(zhǔn)化或規(guī)范化，計(jì)算方法如下:fuIfu,u1,frff,f2；f,f；2ffdtf2dtj,k(t)(2jt-k),k0,1,.,2j1(限制在橫軸0：1之間)(k1)/2j(

8、k1)/2j221j,kj,k出dt=2Tk/2jk/2j2j,k十22標(biāo)準(zhǔn)化尺度函數(shù)(2jtk)建)|(2jtk)j2j/2(2jtk)仍記為j,k(t)2j/2(2jtk)同理，可得標(biāo)準(zhǔn)化Haar小波函數(shù)j,k(t)2j/2(2jtk)(1-22)(1-23)標(biāo)準(zhǔn)化二尺度方程(t)21/2(2t)21/2(2t1)(t)21/2(2t)21/2(2t1)(1-24,1-25)注釋?zhuān)簶?biāo)準(zhǔn)化函數(shù)的物理意義是，尺度函數(shù)和小波函數(shù)在不同分辨率下具有相同的能量,從而可推出信號(hào)進(jìn)行小波變換前、后能量相等，既2n122n1an,k=ank0k021,k2n1+k02dn1,k如何從an,0,.,an,2

9、n1快速計(jì)算小波變換系數(shù)：重寫(xiě)(1-21)式fn(t)為1,0n1,0(t)牛食11”歸11d01,。n1,0(t)d0歸11011現(xiàn)將式(1-21)二端在0：1范圍內(nèi)對(duì)n1,k(t)做內(nèi)積，得1120fn(t)n1,k(t)dt=小卜3,k(t)dt1 2=an1,k0n1,k(t)dt=an1,k(1-26)注釋?zhuān)哼@里正交性保證了(1-26)式右邊只有一項(xiàng)內(nèi)積不為零；尺度函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化保證了積分結(jié)果為1。再將式(1-20),即fn(t)an,0n,0(t).an,2nln,2n1(t)代入(1-26),左邊得10an,0n,0(t).an,2n1n,2n1(t)n1,k(t)dt注釋:1若設(shè)

10、k=0,則0(2nt)所以,(2nt所以,因此,1/2n般有,注釋:10an,02n/2(2nt)an,12n/2(2ntan,02n/22n1/2(2ntk)(2n1tfn(t)n(2n1t1).2n1/2k)dt.=an(2n1tk)dt1,k11,k(t)dt=0fn(t)n1,0(t)dt0)(2n1t)(2nt)dt1/2n1/2n1重疊部分1/2n(2n1t)(2nt)dt1/2ndt1)(2n1t1/2n11/2n1/2n11/2nn/20nan,0221）歸一化后,2）關(guān)于積分0)(2ntdt12n1/2=an,02an1,0an1,k1)(2n1t)dt112n12n12n重

11、疊部分11/2n1/2n1(2nt)11、22n(an,0(an,2kan,2k/、2(2n1t)dtan,12n1/2n1/2nn/20nan,1221/2(2nt1)(2n1t)dt1an,0an,1.22nan1,0an11)/-2k0,1,2,.,2n1an,2k1/,-2j,k(t)2j/2tk)2n1,k(t)dt12n1/2(2n110-1k)2dt12n102(2n1tk)”d(2n1tk)同理，有小波系數(shù)dn1,k(an,2kan,2k1“2,k0,1,2,.,2nan,2k1.7小波變換的濾波器組實(shí)現(xiàn)Mallat算法1.7.1 離散序列的卷積已知序列a(a0,a1,a2,.

12、,am,l(a)m1bbo,b1,b2,.,bk,l(b)k1做卷積的兩個(gè)序列的長(zhǎng)度不一定相等。1)由卷積公式求卷積：記ab為a與b卷積后得到的新序歹U,(ab)n為第n個(gè)元素，則(ab)n=a0bnabn1an1b1anbo=aQkkm=2；bb0,h,b2,4=0.1,1,0.1,-1k=3,00.110.1110.110.110.110.010.10.010.10.110.110.11.010.11.990.21a2a1a。aa2b2b1b0b1b2l(ab)l(a)l(b)1例1Haa0,a，a2=1,0.1,-10求卷積和。簡(jiǎn)便算法從下面序列最右邊一項(xiàng)開(kāi)始，分別與上面序列各項(xiàng)相乘，直

13、到下面序列最左邊一項(xiàng)完成同樣相乘，再按列相加。這種方法結(jié)果序列下標(biāo)是原兩序列下標(biāo)位的代數(shù)和確定的。利用這種方法，卷積和可一次計(jì)算出來(lái)，而且下標(biāo)確定簡(jiǎn)單。用MATLAB實(shí)現(xiàn)：a=0.1,1,0.1,-1;b=1,0.1,-1;y=conv(a,b)ans=0.10001.01000.1000-1.9900-0.20001.0000滑尺法兩序列0點(diǎn)對(duì)齊，計(jì)算對(duì)應(yīng)元素乘積并求和得y(0);下列向右滑動(dòng)一位，再計(jì)算各對(duì)應(yīng)元素乘積并求和，得y(1);直到所有n0情況下對(duì)應(yīng)元素乘積再求和等于零為止?；氐絻尚蛄?點(diǎn)對(duì)齊位置，向左滑動(dòng)一位，計(jì)算各對(duì)應(yīng)元素乘積并求和得y(-1);再向左滑動(dòng)一位，直到所有n-a.0b-a,bV卜知處。下標(biāo)也110丁標(biāo)處。卜.標(biāo)處X0卜標(biāo)處將f嵌入一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的信號(hào)0,0,a,b,0,0,）中,、.11、_,11h=hi,h0=2，2),g=g130=-5萬(wàn)h=hch二1,1,g=g0,g1二