理科數(shù)學(xué)2010-2019高考真題分類訓(xùn)練專題三導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第八講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用答案

1、關(guān)注微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)炫技領(lǐng)取更多資料專題三導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第八講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用答案部分2019 年關(guān)注微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)炫技領(lǐng)取更多資料1 .解析當(dāng)x 1時(shí)，f 112a 2a 1 0恒成立;當(dāng) x 1 時(shí)，f xx2 2ax 2aJS0 2a -x恒成立,x 121 x 2 1x11 x1 x 2?2. 1 x 121 x1 x所以2ag x max 0 ,即a 0.x當(dāng) x 1 時(shí)，f x x a ln x JM0a 恒成立,In xxx ,In xln x xxI2In xln x 1In x當(dāng)x e時(shí)，h x 0, h x遞增，當(dāng)1 x e時(shí)，h x所以當(dāng)x e時(shí)，h x取得最小值h e e

2、.所以 a, h x min e.綜上，a的取值范圍是 0,e22 .解析(1) f (x) 6x 2ax 2x(3x a).a 令 f (x) 0,得 x=0 或 x -.時(shí)，f (x) 0 ；當(dāng) xa0,-時(shí)，f (x) 0 .故 f (x) 33若 a>0,則當(dāng) x (,0) U -,3一 a 一 a在(，0),-,單調(diào)遞增，在0,-單調(diào)遞減;33若a=0, f(x)在(,)單調(diào)遞增;若a<0,貝U當(dāng)x,a U(0,)時(shí), 3a 一f (x) 0；當(dāng) x ,0 時(shí)，f (x) 0.故 f(x) 3aa 一在 ，a ,(0,)單調(diào)遞增，在 a,0單調(diào)遞減.33(2)滿足題設(shè)條件

3、的a, b存在.當(dāng)awo時(shí)，由(1)知，f(x)在0,1單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間0,l的最小值為f(0)=b,最大值為f (1) 2 a b.此時(shí)a, b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)b 1,2 a b 1,即a=0,(ii)當(dāng)a4時(shí)，由(1)知，f(x)在0, 1單調(diào)遞減，所以f (x)在區(qū)間0, 1的最大值為f(0)=b,最小值為f (1) 2 a b .此時(shí)a, b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2ab 1 , b=1,aa3(iii)當(dāng)0<a<3時(shí)，由(1)知，f (x)在0, 1的最小值為f b,最大值為b327或 2 b .3若 b 1 , b=1 ,則33/2，與 0<a<

4、3 矛盾.273若 g-b 1,2a b1,貝Ua3J3或-3百或a=0,與0<a<3矛盾.27綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a=0, b 1或a=4, b=1時(shí)，f (x)在0, 1的最小值為T ,最大值為1.，3 一 一、 3.3.解析：(I)當(dāng) a 一時(shí)，f (x)- In x v1 x,x 0 .44f'(x)31(.1 x 2)01 x 1)4x 2.1 x4x、1 x所以，函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0, 3),單調(diào)遞增區(qū)間為(3, +),1(n)由f (1) ，得02a當(dāng) 0 a Y2 時(shí)，f(x) Yx 等價(jià)于 Yx 22/匚x 2ln x 0.42a a2 a令t ，

5、 m 1由(i)得q 7,則t 2忑2 . a設(shè) g(t) t2Jx 2tJTT 2ln x,t 2應(yīng)，則g(t) g(2衣8a 472E_X 21nx.當(dāng)x , 時(shí)，J1 2J2則7. xg(t) g(272)8Tx 4/24"x 21nx.- 1記 p(x)4a/x2V271x In x, x -，則7P'(x)2 x.x 1.2x x 1x. x 1x17(7,1)1(1,)p'(x)0+p(x)1 p(y)單調(diào)遞減極小值p(1)單調(diào)遞增所以，p(x) p(1) 0因此，g(t) g(2>/2)2p(x) 0./.、業(yè) 1112.xlnx (x 1)(ii

6、)當(dāng) x,-時(shí)，g(t)g J1 -尸-e 7' x2 . x人.一.1 1. In x 2 ._令 q(x)2 vx In x (x 1), x ,- ，則 q'(x) 1 0 ,e 7、x,1 1,、1故q(x)在 1,1上單調(diào)遞增，所以q(x), q 1e2 772.7 vp薩p。.所以，q(x)<0 .因止匕g(t)gq(x)2.x0.一 、1一_ 一-由(i) (ii)得對(duì)任意 x 丁，t 2衣 ),g(t>0,e即對(duì)任意x1-2 e,均有 f (x),. 2a綜上所述，所求a的取值范圍是1.，、4.解析：(1)設(shè) g(x) f'(x),則 g(x

7、) cosx ， g (x)1 xsin x1(1 x)21- 時(shí)，g'(x)單調(diào)遞減，而g'(0)0，叱)°,可得g'(x)在 1- 有唯一零點(diǎn)，設(shè)為2則當(dāng) x ( 1,)時(shí)，g'(x) 0;當(dāng) x-時(shí)，g'(x) 0. 2所以g(x)在(1,)單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，故g(x)在21-存在唯一極2大值點(diǎn)，即f'(x)在1,存在唯一極大值點(diǎn). 2(2) f(x)的定義域?yàn)?1,).當(dāng)x ( 1,0時(shí)，由(1)知，尸在(1,0)單調(diào)遞增，而f'(0) 0,所以 當(dāng)x ( 1,0)時(shí)，f'(x) 0,故£J)在(

8、1,0)單調(diào)遞減，又f(0)=0 ,從而x 0是 "*)在(1,0的唯一零點(diǎn).(ii)當(dāng)x 0,-時(shí)，由(1)知，f'(x)在(0,)單調(diào)遞增，在 ，單調(diào)遞減， 22而f'(0)=0 f 0,所以存在 ，一，使得f( ) 0,且當(dāng)x (0,)時(shí),，22f'(x) 0;當(dāng) x，時(shí)，f'(x) 0.故f(x)在(0,)單調(diào)遞增，在，單調(diào)22遞減.又 f(0)=0, f -1 ln 1 -0,所以當(dāng) x 0,時(shí)，f(x) 0.222從而f (x)在0,-沒(méi)有零點(diǎn).2(iii)當(dāng)x -,時(shí)，f'(x) 0,所以f(x)在，單調(diào)遞減.而f 0,222f(

9、 ) 0,所以f(x)在，有唯一零點(diǎn).2(iv)當(dāng)x (,)時(shí)，ln(x 1) 1,所以f(x)<0,從而£3在(，)沒(méi)有零點(diǎn).綜上，f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).5.解析：(1)f(x)的定義域?yàn)?0,1)U(1,).一,、11因?yàn)閒 (x) - 2 0 ,所以f (x)在(0, 1) , ( 1, +8)單倜遞增.x (x 1)因?yàn)閒 (e) =1e 1八 277 °, f(e)e2 1e2 1e2 3e2 10,所以f (x)在1, +00)有唯一零點(diǎn)x1，即 f (x1) =0.ln x1x11x11f(x1) 0,1故f (x)在(0, 1)有唯一零點(diǎn)一. 為綜

10、上，f (x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).(2)因?yàn)楣?e 1nx0,故點(diǎn)b x0(Inx。,1一)在曲線y=ex上.x0由題設(shè)知f (x。) 0 ,即lnx。x。 1x 1 'x0 I11n x。1xo1x。XoXo111nx。x。x。1xoXox。1故直線AB的斜率k1、一ln xo,)處切線的斜率是Xo1一,曲線yXo曲線y=ex在點(diǎn)B(ln x在點(diǎn)A(xo,ln x°)處切線的1斜率也是一, xo所以曲線V 1nx在點(diǎn)A(x0,1n X。)處的切線也是曲線y=ex的切線.36.解析(1)因?yàn)?a b c,所以 f (x) (x a)(x b)(x c) (x a).因?yàn)閒 (4

11、) 8,所以(4 a)3 8 ,解得a 2.(2)因?yàn)閎 c,所以 f (x)(x a)(x b)2x3(a 2b)x2b(2a b)x ab2 ,2a b2b從而 f'(x)3(x b) x .令 f'(x)0,得 x b或 x旦上33因?yàn)閍 b經(jīng)_b都在集合 3,1,3中，且a b , ''3所以 2a_b 1,a 3,b3.3此時(shí) f(x) (x 3)(x 3)2, f'(x) 3(x 3)(x 1).令f'(x) 0,得x 3或x 1 .列表如下：x(,3)3(3,1)1(1,)f'(x)+。一。+f(x)Z極大值極小值Z所以f(

12、x)的極小值為f(1) (1 3)(1 3)232 .32(3)因?yàn)?a 0,c 1,所以 f(x) x(x b)(x 1) x (b 1)x bx,- 2一f'(x)3x2(b 1)x b .因?yàn)?0 b 1 ,所以 4(b 1)2 12b (2b 1)2 3 0,則f'(x)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，設(shè)為 ?2 x1 x2 .由 f' (x) 0 ,得 x1b 1, b b 1 bi . b b 1,X2列表如下:X(,Xi)XiXi,X2X2(X2,)f'(x)+0一0+f(x)Z極大值極小值Z所以f(x)的極大值M f解法一 ：Mf X13Xi(b 1)X2bx

13、i23xi2 2(b1)XibXi2 b2 b 1Xib(b 1)922 b2 b1 (b1)b(b 1)273，- 3一 b2 b 127b(b 1)2722(b 1)2(b271)27( . b(b 1) 1)3b(b 1)272274.因此27M 27解法二：因?yàn)?b 1 ,所以 x,(0,1).當(dāng) x (0,1)時(shí),-2f (x) x(x b)(x 1) x(x 1).1)-21令 g(x) x(x D,x (0，1),則 g(x) 3 x 3 (x1令g'(x) 0,得X .列表如下:3X1 (0,3)131(3J)g'(x)+0一g(x)Z極大值1-所以當(dāng)x 一時(shí)，

14、g(x)取得極大值，且是最大值，故g(x) max g427所以當(dāng)x (0,1)時(shí)，f(x)4-g(x) 一，因此 M271 37.解析：(I)由 f(x) -x 42一-x x ,得 f '(x)4273 2x42x3令 f '(x)1 ,即 3x2 2x4又 f (0)880, f(-), 327所以曲線y f(x)的斜率為的切線方程是82764即y x與y x 272,4 .(II)令 g(x)1 3由 g(x) 4x2 .一x 得 g(x)令g '(x) 0得x 0或x3 2-x2 2x.48.3x-22,000,8 38334 34g'(x)+-+g(

15、x)-6Z06427Z0g '(x), g(x)隨x的變化情況如表所示所以g(x)的最小值為-6,最大值為0,所以6由(II)知,(III )g(x) 0 ,即 x 6 f (x) x .3時(shí),3;3時(shí),3.3時(shí),綜上,a最小時(shí),3.x8.解析'(x) e (cosx Sin x).因此， 當(dāng)5x 2k,2k(k Z)時(shí)，有 sin x cosx，得 f x 0 ,則 f x 單倜遞減;44.3當(dāng) x 2k ，2k (k Z)時(shí)，有 sinx cosx,得 f'x 0 ,則 f x 單調(diào)遞443所以，f x的單倜遞增區(qū)間為2k ，2k (k Z), f (x)的單調(diào)遞減

16、區(qū)間為4452k -,2k 一 (k Z).44(n)記 h(x)f(x)g(x)-xx .依題意及(I)，有 g(x) e (cosx sin x),從而g'(x) 2exsin x.g(x)( 1)g'(x) 2 x0.當(dāng) x 4,2 時(shí)，g'x 0,故 h'(x) f '(x) g '(x) x 2因此，h x在區(qū)間 一，一上單調(diào)遞減，進(jìn)而 h(x)h f 0.4 222所以，當(dāng) x ,-時(shí)，f (x) g(x) x 0. 4 22(出)依題意，u xnf xn1 0,即 ex1 cos xn 1.記 y xn 2n ,則 yn-,-,且

17、fyneyn cosyn e" 2 n cos xn2n e2n n N .由 fyne2n , 1f y0 及(i),得 yny0.由(n)知，當(dāng) x ， 時(shí)，g' x 0 ,所以g x在 一, 上為減函數(shù)，因此 4 24 2g yn , g y00.又由(n)知,f yng yn所以,yn蒯2nynynxn2n e2n eg yn2n eg y。2ney0e 0 sin y0 cos y02nesin x0 cos x0sin x0 cosx02010-2018 年1. A所以f(x)_ 2_ x 1_f(x) x(a 2)xa 1e, f( 2)令 f (x)0,解得x

18、 2或x 1 ,所以當(dāng)x (2)，f (x)0, f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(2,1)時(shí)，f (x) 0, f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)(1,),f (x) 0, f(x)(x" ,_.1 .f (1) 4 e 0 , f (2) 8 e 0,所以存在x0 (0,一)是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),2即函數(shù)f (x)在(0,刈)上單調(diào)遞減，在(x0,2)上單調(diào)遞增，且該函數(shù)為偶函數(shù)，符合條件的圖像為D.4. B【解析】(解法一)m 2時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為 xS8 .據(jù)題意，當(dāng) m 2時(shí),m 2 x 1)ex 1, f (x) (x2 x 2)ex 1單調(diào)遞增，所以f(x)的極小值為f(1) (1 1

19、1)e1 1增，排除A、C;D符合，選D.2. D【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，y f(x)的單調(diào)性是減由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，y f(x)的極值點(diǎn)一負(fù)兩正，所以2 xx3. D【解析】當(dāng)x? 0時(shí)，令函數(shù)f (x) 2x e ,則f (x) 4x e ,易知f (x)在0,In 4)上單調(diào)遞增，在In 4,2上單調(diào)遞減，又f (0)1 0 , f (-) 2 Ve 0,22m n且2 即 2m n 12 . Q J2m n n 6 mn 18 .由22m n 12 得 m 3,n 6.當(dāng)m 2時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，據(jù)題意得,即 m 2n 18. Q 72m-n2m n 八81,9 mn .由222n

20、 m且 m2n 18 得m 9 2,故應(yīng)舍去.要使得mn取得最大值，應(yīng)有m 2n18 (m 2,n8).所以mn (18 2n)n(18 2 8) 8 16 ,所以最大值為18.選B.(解法二)由已知得f (x) (m 2)x n 8,對(duì)任意的 xJ-,2 , f (x) w 0,所所示,1、一(一)w 0(2)，即(x)< 0m > 0,n > 0m 2n< 18 .畫出該不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分2mn0 2令mn t,則當(dāng)n = 0時(shí),t=0,當(dāng)n 0時(shí)，m -,由線性規(guī)劃的相關(guān)知識(shí)，只有n當(dāng)直線2m n12與曲線tt2m = -相切時(shí)，t取得取大值，由

21、n八19 - nt = 18 ,所以(mn)max 18,選 B.一f(x)5. A【解析】令h(x) = -(-7,因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以xxf (x) f (x)h (x) a ,當(dāng)-> 0 時(shí),xh(x)為偶函數(shù)，由于上單調(diào)遞減，根據(jù)對(duì)稱性 h(x)在(數(shù)形結(jié)合可知，使得f (x) >0成立的6. D【解析】由題意可知存在唯一的整數(shù)xf '(x) f (x),0)上單調(diào)遞增,x的取值范圍是xo,使得 ex5 (2x00,所以 h(x)在(0,)f( 1)1) ax00, f(1) = 0,g(x) ex(2x 1), h(x) ax a,由 g (x) ex(2x

22、 一，1、1),可知 g(x)在(，-)上單調(diào)遞減，在(g(x)與h(x)的大致圖象如圖所示,)上單調(diào)遞增，作出故hg(0), h( 1)<g( 1)7. D【解析】一f (x) kxf (x) k f (x)在(1,)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x 1一 、.1 一時(shí)，f (x) k 一 方0恒成立, x1 ，,k>-在(1,)上恒成立,8. A【解析】法c1/0 1,所以k> 1,故選D.x由題意可知，該三次函數(shù)滿足以下條件:過(guò)點(diǎn)(0, 0), (2, 0),在(0,0)處的切線方程為y x,在(2,0)處的切線方程為y3x6,以此對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn).A、一1 Q選項(xiàng)，y x32x ,顯

23、然過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)，又 y則 y |x 01, y |x 23,故條件都滿足,由選擇題的特點(diǎn)知應(yīng)選法二設(shè)該三次函數(shù)為_(kāi)32f (x) ax bx23ax 2bx cf(0)f (2)由題設(shè)有f (0)f (2)2,b故該函數(shù)的解析式為9. C【解析】由正弦型函數(shù)的圖象可知:x的極值點(diǎn)x0滿足f (x0)33 ,2k (k Z),從而得2x0-1、(k )m(k Z).所以不等式 2x2 3 1fx0 2 m2,即為(k 2)2其中k一，21Z.由題意，存在整數(shù) k使得不等式m21 (k -) 3成立.12當(dāng)k 1且k 0時(shí)，必有(k -)2 1,此時(shí)不等式顯然不能成立，23 c故k 1或k 0,此時(shí)

24、，不等式即為 3m2 3,解得m 2或m 2.410.A【解析】設(shè)所求函數(shù)解析式為y f(x),由題意知f(5)2, f( 5)2,且f ( 5) 0,代入驗(yàn)證易得 yC【解析】當(dāng)x (0,1時(shí)，得a A13x1253(-)3x3x符合題意, 5,1、214()2 ,令 tx x1, it x1,a > 3t3 4t2 t ,令 g(t) 3t3 4t2 t , t 1,),9t2 8t 1 (t 1)(9t 1),顯然在1,)上，g t 0,g(t)單調(diào)遞減，所以g(t)max g(1)6< a< 2 .同理，當(dāng)x 2,0)時(shí)，得a0 2.由以上兩種情況得顯然當(dāng)x 0時(shí)也成

25、立，故實(shí)數(shù) a的取值范圍為6, 2.xx 1.12. C【解析】設(shè)f(x) e ln x ,則f (x) e 一，故f (x)在(0,1)上有一個(gè)極值點(diǎn)， x即f(x)在(0,1)上不是單調(diào)函數(shù)，無(wú)法判斷f(x1)與“*2)的大小，故A、B錯(cuò)；構(gòu)造exex(x 1)函數(shù)g(x) , g (x) 一故g(x)在(0,1)上單倜遞減，所以g X g x2 , xx選C.2a .23213. 【解析】B 當(dāng)a 0,可得圖象 D；記f(x) ax x ，g(x) a x 2ax2一1 一 .、1 . 2 1一 一 2 一x a(a R),取 a - , f (x) - (x 1)4,令 g(x) 0,

26、得 x 易知，一，-1、1 一 ，八g(x)的極小值為g(2) 2,又f(2)所以g(2)f(2),所以圖象A有可能；同理取a 2,可得圖象C有可能；利用排除法可知選B .3214. C【解析】右c 0則有f (0)0,所以A正確.由f (x) x ax bx c得3232f(x) c x ax bx,因?yàn)楹瘮?shù)y x ax bx的對(duì)稱中心為(0,0),所以f(x) x3 ax2 bx c的對(duì)稱中心為(0, c),所以B正確.由三次函數(shù)的圖象可 知，若Xo是f(X)的極小值點(diǎn)，則極大值點(diǎn)在Xo的左側(cè)，所以函數(shù)在區(qū)間(，%)單調(diào) 遞減是錯(cuò)誤的，D正確.選C.15. A【解析】法一：由題意可得，yo

27、 sin Xo 1,1,而由 f(x) Jex x a 可知 yo 0,1, 當(dāng)a O時(shí)，f(x) = JeX x為增函數(shù), yo O,1時(shí)，f(xo) 1,Ve-7. f(f(y0)G 1.不存在 yo o,1使 f (f (yo) yo成立，故 B, D 錯(cuò)；當(dāng) a e 1 時(shí)，f (x) = jex_xe 1 ,當(dāng)yo o,1時(shí)，只有yo 1時(shí)f(x)才有意義，而f(1) o, f(f(1) f(o),顯然無(wú)意義，故 C錯(cuò).故選A.法二：顯然，函數(shù) f (x)是增函數(shù)，f (x) > o ,從而以題意知 yo o,1.于是,只能有f (yo)yo .不然的話，若f (yo)y0,得

28、 f(f(y。)f(yo)yo,與條件矛盾；若f (yo)yo,得f (f ( yo)f (yo) yo,與條件矛盾.于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f (t) t在o,1上有解.由 t VettI,得 t2 et t a ,分離變量，得 a g(t) et t2 t , t 0,1 因?yàn)?g (t) et 2t 1 0 , t 0,1, 所以，函數(shù)g(t)在0,1上是增函數(shù)，于是有1 g(0) < g(t) < g(1) e , 即a 1,e,應(yīng)選A .16. D【解析】A.x R, f (x) f(x0),錯(cuò)誤.xo(xo 0)是f (x)的極大值點(diǎn)，并不是最大值點(diǎn)；B.xo是f ( x)的極

29、小值點(diǎn).錯(cuò)誤. f ( x)相當(dāng)于f(x)關(guān)于y軸的對(duì)稱圖像，故xo應(yīng)是f( x)的極大值點(diǎn)；C, xo是f(x)的極小值點(diǎn).錯(cuò)誤.f(x)相 當(dāng)于f (x)關(guān)于x軸的對(duì)稱圖像，故xo應(yīng)是f(x)的極小值點(diǎn).跟xo沒(méi)有關(guān)系；D. xo 是f( x)的極小值點(diǎn).正確. f( x)相當(dāng)于f (x)先關(guān)于y軸的對(duì)稱，再關(guān)于 x軸的對(duì)稱圖像.故D正確.一1 2.1 . 一 一一,一17. B【解析】: y xln x,，y x ，由y , 0 ,解得1 蒯x1,又 x 0,2x0 x, 1 故選 B.18. D【解析】f (x)xex, f (x) ex(x 1), ex 0 恒成立，令 f (x)

30、0 ,貝U x當(dāng)x 1時(shí)，f (x) 0,函數(shù)單調(diào)減，當(dāng)x1時(shí)，f (x) 0,函數(shù)單調(diào)增,0)不妨令 h(x) x2 ln x ,2 ，一2，因 x (0, -)時(shí)，h (x) 0 ,2x -1時(shí)，|MN |達(dá)到最小.2b, f (x) 3x a ,當(dāng) a 0 時(shí)，f (x) 0 ,則f(x)在R上單調(diào)遞增函數(shù)，此時(shí) x3ax b 0僅有一個(gè)實(shí)根，所以(4)(5)對(duì);則x 1為f (x)的極小值點(diǎn)，故選 D.219. D【解析】f (x) 12x 2ax 2b,由 f (1) 0,即 12 2a 2b 0,a b. 2得a b 6.由a 0 , b 0,所以ab0()9,當(dāng)且僅當(dāng)a b 3時(shí)

31、取等號(hào).選D.20. D【解析】若x 1為函數(shù)f (x)ex的一個(gè)極值點(diǎn)，則易知 a c, 選項(xiàng)A, B的函數(shù)為 f(x) a(x 1)2, . f (x)ex f (x) f(x)ex a(x 1)(x 3)ex,b -x 1為函數(shù)f (x)ex的一個(gè)極值點(diǎn)滿足條件；選項(xiàng) C中，對(duì)稱軸x 0,2a且開(kāi)口向下，a 0,b 0, f( 1) 2a b 0,也滿足條件；b選項(xiàng)D中，對(duì)稱軸x 0,且開(kāi)口向上，a 0,b 2a ,2a. f ( 1) 2a b 0,與題圖矛盾，故選 D.21. D【解析】由題| MN | x2 ln x , (x1,一則 h'(x) 2x 一，令 h'

32、(x) 0解得 x x,3 當(dāng)x (,)時(shí)，h'(x) 0,所以當(dāng)2J即t -.2當(dāng)a 3時(shí)，由f (x) 3x2 3 0得1 x 1,所以x 1是f(x)的極小值點(diǎn).由f(1) 0,得13 3 1 b 0,即b 2,(3)對(duì).x 1是f(x)的極大值點(diǎn)，由 f ( 1) 0 ,得(1)3 3 ( 1) b 0 ,即 b 2 , (1)對(duì).23.【解析】(1)設(shè)x1> x2 ,函數(shù)2x單調(diào)遞增，所有2x1 >2x2 ,為-溝>0,則m “文小至一所以正確;x1 x2x1 - x222g(x1)-g(x2) x1 - x2 +a(x1-x2)(2)設(shè) x1 > x

33、2，貝U x1 x2 0 ,貝U n =x1 - x2x1 - x2(x1 - x2)(x1 + x2 +a)= = x1+x2+a ,可令 x1 =1, x2=2, a 4,為-x2則n 10,所以錯(cuò)誤；f(x1) f(x2)(3)因?yàn)閙 = n，由(2)得： x1 x2 a ,分母乘到右邊，x x2右邊即為g(x1) g(x2),所以原等式即為 f(x1) f(x2) = g(x1) g(x2),即為 f(x1) g(x2)= f (x) g(x2),令 h(x) f(x) g(x),則原題意轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意的a,函數(shù)h(x) f(x) g(x)存在不相等的實(shí)數(shù) x1,x2 使得函數(shù)值相等，

34、h(x) 2x x2 ax,則 h (x) 2x In 2 2x a ,x則h (x) 2 (ln 2) 2 ,令h (x0) 0 ,且1刈2 ,可得h (x0)為極小值.若a 10000 ,則h (Xo) 0 ,即h (x0) 0 , h(x)單調(diào)遞增，不滿足題意，所以錯(cuò)誤.(4)由得 f (Xi) f(X2) = g(X1)g(X2),則 f(x1)g(x1) g(X2) f (X2),設(shè)h(x) f(x) g(x),有Xi, X2使其函數(shù)值相等，則 h(x)不恒為單調(diào).h(x) 2x x2 ax , h (x) 2x ln 2 2x a , h (x) 2x ln 2 2 2 0恒成立，

35、h(x)單調(diào)遞增且h( ) 0, h( ) 0 .所以h(x)先減后增，滿足題意，所以正確.24. 4【解析】當(dāng) 0<x01 時(shí)，f(x) = -lnx, g(x)=0,此時(shí)方程 | f (x) + g(x) |=111即為lnx = 1或lnx = -1,故* = e或乂 =,此時(shí)x =-符合題意，萬(wàn)程有一個(gè)實(shí)根.ee當(dāng) 1<x<2時(shí)，f (x) = lnx , g(x) =4- x2 - 2 = 2 - x2 ,方程 | f (x) + g(x)|=1即為 In x + 2- x2=1 或 lnx + 2-x2 = -1,即 lnx+1-x2 = 0 或 lnx + 3-

36、x2 = 0,人2Q 12令 y = ln x + 1- x ,則 y& - - 2x < 0 ,函數(shù) y = ln x +1 - x 在 x? (1,2)上單倜遞減， x且 x=1 時(shí) y = 0,所以當(dāng) 1< x < 2 時(shí)，方程 ln x +1 - x2 = 0 無(wú)解；令 y = ln x + 3- x2 ,12則 y - 2x < 0 ,函數(shù) y = lnx + 3- x 在 x? (1,2)上單倜遞減，且 x = 1 時(shí) y = 2 >0 , xx = 2時(shí)y = ln2-1<0,所以當(dāng)1<x<2時(shí)，方程ln x + 3- x2

37、 = 0有一個(gè)實(shí)根.2-2當(dāng) x>2時(shí)，f (x) = ln x , g(x) = x - 6,方程 | f (x) + g(x) |= 1 即為 ln x + x -6 = 1或 lnx + x2-6 = -1,即 lnx + x2-7 = 0 或 lnx + x2-5 = 0,令 y = lnx + x2-7,一 “12則y + 2x > 0 ,函數(shù)y = ln x + x - 7在x? 2, ?)上單調(diào)遞增，且 x = 2時(shí) xy = ln2-3<0, x=3 時(shí) y = ln3+2>0,所以當(dāng) x> 2 時(shí)方程 ln x + x2 - 7 = 0有1個(gè)實(shí)根

38、；同理lnx+x2- 5 = 0在x? 2, ?)有1個(gè)實(shí)根.故方程| f (x) g(x) | 1實(shí)根的個(gè)數(shù)為4個(gè).225. 2【解析】由題意 f (x) 3x 6x 3x( x 2),令f(x) 0得x 0或x 2 .因 x 0或 x 2 時(shí)，f (x) 0, 0 x 2時(shí)，f (x) 0 .x 2時(shí)f(x)取得極小值.一 1 .1 a x2 ax 126【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)?0,), f(x) 1 -2一 .x x x(i)若 a02,則 f (x) w 0 ,當(dāng)且僅當(dāng) a 2,x 1 時(shí) f (x) 0,所以 f(x)在(0,單調(diào)遞減.(ii)若 a 2,令 f(x) 0得

39、，x a-a-4 或x a 'a' 4 .f (x) 0;(0, a 舟 4)U(a 4 f,)時(shí),22a 3a2 4a .a24、一)時(shí)，f (x)a . a2 40.所以 f (x)在(0, 2a(一,a 4 ,)單調(diào)遞減，在(a 'a 4224 、,4)單調(diào)遞增.(2)由(1)知，f (x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a2.由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x2滿足x2 ax0,所以x1x21 ,不妨設(shè)X1x2 ，則x2 1 ,由于f(x,) f(x2)X x2x#2ln x,ln x2axx2ln x1aln x2x1x22lna又2所以 f(X1) f(X2)一一 12 等價(jià)

40、于 一 x2 2ln x20 .xx2x2、一1設(shè)函數(shù)g(x) x由(1)知，g(x)在(0,)單調(diào)遞減,g(1) 0 ,從而當(dāng)x (1,)時(shí),g(x) 0.1所以x22lnx2f(x1)fd)x x227.【解析】(1)當(dāng)a 1時(shí),f (x) > 1等價(jià)于(x21)e x設(shè)函數(shù)g (x) (x21)ex 1,則 g'(x)(x2 2x1)ex (x2 x1) e當(dāng) x 1 時(shí)，g'(x)0,所以g(x)在(0,)單調(diào)遞減.而g(0) 0,故當(dāng)x0時(shí)，g(x)< 0,即 f (x) > 1 .(2)設(shè)函數(shù)h(x) 12 x ax ef (x)在(0,)只有一個(gè)

41、零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0,)只有一個(gè)零點(diǎn).(i)當(dāng)a00時(shí)，h(x) 0, h(x)沒(méi)有零點(diǎn);x)當(dāng) a 0時(shí)，h(x) ax(x 2)e當(dāng) x (0,2)時(shí)，h'(x) 0；當(dāng) x (2,)時(shí)，h'(x) 0 .所以h(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,)單調(diào)遞增.故 h(2) 14a 1,丁是 h(x)在0, e)的最小值.若h(2)0,2e,一， h(x)在(0,4若h(2)0,2e -7，h(x)在(0, 4)只有一個(gè)零點(diǎn);若h(2)0,2e ,一,由于h(0)4h(x)在(0,2)有一個(gè)零點(diǎn)由(1)知，當(dāng)0時(shí),所以h(4a)16a34ae彳 16a31( 2a 2(

42、e )16a3(2a)4故h(x)在(2,4 a)有一個(gè)零點(diǎn),因此h(x)在(0,)有兩個(gè)零點(diǎn).2一 .一一 . e綜上，f(x)在(0,)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a .428【解析】(1)當(dāng) a 0時(shí)，f (x) (2 x)ln(1 x) 2x, f (x) ln(1 x)xx設(shè)函數(shù) g(x) f (x) ln(1 x) 上，則 g(x) 1 x(1 x)當(dāng) 1 x 0 時(shí)，g (x) 0；當(dāng) x 0 時(shí)，g (x) 0.故當(dāng)x 1時(shí)，g(x) > g(0) 0,且僅當(dāng)x 0時(shí)，g(x) 0,從而f僅當(dāng)x 0時(shí)，f (x) 0.所以f(x)在(1,)單調(diào)遞增.又 f(0) 0,故當(dāng) 1 x 0

43、 時(shí)，f (x) 0；當(dāng) x 0 時(shí)，f(x) 0 .(2) (i)若 a>0 ,由(1)知，當(dāng) x 0時(shí)，f (x) > (2 x)ln(1 x) 2x這與x 0是f (x)的極大值點(diǎn)矛盾.(ii)若 a 0,設(shè)函數(shù) h(x) 但丁 ln(1 x) 2x-.2 x ax2 x ax由于當(dāng)|x| min1-L時(shí)，2 x ax2 0 ,故h(x)與f (x)符號(hào)相同. |a|又h(0) f(0) 0 ,故x 0是f (x)的極大值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng) x 0是h(x)的極大值點(diǎn)._2_22 2-、12(2 x ax ) 2x(1 2ax) x (a x 4ax 6a 1)h(x)2-221 x

44、(2 x ax )(x 1)(ax x 2)如果 6a 1 0 ,則當(dāng) 0 x6a-1,且 |x| min1,J-1時(shí)，h (x) 0 ,4a|a|故x 0不是h(x)的極大值點(diǎn).如果 6a 1 0,則 a2x2 4ax 6a 1 0存在根 x1 0,故當(dāng)x (為,0),且|x| min1時(shí)，h (x) 0 ,所以x 0不是h(x)的極大值 .|a|點(diǎn).3 ,如果 6a 1 0,則 h(x) x (x 24)則當(dāng) x ( 1,0)時(shí)，h(x) 0；(x 1)(x2 6x 12)2當(dāng)x (0,1)時(shí)，h (x) 0 .所以x 0是h(x)的極大值點(diǎn)，從而x 0是f(x)的極大值點(diǎn)1綜上，a .

45、629【解析】(1)因?yàn)?f(x) ax2 (4a 1)x 4a 3ex,所以 f (x) 2ax (4a 1)ex ax2 (4a 1)x 4a 3ex (x R)= ax2 (2 a 1)x 2ex.f (1) (1 a)e.由題設(shè)知f (1) 0,即(1 a)e 0,解得a 1 .此時(shí) f(1) 3e 0 .所以a的值為1.(2)由得 f (x) ax2 (2a 1)x 2ex (ax 1)(x 2)ex.1 _1,右 a ,則當(dāng) x (,2)時(shí)，f (x) 0;2 a當(dāng) x (2,)時(shí)，f (x) 0.所以f(x) 0在x 2處取得極小值.41一一一一 ，1. 一右a05，則當(dāng) x (

46、0,2)時(shí)，x 2 0, ax 1 < -x 1 0,所以f (x) 0 .所以2不是f (x)的極小值點(diǎn).綜上可知，a的取值范圍是(1,).2xx30.【解析】(1)由已知，h(x) a xlna,有 h(x) a ln a In a .令h (x) 0 ,解得x 0 .由a 1 ,可知當(dāng)x變化時(shí)，h (x) , h(x)的變化情況如下表:x(,0)0(0,)h (x)0+h(x)極小值Z所以函數(shù)h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間(，0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,).(2)證明:由f (x) axlna,可得曲線y f (x)在點(diǎn)(x, f (x1)處的切線斜率為x.1a In a .由g (x) ,

47、可得曲線y g(x)在點(diǎn)(x2, g(x2)處的切線斜率為xln a1一.因?yàn)檫@兩條切線平行，故有ax11n a 1一，即x2ax1(1n a)2x2 ln ax2 In a兩邊取以a為底的對(duì)數(shù)，得log a x2 x1 2log a In a0 ,所以 x1g (x2)21n In aIn a證明：曲線y f (x)在點(diǎn)(x，a")處的切線l1 ： y4x11/a a In a (x曲線 y g(x)在點(diǎn)(X2,log a X2)處的切線 I2 ： y lOgaX21x2 ln a(x1要證明當(dāng)aee時(shí)，存在直線l,使l是曲線y f(x)的切線，也是曲線 y g(x)的i切線，只需

48、證明當(dāng)aee時(shí)，存在x1 (,) , x2 (0,),使得li和12重合.1_1a 減，又 u(0) 1 0, u() 1 a(lna) 0,(lna)故存在唯一的 x0,且 x0 0 ,使得 u (x0)0 ,即 1 (ln a)2x0a"0 .由此可得u(x)在(，)上單調(diào)遞增，在(x°,)上單調(diào)遞減.u(x)在x %處取得極大值u(xO). ln a 即只需證明當(dāng)a > ee時(shí)，方程組x2 ln a有解，1 公a xa lna loga x2 ln a1 .由得x2 不 2 ,代入,a (ln a)1因此，只需證明當(dāng) a nee時(shí)，關(guān)設(shè)函數(shù) u(x) ax xa

49、xln a x1即要證明當(dāng)aee時(shí)，函數(shù)y2 x 一 Ju (x) 1 (ln a) xa ,可知 x得 a為 x1ax1 ln a x1于x1的方程有實(shí)數(shù)解.1 2ln ln a ln a ln au(x)存在零點(diǎn).(,0)時(shí)，u(x) 0；1 2ln ln a0. dln a ln ax (0,)時(shí)，u(x)單調(diào)遞因?yàn)?a > ee ,故 ln(ln a) >所以 u(x0)a"x0ax0 ln a1：Jx0x0(ln a)1 ,1 2ln ln a% - ln a ln a2ln ln a 2 2ln ln a>> 0.ln aln a卜面證明存在實(shí)數(shù)t

50、,使得u(t) 0 .由(1)可得 ax > 1 x ln a ,-1當(dāng)x 時(shí),In a有 u(x)&(1 xlna)(1xln a)(ln a)2x2x 11In a1 x In a2ln In aIn a2ln In aIn a所以存在實(shí)數(shù)t,使得u(t) 01因此，當(dāng)a > ee時(shí)，存在為(i所以，當(dāng)a > ee時(shí)，存在直線l ,),使得 u(Xi) 0.使l是曲線y f(x)的切線，也是曲線 y g(x)的切線.31.【解析】(1)函數(shù)f (x) x , g(x)x2 2x 2 ,貝U f (x) 1, g (x) 2x 2 .由 f (x)g(x)且 f (x)2 x x g (x)，得1 2x2x 2、一,此方程組無(wú)解,2因此，f(x)與g(x)不存在S點(diǎn)2(2)函數(shù) f (x) ax 1 , g(x)