第七章第1節(jié)向量極其線性運(yùn)算2.ppt課件

1、1向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算第一節(jié)第一節(jié)一、空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系二、向量及其運(yùn)算二、向量及其運(yùn)算三、向量的坐標(biāo)三、向量的坐標(biāo)四、小結(jié)四、小結(jié)21 1、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)平面直角坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)系xyoP),(yxxyP點(diǎn)點(diǎn)),(yx圖形圖形方程方程.面面幾幾何何問問題題可可以以用用代代數(shù)數(shù)方方法法解解決決平平:問題問題?數(shù)數(shù)方方法法解解決決空空間間幾幾何何問問題題能能否否用用代代一、空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系3x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點(diǎn)定點(diǎn)o空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 三個坐標(biāo)軸的正方向三個坐標(biāo)軸的正方向符合右手系符合右手系.即即以以右右手

2、手握握住住z軸軸，當(dāng)當(dāng)右右手手的的四四個個手手指指從從正正向向x軸軸以以2 角角 度度轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)向向正正向向y軸軸時時，大大拇拇指指的的指指向向就就是是z軸軸的的正正向向. 幾個基本概念幾個基本概念空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系) 1 (4xyozxoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限坐標(biāo)面及卦限坐標(biāo)面及卦限)2(5坐標(biāo)坐標(biāo))3(,P對于空間點(diǎn)對于空間點(diǎn)xyzoP與與三三坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸交交于于軸軸的的平平面面點(diǎn)點(diǎn)作作垂垂直直于于三三個個坐坐標(biāo)標(biāo)過過,P,點(diǎn)點(diǎn)zyxxzy),(zyxP11,),(點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)為為稱稱Pzyx,為為橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)x,為為縱縱坐坐

3、標(biāo)標(biāo)y.為為豎豎坐坐標(biāo)標(biāo)z顯顯然然),0 , 0 , 0(O)0 , 0 ,(xAAB),0 , 0(yBC)., 0 , 0(zC62 2、空間兩點(diǎn)間的距離、空間兩點(diǎn)間的距離到原點(diǎn)的距離到原點(diǎn)的距離點(diǎn)點(diǎn)),() 1 (zyxPxyzo),(zyxPABCQ222QPOQOp222zOCQP而而222AQOAOQ22OBx 22yx ,2222zyxOP222zyxOP即即7設(shè)設(shè)),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點(diǎn)點(diǎn)xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知22212NMNMd(2)

4、(2)、空間兩點(diǎn)間的距離、空間兩點(diǎn)間的距離,22221NMPNPM8,121xxPM,12yyPN ,122zzNM ，故故22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空間兩點(diǎn)間距離公式空間兩點(diǎn)間距離公式特殊地：若兩點(diǎn)分別為特殊地：若兩點(diǎn)分別為,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M9例例 1 1 求證以求證以)1 , 3 , 4(1M、)2 , 1 , 7(2M、)3 , 2 , 5(3M三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個等腰三角形三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個等腰三角形.解解 221MM,14)12()31()47(222 232

5、MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6)31()23()54(222 32MM故故,13MM原結(jié)論成立原結(jié)論成立.10向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M為為起起點(diǎn)點(diǎn)，2M為為終終點(diǎn)點(diǎn)的的有有向向線線段段.1M2M a21MM模為模為1 1的向量的向量. .21MM00a零向量：零向量：模為模為0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .單位向量：單位向量：1 1、向量的概念、向量的概念或或或或或或二、向量及其運(yùn)算二、向量及其運(yùn)算11自由向量：自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量不考慮

6、起點(diǎn)位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .負(fù)向量：負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向徑：向徑：aba a空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn) 與原點(diǎn)與原點(diǎn)構(gòu)成的向量構(gòu)成的向量. . OMM121 加法：加法：cba abc平行四邊形法則平行四邊形法則特殊地：假設(shè)特殊地：假設(shè)a babc|bac 分為同向和反向分為同向和反向bac|bac 三角形法則三角形法則2 2、向量的加減法、向量的加減法bac13向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1交換律：交換律：.abba （2 2結(jié)

7、合律：結(jié)合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa2 減法減法)( baba abcbabac )(ba ba ab14設(shè)設(shè) 是是一一個個數(shù)數(shù)，向向量量 a與與 的的乘乘積積 a 規(guī)規(guī)定定為為 , 0)1( a 與與a同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反反向向，|aa aa2a21 3 3、向量與數(shù)的乘法、向量與數(shù)的乘法15數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1結(jié)合律：結(jié)合律：)()(aa a)( （2 2分配律：分配律：aaa )(baba )(.ababa ，使，使一的實(shí)數(shù)一的實(shí)數(shù)分必要條件是：存在唯分必要條

8、件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量設(shè)向量設(shè)向量定理定理0兩個向量的共線兩個向量的共線(平行平行)關(guān)系關(guān)系16同方向的單位向量，同方向的單位向量，表示與非零向量表示與非零向量設(shè)設(shè)aa0按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，0|aa a .|0aaa 上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向量同方向的單位向量一個與原向量同方向的單位向量.17例例 2 2 化化簡簡53215abbba解解53215abbbaba551251)31 (.252ba18例例 3 3 試用向量方法證明：對角線互相平分試用向量方法證明：對角線

9、互相平分的四邊形必是平行四邊形的四邊形必是平行四邊形. .證證AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD與與 平行且相等平行且相等,BC結(jié)論得證結(jié)論得證.ABCDM191 1、向量在軸上的投影與投影定理、向量在軸上的投影與投影定理.上的有向線段上的有向線段是軸是軸，設(shè)有一軸設(shè)有一軸uABuuAB.ABABABuuABuABAB ，即，即的值，記作的值，記作上有向線段上有向線段叫做軸叫做軸那末數(shù)那末數(shù)是負(fù)的，是負(fù)的，軸反向時軸反向時與與是正的，當(dāng)是正的，當(dāng)向時向時軸同軸同與與，且當(dāng)，且當(dāng)滿足滿足如果數(shù)如果數(shù)三、向量的坐標(biāo)三、向量的坐標(biāo)20ouAB1軸軸同同方方向向的的單單位位向向量

10、量，是是與與設(shè)設(shè)ue.)(eABAB 的相互位置如何，的相互位置如何，三點(diǎn)三點(diǎn)軸上任意三點(diǎn)，不論這軸上任意三點(diǎn)，不論這是是設(shè)設(shè)uCBA,eBCeABeAC)()()( 即即,)(eBCAB .BCABAC所所以以e,BCABAC因因?yàn)闉?1證證,1uOA ,1euOA 故故eueu12 .)(12euu ouAB1e1u2u,2euOB 同理，同理，OAOBAB 于是于是22空間兩向量的夾角的概念：空間兩向量的夾角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a與與向向量量b的的夾夾角角),(ba ),(ab 類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.特殊地

11、，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在它們的夾角可在0與與 之間任意取值之間任意取值. 0() 23空間一點(diǎn)在軸上的投影空間一點(diǎn)在軸上的投影u AA 過過點(diǎn)點(diǎn)A作作軸軸 u的的垂垂直直平平面面，交交點(diǎn)點(diǎn)A 即即為為點(diǎn)點(diǎn)A在在軸軸 u上上的的投投影影. 24空間一向量在軸上的投影空間一向量在軸上的投影uAA BB 已知向量的起點(diǎn)已知向量的起點(diǎn)A和終點(diǎn)和終點(diǎn)B在在軸軸u上的投影分別為上的投影分別為BA ,那那么軸么軸u上的有向線段上的有向線段BA 的的值，稱為向量在軸值，稱為向量在軸u上的投影上的投影.25ABjuPr.BA 向向量量AB在在軸軸u

12、上上的的投投影影記記為為關(guān)于向量的投影定理關(guān)于向量的投影定理1 1） 向向量量AB在在軸軸u上上的的投投影影等等于于向向量量的的模模乘乘以以軸軸與與向向量量的的夾夾角角的的余余弦弦：ABjuPr cos| AB 證證uABA B B ABjuPrABju Pr cos| AB u 26定理定理1 1的說明：的說明：投影為正；投影為正；投影為負(fù)；投影為負(fù)；投影為零；投影為零；uabc(4) 相等向量在同一軸上投影相等；相等向量在同一軸上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 27關(guān)于向量的投影定理關(guān)于向量的投影定理2 2）兩兩個個向向量量的的和和在在軸軸上上的的投投影影等等于于兩兩個個

13、向向量量在在該該軸軸上上的的投投影影之之和和. .PrPr)(Pr2121ajajaajuuuAA BB CC （可推廣到有限多個）（可推廣到有限多個）u1a2a282 2、向量的坐標(biāo)表達(dá)式、向量的坐標(biāo)表達(dá)式標(biāo)標(biāo)表表達(dá)達(dá)式式、起起點(diǎn)點(diǎn)在在原原點(diǎn)點(diǎn)向向量量的的坐坐) 1 (xyzo基本單位向量基本單位向量ikijk),(,zyxPa終終點(diǎn)點(diǎn)為為為為起起點(diǎn)點(diǎn)在在原原點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)向向量量a),(zyxPjABCAO, i xBOj yCOkzQQAAOQOBOi xj yi xPOaPQQOCOQOkzj yi x29的向量的向量故起點(diǎn)在原點(diǎn)終點(diǎn)為故起點(diǎn)在原點(diǎn)終點(diǎn)為),(zyxPOPa 坐標(biāo)表達(dá)式坐標(biāo)表

14、達(dá)式kzj yi xa也可記為也可記為,zyxa 其其中中,在在三三坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸上上的的投投影影為為azyx,的的坐坐標(biāo)標(biāo)稱稱為為akzj yi x,.在在三三軸軸上上的的分分向向量量稱稱為為a顯然顯然,0 , 0 , 0O,0 , 0 , 1i,0 , 1 , 0j.1 , 0 , 0k30任一向量的坐標(biāo)表達(dá)式任一向量的坐標(biāo)表達(dá)式)2(,),(為為起起點(diǎn)點(diǎn)是是以以設(shè)設(shè)111zyxABAa為終點(diǎn)的向量為終點(diǎn)的向量以以),(222zyxBxyzoABaABa OAOB)(kzjyix222)(kzjyix111kzzjyyixx)()()(121212,121212zzyyxxa即即31(3)、

15、向量運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式、向量運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 325例例,4 , 5 , 1,3 , 2, 1ba已已知知.32ba求求解解 ba324 , 5 , 133 , 2, 1212,15, 36 , 4, 2.6,19, 133非零向量非零向量 的方向角：的方向角：a非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角. . 、

16、、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 3.3.向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式34xyzo 1M 2M 由圖分析可知由圖分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向方向余弦通常用來表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模長的坐標(biāo)表示式向量模長的坐標(biāo)表示式21212121RMQMPMMM ,21zyxaaaaMM設(shè)設(shè)350222 zyxaaa當(dāng)當(dāng) 時，時，,cos222zyxxxaaaaaa ,cos222zyxyyaaaaaa .cos222zyxzzaaaaaa 向量方向

17、余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式361coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：單位向量的方向余弦為特殊地：單位向量的方向余弦為37解解 所求向量有兩個，一個與所求向量有兩個，一個與 同向，一個反向同向，一個反向a222)6(76|a,11 |aa ,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 0a38對角線的長為對角線的長為|,|,|nmnm ,1 , 1, 1 nm1, 3 , 1 nm|3,mn 故故|11,mn 平行四邊形的對角線的長度各為平行四邊形的對角線的長度各為11, 3.mn 設(shè)設(shè)jim ，kjn 2，求以向量，求以向量nm,為邊的平行四邊形的對角線的長度為邊的平行四邊形的對角線的長度. 例7例7解解39空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 空間兩點(diǎn)間距離公式空間兩點(diǎn)間距離公式（注意它與平面直角坐標(biāo)系的區(qū)別）（注意它與平面直角坐標(biāo)系的區(qū)別）（軸、面、卦限）（軸、面、卦限）四、小結(jié)四、小結(jié) 21221