第3章剛體的定軸轉(zhuǎn)動

1、剛體的基本運動可以分為平動和轉(zhuǎn)動，剛體的各種剛體的基本運動可以分為平動和轉(zhuǎn)動，剛體的各種復(fù)雜運動都可以看成是這兩種運動的合成。復(fù)雜運動都可以看成是這兩種運動的合成。剛體上所有質(zhì)點都繞同一直線做圓周運動。這剛體上所有質(zhì)點都繞同一直線做圓周運動。這種運動稱為剛體的種運動稱為剛體的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動。這條直線稱為。這條直線稱為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸。定軸轉(zhuǎn)動：定軸轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)軸固定不動的轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)軸固定不動的轉(zhuǎn)動。 1. 1.剛體上各個質(zhì)點都在作圓周運動，但各質(zhì)點圓周剛體上各個質(zhì)點都在作圓周運動，但各質(zhì)點圓周運動的半徑不一定相等。運動的半徑不一定相等。2.2.各質(zhì)點圓周運動的平面垂直于轉(zhuǎn)軸線，圓心在軸各質(zhì)點圓周運動的平面垂直于轉(zhuǎn)

2、軸線，圓心在軸線上，這個平面我們稱為轉(zhuǎn)動平面。線上，這個平面我們稱為轉(zhuǎn)動平面。 3. 3.各質(zhì)點的位矢在相同的時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度是相同的。各質(zhì)點的位矢在相同的時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度是相同的。1.1.角位移角位移-描寫剛體位置變化的物理量。描寫剛體位置變化的物理量。t t時刻時刻，質(zhì)點在質(zhì)點在P P點，點，角度的增量為：角度的增量為：稱為剛體的稱為剛體的角位移角位移t t+t t時刻，質(zhì)點到時刻，質(zhì)點到 ，pRp P單位：弧度，單位：弧度，rad大小大小: :矢量矢量方向：方向：表示了剛體在表示了剛體在t時間內(nèi)角位置變化的多少。時間內(nèi)角位置變化的多少。逆時針轉(zhuǎn)動為正值，逆時針轉(zhuǎn)動為正值， 瞬時針轉(zhuǎn)動為負(fù)

3、值。瞬時針轉(zhuǎn)動為負(fù)值。角度為角度為 ，角度為角度為 。xO但對于剛體定軸轉(zhuǎn)動角速度的方向只但對于剛體定軸轉(zhuǎn)動角速度的方向只有兩個，在表示角速度時只用角速度有兩個，在表示角速度時只用角速度的正負(fù)數(shù)值就可表示角速度的方向，的正負(fù)數(shù)值就可表示角速度的方向，不必用矢量表示。不必用矢量表示。方向：方向：（2）( (瞬時）角速度瞬時）角速度tt 0lim 角速度為角坐標(biāo)對時間的一次導(dǎo)數(shù)。角速度為角坐標(biāo)對時間的一次導(dǎo)數(shù)。dtd 角速度角速度矢量矢量滿足右手定則，沿剛體轉(zhuǎn)動方向滿足右手定則，沿剛體轉(zhuǎn)動方向右旋大拇指指向。右旋大拇指指向。大小：大?。篸td 單位：弧度單位：弧度/ /秒，秒，rad/s, 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/

4、 /分，分，r/minrad/s602r/min 1描寫角速度變化快慢和方向的物理量。描寫角速度變化快慢和方向的物理量。3.3.角加速度角加速度0limtt dtd 22dtd 角加速度為角速度對時間角加速度為角速度對時間 t 的一次導(dǎo)數(shù)，的一次導(dǎo)數(shù)，或為角坐標(biāo)對時間或為角坐標(biāo)對時間 t 的二次導(dǎo)數(shù)。的二次導(dǎo)數(shù)。 單位：單位： 弧度弧度/ /秒秒2，rad/s2, 矢量矢量大?。捍笮。?2dtd 0 0 方向：角速度變化的方向。方向：角速度變化的方向。轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動平動平動位移位移角位移角位移速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度 tdd ddt22ddt dtrdv rt dvda 22

5、t drd rv 2nra ra 常常數(shù)數(shù) 0常數(shù)0t22022012ttt 0atvv02021attvsasvv2202常數(shù)a力的大小與力臂乘積為力對轉(zhuǎn)軸的力矩。用力的大小與力臂乘積為力對轉(zhuǎn)軸的力矩。用 表示表示MMF dzPMFrd在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)F一一 力矩力矩FsinFrFrM sinFrF r 由由右手螺旋法則右手螺旋法則確定。確定。 方向垂至于方向垂至于 和和 所所構(gòu)成平面。構(gòu)成平面。MrF力矩的矢量表示力矩的矢量表示力矩大小力矩大?。毫胤较颍毫胤较颍簊inMrFoo0 ,180FrM 0 M合力矩合力矩 iMM方向以正負(fù)值代入。方向以正負(fù)值代入。0 F二、轉(zhuǎn)動定律二

6、、轉(zhuǎn)動定律iirF 從牛頓第二定律出發(fā)從牛頓第二定律出發(fā) iiiamF nFFF、21iiidFM zMFrd在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)FF iira 又有又有則則 iiiamF iirm iiirFM iiirrm 2iirm 剛體的總力矩為剛體的總力矩為 iMM總總 2iirm ）（ 2iirm JMJ 2iirm令令則有則有相當(dāng)于平動的牛頓第二定律相當(dāng)于平動的牛頓第二定律amF MJ即轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)量的地位和作用是一樣的即轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)量的地位和作用是一樣的三三 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量2iirmJ剛體的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體內(nèi)各質(zhì)點的質(zhì)量與其到剛體的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體內(nèi)各質(zhì)點的質(zhì)量與其到轉(zhuǎn)軸距離平方的乘積之

7、和。轉(zhuǎn)軸距離平方的乘積之和。度量剛體轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動慣性大小的物理量度量剛體轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動慣性大小的物理量標(biāo)量標(biāo)量 2iirmJ2mrJ mr d2 niiinrmJ12limdldmdsdm dVdm質(zhì)量為線分布質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布質(zhì)量為體分布其中其中 、 、 分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。質(zhì)量均勻分布且形狀以規(guī)則對稱的，可利用上面的質(zhì)量均勻分布且形狀以規(guī)則對稱的，可利用上面的公式計算轉(zhuǎn)動慣量，對于形狀復(fù)雜的剛體通常通過公式計算轉(zhuǎn)動慣量，對于形狀復(fù)雜的剛體通常通過實驗測得其轉(zhuǎn)動慣量。實驗測得其轉(zhuǎn)動慣量。 mdrJ2求解求解 的方法的

8、方法dm為質(zhì)量元，簡稱質(zhì)元。為質(zhì)量元，簡稱質(zhì)元。代入公式中求解代入公式中求解例例1：在無質(zhì)輕桿的：在無質(zhì)輕桿的 b 處處 和和3b 處各系質(zhì)量為處各系質(zhì)量為 2m 和和 m 的質(zhì)點，可繞的質(zhì)點，可繞 o 軸轉(zhuǎn)動，求：質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量軸轉(zhuǎn)動，求：質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量J。解：解： 由轉(zhuǎn)動慣量的定義由轉(zhuǎn)動慣量的定義221iiirmJ22)3(2bmmb211mb例例2 求長度為求長度為L，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒的均勻細(xì)棒AB的轉(zhuǎn)動慣量。的轉(zhuǎn)動慣量。（1）對于通過棒的中心與棒垂直的軸。）對于通過棒的中心與棒垂直的軸。 （2 2）對于通過棒的一端與棒垂直的軸。）對于通過棒的一端與棒垂直的軸。xoABdm

9、xdx2L2LC（1）細(xì)桿為線質(zhì)量分布，單位長度的質(zhì)量為：細(xì)桿為線質(zhì)量分布，單位長度的質(zhì)量為：lm（2）對于通過棒的一端的軸對于通過棒的一端的軸解：解：2/2/2LLcdmxJ2121mL3121L2/2/2LLdxxlAdmxJ02231mLLdxx02331LxoABdmxdxL平行軸定理平行軸定理上例中上例中JC表示相對通過質(zhì)心的軸的表示相對通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量，轉(zhuǎn)動慣量，JA表示相對通過棒端的表示相對通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量。兩軸平行，相距軸的轉(zhuǎn)動慣量。兩軸平行，相距L/2。2222CAmL31mL41mL1212LmJJ 推廣上述結(jié)論，可得平行軸定理。推廣上述結(jié)論，可得平行軸定理。定

10、理表述：剛體繞平行于質(zhì)心軸定理表述：剛體繞平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量 J，等于繞質(zhì)心軸的，等于繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 JC 加上剛體質(zhì)量與兩加上剛體質(zhì)量與兩軸間的距離平方的乘積。軸間的距離平方的乘積。JdmCJdC2mdJJC剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量最小。剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量最小。2)2(LmJJCA一個確定的剛體有確定的轉(zhuǎn)動慣量一個確定的剛體有確定的轉(zhuǎn)動慣量錯錯轉(zhuǎn)動慣量是可以加減的轉(zhuǎn)動慣量是可以加減的不同的轉(zhuǎn)軸所對應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量不可以加減，不同的轉(zhuǎn)軸所對應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量不可以加減，只有同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量才可以加減。只有同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量才可以加減。2iirmJ例例3：如圖所示剛體對經(jīng)過棒

11、端且與棒垂直的軸：如圖所示剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量如何計算？的轉(zhuǎn)動慣量如何計算？(棒長為棒長為L、圓半徑為、圓半徑為R）211LLm31J 2 2o oc cR Rm m2 21 1J J 2 20 0C CL L2 2d dm mJ JJ J2o2o2LR)(LmRm21Lm31 解：解：棒的轉(zhuǎn)動慣量棒的轉(zhuǎn)動慣量為為P以以P點為轉(zhuǎn)軸軸心點為轉(zhuǎn)軸軸心RLd 2o2oR)(LmRm21 L L2 2J J2L1LJJJ 圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為整個系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量整個系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量0 iF0 iM11TT 22TT 1a2a2321rmJ 21aa r3mgm3Ngm22T2

12、T 1T1T gm11a2a r3mgm3Ngm22T2T 1T1T gm1 JrTrT 21 raa 211111amTgm 2222amgmT 321212121)(mmmgmmaa 3213121121212mmmgmmgmmT 3213221221212mmmgmmgmmT :03 m2121212mmgmmTT cos2LmgM 231mLJ cosLg23 NmgdM d有有 JM 桿的力矩桿的力矩 Ldcos2 從圖中可以看出從圖中可以看出 t dddd dcosLgd23 00cos23dLgd dd mgLLg sin3 t dd cosLg23 把把 乘過去則有乘過去則有

13、d當(dāng)棒從水平位置向豎直方向轉(zhuǎn)動時，當(dāng)棒從水平位置向豎直方向轉(zhuǎn)動時， 如何變化？如何變化？ 、 角加速度角加速度 越變越小越變越小角速度角速度 越變越大越變越大 cos23Lg轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動平動平動位移位移角位移角位移速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度 tdd ddt22ddt dtrdv rt dvda 22t drd rv 2nra ra 牛二牛二amF 牛二牛二MJFrM MF dsinFr2iirmJ力矩力矩轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 bardFA222121abmvmv 21tttdF12vmvm 12pp 。OF:dt cosdsF dsinFr rdrFAd ddrs dcos Fr

14、 dM sincos Frd d cosdrF r dMA :21 21dd MAA)(12 MA（2）力矩功并不是新概念，只是力的功的另一種表）力矩功并不是新概念，只是力的功的另一種表 達(dá)方式。達(dá)方式。 2k21iiimEv :im 2221 iirm 221k21 iinirmE 212)(21 niiirm221 J ivim 質(zhì)點動能質(zhì)點動能: :221mvEk剛體上所有質(zhì)元的動能之和為：剛體上所有質(zhì)元的動能之和為： dJ dMA dddtJ dJ :21 21222121 JJ 21d J 21d MA21222121d21 JJM dddtJ 合力矩對剛體所做的功為合力矩對剛體所做的功為從從t1到到t2時刻時刻)()(1k1k2