三角函數(shù)平移變換與周期變換

1、圖像變換高一(13)班 湯勇問題提出問題提出1.1.正弦函數(shù)正弦函數(shù)y=sinxy=sinx的定義域、值域分別的定義域、值域分別是什么？它有哪些基本性質？是什么？它有哪些基本性質？2.2.正弦曲線有哪些基本特征？正弦曲線有哪些基本特征？ y-1xO123456-2-3-4-5-6-4.4.下面就來探索下面就來探索 、 、A A 對函數(shù)對函數(shù) 的圖象的影響的圖象的影響. .3.3.正弦函數(shù)正弦函數(shù)y=sinxy=sinx是最基本、最簡單的三角是最基本、最簡單的三角函數(shù)，在物理中，簡諧運動中的單擺對平衡函數(shù)，在物理中，簡諧運動中的單擺對平衡位置的位移位置的位移y y與時間與時間x x的關系，交流電

2、的電流的關系，交流電的電流y y與時間與時間x x的關系等都是形如的關系等都是形如 的函數(shù)的函數(shù). . 那么函數(shù)那么函數(shù) 與函數(shù)與函數(shù)y=sinxy=sinx有什么關系呢有什么關系呢? ? 從解析式上來看函數(shù)從解析式上來看函數(shù)y=sinxy=sinx就是函數(shù)就是函數(shù) 在在A=1A=1，=1=1， 的情況的情況. .)sin(xAy)sin(xAy)sin(xAy0)sin(xAy探究一：探究一： 對對 的圖象的影響的圖象的影響 )sin(xy思考思考1 1：函數(shù)函數(shù) 周期是周期是T=_;T=_;你有你有什么辦法畫出該函數(shù)在一個周期內的圖象？什么辦法畫出該函數(shù)在一個周期內的圖象？ )3sin(x

3、y22oy yx x267633235)3sin(xy時的情形取先考慮3 x sinx2 23 0 2 010-103x3632673522思考思考2 2：比較函數(shù)比較函數(shù) 與與 的圖象的形狀和位置，你有什么發(fā)現(xiàn)？的圖象的形狀和位置，你有什么發(fā)現(xiàn)？ xysin)3sin(xy函數(shù)函數(shù) 的圖象，可以看作是把正弦函的圖象，可以看作是把正弦函數(shù)數(shù) 的圖象上所有的點向左平移的圖象上所有的點向左平移 個個單位長度而得到的單位長度而得到的. .)3sin(xyxysin3)3sin(xysi nyx=的圖象xysin的圖象)3sin(xy3向左平移622oy yx x2332356703思考思考3 3：用

4、用“五點法五點法”作出函數(shù)作出函數(shù) 在一個周期內的圖象，比較在一個周期內的圖象，比較它與函數(shù)它與函數(shù) 的圖象的形狀和位置，的圖象的形狀和位置，你又有什么發(fā)現(xiàn)？你又有什么發(fā)現(xiàn)？ )3sin(xyxysin)3sin(xy337346116522oy yx x2si nyx=的圖象xy sin的圖象)3sin(xy3向右平移03思考思考4 4：一般地，對任意的一般地，對任意的 （ 0），），函數(shù)函數(shù) 的圖象是由函數(shù)的圖象是由函數(shù) 的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到的？的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到的？ )sin(xyxysin 的圖象，可以看作是把正的圖象，可以看作是把正弦函數(shù)弦函數(shù) 的圖象上所有的點的圖象上

5、所有的點向向左（當左（當 0 0時）時）或或向右（當向右（當 0 0時）時）平行移動平行移動| | |個單位長度而得到個單位長度而得到. .)sin(xyxysin的圖象xysin的圖象)sin(xy向右平移0向左平移0思考思考5 5：上述變換稱為上述變換稱為平移變換平移變換，據(jù)此，據(jù)此理論，函數(shù)理論，函數(shù) 的圖象可以看的圖象可以看作是把函數(shù)作是把函數(shù)y=sinxy=sinx的圖象向的圖象向_平平移移_個單位長度而得到個單位長度而得到. . )6sin(xy6左還是右右右探究二：（探究二：（ 0 0）對）對 的圖象的影響的圖象的影響 )sin(xy思考思考1 1：函數(shù)函數(shù) 周期周期T=T=_;

6、_;如如何用何用“五點法五點法”畫出該函數(shù)在一個周期內的圖象？畫出該函數(shù)在一個周期內的圖象？)32sin(xy22o oy yx x2)32sin(xy312712656看下面的問題的情形為此先考慮象之間的關系的圖觀察它們與值，作出它們的圖象，取任意不同的，可對為了研究方便，不妨令. 2 .)3sin(3xyx sinxsinx2 23 0 2 010-1032x612312765思考思考2 2：比較函數(shù)比較函數(shù) 與與 的圖象的形狀和位置，你有的圖象的形狀和位置，你有什么發(fā)現(xiàn)？什么發(fā)現(xiàn)？ )32sin(xy)3sin(xy35331271265622o oy yx x2)32sin(xy)3s

7、in(xy的圖象)3sin(xy的圖象)32sin(xy縱坐標不變縱坐標不變所有的點橫坐標縮所有的點橫坐標縮短到原來的短到原來的 倍倍21思考思考3 3：用用“五點法五點法”作出函數(shù)作出函數(shù) 在一個周期內的圖象，比較它與函數(shù)在一個周期內的圖象，比較它與函數(shù) 的圖象的形狀和位置，你又的圖象的形狀和位置，你又有什么發(fā)現(xiàn)？有什么發(fā)現(xiàn)？ )3sin(xy)321sin(xy35322o oy yx x2332p-3237343103)321sin(xy)3sin(xy的圖象xysin的圖象)32sin(xy所有的點橫坐標伸所有的點橫坐標伸長到原來的長到原來的 2 倍倍縱坐標不變縱坐標不變思考思考4 4

8、：一般地，對任意的一般地，對任意的 （ 0），），函數(shù)函數(shù) 的圖象是由函數(shù)的圖象是由函數(shù) 的圖象經(jīng)過怎樣的變換而的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到的？得到的？ )sin(xy)sin(xy函數(shù)函數(shù) 的圖象，可以看作是把的圖象，可以看作是把函數(shù)函數(shù) 的圖象上所有點的橫坐標的圖象上所有點的橫坐標縮短（當縮短（當 1 1時）或伸長（當時）或伸長（當0 0 1 1時）時）到原來的到原來的 倍（縱坐標不變）而得到的倍（縱坐標不變）而得到的. . )sin(xy)sin(xy1的圖象)sin(xy的圖象)sin(xy縱坐標不變縱坐標不變所有的點橫坐標伸所有的點橫坐標伸長到原來的長到原來的 倍倍1上所有的點橫坐標伸

9、長到原來的1.5倍（縱坐標不變）而得到的.思考思考5 5：上述變換稱為上述變換稱為周期變換周期變換據(jù)此理論，函數(shù)據(jù)此理論，函數(shù) 的圖象的圖象可以看作是把函數(shù)可以看作是把函數(shù) 的圖象的圖象)6sin(xy)632sin(xy進行怎樣變換而得到的？進行怎樣變換而得到的？ 思考思考6 6：函數(shù)函數(shù) 的圖象，可以的圖象，可以看作是把函數(shù)看作是把函數(shù) 的圖象進行怎樣的圖象進行怎樣變換而得到的？變換而得到的？ xysin)632sin(xy6p函數(shù) 的圖象，可以看作是先把 的圖象向右平移 ,再把所得的 圖象上所有的點的橫坐標伸長到原來的 倍（縱坐標不變）而得到的.)632sin(xysi nyx=623的

10、圖象)6sin(xy的圖象)632sin(xy倍橫坐標伸長到原來的23xysin函數(shù)向右平移606縱坐標不變的圖象)sin(xy的圖象)sin(xy倍橫坐標伸長到原來的1縱坐標不變xysin函數(shù)當0時向右平移平移當0時向左的圖象變化的影響對、)sin()0(xy的圖象xysin的圖象)sin(xy倍橫坐標伸長到原來的1縱坐標不變xysin函數(shù)當0時向右平移平移當0時向左結論1結論2結論結論2 2理論遷移理論遷移 例例1 1 要得到函數(shù)要得到函數(shù) 的圖象，的圖象，只需將函數(shù)只需將函數(shù) 的圖象的圖象 ( )53sin(xyA A向左平移個向左平移個 單位單位 B B向右平移個向右平移個 單位單位

11、C C向左平移個向左平移個 單位單位 D D向右平移個向右平移個 單位單位515515xy3sinD D小結作業(yè)小結作業(yè)2.2.對函數(shù)對函數(shù) 的圖象作周期變換，它只的圖象作周期變換，它只改變改變x x的系數(shù)，不改變的系數(shù)，不改變 的值的值. .)sin(xyxysin1.1.函數(shù)函數(shù) 的圖象可以由函數(shù)的圖象可以由函數(shù) 的的圖象經(jīng)過平移變換而得到，其中平移方向和單位圖象經(jīng)過平移變換而得到，其中平移方向和單位分別由分別由 的符號和絕對值所確定的符號和絕對值所確定. .)sin(xy 3. 3.函數(shù)函數(shù) 的圖象可以由函數(shù)的圖象可以由函數(shù) 的圖象通過平移、伸縮變換而得到，但有兩種變的圖象通過平移、伸縮

12、變換而得到，但有兩種變換次序，不同的變換次序會影響平移單位換次序，不同的變換次序會影響平移單位. .)sin(xyxysin4.4.余弦函數(shù)余弦函數(shù)y=cos(x+)y=cos(x+)的圖象變換與正弦函的圖象變換與正弦函數(shù)類似，可參照上述原理進行數(shù)類似，可參照上述原理進行. . 作作 業(yè)：業(yè)：1 1、P P5555練習：練習： T T1 1(1)(1)、(3)(3)2 2、P P5757習題習題1.51.5 A A組：組：T1T1（1)1)、（、（2 2）3 3、畫出函數(shù)畫出函數(shù) 在長度為一個在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖，并說明它的圖周期的閉區(qū)間上的簡圖，并說明它的圖象是由函數(shù)象是由函數(shù)

13、的圖象進行怎樣變的圖象進行怎樣變換而得到的？換而得到的？ )42sin(xyxysin 畫出函數(shù)畫出函數(shù) 的簡圖，并的簡圖，并說明它是由函數(shù)說明它是由函數(shù) 的圖象進行怎的圖象進行怎樣變換而得到的？樣變換而得到的？ )42sin(xyxysinsin(2)4yxp=+22o oy yx x288783858第二課時第二課時1.5 1.5 函數(shù)函數(shù) 的圖象的圖象)sin(xAy問題提出問題提出1.1.函數(shù)函數(shù) 圖象是由函數(shù)圖象是由函數(shù) 的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到的？的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到的？)sin(xyxysin 的圖象，可以看作是把正的圖象，可以看作是把正弦曲線弦曲線 上所有的點向左（當上

14、所有的點向左（當 0 0時）或向右（當時）或向右（當 0 0時）平行時）平行移動移動| | |個單位長度而得到個單位長度而得到. .)sin(xyxysin2.2.函數(shù)函數(shù) 的圖象是由函數(shù)的圖象是由函數(shù) 的圖象經(jīng)過怎樣的變換而的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到的？得到的？ )sin(xy)sin(xy函數(shù)函數(shù) 的圖象，可以看作是的圖象，可以看作是把函數(shù)把函數(shù) 的圖象上所有點的的圖象上所有點的橫坐標縮短（當橫坐標縮短（當 1 1時）或伸長（當時）或伸長（當0 0 1 1時）到原來的時）到原來的 倍（縱坐標不變）倍（縱坐標不變）而得到的而得到的. . )sin(xy)sin(xy13.3.函數(shù)函數(shù) 的圖象

15、，不僅的圖象，不僅受受 、 的影響，而且受的影響，而且受A A的影響，對此，的影響，對此，我們再作進一步探究我們再作進一步探究. .tan(2)tank)sin(xAy探究一：對探究一：對 的圖象的影響的圖象的影響 )sin(xAy12p56p3p6p-712p2 sin(2)3yxp=+22o oy yx x22-2-2-2-思考思考1 1：函數(shù)函數(shù) 的周期是多少？的周期是多少？如何用如何用“五點法五點法”畫出該函數(shù)在一個周畫出該函數(shù)在一個周期內的圖象？期內的圖象？ 2sin(2)3yxp=+思考思考2 2：比較函數(shù)比較函數(shù) 與函數(shù)與函數(shù) 的圖象的形狀和位置，你有的圖象的形狀和位置，你有什么

16、發(fā)現(xiàn)？什么發(fā)現(xiàn)？ 2si n(2)3yxp=+)32sin(xy2 sin(2)3yxp=+)32sin(xy12p56p3p6p-712p22o oy yx x22-2-2-2-)32sin(xy12p56p3p6p-712p2 sin(2)3yxp=+22o oy yx x22-2-2-2-函數(shù)函數(shù) 的圖象，可以看作的圖象，可以看作是把是把 的圖象上所有的點的圖象上所有的點縱坐標伸長到原來的縱坐標伸長到原來的2 2倍（橫坐標不倍（橫坐標不變）而得到的變）而得到的. . )32sin(3xy)32sin(xy思考思考3 3：用五點法作出函數(shù)用五點法作出函數(shù) 在一個周期內的圖象，比較它與函數(shù)在

17、一個周期內的圖象，比較它與函數(shù) 的圖象的形狀和位置，你又的圖象的形狀和位置，你又有什么發(fā)現(xiàn)？有什么發(fā)現(xiàn)？ )32sin(xy12p56p3p6p-712p1sin(2)23yxp=+22o oy yx x21-1-1-1-)32sin(xy)32sin(21xy)32sin(xy12p56p3p6p-712p1sin(2)23yxp=+22o oy yx x21-1-1-1- 函數(shù)函數(shù) 的圖象，可以看的圖象，可以看作是把作是把 的圖象上所有的點的圖象上所有的點縱坐標縮短到原來的縱坐標縮短到原來的 倍（橫坐標不倍（橫坐標不變）而得到的變）而得到的. .)32sin(21xy)32sin(xy21

18、思考思考4 4：一般地，對任意的一般地，對任意的A A（A A0 0且且A1A1），函數(shù)），函數(shù) 的圖象的圖象是由函數(shù)是由函數(shù) 的圖象經(jīng)過怎的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到的？樣的變換而得到的？ 函數(shù)函數(shù) 的圖象，可以看的圖象，可以看作是把函數(shù)作是把函數(shù) 的圖象上所的圖象上所有點的縱坐標伸長（當有點的縱坐標伸長（當A A1 1時）或縮時）或縮短（當短（當0 0A A1 1時）到原來的時）到原來的A A倍（橫倍（橫坐標不變）而得到的坐標不變）而得到的. . )sin(xAy)sin(xy思考思考5 5：上述變換稱為上述變換稱為振幅變換振幅變換，據(jù)此，據(jù)此理論，函數(shù)理論，函數(shù) 的圖象是由的圖象是由函數(shù)函

19、數(shù) 的圖象經(jīng)過怎樣的變的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到的？換而得到的？ )43sin(23xy)43sin(xy函數(shù)函數(shù) 的圖象，可以看作是的圖象，可以看作是把把 的圖象上所有的點縱坐的圖象上所有的點縱坐標伸長到原來的標伸長到原來的1.51.5倍（橫坐標不變）倍（橫坐標不變）而得到的而得到的. . 3si n(3)24yxp=-si n(3)4yxp=-探究（二）：探究（二）： 與與 的圖象關系的圖象關系 )sin(xAyxysinxysin思考思考2 2：你能設計一個變換過程完成上你能設計一個變換過程完成上述變換嗎？述變換嗎？左移左移3psi n()3yxp=+思考思考1 1：將函數(shù)將函數(shù) 的圖象

20、經(jīng)過幾次的圖象經(jīng)過幾次變換，可以得到函數(shù)變換，可以得到函數(shù) 的圖象？的圖象？ )32sin(3xyxysin橫坐標縮短到原來的橫坐標縮短到原來的12si n(2)3yxp=+縱坐標伸長到原來的縱坐標伸長到原來的3 3倍倍3sin(2)3yxp=+思考思考3 3：一般地，函數(shù)一般地，函數(shù) （A A0 0， 0 0）的圖象，可以由函數(shù)）的圖象，可以由函數(shù) 的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到？的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到？ )sin(xAyxysin先把函數(shù)先把函數(shù) 的圖象向左（右）平移的圖象向左（右）平移| | |個單位長度，得到函數(shù)個單位長度，得到函數(shù) 的的圖象；再把曲線上各點的橫坐標變?yōu)樵瓐D象；再把曲線

21、上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼膩淼?倍，得到函數(shù)倍，得到函數(shù) 的圖的圖象；然后把曲線上各點的縱坐標變?yōu)樵螅蝗缓蟀亚€上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼膩淼腁 A倍，就得到函數(shù)倍，就得到函數(shù) 的圖象的圖象. .xysin)sin(xy1)sin(xy)sin(xAy思考思考4 4：將函數(shù)將函數(shù) 的圖象變換到函的圖象變換到函數(shù)數(shù) （其中（其中A A0 0， 0 0）的）的圖象，共有多少種不同的變換次序？圖象，共有多少種不同的變換次序？ xysin)sin(xAy思考思考5 5：若將函數(shù)若將函數(shù) 的圖象先作振的圖象先作振幅變換，再作周期變換，然后作平移變幅變換，再作周期變換，然后作平移變換得到函數(shù)換得到函數(shù) 的圖

22、象，具體如的圖象，具體如何操作？何操作？ xysin)32sin(3xyxysin左移左移6p橫坐標縮短到原來的橫坐標縮短到原來的123si n2yx=縱坐標伸長到原來的縱坐標伸長到原來的3 3倍倍3sin(2)3yxp=+3si nyx=思考思考6 6：物理中，簡諧運動的圖象就是函物理中，簡諧運動的圖象就是函數(shù)數(shù) ， 的圖象，其中的圖象，其中A A0 0， 0.0.描述簡諧運動的物理量有振描述簡諧運動的物理量有振幅、周期、頻率、相位和初相等，你知幅、周期、頻率、相位和初相等，你知道這些物理量分別是指那些數(shù)據(jù)以及各道這些物理量分別是指那些數(shù)據(jù)以及各自的含義嗎？自的含義嗎？ )sin(xAy ,

23、 0 x)sin(xAy, 0 x 稱為初相稱為初相, ,即即x=0 x=0時的相位時的相位. .A A是振幅，它是指物體離開平衡位置的最是振幅，它是指物體離開平衡位置的最大距離；大距離；si ntan444pppsi ntan444pppsi ntan444pppsi ntan444pppsi ntan444ppp2T 是周期，它是指物體往復運動一次是周期，它是指物體往復運動一次所需要的時間；所需要的時間；21Tf 是頻率，它是指物體在單位時是頻率，它是指物體在單位時間內往復運動的次數(shù)；間內往復運動的次數(shù)；xwj+ 稱為相位稱為相位;理論遷移理論遷移 例例1 1 說明函數(shù)說明函數(shù) 的圖象是的圖象是由函數(shù)由函數(shù) 的圖象經(jīng)過怎樣的變換的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到的？而得到的？ )631sin(2xyxysinxysin右移右移6psi n()6yxp=-橫坐標伸長到原來的橫坐標伸長到原來的3 3倍倍1si n()36yxp=-縱坐標伸長到原來的縱坐標伸長到原來的2 2倍倍12si n()36yxp=- 例例2 2 如圖是某簡諧運動的圖象，試根如圖是某簡諧運動的圖象，試根據(jù)圖象回答下列問題：據(jù)圖象回答下列問題：2x/sABCDEFy/