材力第6章：梁的應(yīng)力

1、一、引言一、引言FNcFNl SFMMM先研究只有M，沒(méi)有FS的情況下，正應(yīng)力分布規(guī)律：M-關(guān)系。然后分析FS的存在對(duì)分布規(guī)律的影響。從而得到既有M又有FS時(shí)的正應(yīng)力分布規(guī)律。梁段橫截面上只有M，沒(méi)有FS時(shí)，稱(chēng)為純彎曲。梁段橫截面上同時(shí)有M、 FS時(shí)，稱(chēng)為橫力彎曲。FSMFaFaFABDCFFaLa+FAC、DB兩段為橫力彎曲。CD段發(fā)生純彎曲由知，SdMFdx彎矩將為一常數(shù)。當(dāng)梁段中剪力FS =0時(shí)，觀察矩形截面梁純彎曲變形現(xiàn)象二、二、純彎曲時(shí)純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力梁橫截面上的正應(yīng)力MM 所有縱向線變成曲線，靠近上部的縮短，下部伸長(zhǎng)。 所有橫向線仍保持為直線，只是互相傾斜了一個(gè)角度，且仍

2、垂直于變形后的縱向線。 原矩形橫截面，上部變寬了，下部變窄了。由 假設(shè)1，變形前為平面的梁橫截面，變形后仍為平面，只是繞某軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度，且仍垂直于變形后的梁軸線。由 假設(shè)2，縱向纖維間無(wú)擠壓?；谏厦婕僭O(shè)所得到的理論稱(chēng)為梁的簡(jiǎn)單理論。由梁的簡(jiǎn)單理論導(dǎo)出的應(yīng)力和變形為長(zhǎng)期的工程實(shí)踐所證實(shí)是符合實(shí)際情況的。對(duì)于純彎曲問(wèn)題與彈性理論的結(jié)果一致。：設(shè)想梁是由無(wú)數(shù)根縱向纖維組成的，梁在正彎矩作用下，靠近頂面纖維縮短，靠近底面的纖維伸長(zhǎng)，由于連續(xù)性假設(shè)知，從頂部到底部的縱向纖維，由縮短到伸長(zhǎng)是連續(xù)變化的。所以，其間必有一層纖維既不伸長(zhǎng)，也不縮短。稱(chēng)為。中性層與橫截面的交線稱(chēng)為。建立坐標(biāo)系ox y荷載作

3、用面（縱截面）ox z中性層 z軸為中性軸xy中性層中性軸z取長(zhǎng)度為dx的梁段如圖所示：oo為中性層，bb為距中性層為y的縱向纖維。設(shè)：變形后中性層的曲率半徑為，相距為dx的兩橫截面夾角為d1212oobbdxydobboy1221變形前變形后bb纖維的線應(yīng)變?yōu)椋篸xdxdybbbbbb)(（dddy)(ydobboy對(duì)給定截面，為常數(shù)， 反映彎曲的程度，上式表明，橫截面上某點(diǎn)的縱向應(yīng)變與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比。由于縱向纖維間無(wú)擠壓，每一縱向纖維都只在縱向受拉伸或壓縮。所以，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為胡克定律。yEE 待解決的問(wèn)題： =？ 中性層(軸) 的位置橫截面上的微力，dA組成平行于x軸的空間

4、平行力系，這個(gè)力系只可能簡(jiǎn)化為：NAFdAAzdAyMAydAzMzydAdA橫截面上的正應(yīng)力應(yīng)滿足的三個(gè)靜力關(guān)系為：NAAAyEFdAEdAydA0zSE0 0 zSE Z軸必過(guò)橫截面的形心。FN=0， My=0， Mz=M，得出：AAAyyzdAEdAyzEdAzMyzIE軸為對(duì)稱(chēng)軸。 y0I yz0M yMIEdAyEdAyEdAyMzAAAz22 由zEIM1 (6-1)yIMEIMEyyEzz(6-2)yIMz 在我們的坐標(biāo)系中，M用材力規(guī)定符號(hào)，y用坐標(biāo)，則得到的的符號(hào)即為材力的規(guī)定符號(hào)，即正號(hào)為拉應(yīng)力，負(fù)號(hào)為壓應(yīng)力。 正應(yīng)力公式適合于任意截面形狀，但要求滿足平面彎曲的條件。yM

5、z 中性軸上=0，中性軸又稱(chēng)為零應(yīng)力線。最大正應(yīng)力發(fā)生在距離中性軸最遠(yuǎn)處(最大正應(yīng)力通常指絕對(duì)值最大)maxmaxyIMzmaxyIWzz 抗彎截面系數(shù)(模量)62 1223bhhIWbhIzzz322 6434ddIWdIzzz中性軸My2y1M中性層z軸為橫截面的對(duì)稱(chēng)軸時(shí) (如矩形、工字形等)|maxmaxCLz軸不是對(duì)稱(chēng)軸時(shí)(如T字形、梯形等)|maxmaxCL對(duì)應(yīng)y1、y2可以求出該截面上的最大拉、壓應(yīng)力。 沿橫截面寬度方向均勻分布。三、純彎曲理論在橫力彎曲中的推三、純彎曲理論在橫力彎曲中的推廣，梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件。廣，梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件。純彎曲正應(yīng)力公式成立的前提：平面假設(shè)，縱向纖維

6、間無(wú)擠壓。橫力彎曲梁橫截面上有剪力，因而橫截面上將還有切應(yīng)力存在。例如矩形截面梁FSAA矩形截面從上到下各點(diǎn)不均勻的切應(yīng)力將引起不均勻的錯(cuò)動(dòng)，因此，橫截面不可能再保持為平面。而且由于橫向力的存在，將引起梁縱向纖維間的相互擠壓，因此，對(duì)于橫力彎曲，純彎曲時(shí)關(guān)于變形的兩個(gè)假設(shè)，均不成立。即切應(yīng)力的存在對(duì)正應(yīng)力的分布規(guī)律肯定有影響。彈性理論的精確分析告訴我們，這種影響與梁的跨高比l/h有關(guān)，跨高比l/h越大，影響越小。即梁越是細(xì)長(zhǎng)，影響越小。當(dāng)l/h5時(shí)，橫力彎曲可近似地用純彎曲的公式計(jì)算彎曲正應(yīng)力: yIxMz懸臂梁荷載及幾何尺寸如圖所示，試求：(1) 1-1截面上A、B、C、D四點(diǎn)的正應(yīng)力。(2

7、) 求梁上最大正應(yīng)力。4m3m15kN20kNmACBD1m1150ABDyxC309015015090解：(1) 畫(huà)出梁的彎矩圖4m3m15kN20kNmACBD1mM2520(kNm)+1150ABDyxC309015015090(2) 計(jì)算A、B、C、D四點(diǎn)的正應(yīng)力。mkNM20111233101230018012bhIz3631110150104051020AzAyIMMPa41. 71041. 764610405m0B（在中性軸上）czCyIM11MPa93. 41093. 4104051010010206633MPayIMDzD41. 71150ABDyxC309015015090

8、(3) 求最大正應(yīng)力對(duì)任一截面而言，最大正應(yīng)力發(fā)生在最上緣或最下緣，對(duì)全梁而言，最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎曲所在面的最上或最下緣。這個(gè)面通常稱(chēng)為“ ”。maxmaxmaxyIMzPa63631026. 910150104051025MPa26. 9最大拉應(yīng)力在最上緣，最大壓應(yīng)力在最下緣。M2520(kNm)+求圖示梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。q =10kN/mP=20kNABCD2m3m1m20017085853030解：(1) 確定截面中性軸的位置，以及Iz值。iiiAyAy1)( 1392003017030185200308517030mm23)13915170(302001230200zI2

9、3)2170139(1703012170304646103 .40)( 103 .40mmm20017085853030zyy1q =10kN/mP=20kNABCD2m3m1m20kNm10kNm+(2) 畫(huà)彎矩圖20kNm10kNm+(3) 求最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力分析B、C兩截面B截面C截面|maxmaxCL|maxmaxCLBC|maxmaxcCBC顯然（最大正負(fù)彎矩所在面）MPayIMzBBCC6910139103 .4010203631maxmax比較cLBLmaxmax與MPayIMzBBL2 .301061103 .4010203632maxMpayIMzCCL5 .34101

10、39103 .4010103631maxMPacLL5 .34 maxmaxMPaBCC69maxmax最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力有可能不在同一截面上。中性軸為對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，Lmax與Cmax在同一截面上，即在|M|max所在的面上。中性軸為非對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，Lmax與Cmax可能不在同一截面上，但只能在M+max或M-max所在的面上。梁的最大正應(yīng)力總是在某個(gè)截面最上緣或最下緣，而這些點(diǎn)切應(yīng)力一定為零，再略去不重要的縱向纖維間的擠壓，于是梁上這些點(diǎn)的受力情況與軸向拉壓?jiǎn)栴}是一樣的。因此，強(qiáng)度條件可寫(xiě)成：max或?qū)懗蒻axmaxZWM(6-6)三類(lèi)強(qiáng)度計(jì)算： 校核強(qiáng)度 設(shè)計(jì)截面 計(jì)算最大荷載maxZWMma

11、xMWZmaxZWM對(duì)塑性材料cL 強(qiáng)度條件理解為，絕對(duì)值最大的工作應(yīng)力不大于許用應(yīng)力。對(duì)鑄鐵等脆性材料 強(qiáng)度條件理解為maxLLmaxCC均為絕對(duì)值。maxCC、 對(duì)抗拉抗壓允許值相等的材料，有：cL 強(qiáng)度條件 (6-6)理解為：最大工作應(yīng)力的絕對(duì)值不大于許用應(yīng)力。絕對(duì)值最大的工作應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對(duì)值最大的面上，距離中性軸最遠(yuǎn)處，對(duì)這種情況： 彎矩絕對(duì)值最大的面 危險(xiǎn)面上距中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)maxmaxZWM 對(duì)抗拉抗壓允許值不相同的材料，有：cL強(qiáng)度條件 (6-6)理解為：maxLLmaxcc均為絕對(duì)值。maxcc與maxmaxZWMa) 當(dāng)截面的中性軸為對(duì)稱(chēng)軸時(shí)(矩形、圓形、工字形等)， Lm

12、ax與cmax發(fā)生在同一截面上，即彎矩絕對(duì)值最大的面上。一個(gè)在最上緣，一個(gè)在最下緣，且Lmax與cmax數(shù)值上相等。此時(shí)：危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)截面 彎矩絕對(duì)值最大的截面危險(xiǎn)點(diǎn)危險(xiǎn)點(diǎn) 危險(xiǎn)截面的最上緣和最下緣b) 當(dāng)截面的中性軸不是對(duì)稱(chēng)軸時(shí)(T字形截面、梯形截面等) Lmax與cmax可能不在同一截面上，但只可能在最大正彎矩或最大負(fù)彎矩所在的面上，此時(shí)：可能危險(xiǎn)截面可能危險(xiǎn)截面 最大正彎矩、最大負(fù)彎矩面危險(xiǎn)點(diǎn)危險(xiǎn)點(diǎn) 危險(xiǎn)截面的最上緣或最下緣 因此，強(qiáng)度條件(5-6)式中Mmax理解為危險(xiǎn)截面的彎矩值，而危險(xiǎn)截面在一般情況下，就是絕對(duì)值最大的彎矩所在面，只有一種情況例外，即：材料抗拉、抗壓許用值不相等，且

13、中性軸非對(duì)稱(chēng)軸的情況，這種情況的可能危險(xiǎn)面有兩個(gè)：最大正彎矩和最大負(fù)彎矩所在面。 圖示簡(jiǎn)支梁，為矩形截面木梁，承受均 布 荷 載 q = 3 . 6 k N / m ， 其 截 面 尺 寸 為 b=120mm, h=180mm。 梁的計(jì)算跨度L=5m。 所用木材的許用應(yīng)力=10MPa ，求：qL120180(1) 校核梁的強(qiáng)度；(2) 確定許用荷載；(3) 若強(qiáng)度不夠，則試按b/h=2/3重新設(shè)計(jì)梁的截面尺寸。解：(1) 校核梁的強(qiáng)度mkNqLM25.11856 . 3822max梁的抗彎截面模量為：36221064861801206mbhWzqL12018011.25kNm+M梁的最大正應(yīng)力

14、為：PawMz663maxmax104 11MPaMPa104 .17此梁強(qiáng)度不夠。 (2) 確定許用荷載根據(jù)強(qiáng)度條件(5-6)式改寫(xiě)得下式：zWMmaxmNWz6480106481010 66qqLM825812max6480825qmNq31007. 22564808mkNq07. 2(3) 因強(qiáng)度不夠，重新設(shè)計(jì)截面將(5-6)式改寫(xiě)為：maxMWz3663max10112510101025.11mM932616322hhhbhWz631011259hmh216. 01011259 36)( 216 :mmh 取)( 14432mmhb外伸梁荷載與幾何尺寸如圖所示

15、，已MPaL40MPac100試校核強(qiáng)度。知材料2001703030yzy1=61y2=139q=15kN/mP=10kN4m1m46103 .40mIz解： 畫(huà)彎矩圖以確定危險(xiǎn)截面q=15kN/mP=10kN4m1m25.21kNm10kNm+M211210kN32.5kN27.5kNFS+ 強(qiáng)度校核 cL且z軸為非對(duì)稱(chēng)軸故可能危險(xiǎn)截面為1截面和2截面“ 1”33maxmax1610 1061 1015.14040.3 10LLzMyMPaMPaI33maxmax2610 10139 1034.510040.3 10CCzMyMPaMPaI2001703030yzy1=61y2=13925.

16、21kNm10kNm+M2146103 .40mIz+“ 2”33maxmax1625.21 1061 1038.1210040.3 10CCzMyMPaMPaI33maxmax2625.21 10139 1086.984040.3 10LLzMyMPaMPaI強(qiáng)度不夠2001703030yzy1=61y2=13925.21kNm10kNm+M2146103 .40mIz+將截面倒置，結(jié)論如何？+“ 2”33maxmax1625.21 10139 1086.9810040.3 10CCzMyMPaMPaI33maxmax2625.21 1061 1038.124040.3 10LLzMyMPa

17、MPaI2001703030yzy1=61y2=13925.21kNm10kNm+M2146103 .40mIz+“ 1”33maxmax1610 10139 1034.54040.3 10LLzMyMPaMPaI強(qiáng)度滿足四、梁的合理設(shè)計(jì)四、梁的合理設(shè)計(jì)所謂梁的合理設(shè)計(jì)，指的是在滿足梁強(qiáng)度要求的前提下，盡量少用材料，對(duì)于梁來(lái)說(shuō)，彎矩處于主導(dǎo)地位、剪力是次要因素，因此，梁的設(shè)計(jì)，主要是依據(jù)彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件進(jìn)行設(shè)計(jì)的，我們也僅從彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件出發(fā)討論梁的合理截面。彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件maxmaxzWM提高彎曲強(qiáng)度的方法可從兩個(gè)方面考慮：1、外荷載總值不變的情況下，使Mmax盡量小一些。2、截

18、面積不變的情況下，使Wz盡量大一些。a) 合理配置荷載F2L2L+4FL+L2F2FMM2Faaa盡量將集中力分散為幾個(gè)較小的集中力或均布力。q82qLL0.2L0.2LMML402qL502qLb) 合理配置支座q例吊裝一混凝土梁，索繩所系位置x 為多少最安全。qlxxqx2/2qx2/2q(l-2x)2/8- qx2/2解：梁的最大彎矩最小時(shí)最安全，當(dāng)梁的最大正彎矩與最大負(fù)彎矩相等時(shí)梁的最大彎矩最小，即22222)2(8xqxqxlq228)2(xxlxxl22)2(llx21. 0)21 (2PbhPbh621bhWz622hbWz(1)(2)21 zzWWbh時(shí)AW作為衡量截面合理性的

19、指標(biāo)。1、盡量將材料放置到遠(yuǎn)離中性軸的地方工字型截面優(yōu)于矩形截面，矩形截面優(yōu)于圓形截面。 圓環(huán)形截面優(yōu)于圓形截面。2、截面形狀的選擇還應(yīng)考慮材料特性|maxmaxCL選擇中性軸為對(duì)稱(chēng)軸的截面，使得：CLCL 選擇中性軸為非對(duì)稱(chēng)軸的截面，并使中性軸偏于材料強(qiáng)度弱的一邊。盡量使得|maxmaxCLCLy1y2例 由直徑為d 的圓木截取一矩形截面梁，試按強(qiáng)度要求選擇最合理的高寬尺寸h 、 b 。bzyhdC解：使所截矩形的Wz 越大越好。6)(6222bdbbhWz222bdh; 0dbdWz0322 bd;3db ;32dh 考慮各截面彎矩變化可將梁局部加強(qiáng)或設(shè)計(jì)為變截面梁?？紤]各截面彎矩變化可將

20、梁局部加強(qiáng)或設(shè)計(jì)為變截面梁。F1F2 50kN 50 kN 50kNCABFB1.5 m1.5 mFA1.5 m1.5 mzy9.51001032010P懸臂涼臺(tái)ABq吊車(chē)梁 若梁的各橫截面上的最大正應(yīng)力都達(dá)到材料的若梁的各橫截面上的最大正應(yīng)力都達(dá)到材料的許用應(yīng)力，則稱(chēng)為許用應(yīng)力，則稱(chēng)為等強(qiáng)度梁等強(qiáng)度梁（魚(yú)腹梁魚(yú)腹梁）。）。6/ )()2/()()(2maxxbhxFxWxM3)(bFxxh2)2/(323minSmaxbhFAF43minbFh(a) l2Fh(x)b(b)Fl26-4 6-4 梁橫截面上的切應(yīng)力梁橫截面上的切應(yīng)力梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件、梁橫截面上的切應(yīng)力梁橫截

21、面上的切應(yīng)力推導(dǎo)思路：近似方法推導(dǎo)思路：近似方法不同于前面章節(jié)各種應(yīng)力計(jì)算公式的分析過(guò)程不同于前面章節(jié)各種應(yīng)力計(jì)算公式的分析過(guò)程分離體的平衡分離體的平衡橫截面上切應(yīng)力橫截面上切應(yīng)力分布規(guī)律的假設(shè)分布規(guī)律的假設(shè)橫截面上彎曲切橫截面上彎曲切應(yīng)力的計(jì)算公式應(yīng)力的計(jì)算公式一、矩形截面梁矩形截面梁mmnnq(x)F1 F2 xdxbhzyhmmnnnmmdxbzyOxFS(x)M(x)M(x)+d M(x)FS(x)+d FS(x)m nnmm nyzyBAA1dAy1 橫截面上縱向力不平橫截面上縱向力不平衡意味著縱截面上有水平衡意味著縱截面上有水平剪力，即有水平切應(yīng)力分剪力，即有水平切應(yīng)力分布。布。*

22、N1*N2S dFFF*111*1N*dddzzAzAzASIMAyIMAIMyAF*12*N2dd)d(d*zzAzASIMMAyIMMAF面積面積AA1mm 對(duì)中性軸對(duì)中性軸 z的靜矩的靜矩而橫截面上縱向力的大小為而橫截面上縱向力的大小為mnmyy1ABA1B1bdxdAyzO*N2FS dF*N1Fx 0 xF*N1*N2S dFFF*S ddzzSIMF 縱截面上水平剪力值為縱截面上水平剪力值為*1NzzSIMF*N2dzzSIMMF要確定與之對(duì)應(yīng)的水平切應(yīng)力要確定與之對(duì)應(yīng)的水平切應(yīng)力 還需要補(bǔ)充條件。還需要補(bǔ)充條件。mnmyy1ABA1B1bdxdAyzO*N2FS dF*N1Fx矩

23、形截面梁對(duì)稱(chēng)彎曲時(shí)橫截面上切應(yīng)力的分布規(guī)律矩形截面梁對(duì)稱(chēng)彎曲時(shí)橫截面上切應(yīng)力的分布規(guī)律 (1) 由于梁的側(cè)面為由于梁的側(cè)面為 =0的的自由表面，根據(jù)切應(yīng)力互自由表面，根據(jù)切應(yīng)力互等定理，橫截面兩側(cè)邊處等定理，橫截面兩側(cè)邊處的切應(yīng)力必與側(cè)邊平行；的切應(yīng)力必與側(cè)邊平行；(2) 對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)軸y處的切應(yīng)力必沿處的切應(yīng)力必沿y軸方向，即平行于側(cè)邊；軸方向，即平行于側(cè)邊；(3)橫截面兩側(cè)邊處的切應(yīng)橫截面兩側(cè)邊處的切應(yīng)力值大小相等，對(duì)于狹長(zhǎng)力值大小相等，對(duì)于狹長(zhǎng)矩形截面則沿截面寬度其矩形截面則沿截面寬度其值變化不會(huì)大。值變化不會(huì)大。mmnnnmmdxbyA1ABB1hzyOx窄高矩形截面梁橫截面上彎曲切應(yīng)力

24、分布的假設(shè)：窄高矩形截面梁橫截面上彎曲切應(yīng)力分布的假設(shè)：(1) 橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均與側(cè)邊平行；橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均與側(cè)邊平行；(2) 橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)各點(diǎn)處的切應(yīng)力大小相等。橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)各點(diǎn)處的切應(yīng)力大小相等。根據(jù)切應(yīng)力互等定理根據(jù)切應(yīng)力互等定理推得：推得：(1) 沿截面寬度方向均勻分沿截面寬度方向均勻分布；布；(2) 在在dx微段長(zhǎng)度內(nèi)可以認(rèn)為微段長(zhǎng)度內(nèi)可以認(rèn)為 沒(méi)有變化。沒(méi)有變化。mmnnnmmdxbyA1ABB1hzyOx*S ddzzSIMF bISFbISxMzzzz*S*ddbISFzz*SxbFddS 根據(jù)前面的分析根據(jù)前面的分析mnmyy1ABA1B1bd

25、xdAyzO*N2FS dF*N1Fx即即又又由兩式得由兩式得其中：其中：FS 橫截面上的剪力；橫截面上的剪力；Iz 整個(gè)橫截面對(duì)于中性軸的慣性矩；整個(gè)橫截面對(duì)于中性軸的慣性矩；b 與剪力垂直的截面尺寸，此時(shí)是矩形的寬度；與剪力垂直的截面尺寸，此時(shí)是矩形的寬度；bISFzz*S矩形截面梁彎曲切應(yīng)力計(jì)算公式矩形截面梁彎曲切應(yīng)力計(jì)算公式zyyy1Ad*zS 橫截面上求切應(yīng)力的點(diǎn)處橫線以外部分面積對(duì)橫截面上求切應(yīng)力的點(diǎn)處橫線以外部分面積對(duì)中性軸的靜矩中性軸的靜矩221*4222/2d*yhbyhyyhbAySAz22S22S4242yhIFyhbbIFzz矩形橫截面上彎曲切應(yīng)力的變化規(guī)律矩形橫截面上

26、彎曲切應(yīng)力的變化規(guī)律bISFzz*Szyyy1AdAFbhFbhhFIhFz23231288SS32S2Smax22S*S42yhIFbISFzzz(1) 沿截面高度按二次拋物沿截面高度按二次拋物線規(guī)律變化；線規(guī)律變化；(2) 同一橫截面上的最大切應(yīng)同一橫截面上的最大切應(yīng)力力 max在中性軸處在中性軸處( y=0 )；(3)上下邊緣處（上下邊緣處（y=h/2)，切應(yīng)力為零。切應(yīng)力為零。maxzyOmax二.工字形截面梁工字形截面梁1 1、腹板上的切應(yīng)力、腹板上的切應(yīng)力dISFzz*SyyhdyhhbSz22/222*22222yhdhbxyhzOdbydAxzyOA*dx22*222yhdhb

27、Sz腹板與翼緣交界處腹板與翼緣交界處中性軸處中性軸處hbdIFz2Smin2S*max,Smax222hdhbdIFdISFzzzzyOmaxminmax2、翼緣上的切應(yīng)力、翼緣上的切應(yīng)力 a、因?yàn)橐砭壍纳?、下表面無(wú)、因?yàn)橐砭壍纳?、下表面無(wú)切應(yīng)力，所以翼緣上、下邊緣切應(yīng)力，所以翼緣上、下邊緣處平行于處平行于y 軸的切應(yīng)力為零；軸的切應(yīng)力為零； b、計(jì)算表明，工字形截面梁、計(jì)算表明，工字形截面梁的腹板承擔(dān)的剪力的腹板承擔(dān)的剪力(1) 平行于平行于y 軸的切應(yīng)力軸的切應(yīng)力可見(jiàn)翼緣上平行于可見(jiàn)翼緣上平行于y 軸的切應(yīng)力很小，工程上一軸的切應(yīng)力很小，工程上一般不考慮。般不考慮。S11S9 . 0dFA

28、FAxyhzOdby(2) 垂直于垂直于y 軸的切應(yīng)力軸的切應(yīng)力zzISF*S1*N1*N2S dFFFhIFhIFzz222SS*dzzSIM11*N2F*N1FxFdd1S 11xyhzOdb即翼緣上垂直于即翼緣上垂直于y軸的切應(yīng)軸的切應(yīng)力隨力隨 按線性規(guī)律變化。按線性規(guī)律變化。hIFz2S1 且通過(guò)類(lèi)似的推導(dǎo)可以得知，薄壁工字剛梁上、且通過(guò)類(lèi)似的推導(dǎo)可以得知，薄壁工字剛梁上、下翼緣與腹板橫截面上的切應(yīng)力指向構(gòu)成了下翼緣與腹板橫截面上的切應(yīng)力指向構(gòu)成了“切應(yīng)切應(yīng)力流力流”。zyOmaxmaxmin1max四、圓截面梁四、圓截面梁切應(yīng)力的分布特征：切應(yīng)力的分布特征：邊緣各點(diǎn)切應(yīng)力的方向與圓周

29、邊緣各點(diǎn)切應(yīng)力的方向與圓周相切；相切；切應(yīng)力分布與切應(yīng)力分布與 y軸對(duì)稱(chēng)；軸對(duì)稱(chēng)；與與 y軸相交各點(diǎn)處的切應(yīng)力其軸相交各點(diǎn)處的切應(yīng)力其方向與方向與y軸一致。軸一致。)(*SybISFzzy關(guān)于其切應(yīng)力分布的假設(shè)：關(guān)于其切應(yīng)力分布的假設(shè)：1、離中性軸為任意距離、離中性軸為任意距離y的水的水平直線段上各點(diǎn)處的切應(yīng)力匯平直線段上各點(diǎn)處的切應(yīng)力匯交于一點(diǎn)交于一點(diǎn) ；2、這些切應(yīng)力沿、這些切應(yīng)力沿 y方向的分量方向的分量 y沿寬度相等。沿寬度相等。zyOmaxkkOd最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力 max 在中性軸在中性軸z處處dISFzz*SmaxAFdF34434S2SddddF643242142SzyOma

30、xkkOdyzOC2d /3五、環(huán)形截面maxzAFs2max、梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件、梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件一般一般 max發(fā)生在發(fā)生在FS , ,max所在截面的中性軸處，該位置所在截面的中性軸處，該位置 =0。不計(jì)擠壓，則。不計(jì)擠壓，則 max所在點(diǎn)處于所在點(diǎn)處于純剪切應(yīng)力純剪切應(yīng)力狀態(tài)狀態(tài)。梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件為梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件為 max bISFzz*max,max,S材料在橫力彎曲時(shí)的許用切應(yīng)力材料在橫力彎曲時(shí)的許用切應(yīng)力對(duì)等直梁，有對(duì)等直梁，有EmaxFmaxEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2ql/2梁上梁上 max所在點(diǎn)處于所在點(diǎn)處于單軸應(yīng)力狀態(tài)單軸應(yīng)力狀態(tài)，其正，其正應(yīng)力強(qiáng)

31、度條件為應(yīng)力強(qiáng)度條件為 max梁上任意點(diǎn)梁上任意點(diǎn)G 和和H 平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)，若這種應(yīng)力狀態(tài)的點(diǎn)需校核強(qiáng)度時(shí)不若這種應(yīng)力狀態(tài)的點(diǎn)需校核強(qiáng)度時(shí)不能分別按正應(yīng)力和切應(yīng)力進(jìn)行，而必能分別按正應(yīng)力和切應(yīng)力進(jìn)行，而必須考慮兩者的共同作用（須考慮兩者的共同作用（強(qiáng)度理論強(qiáng)度理論）。）。Cmax DmaxEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2GH橫力彎曲梁的強(qiáng)度條件：橫力彎曲梁的強(qiáng)度條件： max max強(qiáng)度強(qiáng)度足夠足夠 max max確定截面尺寸確定截面尺寸驗(yàn)驗(yàn)證證設(shè)計(jì)截面時(shí)設(shè)計(jì)截面時(shí) 例例: 跨度為跨度為6m的簡(jiǎn)支鋼梁，是由的簡(jiǎn)支鋼梁，是由32a號(hào)工字鋼在其中號(hào)工字鋼在其中間區(qū)段焊上兩塊

32、間區(qū)段焊上兩塊 100 10 3000mm的鋼板制成。材料的鋼板制成。材料均為均為Q235鋼，其鋼，其 =170MPa， =100MPa。試校核。試校核該梁的強(qiáng)度。該梁的強(qiáng)度。kN75AFkN75BF解解 1、計(jì)算反力得、計(jì)算反力得F1F2 50kN 50kN 50kNCABFB1.5 m1.5 mFA1.5 m1.5 mzy9.51001032010FS(kN)xM(kNmm)x75252575112.5150112.5F1F2 50kN 50kN 50kNCABFB1.5 m1.5 mFA1.5 m1.5 mzy9.51001032010kN75max,SFmkN150maxMmkN150

33、maxM)2102320(101001210100 2105 .11075234zI44mm1016522最大彎矩為最大彎矩為334maxmm1097210)2/320(1016522yIWzzMPa3 .154109721015036maxmax,zEWMF1F2 50kN 40 kN 60kNCABFB1.5 m1.5 mFA1.5 m1.5 mzy9.51001032010EMPa5 .162102 .692105 .11236max,zCCWMMPa8 .286 .2745 . 910753max,maxmaxzzdISmkN5 .112CMC截面彎矩為截面彎矩為FS(kN)xM(kN

34、mm)x75252575112.5150112.5F1F2 50kN 50kN 50kNCABFB1.5 m1.5 mFA1.5 m1.5 mzy9.51001032010滿足強(qiáng)度條件滿足強(qiáng)度條件剪應(yīng)力強(qiáng)度條件剪應(yīng)力強(qiáng)度條件例例: : 圖示外伸梁，由工字鋼制成。已知材料的許用圖示外伸梁，由工字鋼制成。已知材料的許用正應(yīng)力正應(yīng)力=160MPa,許用剪應(yīng)力許用剪應(yīng)力 =90MPa。試選。試選擇工字鋼的型號(hào)。擇工字鋼的型號(hào)。 解：（解：（1）作內(nèi)力圖，確定）作內(nèi)力圖，確定最大剪力和最大彎矩最大剪力和最大彎矩FA=97.5kN,FB=32.5kN, FSmax= 5 0 k N , Mmax=16.2

35、5kN.m（2）由正應(yīng)力強(qiáng)度條）由正應(yīng)力強(qiáng)度條件，選擇工字鋼型號(hào)：件，選擇工字鋼型號(hào)： maxmaxzWM36max56.1011601025.16cmMWz查表，選查表，選14號(hào)工字鋼：號(hào)工字鋼：Wz=102cm3, d=5.5 mm, Iz:Sz=12cm （4）校核剪應(yīng)力強(qiáng)度）校核剪應(yīng)力強(qiáng)度 76.751205 . 51050):(3max.maxMPaSIdFzzS所以選所以選14號(hào)工字鋼。號(hào)工字鋼。 例例: 跨度跨度 l=4m 的箱形截面簡(jiǎn)支梁，沿全長(zhǎng)受均的箱形截面簡(jiǎn)支梁，沿全長(zhǎng)受均布荷載布荷載q作用，該梁是用四塊木板膠合而成如圖所示。作用，該梁是用四塊木板膠合而成如圖所示。已知材料

36、為紅松，已知材料為紅松，許用正應(yīng)力許用正應(yīng)力=10MPa,許用剪應(yīng)力許用剪應(yīng)力 =1MPa, 膠合縫的許用剪應(yīng)力膠合縫的許用剪應(yīng)力=0.5MPa。試求該試求該梁的容許荷載集度梁的容許荷載集度q之值。之值。yz20100100101802404545BlAqql 2FS ql28l/2M 解：解：1、最大彎矩、最大剪力、最大彎矩、最大剪力2、由正應(yīng)力確定許可載荷、由正應(yīng)力確定許可載荷kN22/max,SqqlFmkN28/2maxqqlM33)202240()452180(12112240180zI44mm1014736334maxmm1012281201014736yIWzzyz2010010

37、0101802404545kN/m14. 6q1010122810236maxmaxqWMzyz20100100101802404545kN22/max,SqqlF33max,mm108462100100452)220100(20180zSMPa78. 0101473690108461014. 62433max,maxS,maxzzbISF33mm10396)220100(20180zSMPa367. 0101473690103961014. 62433maxS,zzbISF3、校核切應(yīng)力強(qiáng)度條件、校核切應(yīng)力強(qiáng)度條件例 圖示圓截面梁，直徑d=200mm，材料的容許正應(yīng)力=10MPa，容許切應(yīng)力

38、=2MPa 。試校核該梁的強(qiáng)度。AB3m1mmkNq/4FA=5kNkNP3dFB=10kN解：求支座反力；畫(huà)剪力圖和彎矩圖；Fs圖M圖5kN3kN7kN1.25m3kN.m3.125kN.m 最大正應(yīng)力發(fā)生在距A 端1.25m截面的上下邊緣； 最大切應(yīng)力發(fā)生在B 的左截面的中性軸上。AB3m1mmkNq/4FA=5kNkNP3dFB=10kNFs圖M圖5kN3kN7kN1.25m3kN.m3.125kN.mMPadMWMz98. 3203125323233maxmaxmaxMPadFAFss3 . 020037000443443422maxmaxmax ;maxmax此梁安全。例 圖示梁由兩

39、根木料膠合而成，已知木材的容許正應(yīng)力=10MPa，容許切應(yīng)力=1.0MPa ，膠縫的容許切應(yīng)力1 =0.4MPa，試確定容許荷載集度q。AB3mqFA=1.5qFB=1.5qz100100 50M圖Fs圖1.5q1.125q解：求支座反力；畫(huà)剪力圖與彎矩圖； 按正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定容許荷載； zWMmax 6125. 121bhq mkNq/33. 31010125. 161510321AB3mqFA=1.5qFB=1.5q100100 50M圖Fs圖1.5q1.5qz 按切應(yīng)力強(qiáng)度條件確定容許荷載； max32SFA mkNAq/67. 61015 . 415010025 . 42321.125q max221.53SAFqAB3mqFA=1.5qFB=1.5q1