河南理工大學計算機圖形學7章-3 曲面

1、第第5 5章章2 2/30/30計算機圖形學計算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 7.1 三維對象概述7.2 雙三次參數曲面7.3 雙三次參數曲面7.4 雙三次參數曲面7.5 雙三次參數曲面 7.5.1 Coons曲面 7.5.2 Bezier曲面 7.5.3 B樣條曲面第第5 5章章3 3/30/30計算機圖形學計算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 二次曲面（圓錐曲面）回轉面直紋曲面構造曲面第第5 5章章4 4/30/30計算機圖形學計算機圖

2、形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 第第5 5章章6 6/30/30計算機圖形學計算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 第第5 5章章7 7/30/30計算機圖形學計算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 18m，1800T，間隙30mm 水輪機，15片葉片， 10米，400T400多噸,價值200多萬元 瑞士ABB公司，切屑近10噸 第第5 5章章9 9/30/30計算機圖形學計

3、算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 工程常用的雙三次參數方程表示曲面片： 曲面的表示曲面的表示曲面：由邊界條件 構造曲面片 曲面片拼接曲面曲面片：是構造曲面的基本單元， 是以曲線為邊界的點的集合。 u0,1，w0,1 第第5 5章章1010/30/30計算機圖形學計算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 2四條邊界四條邊界 u=0 0w1 u=1 0w1 w=0 0u1 w=1 0u1 一、一、曲面片的邊界條件曲面片的邊界條件 1四個角點四個角點

4、u=0 w=0 曲面過Q(0,0)點，用P00表示 u=0 w=1 曲面過Q(0,1)點，用P01表示 u=1 w=0 曲面過Q(1,0)點，用P10表示 u=1 w=1 曲面過Q(1,1)點，用P11表示3八個切線矢量八個切線矢量 構造u=0、u=1、w=0、w=1邊界需要八個切線矢量： 第第5 5章章1111/30/30計算機圖形學計算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 4曲線上任意點確定曲線上任意點確定 當取0j1和0i1時， 令u=i、 w=j，兩條曲線的交點：Q(i，j)。W=ju=iPijuPijwPijuw

5、P10P00P11P01第第5 5章章1212/30/30計算機圖形學計算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 在Q(i，j)處存在u方向切矢： 在Q(i，j)處存在u方向切矢： 在Q(i，j)處存在混合導數（扭曲矢量）： 5任意點處的矢量任意點處的矢量 6構造曲面片的邊界條件構造曲面片的邊界條件第第5 5章章1313/30/30計算機圖形學計算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 7.5.1 孔斯曲面孔斯曲面 1. 孔斯曲面片的邊界條件孔斯曲面片的邊

6、界條件Hermite曲線：Q(t)=TMhGh=Fh(t)Gh2. 孔斯曲面片的數學形式孔斯曲面片的數學形式 1）對位置矢量： u=0 w=0 P00=a00 .(1) u=1 w=0 P10=a30+ a20+ a10+ a00 .(2) u=0 w=1 P01=a03+ a02+ a01+ a00 .(3) u=1 w=1 P11= a33+ a32+ . + a01 + a00 .(4) w=0 0u1w=1 0u1u=0 0w1u=1 0w1 第第5 5章章1414/30/30計算機圖形學計算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面

7、實體與曲線曲面 2) 對u方向的切線矢量： u=0 w=0 Pu00=a10 .(5) u=1 w=0 Pu10= 3a30+2a20+ a10 .(6) u=0 w=1 Pu01= a13+ a12+ a11+ a10 .(7) u=1 w=1 Pu11= 3a33+ 3a32+. + a11+ a10 .(8) 3) 對w方向的切線矢量 u=0 w=0 Pw00=a01 .(9) u=1 w=0 Pw10= a31+a21+a11+a01 .(10) u=0 w=1 Pw01=3a03+2a02+ a01 .(11) u=1 w=1 Pw11=3a33+3a32+.+a13+a12+a11

8、+a10 .(12) =3a33u2 w3+3a32u2 w2+3a31u2w+3a30u2 +2a23uw3+2a22uw2+2a21uw+2a20u +a13w3+a12w2+a11w +a10第第5 5章章1515/30/30計算機圖形學計算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 4). 對扭曲矢量 u=0 w=0 Puw00=a11 .(13) u=1 w=0 Puw10=3a31+2a21+a11 .(14) u=0 w=1 Puw01=3a13+2a12+ a11 .(15) u=1 w=1 Puw11=9a33

9、+6a32+. +3a13+2a12+a11 .(16) =9a33u2w2+6a32u2+3a31u2+6a23uw2+4a22uw+2a21u +3a13w2+2a12w+a11第第5 5章章1616/30/30計算機圖形學計算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 3. 中間曲線的定義令w=j，u=i ，求中間兩條曲線。當w=j時，Q(i，j)的端點：P0j、P1j ， 兩端點切矢：Pu0j、Pu1j 。 對u=0或u=1邊界上點u向切矢： Pu0j、Pu1j是隨著w的變化而變化的，其變化率 第第5 5章章1717/3

10、0/30計算機圖形學計算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 在四個頂點處：中間點的各切向矢量用兩端點處的切矢和扭矢來確定中間點的各切向矢量用兩端點處的切矢和扭矢來確定 第第5 5章章1818/30/30計算機圖形學計算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 對曲面上點Q(i，j)，是u=i和w=j兩條曲線的交點，根據Hermite曲線： u=i時，位置矢量： Pi0=Fh1(ui)P00+Fh2(ui)P10+Fh3(ui)Pu00+Fh4(ui)Pu

11、10Pi1=Fh1(ui)P01+Fh2(ui)P11+Fh3(ui)Pu01+Fh4(ui)Pu11u=i時，切向矢量：Pwi0=Fh1(ui)Pw00+Fh2(ui)Pw10+Fh3(ui)Puw00+Fh4(ui)Puw10Pwi1=Fh1(ui)Pw01+Fh2(ui)Pw11+Fh3(ui)Puw01+Fh4(ui)Puw11第第5 5章章1919/30/30計算機圖形學計算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 孔斯曲面的矩陣形式：孔斯曲面的矢量形式：u調和函數w調和函數調和函數矢矢量量矩矩陣陣第第5 5章章20

12、20/30/30計算機圖形學計算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 位置矢量 扭曲矢量 在實際中取為0 Fh(w)=w3 w2 w 1 . Fh(u)=u3 u2 u 1=第第5 5章章2121/30/30計算機圖形學計算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 三、孔斯曲面片的拼接三、孔斯曲面片的拼接 如何利用孔斯曲面片的表達式繪制孔斯曲面片？孔斯曲面片的表達式： Q(u，w)=UMhBWMh 0w1 0u1 把曲面片拼接成光滑的曲面，在拼接處：C1連

13、續(xù)。第第5 5章章2222/30/30計算機圖形學計算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 1連續(xù)曲面的幾何特性：連續(xù)曲面的幾何特性： 1）在連接方向上，邊界的兩端點重合（共點）； 2）兩曲面片具有公共邊界（共界）； 3）邊界上任何一點，在跨越邊界的方向上切線的方向 相同（共向）； 4）邊界上任何一點，在跨越邊界的方向上切線相同 或長度之比為常數（共線）2孔斯曲面拼接條件：孔斯曲面拼接條件： 1）P10Q00 P11Q01 2）Pw10Qw00 Pw11Qw01 3）Pu1jQu0j 4）Pu1jaQu0j 第第5 5章章

14、2323/30/30計算機圖形學計算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 7.5.2 Bezier曲面曲面1 Bezier曲面的定義 在空間給定(m+1)(n+1)個點Pi,j (i=0,1,2,m; j=0,1,2,n)后，所有的控制點構成的空間的一張網格稱為控制網格。則Bezier曲面的定義如下：0,1vu, )()(),(00,minjnjmijivBuBPvuQ 式中Bi,m(u)、Bj,n(v)分別為m及n次Bernstein 基函數:jnjjnnjimiimmivvCvBuuCuB)1()()1()(,第第5

15、5章章2424/30/30計算機圖形學計算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 雙三次雙三次BezierBezier曲面矩陣形式曲面矩陣形式(m=n=3) 1 23uuuU 1 23vvvVTTbbVMUMvuQG),(式中：式中：0001003303631331bM3 , 32 , 31 , 30 , 33 , 22 , 21 , 20 , 23 , 12 , 11 , 10 , 13 , 02 , 01 , 00 , 0PPPpPPPPPPPPPPPPG第第5 5章章2525/30/30計算機圖形學計算機圖形學2022

16、-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 下圖是雙三次Bezier曲面及其控制網格 雙三次Bezier曲面及其控制網格P0,0P3,0P0,3P3,3P1,0P2,0P0,1P0,2P3,1P1,1P2,1P1,2P2,2P2,3P1,3P2,3第第5 5章章2626/30/30計算機圖形學計算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 2 Bezier曲面的性質(1)(1)端點位置端點位置控制網格的四個角點正好是控制網格的四個角點正好是BezierBezier曲面的四個角點。

17、曲面的四個角點。nmnmPQPQPQPQ, 00,0, 0) 1 , 1 ( ;) 1 , 0(;)0 , 1 ( ;)0 , 0(2)(2)邊界線的位置邊界線的位置 控制網格最外一圈頂點定義Bezier曲面的四條邊界， P(0,v),P(u,0),P(1,v),P(u,1) 分別是以P00P01P02P0n,P00P10P20Pm0, Pm0Pm1Pm2PPmn, P0nP1nP2nPmn 為控制多邊形的Bezier曲線。第第5 5章章2727/30/30計算機圖形學計算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 (3)(3)

18、端點的切平面端點的切平面 由計算易知三角形P00P10P01，P0nP1nPmn，PmnPm-1,nPm,n-1，Pm0Pm-1,0Pm1所在的平面分別在點P00,P0n,Pmn,Pm0與曲面P(u,v)相切。(4)(4)端點的法向端點的法向 由端點的切平面知是P(u,v)在點P00的法向，其余各端點的法向的情況也類似。(5)(5)幾何不變性幾何不變性 由于曲面Q(u,v)的形狀僅與各個控制點的位置有關，與坐標系的選擇無關。第第5 5章章2828/30/30計算機圖形學計算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 3 Bezi

19、er 3 Bezier曲面的拼接曲面的拼接已知兩張雙三次Bezier曲面片： P： Q：)3,2, 1 ,0,(,jiPPji)3 , 2 , 1 , 0,(,jiQQji曲面片1曲面片2 (1) (1) 共界：共界： P P1 1(1,(1,v v)=)=Q Q2 2(0,(0,v v) )， 即有即有P P3,i= =Q Q0,i，i i=0,1,2,3=0,1,2,3 (2) (2)在曲面的拼接方向上切線連續(xù)，即跨界連續(xù)在曲面的拼接方向上切線連續(xù)，即跨界連續(xù) P P3,i- -P P2,i = =( (Q Q1,i- -Q Q0,i) )，i i=0,1,2,3=0,1,2,3實現實現G

20、 G1 1連續(xù)性的條件為：連續(xù)性的條件為： 在邊界上有公共切平面在邊界上有公共切平面 第第5 5章章2929/30/30計算機圖形學計算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 7.5.3 B7.5.3 B樣條曲面樣條曲面1 B1 B樣條曲面的定義樣條曲面的定義 設節(jié)點向量U=ui，V=vi，分別是對參數uv平面上的u軸和v軸的分割，稱下列張量積形式的參數曲面為m1m2 次B樣條曲面。 minjnjmiijvFuFPvup00,)()(),(u,v0.1第第5 5章章3030/30/30計算機圖形學計算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術學院計算機科學與技術學院第第4 4章章 實體與曲線曲面實體與曲線曲面 雙三次雙三次B B樣條曲面的表達形式樣條曲面的表達形式TTBBVPMUMvuQ),( 1 23uuuU 1 23vvvV014103030363133161BM3 , 32, 31 , 30 , 33 , 22, 21 , 20 , 23 , 12, 11 , 10 , 13 , 02, 01 , 00 , 0PPPpPPPPPPPPPPPPP第第5 5章章3131/30/30計算機圖形學計算機圖形學2022-5-2計算機科學與技術