河南理工大學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)7章-3 曲面

1、第第5 5章章2 2/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 7.1 三維對象概述7.2 雙三次參數(shù)曲面7.3 雙三次參數(shù)曲面7.4 雙三次參數(shù)曲面7.5 雙三次參數(shù)曲面 7.5.1 Coons曲面 7.5.2 Bezier曲面 7.5.3 B樣條曲面第第5 5章章3 3/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 二次曲面（圓錐曲面）回轉(zhuǎn)面直紋曲面構(gòu)造曲面第第5 5章章4 4/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖

2、形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 第第5 5章章6 6/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 第第5 5章章7 7/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 18m，1800T，間隙30mm 水輪機(jī)，15片葉片， 10米，400T400多噸,價值200多萬元 瑞士ABB公司，切屑近10噸 第第5 5章章9 9/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計

3、算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 工程常用的雙三次參數(shù)方程表示曲面片： 曲面的表示曲面的表示曲面：由邊界條件 構(gòu)造曲面片 曲面片拼接曲面曲面片：是構(gòu)造曲面的基本單元， 是以曲線為邊界的點(diǎn)的集合。 u0,1，w0,1 第第5 5章章1010/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 2四條邊界四條邊界 u=0 0w1 u=1 0w1 w=0 0u1 w=1 0u1 一、一、曲面片的邊界條件曲面片的邊界條件 1四個角點(diǎn)四個角點(diǎn)

4、u=0 w=0 曲面過Q(0,0)點(diǎn)，用P00表示 u=0 w=1 曲面過Q(0,1)點(diǎn)，用P01表示 u=1 w=0 曲面過Q(1,0)點(diǎn)，用P10表示 u=1 w=1 曲面過Q(1,1)點(diǎn)，用P11表示3八個切線矢量八個切線矢量 構(gòu)造u=0、u=1、w=0、w=1邊界需要八個切線矢量： 第第5 5章章1111/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 4曲線上任意點(diǎn)確定曲線上任意點(diǎn)確定 當(dāng)取0j1和0i1時， 令u=i、 w=j，兩條曲線的交點(diǎn)：Q(i，j)。W=ju=iPijuPijwPijuw

5、P10P00P11P01第第5 5章章1212/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 在Q(i，j)處存在u方向切矢： 在Q(i，j)處存在u方向切矢： 在Q(i，j)處存在混合導(dǎo)數(shù)（扭曲矢量）： 5任意點(diǎn)處的矢量任意點(diǎn)處的矢量 6構(gòu)造曲面片的邊界條件構(gòu)造曲面片的邊界條件第第5 5章章1313/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 7.5.1 孔斯曲面孔斯曲面 1. 孔斯曲面片的邊界條件孔斯曲面片的邊

6、界條件Hermite曲線：Q(t)=TMhGh=Fh(t)Gh2. 孔斯曲面片的數(shù)學(xué)形式孔斯曲面片的數(shù)學(xué)形式 1）對位置矢量： u=0 w=0 P00=a00 .(1) u=1 w=0 P10=a30+ a20+ a10+ a00 .(2) u=0 w=1 P01=a03+ a02+ a01+ a00 .(3) u=1 w=1 P11= a33+ a32+ . + a01 + a00 .(4) w=0 0u1w=1 0u1u=0 0w1u=1 0w1 第第5 5章章1414/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面

7、實(shí)體與曲線曲面 2) 對u方向的切線矢量： u=0 w=0 Pu00=a10 .(5) u=1 w=0 Pu10= 3a30+2a20+ a10 .(6) u=0 w=1 Pu01= a13+ a12+ a11+ a10 .(7) u=1 w=1 Pu11= 3a33+ 3a32+. + a11+ a10 .(8) 3) 對w方向的切線矢量 u=0 w=0 Pw00=a01 .(9) u=1 w=0 Pw10= a31+a21+a11+a01 .(10) u=0 w=1 Pw01=3a03+2a02+ a01 .(11) u=1 w=1 Pw11=3a33+3a32+.+a13+a12+a11

8、+a10 .(12) =3a33u2 w3+3a32u2 w2+3a31u2w+3a30u2 +2a23uw3+2a22uw2+2a21uw+2a20u +a13w3+a12w2+a11w +a10第第5 5章章1515/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 4). 對扭曲矢量 u=0 w=0 Puw00=a11 .(13) u=1 w=0 Puw10=3a31+2a21+a11 .(14) u=0 w=1 Puw01=3a13+2a12+ a11 .(15) u=1 w=1 Puw11=9a33

9、+6a32+. +3a13+2a12+a11 .(16) =9a33u2w2+6a32u2+3a31u2+6a23uw2+4a22uw+2a21u +3a13w2+2a12w+a11第第5 5章章1616/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 3. 中間曲線的定義令w=j，u=i ，求中間兩條曲線。當(dāng)w=j時，Q(i，j)的端點(diǎn)：P0j、P1j ， 兩端點(diǎn)切矢：Pu0j、Pu1j 。 對u=0或u=1邊界上點(diǎn)u向切矢： Pu0j、Pu1j是隨著w的變化而變化的，其變化率 第第5 5章章1717/3

10、0/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 在四個頂點(diǎn)處：中間點(diǎn)的各切向矢量用兩端點(diǎn)處的切矢和扭矢來確定中間點(diǎn)的各切向矢量用兩端點(diǎn)處的切矢和扭矢來確定 第第5 5章章1818/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 對曲面上點(diǎn)Q(i，j)，是u=i和w=j兩條曲線的交點(diǎn)，根據(jù)Hermite曲線： u=i時，位置矢量： Pi0=Fh1(ui)P00+Fh2(ui)P10+Fh3(ui)Pu00+Fh4(ui)Pu

11、10Pi1=Fh1(ui)P01+Fh2(ui)P11+Fh3(ui)Pu01+Fh4(ui)Pu11u=i時，切向矢量：Pwi0=Fh1(ui)Pw00+Fh2(ui)Pw10+Fh3(ui)Puw00+Fh4(ui)Puw10Pwi1=Fh1(ui)Pw01+Fh2(ui)Pw11+Fh3(ui)Puw01+Fh4(ui)Puw11第第5 5章章1919/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 孔斯曲面的矩陣形式：孔斯曲面的矢量形式：u調(diào)和函數(shù)w調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)矢矢量量矩矩陣陣第第5 5章章20

12、20/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 位置矢量 扭曲矢量 在實(shí)際中取為0 Fh(w)=w3 w2 w 1 . Fh(u)=u3 u2 u 1=第第5 5章章2121/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 三、孔斯曲面片的拼接三、孔斯曲面片的拼接 如何利用孔斯曲面片的表達(dá)式繪制孔斯曲面片？孔斯曲面片的表達(dá)式： Q(u，w)=UMhBWMh 0w1 0u1 把曲面片拼接成光滑的曲面，在拼接處：C1連

13、續(xù)。第第5 5章章2222/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 1連續(xù)曲面的幾何特性：連續(xù)曲面的幾何特性： 1）在連接方向上，邊界的兩端點(diǎn)重合（共點(diǎn)）； 2）兩曲面片具有公共邊界（共界）； 3）邊界上任何一點(diǎn)，在跨越邊界的方向上切線的方向 相同（共向）； 4）邊界上任何一點(diǎn)，在跨越邊界的方向上切線相同 或長度之比為常數(shù)（共線）2孔斯曲面拼接條件：孔斯曲面拼接條件： 1）P10Q00 P11Q01 2）Pw10Qw00 Pw11Qw01 3）Pu1jQu0j 4）Pu1jaQu0j 第第5 5章章

14、2323/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 7.5.2 Bezier曲面曲面1 Bezier曲面的定義 在空間給定(m+1)(n+1)個點(diǎn)Pi,j (i=0,1,2,m; j=0,1,2,n)后，所有的控制點(diǎn)構(gòu)成的空間的一張網(wǎng)格稱為控制網(wǎng)格。則Bezier曲面的定義如下：0,1vu, )()(),(00,minjnjmijivBuBPvuQ 式中Bi,m(u)、Bj,n(v)分別為m及n次Bernstein 基函數(shù):jnjjnnjimiimmivvCvBuuCuB)1()()1()(,第第5

15、5章章2424/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 雙三次雙三次BezierBezier曲面矩陣形式曲面矩陣形式(m=n=3) 1 23uuuU 1 23vvvVTTbbVMUMvuQG),(式中：式中：0001003303631331bM3 , 32 , 31 , 30 , 33 , 22 , 21 , 20 , 23 , 12 , 11 , 10 , 13 , 02 , 01 , 00 , 0PPPpPPPPPPPPPPPPG第第5 5章章2525/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022

16、-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 下圖是雙三次Bezier曲面及其控制網(wǎng)格 雙三次Bezier曲面及其控制網(wǎng)格P0,0P3,0P0,3P3,3P1,0P2,0P0,1P0,2P3,1P1,1P2,1P1,2P2,2P2,3P1,3P2,3第第5 5章章2626/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 2 Bezier曲面的性質(zhì)(1)(1)端點(diǎn)位置端點(diǎn)位置控制網(wǎng)格的四個角點(diǎn)正好是控制網(wǎng)格的四個角點(diǎn)正好是BezierBezier曲面的四個角點(diǎn)。

17、曲面的四個角點(diǎn)。nmnmPQPQPQPQ, 00,0, 0) 1 , 1 ( ;) 1 , 0(;)0 , 1 ( ;)0 , 0(2)(2)邊界線的位置邊界線的位置 控制網(wǎng)格最外一圈頂點(diǎn)定義Bezier曲面的四條邊界， P(0,v),P(u,0),P(1,v),P(u,1) 分別是以P00P01P02P0n,P00P10P20Pm0, Pm0Pm1Pm2PPmn, P0nP1nP2nPmn 為控制多邊形的Bezier曲線。第第5 5章章2727/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 (3)(3)

18、端點(diǎn)的切平面端點(diǎn)的切平面 由計算易知三角形P00P10P01，P0nP1nPmn，PmnPm-1,nPm,n-1，Pm0Pm-1,0Pm1所在的平面分別在點(diǎn)P00,P0n,Pmn,Pm0與曲面P(u,v)相切。(4)(4)端點(diǎn)的法向端點(diǎn)的法向 由端點(diǎn)的切平面知是P(u,v)在點(diǎn)P00的法向，其余各端點(diǎn)的法向的情況也類似。(5)(5)幾何不變性幾何不變性 由于曲面Q(u,v)的形狀僅與各個控制點(diǎn)的位置有關(guān)，與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。第第5 5章章2828/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 3 Bezi

19、er 3 Bezier曲面的拼接曲面的拼接已知兩張雙三次Bezier曲面片： P： Q：)3,2, 1 ,0,(,jiPPji)3 , 2 , 1 , 0,(,jiQQji曲面片1曲面片2 (1) (1) 共界：共界： P P1 1(1,(1,v v)=)=Q Q2 2(0,(0,v v) )， 即有即有P P3,i= =Q Q0,i，i i=0,1,2,3=0,1,2,3 (2) (2)在曲面的拼接方向上切線連續(xù)，即跨界連續(xù)在曲面的拼接方向上切線連續(xù)，即跨界連續(xù) P P3,i- -P P2,i = =( (Q Q1,i- -Q Q0,i) )，i i=0,1,2,3=0,1,2,3實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)G

20、 G1 1連續(xù)性的條件為：連續(xù)性的條件為： 在邊界上有公共切平面在邊界上有公共切平面 第第5 5章章2929/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 7.5.3 B7.5.3 B樣條曲面樣條曲面1 B1 B樣條曲面的定義樣條曲面的定義 設(shè)節(jié)點(diǎn)向量U=ui，V=vi，分別是對參數(shù)uv平面上的u軸和v軸的分割，稱下列張量積形式的參數(shù)曲面為m1m2 次B樣條曲面。 minjnjmiijvFuFPvup00,)()(),(u,v0.1第第5 5章章3030/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第第4 4章章 實(shí)體與曲線曲面實(shí)體與曲線曲面 雙三次雙三次B B樣條曲面的表達(dá)形式樣條曲面的表達(dá)形式TTBBVPMUMvuQ),( 1 23uuuU 1 23vvvV014103030363133161BM3 , 32, 31 , 30 , 33 , 22, 21 , 20 , 23 , 12, 11 , 10 , 13 , 02, 01 , 00 , 0PPPpPPPPPPPPPPPPP第第5 5章章3131/30/30計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)2022-5-2計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)