立體幾何專題講座

1、丹陽市2005年全員培訓(xùn)專題講座材料立體幾何專題講座丹陽市第五中學(xué)朱國良第一部分高考中的立體幾何高考立體幾何試題一般共有4道（選擇、填空題3道,解答題1道）,共計(jì)總分26分左右，考查的知識(shí)點(diǎn)在20個(gè)以內(nèi).選擇填空題主要考查立幾中的計(jì)算型問題，而解答題則著重考查立幾中的邏輯推理型問題，當(dāng)然，二者均應(yīng)以正確的空間想象為前提。隨著新的課程改革的進(jìn)一步實(shí)施，立體幾何考題正朝著“多一點(diǎn)思考，少一點(diǎn)計(jì)算”的方向發(fā)展。一、考試內(nèi)容：平面及其基本性質(zhì)。平行直線，對(duì)應(yīng)邊分別平行的角，異面直線所成的角，異面直線的公垂線，異面直線的距離。直線和平面平行的判定與性質(zhì)，直線和平面垂直的判定與性質(zhì)，點(diǎn)到平面的距離，斜線在

2、平面上的射影，直線和平面所成的角，三垂線定理及其逆定理。平行平面的判定與性質(zhì)，平行平面間的距離，二面角及其平面角，兩個(gè)平面垂直的判定與性質(zhì)。多面體、棱柱、棱錐、正多面體、球。其中，從歷年的考題變化看，重點(diǎn)考查的內(nèi)容是以多面體為載體的線線、線面、面面的平行與垂直的判定與性質(zhì)，三垂線定理及逆定理，線線、線面、面面所成的角及有關(guān)的距離計(jì)算。、考試要求（1）掌握平面的基本性質(zhì)，能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形，能夠根據(jù)圖形想象它們的位置關(guān)系。（2）了解空間兩條直線的位置關(guān)系，掌握兩條直線平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理，掌握兩條直線所成的角和距離的概念（對(duì)于異面直線的距離，只要求會(huì)計(jì)

3、算已給出公垂線時(shí)的距離）。（3）了解空間直線和平面的位置關(guān)系，掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，理解直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離的概念，了解三垂線定理及其逆定理。（4）了解平面與平面的位置關(guān)系，掌握兩個(gè)平面平行的判定定理和性質(zhì)定理。掌握二面角、二面角的平面角、兩個(gè)平面間的距離的概念，掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理。（5）會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的問題。（6）了解多面體的概念，了解凸多面體的概念。（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會(huì)畫直棱柱的直觀圖。（8）了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)，會(huì)畫正棱錐的直觀圖。（9）了解

4、正多面體的概念，了解多面體的歐拉公式。（10）了解球的概念，掌握球的性質(zhì)，掌握球的表面積、體積公式。高考試題的特點(diǎn)是：試題以中等難度為主，兼有少量容易題；融線面關(guān)系與立體圖形之中，以線面關(guān)系的分析為主；融推理論證與幾何量的計(jì)算之中，以推理論證為主。試題在考查四個(gè)能力-空間想象能力、推理判斷能力、邏輯表達(dá)能力及計(jì)算能力的同時(shí)，非常重視對(duì)數(shù)學(xué)素質(zhì)和基本的數(shù)學(xué)思想方法的考查，試題主要體現(xiàn)了立體幾何的通性通法，突出了化歸思想、轉(zhuǎn)化思想，以及反證法、模型法、等積變換等思想和方法。考題主要分為兩類，一類是空間線面關(guān)系的判斷、推理；一類是幾何量（如角度、距離、面積、體積等）的計(jì)算。前者應(yīng)畫圖或識(shí)圖，借助圖形

5、分析思考，應(yīng)充分、熟練地運(yùn)用相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理，要能從文字語言、符號(hào)語言、圖形語言全方位準(zhǔn)確理解，要廣泛聯(lián)想，合理轉(zhuǎn)化，從整體上把握與處理。后者一般分三個(gè)步驟：作圖證明計(jì)算。尤其是證明必不可少，應(yīng)引起學(xué)生高度重視。三、學(xué)習(xí)目標(biāo)1在掌握直線與平面的位置關(guān)系（包括直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系）的基礎(chǔ)上，研究有關(guān)平行和垂直的的判定依據(jù)（定義、公理和定理）、判定方法及有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用；在有關(guān)問題的解決過程中，進(jìn)一步了解和掌握相關(guān)公理、定理的內(nèi)容和功能，并探索立體幾何中論證問題的規(guī)律；在有關(guān)問題的分析與解決的過程中提高邏輯思維能力、空間想象能力及化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。2在掌握

6、空間角（兩條異面直線所成的角，平面的斜線與平面所成的角及二面角）概念的基礎(chǔ)上，掌握它們的求法（其基本方法是分別作出這些角，并將它們置于某個(gè)三角形內(nèi)通過計(jì)算求出它們的大?。辉诮鉀Q有關(guān)空間角的問題的過程中，進(jìn)一步鞏固關(guān)于直線和平面的平行垂直的性質(zhì)與判定的應(yīng)用，掌握作平行線（面）和垂直線（面）的技能；通過有關(guān)空間角的問題的解決，進(jìn)一步提高學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力及運(yùn)算能力。3通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生更好地掌握多面體有關(guān)概念、性質(zhì)，并能夠靈活運(yùn)用到解題過程中。通過教學(xué)使學(xué)生掌握基本的立體幾何解題方法和常用解題技巧，發(fā)掘不同問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，提高解題能力。4使學(xué)生更好地理解多面體與旋轉(zhuǎn)體的體積及其計(jì)

7、算方法，提高空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力四、雙基透視1. 有關(guān)平行與垂直（線線、線面及面面）的問題，是在解決立體幾何問題的過程中，大量的、反復(fù)遇到的，而且是以各種各樣的問題（包括論證、計(jì)算角、與距離等）中不可缺少的內(nèi)容，因此在主體幾何的總復(fù)習(xí)中，首先應(yīng)從解決“平行與垂直”的有關(guān)問題著手，通過較為基本問題，熟悉公理、定理的內(nèi)容和功能，通過對(duì)問題的分析與概括，掌握立體幾何中解決問題的規(guī)律一一充分利用線線平行（垂直）、線面平行（垂直）、面面平行（垂直）相互轉(zhuǎn)化的思想，以提高邏輯思維能力和空間想象能力.2. 判定兩個(gè)平面平行的方法：（1）根據(jù)定義一一證明兩平面沒有公共點(diǎn)；（2）判定定理一一證明一個(gè)

8、平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面；（3）證明兩平面同垂直于一條直線。3 兩個(gè)平面平行的主要性質(zhì)：由定義知：“兩平行平面沒有公共點(diǎn)”。由定義推得：“兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：“如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行”。一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等。經(jīng)過平面外一點(diǎn)只有一個(gè)平面和已知平面平行。以上性質(zhì)、在課文中雖未直接列為“性質(zhì)定理”，但在解題過程中均可直接作為性質(zhì)定理引用。4 空間的角和距離是空間圖形中最基本的數(shù)量關(guān)系，空間的角主要研究射影以及與射影有關(guān)的定

9、理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等解這類問題的基本思路是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解決?？臻g的角，是對(duì)由點(diǎn)、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關(guān)系進(jìn)行定量分析的一個(gè)重要概念，由它們的定義，可得其取值范圍，如兩異面直線所成的兀兀"I角氏（0,-），直線與平面所成的角兩0,，二面角的大小，可用它們的平面角212來度量，其平面角（0,n）。對(duì)于空間角的計(jì)算，總是通過一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的角，并把它置于一個(gè)平面圖形，而且是一個(gè)三角形的內(nèi)角來解決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與垂直來實(shí)現(xiàn)的，因此求這些角的過程也是直線、平面的平行與

10、垂直的重要應(yīng)用通過空間角的計(jì)算和應(yīng)用進(jìn)一步培養(yǎng)運(yùn)算能力、邏輯推理能力及空間想象能力。如求異面直線所成的角常用平移法（轉(zhuǎn)化為相交直線）；求直線與平面所成的角常利用射影轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；而求二面角:-1的平面角(記作曲通常有以下幾種方法：(1) 根據(jù)定義；(2) 過棱I上任一點(diǎn)0作棱I的垂面，設(shè)n:.=OA,n1=OB,則/AOB=二(圖1);(3) 利用三垂線定理或逆定理，過一個(gè)半平面：內(nèi)一點(diǎn)A,分別作另一個(gè)平面的垂線AB(垂足為B),或棱I的垂線AC(垂足為C)，連結(jié)AC,則/ACB=二或/ACB=二一2圖2);(4) 設(shè)A為平面：外任一點(diǎn)，AB丄：，垂足為B,AC丄爲(wèi)垂足為C,則/BA

11、C=二或/BAC=二一圖3);(5) 利用面積射影定理，設(shè)平面內(nèi)的平面圖形F的面積為S,F在平面1內(nèi)的射I影圖形的面積為S,則cos-=空間的距離問題，主要是求空間兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、兩條異面直線之間(限于給出公垂線段的)、平面和它的平行直線、以及兩個(gè)平行平面之間的距離.求距離的一般方法和步驟是：一作一一作出表示距離的線段；二證一一證明它就是所要求的距離；三算一一計(jì)算其值此外，我們還常用體積法求點(diǎn)到平面的距離.棱柱的概念和性質(zhì)理解并掌握棱柱的定義及相關(guān)概念是學(xué)好這部分知識(shí)的關(guān)鍵，要明確“棱柱直棱柱正棱柱”這一系列中各類幾何體的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。平行六面體是棱柱中的一類重要的幾何體，要理

12、解并掌握“平行六面體直平行六面體f長方體宀正四棱柱7正方體”這一系列中各類幾何體的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。須從棱柱的定義出發(fā)，根據(jù)第一章的相關(guān)定理對(duì)棱柱的基本性質(zhì)進(jìn)行分析推導(dǎo)，以求更好地理解、掌握并能正確地運(yùn)用這些性質(zhì)。關(guān)于平行六面體，在掌握其所具有的棱柱的一般性質(zhì)外，還須掌握由其定義導(dǎo)出的一些其特有的性質(zhì)，如長方體的對(duì)角線長定理是一個(gè)重要定理并能很好地掌握和應(yīng)用。還須注意，平行六面體具有一些與平面幾何中的平行四邊形相對(duì)應(yīng)的性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)及解題思路去解平行六面體的問題是一常用的解題方法。多面體與旋轉(zhuǎn)體的問題離不開構(gòu)成幾何體的基本要素點(diǎn)、線、面及其相互關(guān)系，.S.圖1圖2圖3因此，很多

13、問題實(shí)質(zhì)上就是在研究點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，與直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體第一部分的問題相比，唯一的差別就是多了一些概念，比如面積與體積的度量等從這個(gè)角度來看，點(diǎn)、線、面及其位置關(guān)系仍是我們研究的重點(diǎn)多面體與旋轉(zhuǎn)體的體積問題是直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體課程當(dāng)中相對(duì)獨(dú)立的課題體積和面積、長度一樣，都是度量問題常用“分割與補(bǔ)形”，算出了這些幾何體的體積.7. 歐拉公式：如果簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V,面數(shù)F,棱數(shù)E,那么V+F-E=2.計(jì)算棱數(shù)E常見方法：(1) E=V+F-2;(2) E=各面多邊形邊數(shù)和的一半；(3) E=頂點(diǎn)數(shù)與共頂點(diǎn)棱數(shù)積的一半。&經(jīng)緯度及球面距離根據(jù)經(jīng)線和緯線的意義可知，某地的經(jīng)

14、度是一個(gè)二面角的度數(shù)，某地的緯度是一個(gè)線面角的度數(shù)，設(shè)球0的地軸為NS,圓0是0°緯線，半圓NAS是0°經(jīng)線，若某地P是在東經(jīng)120°，北緯40°,我們可以作出過P的經(jīng)線邙PS交赤道于B,過P的緯線圈圓Oi交NAS于A，那么則應(yīng)有：/AO!P=代0°(二面角的平面角)，/POB=40。(線面角)。兩點(diǎn)間的球面距離就是連結(jié)球面上兩點(diǎn)的大圓的劣弧的長，因此，求兩點(diǎn)間的球面距離的關(guān)鍵就在于求出過這兩點(diǎn)的球半徑的夾角。C大圓劣弧AP的長例如，可以循著如下的程序求A、P兩點(diǎn)的球面距離。/AOP的弧度數(shù)線段AP的長在應(yīng)用球體積公式時(shí)要注意公式中給出的是球半

15、徑R,而在實(shí)際問題中常給出9.球的表面積及體積公式S球表=4nR243V球=nR3球的外徑(直徑)。球與其它幾何體的切接問題，要仔細(xì)觀察、分析，弄清相關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選擇最佳角度作出截面，以使空間問題平面化。10.主要題型：以棱柱、棱錐為載體，考查線面平行、垂直，夾角與距離等問題。利用歐拉公式求解多面體頂點(diǎn)個(gè)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)。求球的體積、表面積和球面距離。解題方法：求球面距離一般作出相應(yīng)的大圓，轉(zhuǎn)化為平面圖形求解。第二部分高二立體幾何在高二教學(xué)中要注意：1要給學(xué)生正確的觀念，就是公理意識(shí)，推理意識(shí)，樹立“先猜想，后證明”的思維方式。2.要明確直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體中所述的兩個(gè)平面、兩

16、條直線是指兩個(gè)不重合的平面、兩條直線。3. 從認(rèn)識(shí)平面圖形到認(rèn)識(shí)立體圖形是一次飛躍，建立空間觀念要有一個(gè)過程。因此，教師可讓學(xué)生自制一些空間幾何模型并反復(fù)觀察，有空就對(duì)一些立體圖形進(jìn)行觀察、揣摩，并且判斷其中的線線、線面、面面位置關(guān)系，探索各種角、各種垂線作法。4要用圖形、文字、符號(hào)三種語言形式表達(dá)概念、定理、公式，要及時(shí)不斷地復(fù)習(xí)前面學(xué)過的內(nèi)容。要多用圖表示概念和定理，多在頭腦中“證明”定理和構(gòu)造定理的“圖”。要學(xué)會(huì)用圖（畫圖、分解圖、變換圖）幫助解決問題。5在解答問題的過程中，注意培養(yǎng)他們的語言表述能力和“說話要有根據(jù)”的邏輯思維的習(xí)慣，提高思維品質(zhì)。如立體幾何計(jì)算題三個(gè)步驟：作圖證明計(jì)算

17、中尤其是證明必不可少，把應(yīng)該寫的話寫出來，而且必須寫對(duì)才行，如二面角的平面角等，這應(yīng)引起學(xué)生高度重視。6在解題中，要書寫規(guī)范，如用平行四邊形ABCD表示平面時(shí)，可以寫成平面AC,但不可以把平面兩字省略掉;要寫出解題根據(jù)，不論對(duì)于計(jì)算題還是證明題都應(yīng)該如此，不能想當(dāng)然或全憑直觀,對(duì)于提出的命題,不要輕易肯定或否定它,要多用幾個(gè)特例進(jìn)行檢驗(yàn),最好做到否定舉出反面例子,肯定給出證明；對(duì)于文字證明題,要寫已知和求證,要畫圖;用定理時(shí),必須把題目滿足定理的條件逐一交待清楚,自己心中有數(shù)而不把它寫出來是不行的。7要使學(xué)生掌握轉(zhuǎn)化思想、化歸思想，特別是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的思想意識(shí)和方法,并提高

18、空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力。如將求點(diǎn)到平面距離的問題,或轉(zhuǎn)化為求直線到平面距離的問題,再繼而轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面距離的問題；或轉(zhuǎn)化為體積的問題。&要掌握求各種角、距離的基本方法和推理證明的基本方法一一分析法、綜合法、反證法。要不斷提高分析問題、解決問題的水平:一方面從已知到未知,另一方面從未知到已知,尋求正反兩個(gè)方面的知識(shí)銜接點(diǎn)一個(gè)固有的或確定的數(shù)學(xué)關(guān)系。要不斷提高反省認(rèn)知水平,積極反思自己的學(xué)習(xí)活動(dòng),從經(jīng)驗(yàn)上升到自動(dòng)化,從感性上升到理性,加深對(duì)理論的認(rèn)識(shí)水平,提高解決問題的能力和創(chuàng)造性。9.選題時(shí)要把握好難度，別把學(xué)生嚇住，要努力保持住好不容易調(diào)動(dòng)起來的興趣！附：立體幾何學(xué)習(xí)口訣學(xué)好立幾并不難，空間觀念最關(guān)鍵點(diǎn)線面體是一家，共筑立幾百花園點(diǎn)在線面用屬于，線在面內(nèi)用包