拉普拉斯變換公式總結(jié)..

1、拉普拉斯變換.連續(xù)時間系統(tǒng)的S域分析基本要求通過本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)深刻理解拉普拉斯變換的定義、收斂域的概念：熟練掌握拉普拉斯變換的性質(zhì)、卷積定理的意義及它們的運用。能根據(jù)時域電路模型畫出S域等效電路模型，并求其沖激響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。能根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分布情況分析、判斷系統(tǒng)的時域與頻域特性。理解全通網(wǎng)絡(luò)、最小相移網(wǎng)絡(luò)的概念以及拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系。會判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。知識要點1. 拉普拉斯變換的定義及定義域(1) 定義單邊拉普拉斯變換：正變換$/(，)=尸訂逆變換<F(5)=/(0=Fs)es，ds2和J嚴雙邊拉普拉斯變換：正變換尸2)=匸/("

2、;力逆變換幾)=缶匚;幾(%(2) 定義域若b>%時，hmft)ea，=0則/幺在曠礙的全部范圍內(nèi)收斂，積分Lf嚴f存在，即/的拉普拉斯變換存在。就是/的單邊拉普拉斯變換的收斂域。5,與函數(shù)/(f)的性質(zhì)有關(guān)。2. 拉普拉斯變換的性質(zhì)(1) 線性性若4川)=仟(S),亂川)=&(S)，心，心為常數(shù)時，則納£(f)+K2f2(0=耳耳G)+K2F2(5)(2) 原函數(shù)微分若/(01=尸(s)則飢竽=曲-/(0_)d”gdtnH-l"尸($)-工廠嚴(0_)r=0式中/tr)(0_)是r階導(dǎo)數(shù)馬®在0_時刻的取值。dt(3) 原函數(shù)積分若</=尸，

3、則門匸=型+XJ(OJ式中/f(0_)=匸f(t)dtss(4) 延時性若</(01=F(s)，則af(t-3(r-U=廠°F(s)(5) s域平移若</(01=F(s)，則af(f)ea,=F(s+a)(6) 尺度變換1s若G“)=F(s)，則亂gf)=F()(a>0)aa(7) 初值定理limf(t)=/(0.)=hvnsF(s)(8) 終值定理Innf(t)=limsF(s)(9) 卷積定理若G/C)=巧(s)，G厶(f)=的(s)，則有afM=F)F2(S)Iira+/xZ(0A(0=(s)*F2(5)=-fFM)F2-p)dp2托)2兀)皿產(chǎn)3. 拉普拉斯

4、逆變換(1) 部分分式展開法首先應(yīng)用海維賽展開定理將F(s)展開成部分分式，然后將各部分分式逐項進行逆變換，最后疊加起來即得到原函數(shù)/(f)o(2) 留數(shù)法留數(shù)法是將拉普拉斯逆變換的枳分運算轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)F(s)est在闈線中所有極點的留數(shù)運算，即l)F(5)=a'/XF(s)ex,ds=(f>F(s)es,ds=yF(s)es,的留數(shù)若必為一階級點，則在極點5=pt處的留數(shù)D=(sp)F(s)嚴f(=1ijA:-1若p,為k階級點，則<=衛(wèi)護詁仏0仁4. 系統(tǒng)函數(shù)(網(wǎng)絡(luò)函數(shù))H(s)(1)定義系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的拉普拉斯變換與激勵的拉普拉斯變換之比稱為系統(tǒng)函數(shù)，即H(s)=

5、企旦沖激響應(yīng)/?(f)與系統(tǒng)函數(shù)H($)構(gòu)成變換對，即H(s)=/?(/)系統(tǒng)的頻率E(s)響應(yīng)特性H(jw)=H(s)|“=片(加)0叫式中，片(加)|是幅頻響應(yīng)特性，0(w)是相頻響應(yīng)特性。(2)零極點分布圖H（s）=性2=K（$-ZjG-QV-S）D（$）（5一必）（s-代）（$-幾）式中，K是系數(shù)；石，J為H(s)的零點；p,p2,，幾為H(s)的極點。在s平面上，用“O”表示零點，“X”表示極點。將/的全部零點和極點畫在s平面上得到的圖稱為系統(tǒng)的零極點分布圖。對于實系統(tǒng)函數(shù)而言，其零極點要么位于實軸上，要么關(guān)于實軸成鏡像對稱分布。(3) 全通函數(shù)如果一個系統(tǒng)函數(shù)的極點位于左半平面，零

6、點位于右半平面，而且零點與極點對于丿“軸互為鏡像，那么這種系統(tǒng)函數(shù)稱為全通函數(shù)，此系統(tǒng)則為全通系統(tǒng)或全通網(wǎng)絡(luò)。全通網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的幅頻特性是常數(shù)。(4) 最小相移函數(shù)如呆系統(tǒng)函數(shù)的全部極點和零點均位于s平面的左半平面或丿力軸，則稱這種函數(shù)為最小相移函數(shù)。具有這種網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的系統(tǒng)為最小相移網(wǎng)絡(luò)。(5) 系統(tǒng)函數(shù)H($)的求解方法錯誤味找到引用源。由沖激響應(yīng)加)求得，即HG)=J/2(f)。錯誤!未找到引用源。對系統(tǒng)的微分方程進行零狀態(tài)條件卞的拉普拉斯變換，然后由H(s)=獲得。EG)錯誤!未找到引用源.根據(jù)s域電路模型，求得零狀態(tài)響應(yīng)的像函數(shù)與激勵的像函數(shù)之比，即為H。5. 系統(tǒng)的穩(wěn)定性若系統(tǒng)對任意的有

7、界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則此系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定系統(tǒng)的時域判決條件M(充要條件)錯誤!未找到引用源。若系統(tǒng)是因果的，則錯誤味找到引用源。式可改寫為(2)對于因果系統(tǒng)，其穩(wěn)定性的s域判決條件錯誤!未找到引用源。若系統(tǒng)函數(shù)H(s)的全部極點落于s左半平面，則該系統(tǒng)穩(wěn)定；錯誤!未找到引用源。若系統(tǒng)函數(shù)H(S)有極點落于s右半平面，或在虛軸上具有二階以上的極點，則該系統(tǒng)不穩(wěn)定；錯誤!未找到引用源。若系統(tǒng)函數(shù)H(s)沒冇極點落于S右半平面，但在虛軸上有一階極點,則該系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。內(nèi)容摘要拉氏變換的定義和收斂域一. 拉普拉斯S典型信號的拉氏變換部分分式展開法二. 單邊拉氏變換逆變換的求法VI圍線積

8、分法三. 拉氏變換的基本性質(zhì)四. 用拉普拉斯變換法分析電路系統(tǒng)函數(shù)的定義五系統(tǒng)函數(shù)J由零極點的決定系統(tǒng)的時域特性、I由零極點的分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性I由零極點的分析系統(tǒng)的頻響特性例題例題1:求拉氏變換例題2：求拉氏變換,拉氏變換的性質(zhì)例題3：_拉氏變換的微分性質(zhì)例題4：系統(tǒng)函數(shù),求解系統(tǒng)的響應(yīng)例題5：用拉氏變換法分析電路例41求卜列函數(shù)的拉氏變換分析拉氏變換有單邊和雙邊拉氏變換,為了區(qū)別起見，本書以尸(s)表示/(/)單邊拉氏變換，以化(s)表示/(f)雙邊拉氏變換。若文字中未作說明,則指單邊拉氏變換。單邊拉氏變換只研4究fno的時間函數(shù)，因此，它和傅里葉變換之間有一些差異，例如在時移定理，微分定理

9、和初值定理等方面。本例只討論時移定理。請注意本例各函數(shù)間的差異和時移定理的正確應(yīng)用。解答f(j)=Lrw(f-1)=-1)+61例42分析和傅里葉變換類似，求拉氏變換的時，往往要借助基本信號的拉氏變換和拉氏變換的性質(zhì),這比按拉氏變換的定義式積分簡單，為比較起見，本例用多種方法求解。解答方法一：按定義式求解方法二：利用線性疊加和時移性質(zhì)求解方法三：利用微分性質(zhì)求解方法四：利用卷積性質(zhì)求解方法一：按定義式求解方法二：利用線性疊加和時移性質(zhì)求解由于f(r)=i)r/(/1)+(/-2»f(r-2)°)=F($)嚴是F(s)=(l-2e-s+e-24)s=A(l-e7s方法三：利用

10、微分性質(zhì)求解分析信號的波形僅由直線組成，信號導(dǎo)數(shù)的象函數(shù)容易求得，或者信號經(jīng)過幾次微分后出現(xiàn)原信號，這時利用微分性質(zhì)比較簡單。根據(jù)微分性質(zhì)d2(1)1(1)2(-2)=s2F(s)-r(0-)-sf(0-)由圖42(b)可以看出/(r)=o,/r(o-)=o于是s2F(s)=(l-e4)2方法四：利用卷積性質(zhì)求解/(/)可看作是圖4-2(c)所示的矩形脈沖/；(/)自身的卷積于是，根據(jù)卷積性質(zhì)恥)=耳(£訊($)4-2(c)S例43應(yīng)用微分性質(zhì)求圖43（a）中£（從厶厶（/的象函數(shù)下面說明應(yīng)用微分性質(zhì)應(yīng)注意的問題，圖4.3<b）厶（）是的導(dǎo)數(shù)/（4/X4/X0的波形。

11、3Okfi(!)=3嘆)f2(t)=2+u(t)3-2厶（/）=必）圖43(a)解答(1)嚴死)0圖4-4(b)說明（1）對于單邊拉氏變換，由于/；（/）=（心）,故二者的彖函數(shù)相同，即琲)=幾($)=寸S雖然仟（0=場（“但用）工£（0因而咖皿對于&(小由T71(o_)=o,故4>7(f)"F($)-O=3對丁7上），由T/2（0_）=2,故4/7«)=曲($)-2=17（3）a紺2（瀬/為尸階導(dǎo)數(shù)相同，但UoJ=2,兒（0.）=0，因此f2（!）=£/（x）dX+/2（°-）=£/（x）dX+2A（0=X+厶（0）=

12、£/（x）dX因而琲）=存兇）+“（0）£sss璘）+礙（/）+如0.）士sss這是應(yīng)用微分性質(zhì)應(yīng)特別注意的問題。由圖4-3（b）知L/；（r）=5F（5）-0=3則（5）=|4/：（r）=5F（5）-2=l則巴（s）=5厶（/）=3（.Qdx則厶（$）=耳5（/）+1人（0一）=丄SSS例44某線性時不變系統(tǒng)，在非零狀條件不變的情況下，三種不同的激勵信號作用于系統(tǒng)。當輸入，）=死耐，系統(tǒng)的輸出為向=馳）+誠）；當輸入心。）="（必肘，系統(tǒng)的輸出J0=3e_/“（0當輸入?！埃閳D中所示的矩形脈沖時，求此時系統(tǒng)的輸出兒0）。aM)1oJ23tji(0=兒(0+兒(

13、0=兒«)+“(0川)=兒«)+W)=兒(0+曠叫)=兒«)+g«)幾G）-必）=加）+"«卜馳）-2/(r)=<50-e"zw0"(/)=力(/)-兒(f)=Jl(0-K(0=2e_/«(0S8階躍響應(yīng)g(0=2(0-(0=e_/M兒(/)=兒(J+g(/-l)-g(/-3)=2e_/“(/)+e如)u(f-1)_e7Tu«一3)例45電路如圖4-5(a)所示(1) 求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。(2) 求系統(tǒng)的起始狀態(tài)/L(0jvc(0.)使系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)等于沖激響應(yīng)。求系統(tǒng)的起始狀態(tài)，使系統(tǒng)對

14、”。舶激勵時的気全響應(yīng)仍為w(r)o4一5(a)解答(1)求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。系統(tǒng)沖激響應(yīng)/心)與系統(tǒng)函數(shù)H(s)是一對拉氏變換的關(guān)系。對H(s)求逆變換可求得力(f),這種方法比在時域求解微分方程簡便。利用£域模型圖45(b)可直寫出圖45(a)電路的系統(tǒng)函數(shù)1花R+sL+sC匚(0.)令s2+2s+l沖激響應(yīng)/?0=r,H(s)=re-/u(t)(2)求系統(tǒng)的起始狀態(tài)恥)o：S"T4一5(b)為求得系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，應(yīng)寫出系統(tǒng)的微分方程或給出帶有初值的$域模型。下面我們用s域模型求解。圖45仗)電路的s域模型如圖45(b)°由圖45(b)可以寫出匕屛(心矗嚴)出

15、的E($)|b+2cJ+L(0js2+2s+1s2+2s+l零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)(1)1014上式中第二項只和系統(tǒng)起始狀態(tài)有關(guān)，因此該項是零輸入響應(yīng)的拉氏變換。依題意的要求,該項應(yīng)和H（s）相等，從而得（s+2>c（O.）+iL（O.）=l故系統(tǒng)的起始狀態(tài)（0-）=0譏0卜1說明通過本例可以看出，改變系統(tǒng)的起始狀態(tài)可以使系統(tǒng)的完全響應(yīng)滿足某些特定要求。本質(zhì)上，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)完全由系統(tǒng)的起始狀態(tài)決定，對一個穩(wěn)定系統(tǒng)而言，零輸入響應(yīng)是暫態(tài)響應(yīng)中的一部分，因此，改變系統(tǒng)的起始狀態(tài)只能改變系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)，使暫態(tài)響應(yīng)滿足某些特定要求，例如，本例要求暫態(tài)響應(yīng)為零。（3）求系統(tǒng)的起始狀態(tài)當激勵信號如

16、）=廟）根據(jù)式（1）求得完全響應(yīng)v3=7+«+2九（0）+匚（0）s2+2s+ls2+2s+l_1十2+（*+）+）s+s2+2s+l+s2+2s+l由該式容易看出，要儻全響應(yīng)?冷袴于激勵信號（小有（s+2>c（O.）+/I（0_）-s-2=0從而求得系統(tǒng)的起始狀態(tài)%（0.）=1匚（0）=0附錄A拉普拉斯變換及反變換1表AT拉氏變換的基本性質(zhì)線性定理齊次性疊加性Laf(t)=aF(s)L/1(0±/2(/)=F1(5)±F2(5)2微分定理一般形式屮y)-sF(s)T(O)dtC'=”(0)-ff(0)厶；丫)=s"F)-±s-k

17、f(0)ats初始條件為0時叫田=$"F3積分定理一般形式厶”(側(cè)=8+2呱ss2AjiX£H/a)W=甲+£島”九sfc-15初始條件為0時可"()"=爭4延遲定理(或稱f域平移定理)Lf(t-T)l(t-T)=e-TsF(5)5衰減定理(或稱$域平移定理)Lf(t)ea,=F(S+a)6終值定理limf(t)=limsF(s)5->07初值定理lullft)=lullsF(s)fTO8卷積定理或£(1)啟)必=町加)人(")必=仟(s)&(S)2.表A-2常用函數(shù)的拉氏變換和z變換表序號拉氏變換E(s)時間

18、函數(shù)e(t)Z變換E(z)118(t)121/i-0z1-嚴Z-l31S1(f)zZ-l41tTz5"(7515?廠Tdi)2(761嚴tn気Jr7ndanz-eaT71Q-gZs+aeZ-eaT81tea,TzeaT($+4)'z_"29al-ea,(1-宀乙5(5+a)(Z-l)(Ze-aT)10b-azz(s+%+b)eeZ-earZ-ebT11cosm(DtZsineTs2+co2V-2zcos講+112scoscetZ(Z-coseT)S+CDZ2-IzcqscdT+113CD嚴sincotzeaTsmcdT(s+a)2+eZ-2zeaTcos<yT+礦邁14s+a嚴cos勁Z2-Z嚴coscoT($+a)+co2z2-2ze-aTcoscST+e-2aT151川7zs-(1/7、)IncClZ-a3.用查表法進行拉氏反變換用查表法進行拉氏反變換的關(guān)鍵在于將變換式進行部分分式展開，然后逐項查表進行反變換。設(shè)尸($)是s的有理真分式F(s)=如2=仇+毎$+化A(5)ansn+匕+%$+q