讓一題多解激發(fā)學(xué)生的思維(1)發(fā)表于少年科普2011

1、讓一題多解激發(fā)學(xué)生的思維前蘇聯(lián)學(xué)者茹科夫斯基提出：“數(shù)學(xué)里有詩畫那樣美的境界”，如果讓每一位學(xué)生如觀賞風(fēng)景般地來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，自然就會(huì)其樂無窮，興趣盎然。但傳統(tǒng)的定勢(shì)思維卻在很大程度上禁錮了學(xué)生思維空間的拓展，讓數(shù)學(xué)失去了生動(dòng)性，增添了枯燥性，而在教學(xué)中注重思維的拓展，適當(dāng)?shù)囊活}多解可以激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和去創(chuàng)造的強(qiáng)烈愿望，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的深刻理解，訓(xùn)練學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的嫻熟運(yùn)用，開闊學(xué)生的視野，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維。下面就以我區(qū)2011年八年級(jí)上學(xué)期期中考試的一道習(xí)題，談一談一題多解。原題第問如圖：點(diǎn)MN分別是x軸正半軸及射線0A上的一點(diǎn)，且0H丄MN的延長線于H,滿足/HON=/NMO

2、,猜想MN、0H的數(shù)量關(guān)系，并給出證明?！居芍狝(4,4)】解析：第一問、第二問的解法略，下面就第三問從不同的角度探究它的解法。猜想線段MN與線段0H的數(shù)量關(guān)系，通過量一量，猜想MN=20H。結(jié)合平常的學(xué)習(xí)，證明一條長線段是另一條短線段的2倍，常常用到截取法或延長法解法1:如圖1:延長0H至Q點(diǎn)，使OH=OQ，連結(jié)QM并交0A于R.則0Q=20H.HM丄0H,/0HM=/QHM=90又HM為公共邊0HMQHM(SAS),/-ZHM0=/QMH又/HM0=ZH0A,/ZH0A=ZQMHvZ0NH=ZM0R,/Z0HM=ZNRM=90.由知ZA0M=450，/0R=RM.易證0RQAMRN(ASA

3、).0Q=MN,而0Q=20H./MN=20H分析：這種解法的思想就是用到了倍長法，使0Q=20H,只須證明0Q=MN即可。解法2:如圖2。作MN的中垂線并交0A的延長2線于R點(diǎn)，垂足為K點(diǎn)，連結(jié)RM。易證RNKRMK(SAS)./ZRNK=ZRMK.v0H/RK,/ZH0R=ZKRN,又/HOR=/HMO/HMO=/KRN,vZRNK+/KRN=900,/HMO+ZRMH=900即ZOMR=90.由知ZAOM=45,OM=RM.易證OHMMKR(AAS)./MK=OH.又MN=2MK,二MN=2OH.分析：這種解法通過作MN的中垂線，得到了MN的中點(diǎn)，既知MN=2MK,只須構(gòu)建全等三角形即可

4、證明OH=MK。這里實(shí)際上也用到了截取法的思想。解法3:如圖3.過N點(diǎn)作ND丄OM于D點(diǎn)并交OH的延長線于E點(diǎn)vZEOD+ZE=900,ZEOD+ZNMD=900.ZE=ZNMD,vZHON=ZNMDZE=ZHON,ON=NEvHM丄OEaZOHN=ZEHN, OHN也EHN(AAS).HE=OH.貝UOE=2OH.由知ZAOM=450,OD=DN易證ODEANDM(AAS). OE=MN,MN=2OH.分析：這種解法的思想是通過作垂線，從另外的途徑(構(gòu)建全等三角形)得到OH的2倍的線段(OE),再只須證明OE=MN.解法4:如圖4.取MN的中點(diǎn)R,過R作RQ丄MN于Q點(diǎn)，連結(jié)NQ.則MN=2

5、NR.易證NQRMQR(SAS).則ZQNR=ZQMR ZHON=ZQMR,/HON=ZQNRvZHON+ZANM=900, ZQNR+ZANM=900即ZONQ=9O0.由知ZAOM=450,ON=NQ易證OHNNRQ(AAS).NR=OH.,MN=2OH.分析：這種解法的思想就是用到了截取法，即取線段MN的中點(diǎn)R,再設(shè)法構(gòu)建全等三角形，證明MN的一半等于OH即可得證。解法5:如圖5作/NOM的角平分線0K,過0點(diǎn)作R0丄OK并交MN的延長線于R點(diǎn)。/HON=/OMN,又0H丄NM，丫0丄0M,/A0M=450./H0N=/0MN=/Y0H=22.50.aZRK0=450.0KR為等腰直角三

6、角形，則0K=0R,RK=20H.vZK0M=/KM0,0K=KM,/0R=KM,vZR0N=ZRN0=67.5,.0R=RN,KM=RN,二MN=RK,故MN=20H.分析：這種解法的思想就是聯(lián)系到等腰直角三角形的斜邊是斜邊上的高的2倍,即構(gòu)建以0H為斜邊上的高的等腰直角三角形RK0，再設(shè)法證明RK=MN即可。此題如果學(xué)習(xí)了其它的知識(shí)點(diǎn)還有其它的方法。如方法6就是一例解法6:如圖6.以0M為直徑作Oc,交0A于Q點(diǎn)，連結(jié)QM,HC,HC交0Q于R.取QM的中點(diǎn)K，過K點(diǎn)作KL丄QM交MN于L點(diǎn)。vZH0Q=ZHMQ,二0H弧=HQ弧，二H0丄0Q,貝U0R=RQ.1v0Q/KL,QK=KM?.；LN=LM.貝ULM=MN2由知ZA0M=45,又Z0QM=90,v0Q=QM,0R=KM.易證0HRMLK(AAS)./0H=LM.,貝UMN=20H.分析：這種解法的思想就是通過作輔助圓，利用平行線等分線段定理得到線段MN的中點(diǎn)，再設(shè)法構(gòu)建全等三角形證明0H等于MN的一半此題通過一題多解，知識(shí)點(diǎn)不斷得到了靈活運(yùn)用，也提高了學(xué)生思維的敏捷性和靈活性?？傊?，在教學(xué)中讓學(xué)生學(xué)會(huì)一題多解，有利于啟迪思維，開闊視野，全方位思考問題，分析問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和解題技巧。在教學(xué)中，有時(shí)還利用一題多變，而一題多變的形式，可以訓(xùn)練學(xué)生積極思維，觸類旁通，兩者都