南京工業(yè)大學傳遞工程第7章 熱傳導

1、第七章第七章熱傳導熱傳導熱傳導熱傳導q一一、熱傳導方程及定解條件熱傳導方程及定解條件 q二二、一維穩(wěn)態(tài)導熱一維穩(wěn)態(tài)導熱 q三三 、非穩(wěn)態(tài)導熱非穩(wěn)態(tài)導熱一一、熱傳導方程及定解條件熱傳導方程及定解條件 PCqzTyTxTtT 2222221導熱微分方程導熱微分方程 直角坐標直角坐標：柱坐標柱坐標： PCqzTTrrTrrrtT 2222211球坐標球坐標： PCqTrTrrTrrrtT 222222sin1sinsin11一維一維( x 向或向或 r 向向)導熱微分方程導熱微分方程： 直角坐標直角坐標： 22xTtT 柱坐標柱坐標： rTrrrtT1 球坐標球坐標： rTrrrtT221 通式通式

2、： )(1xTxxxtTii 2定解條件定解條件v導熱微分方程是對導熱物體內部溫度場內在規(guī)導熱微分方程是對導熱物體內部溫度場內在規(guī)律的描述，適用于所有的導熱過程，是一普遍律的描述，適用于所有的導熱過程，是一普遍適用方程。適用方程。v要獲得特定條件下導熱問題的解必須附加限制要獲得特定條件下導熱問題的解必須附加限制條件條件, ,這些限制條件稱為定解條件。這些限制條件稱為定解條件。v定解條件包括時間條件（定解條件包括時間條件（初始條件初始條件）和）和邊界條邊界條件件。v所以，導熱問題完整的數學描述應包括其導熱所以，導熱問題完整的數學描述應包括其導熱微分方程和相應的定解條件微分方程和相應的定解條件。

3、定解條件定解條件 v初始條件初始條件（I.C.） 反映研究對象的特定歷史條件。反映研究對象的特定歷史條件。 追溯了在某個初始時刻的狀態(tài)追溯了在某個初始時刻的狀態(tài)。v邊界條件邊界條件（B.C.） 反映所研究對象是處于怎樣的特定環(huán)境。反映所研究對象是處于怎樣的特定環(huán)境。 環(huán)境通過體系的邊界將如何影響所研究的對象環(huán)境通過體系的邊界將如何影響所研究的對象。q 下面以下面以傳熱為例傳熱為例寫出相應的初始條件和邊界條件。寫出相應的初始條件和邊界條件。q給定某時刻物體內的溫度或濃度分布，寫為：給定某時刻物體內的溫度或濃度分布，寫為： 傳熱傳熱 傳質傳質 )0 ,(zyxAA 對于對于初始時刻物體內溫度或濃度

4、處處均勻分布的情況，寫為：初始時刻物體內溫度或濃度處處均勻分布的情況，寫為： 傳熱傳熱 傳質傳質 )0 ,(zyxTT 0, 0TTt 0, 0AAt 1）初始條件初始條件2 2）邊界條件）邊界條件 v即物體邊界上與環(huán)境的換熱或傳質條件。即物體邊界上與環(huán)境的換熱或傳質條件。v對導熱、擴散問題通常有三類不同的邊界條件對導熱、擴散問題通常有三類不同的邊界條件 。直接給出邊界上（任意時刻）的數值直接給出邊界上（任意時刻）的數值。傳熱傳熱 傳質傳質 第一類邊界條件第一類邊界條件（記為記為B.C.I）ASA STT 第二類邊界條件第二類邊界條件（記為記為B.C.II）給出邊界上的導數值（梯度值、通量值）

5、給出邊界上的導數值（梯度值、通量值）傳質傳質 0 lxxTkq如溫度分布中心對稱如溫度分布中心對稱(x =0)，則寫為則寫為 00 xxTSAABAysyDj 傳熱傳熱 如某一端面如某一端面(L)絕熱，則可具體寫為絕熱，則可具體寫為 SysyTkq kh ,AbbT , 給出邊界上物體與周圍流體之間對流傳遞系數給出邊界上物體與周圍流體之間對流傳遞系數 以及與周圍流體溫度或濃度平均值以及與周圍流體溫度或濃度平均值 之間的關系式。之間的關系式。已知已知 k , Ab傳質傳質 )(AbASSAABkyD 傳熱傳熱 )(|bSSTThyTk 已知已知 h, Tb 第三類邊界條件第三類邊界條件（記為記為

6、B.C.III） 流體側對流傳熱通量流體側對流傳熱通量SsTk bSTTh 固體側界面處的導熱通量固體側界面處的導熱通量 B.C.III第三類邊界條件最為復雜，其實質包含第三類邊界條件最為復雜，其實質包含了第一類邊界條件和第二類邊界條件了第一類邊界條件和第二類邊界條件在一些特殊情況下可以將在一些特殊情況下可以將 B.C.III 轉為轉為B.C.I或或B.C.II，使問題簡化使問題簡化。仍以仍以傳熱傳熱為例給以說明。為例給以說明。,bsTTh 則則B.C.III 轉化為轉化為B.C.I當流體側為絕熱保溫材料時當流體側為絕熱保溫材料時， , 0|, 0 syTh則則B.C.III 轉化為轉化為B.

7、C.II)(|bSSTThyTk 當流體側有強烈的攪拌當流體側有強烈的攪拌, , 使得物體邊界與周圍使得物體邊界與周圍流體之間的流體之間的對流熱阻對流熱阻非常小時非常小時, ,邊界條件可寫為邊界條件可寫為平均溫度平均溫度 又可稱為熱衡算溫度，截面平均溫度，主體溫度又可稱為熱衡算溫度，截面平均溫度，主體溫度。 平均濃度平均濃度 bAzAAbuAdAu 又可稱截面平均濃度，主體濃度又可稱截面平均濃度，主體濃度。bAzuAdAuT dAuCdAuTCTAPAPb q有了導熱微分基本方程式，就可根據實有了導熱微分基本方程式，就可根據實際情況選擇適當的初始條件和邊界條件際情況選擇適當的初始條件和邊界條件

8、來求特定條件下的解。來求特定條件下的解。q求解的過程需要用到數學知識求解的過程需要用到數學知識q邊界條件，初始條件的確定則要憑借工邊界條件，初始條件的確定則要憑借工程經驗程經驗。二二、一維穩(wěn)態(tài)導熱一維穩(wěn)態(tài)導熱 v1. 大平板穩(wěn)態(tài)導熱大平板穩(wěn)態(tài)導熱v2. 長圓柱體穩(wěn)態(tài)導熱長圓柱體穩(wěn)態(tài)導熱 ( (有內熱源有內熱源) )v3. 圓球及圓殼內的穩(wěn)態(tài)導熱（有內熱源）圓球及圓殼內的穩(wěn)態(tài)導熱（有內熱源） 在工程實踐中會遇到在工程實踐中會遇到溫度隨時間變化溫度隨時間變化的的非非穩(wěn)態(tài)導熱問題穩(wěn)態(tài)導熱問題。實際上，只要物體受到加熱或冷卻，就會產生非實際上，只要物體受到加熱或冷卻，就會產生非穩(wěn)態(tài)導熱問題穩(wěn)態(tài)導熱問題

9、。例如，食物冷卻、化凍、工件的淬火、鑄件的冷例如，食物冷卻、化凍、工件的淬火、鑄件的冷卻、土壤溫度的變化、熱動力設備起停時部件溫卻、土壤溫度的變化、熱動力設備起停時部件溫度的變化等，都涉及熱量傳遞的非穩(wěn)態(tài)過程度的變化等，都涉及熱量傳遞的非穩(wěn)態(tài)過程。 三、非穩(wěn)態(tài)導熱三、非穩(wěn)態(tài)導熱 三、非穩(wěn)態(tài)導熱三、非穩(wěn)態(tài)導熱q在工程問題中，需要知道當物體表面的熱狀態(tài)在工程問題中，需要知道當物體表面的熱狀態(tài)發(fā)生變化時，物體內給定的溫度變化到某一確發(fā)生變化時，物體內給定的溫度變化到某一確定值需要的時間，這也是非穩(wěn)態(tài)導熱問題定值需要的時間，這也是非穩(wěn)態(tài)導熱問題。q在本節(jié)將著重討論在本節(jié)將著重討論薄壁薄壁、無限大物體無

10、限大物體、厚厚壁物體壁物體非穩(wěn)態(tài)導熱中的非穩(wěn)態(tài)導熱中的溫度分布及求解溫度分布及求解方法方法。q非穩(wěn)態(tài)導熱過程中物體內的溫度隨時間變化，非穩(wěn)態(tài)導熱過程中物體內的溫度隨時間變化，所以過程的分析和計算比穩(wěn)態(tài)導熱困難。所以過程的分析和計算比穩(wěn)態(tài)導熱困難。非穩(wěn)態(tài)導熱過程的特點非穩(wěn)態(tài)導熱過程的特點 v非穩(wěn)態(tài)導熱過程的最主要特點是，物體內部的非穩(wěn)態(tài)導熱過程的最主要特點是，物體內部的溫度場隨時間和空間變化。溫度場隨時間和空間變化。 v出現這種特點的原因是，當邊界上換熱情況突出現這種特點的原因是，當邊界上換熱情況突然變化后，隨時間推移，物體內部溫度將由表然變化后，隨時間推移，物體內部溫度將由表及里地逐漸發(fā)生變化

11、。及里地逐漸發(fā)生變化。 v如果邊界上維持變化后的換熱狀態(tài)，則非穩(wěn)態(tài)如果邊界上維持變化后的換熱狀態(tài)，則非穩(wěn)態(tài)導熱過程將過渡到穩(wěn)態(tài)過程導熱過程將過渡到穩(wěn)態(tài)過程。 非穩(wěn)態(tài)導熱過程的特點非穩(wěn)態(tài)導熱過程的特點從非穩(wěn)態(tài)導熱過程的起因從非穩(wěn)態(tài)導熱過程的起因邊界換熱情況變邊界換熱情況變化這一因素化這一因素來看來看，3 3種不同邊界條件種不同邊界條件對物對物體內部溫度隨時間和空間變化的影響也有所不體內部溫度隨時間和空間變化的影響也有所不同，但其實質是一樣的，都是由于邊界條件的同，但其實質是一樣的，都是由于邊界條件的變化引起物體內能變化所造成的變化引起物體內能變化所造成的。 本節(jié)主要內容本節(jié)主要內容 1. 薄壁物

12、體的非穩(wěn)態(tài)導熱薄壁物體的非穩(wěn)態(tài)導熱（集總熱容法集總熱容法 Bi 0.1 ）2. 半半無限大物體的非穩(wěn)態(tài)導熱無限大物體的非穩(wěn)態(tài)導熱（F0 Tb 。q討論：物體內溫度隨時間的變化關系討論：物體內溫度隨時間的變化關系。q解決薄壁物體非穩(wěn)態(tài)導熱問題，因為在微分方程的簡解決薄壁物體非穩(wěn)態(tài)導熱問題，因為在微分方程的簡化過程中化過程中不可能引用邊界條件不可能引用邊界條件，所以不能直接采用導，所以不能直接采用導熱微分方程。熱微分方程。v解決的辦法是：解決的辦法是：1. 將邊界對流換熱條件視為將邊界對流換熱條件視為 微分方程中的內熱源微分方程中的內熱源 2. 直接從直接從熱平衡概念熱平衡概念出發(fā)求解出發(fā)求解。

13、方法一方法一-導熱微分方程導熱微分方程 由上面給出的條件，可以得到邊界處換熱量，進而得由上面給出的條件，可以得到邊界處換熱量，進而得到內熱源發(fā)熱率為到內熱源發(fā)熱率為 得得 VATThCdtdTb)(1 Ck 薄壁導熱微分方程薄壁導熱微分方程VATThqb)( kqzTyTxTtT 2222221 導熱微分方程導熱微分方程將上式代入導熱微分方程將上式代入導熱微分方程 kqdTdT 1方法二方法二- 對物體進行熱衡算對物體進行熱衡算v環(huán)境得到的熱量物體內部放出的熱量環(huán)境得到的熱量物體內部放出的熱量即即 環(huán)境得到環(huán)境得到 的熱量的熱量移項后得移項后得 VATThCdtdTb)(1 (7-26)薄壁導

14、熱微分方程薄壁導熱微分方程dtdTVC ATThb)( 物體內部物體內部放出熱量放出熱量考慮初始條件為考慮初始條件為 將上述方程分離變量，時間從將上述方程分離變量，時間從 0 t，溫度從，溫度從T0 T 積分得積分得 積分得：積分得： tVChATTTTbo | )ln(0, 0TTt tTTbbdtVChATTTTd00)( VATThCdtdTb)(1 集總熱容法集總熱容法得到薄壁物體內的溫度分布得到薄壁物體內的溫度分布 tVChAbbeTTTT 0（7-28）上式上式給出了薄壁物體在環(huán)境溫度為常數的對流條件給出了薄壁物體在環(huán)境溫度為常數的對流條件下，物體內的溫度隨時間的變化關系，見圖下，

15、物體內的溫度隨時間的變化關系，見圖 。 tVChAbbeTTTT 0此式表明，物體內部溫度隨時間呈指數衰減，且經歷時間越長，此式表明，物體內部溫度隨時間呈指數衰減，且經歷時間越長，物體內的溫度離初始值越遠，最終物體溫度趨于流體溫度物體內的溫度離初始值越遠，最終物體溫度趨于流體溫度。 溫度隨時間的衰減關系圖溫度隨時間的衰減關系圖（7-28）未變分數未變分數分析上式中指數項的物理意義。將指數其分解為分析上式中指數項的物理意義。將指數其分解為 tCVkAkAhV22 2)(AVt 式中右側第二項稱之為式中右側第二項稱之為Fouier準數準數，可視為無因次時間可視為無因次時間 tVChAbbeTTTT

16、 0kAVh tCVAh 式中右側第一項稱之為式中右側第一項稱之為Biot準數準數，可視為兩熱阻之比可視為兩熱阻之比 畢渥特畢渥特(Biot)準數的物理意義準數的物理意義越越大大意味著物體內部意味著物體內部溫度越不均勻溫度越不均勻，溫度梯度較大，溫度梯度較大，內部內部導熱熱阻起控制導熱熱阻起控制作用作用。 當當 Bi 0.1，物體內各點溫度之間的偏差小于物體內各點溫度之間的偏差小于0.5%，可視為薄壁物體導熱問題可視為薄壁物體導熱問題, , 采用采用集總熱容法集總熱容法處理處理。 hkAVBi1 物體外表面對流熱阻物體外表面對流熱阻物體內部導熱熱阻物體內部導熱熱阻 越越小小物體內部溫度趨于均勻

17、，物體內部溫度趨于均勻，對流熱阻起控制作用對流熱阻起控制作用。 kAVh傅里葉傅里葉（Fouier）準數準數 20)(AVtF 故故， 可視為可視為無因次時間無因次時間。 越越，表示溫度表示溫度入物體內部，內部溫度也越入物體內部，內部溫度也越 接近周圍介質溫度。因此小接近周圍介質溫度。因此小值導熱可視為厚物體導熱值導熱可視為厚物體導熱。 smmsAVt222)( 式中指數具有時間量綱，式中指數具有時間量綱，稱為稱為時間常數時間常數。這意味著，經過這意味著，經過一個時間常數一個時間常數段，物體與環(huán)境的溫差段，物體與環(huán)境的溫差是初始溫差是初始溫差 ( (T0 -Tb) ) 的的36.8%（溫度未變

18、分率溫度未變分率） 即即一個時間常數一個時間常數是物體溫度是物體溫度 ( (T-Tb) )相對初始溫差變化相對初始溫差變化了總變量的了總變量的 63.2 % 所需要的時間所需要的時間。 用用 tr 表示，即表示，即368. 010 eTTTTbbhAVCtr 當當 t = tr 時，有時，有 tVChAbbeTTTT 0當當 t = tr 時，時， TbT已變分率已變分率 0.6321個時間常數個時間常數368. 010 eTTTTbb有有hAVCtr T0未變分率未變分率 0.368當當 t = 4 tr 時時， 未變分率未變分率此時即可認為此導熱過程已達到此時即可認為此導熱過程已達到穩(wěn)定狀

19、態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)。 它反映了薄壁物體動態(tài)過程的一種性質它反映了薄壁物體動態(tài)過程的一種性質，tr 越小，響應就越越小，響應就越快快。018. 040 eTTTTbb時間常數時間常數 tr 是物體在一定換熱條件下的屬性是物體在一定換熱條件下的屬性 368. 010 eTTTTbb時間常數時間常數 tr時間常數時間常數 trv由由該式作為指導，工程制作該式作為指導，工程制作時，希望時，希望熱電偶的熱電偶的 tr 要小。要小。v能在盡可能短的時間內反映流體溫度的變化能在盡可能短的時間內反映流體溫度的變化意味著意味著：q熱電偶材料的熱容熱電偶材料的熱容, V, C 要小要小， q熱電偶的體積熱電偶的體積 V/

20、A 要小要小, q熱電偶盡量放在氣流大的位置熱電偶盡量放在氣流大的位置，即即 h 要要大大。hAVCtr 式中長度因次式中長度因次 V/A 為物體的體積與其傳熱表為物體的體積與其傳熱表面積之比，對于不同的規(guī)則物體分別有面積之比，對于不同的規(guī)則物體分別有 ： 3RAV 23434RR ： 2RAV RLLR 22RL ： 6LAV 236LL式中式中 R 為柱和球的半徑為柱和球的半徑，L 為柱長或正立方體的邊長為柱長或正立方體的邊長。 集總熱容法集總熱容法將指數的準數代入上述溫度分布式將指數的準數代入上述溫度分布式（7-28），），得到得到 （7-32）上式反映了薄壁物體在環(huán)境溫度為常數的對流傳

21、熱條件下，上式反映了薄壁物體在環(huán)境溫度為常數的對流傳熱條件下，物體內的溫度隨時間物體內的溫度隨時間呈指數衰減變化關系呈指數衰減變化關系。 00FBibbeTTTT 瞬時熱流量瞬時熱流量： ATThQb)( 上面分析了溫度隨時間的變化關系，上面分析了溫度隨時間的變化關系， 現在設法找出物體與環(huán)境的熱交換量，現在設法找出物體與環(huán)境的熱交換量， 即物體傳熱量隨時間變化關系即物體傳熱量隨時間變化關系。)(0btVChATTeAh 集總熱容法集總熱容法 (Bi 0.1)集總熱容法集總熱容法 (Bi 0.1) tTdtQQ0 ttVChAbdthAeTT00)( 以上討論的均為物體被以上討論的均為物體被冷

22、卻冷卻的情況，同樣可以對被的情況，同樣可以對被加熱加熱或邊界條件換為其他形式時的薄壁物體的導熱進行求解或邊界條件換為其他形式時的薄壁物體的導熱進行求解。 )(0btVChATTeAhQ )1()(0tVChAbeVCTT 從從 0 到到 t 時刻間所交換的時刻間所交換的： 【例例】應用舉例應用舉例 John警長，在一炎熱夏天的警長，在一炎熱夏天的凌晨凌晨2 2點，從食品點，從食品冰庫中發(fā)現一具被害尸體，發(fā)現時體溫為冰庫中發(fā)現一具被害尸體，發(fā)現時體溫為8 0C，1 1小時后體溫降為小時后體溫降為0 0C，冰庫溫度為冰庫溫度為30 0C。因為被害者被放在某個通風不良的角落中，因因為被害者被放在某個

23、通風不良的角落中，因此對流換熱系數此對流換熱系數h很小，由此推斷很小，由此推斷 Bi 0.1 。請您根據以上數據請您根據以上數據, , 初步判斷被害人是什么時初步判斷被害人是什么時候遇害的候遇害的？ tce 當當 t=1h 時時， 冰庫溫度為冰庫溫度為30 0C得得： 236. 0 c求遇害時間求遇害時間： )30()30( 378發(fā)現時體溫為發(fā)現時體溫為8 0C說明遇害人被害時間約在前一天晚上說明遇害人被害時間約在前一天晚上11點點30分分。 解得解得：1 cete236. 0 )30(8)30(0 1 1小時小時后體溫后體溫從從8 0C降為降為0 0CtCAhVbobeTTTT / 【解解

24、】 因為因為Bi0.1） v所謂半無限大物體是指這樣一類物體，當該物體一個邊所謂半無限大物體是指這樣一類物體，當該物體一個邊界上換熱條件發(fā)生變化時，在給定時間內物體總界上換熱條件發(fā)生變化時，在給定時間內物體總存在存在某個部分，其溫度不發(fā)生變化。某個部分，其溫度不發(fā)生變化。 v如如就是一個例子，當地表溫度發(fā)生變化時，地就是一個例子，當地表溫度發(fā)生變化時，地表面以下總存在某個區(qū)域不受這個變化影響表面以下總存在某個區(qū)域不受這個變化影響。 v這類導熱又可分為表面熱阻這類導熱又可分為表面熱阻可以忽略可以忽略和表面熱阻和表面熱阻不可不可以忽略以忽略的兩種情況的兩種情況。 1）表面熱阻可以忽略的情況表面熱阻

25、可以忽略的情況 v現假定有一半無限大物體，其現假定有一半無限大物體，其初始溫度初始溫度T T0 0為均勻分為均勻分布在物體內部，布在物體內部，v在在 t = 0 時刻時刻，在在 x = 0 處的處的表面溫度突然上升到表面溫度突然上升到Ts（無表面熱阻的結果無表面熱阻的結果) )，并保持不變，見圖，并保持不變，見圖。 v試確定此情況下物體溫度隨時間和位置的變化關系試確定此情況下物體溫度隨時間和位置的變化關系 T = f ( x, t ) v求熱流通量求熱流通量 q 的變化關系的變化關系。 半無限大物體內溫度隨時間的變化半無限大物體內溫度隨時間的變化圖圖 （ Ts T0 加熱過程）加熱過程）B.C

26、.I溫度沒變化部分溫度沒變化部分與上圖不同，講義給出的是冷卻的例子。與上圖不同，講義給出的是冷卻的例子。（1）方程及定解條件方程及定解條件 22xTtT :IC:BCSTTx , 0 0, 0TTt 0,TTx 導熱微分方程導熱微分方程： 定解條件定解條件： （2）方程求解方程求解 引入一個新的引入一個新的組合變量組合變量： tT tT )2(tT xT tT 41 22xT 代入上式代入上式2241 Tttx 4 23)21(4 txT 于是對復合函數進行求導于是對復合函數進行求導： xT 22xTtT 代入導熱微分方程使其轉變?yōu)榇雽嵛⒎址匠淌蛊滢D變?yōu)槌Ｎ⒎址匠坛Ｎ⒎址匠蹋?deTTTT

27、ss 0022或或 高斯誤差函數高斯誤差函數 半無限大物體的溫度分布半無限大物體的溫度分布式中高斯誤差函數是一標準函數，可從附錄中查取式中高斯誤差函數是一標準函數，可從附錄中查取。 0222 ddTdTd)()4(0 GtxerfTTTTss 積分上式，并代入積分上式，并代入定解條件定解條件得到得到溫度分布表達式溫度分布表達式 (7-44)TsT0T未變分率未變分率0TTTTss 方程的左側為無因次溫度，其物理意義是方程的左側為無因次溫度，其物理意義是 溫度的未變分率溫度的未變分率（3）討論討論 )4(0txerfTTTTss c. 在同一時刻在同一時刻 t ，隨距離增加溫度下降；隨距離增加溫

28、度下降；d. 方程中有三個未知數方程中有三個未知數 x , t , T， 只要知道其中只要知道其中2 2個，即可求出另外一個個，即可求出另外一個。b. 在同一在同一 x 處，隨時間的增長溫度升高處，隨時間的增長溫度升高；0TTTTss 1tx 1tL 當當，此時此時 x 為滲透深度為滲透深度可則按半無限大物體處理可則按半無限大物體處理。 實際應用時常寫成實際應用時常寫成 1 . 020 LtF xx=0 處的斜率處的斜率0TT e. 當當F0 0的任一時刻平板內的溫度分布的任一時刻平板內的溫度分布。 由于平板兩個表面與環(huán)境對流換熱情況一樣，由于平板兩個表面與環(huán)境對流換熱情況一樣，故溫度分布為中

29、心對稱面（中心面溫度對稱故溫度分布為中心對稱面（中心面溫度對稱 相當于絕熱面）；相當于絕熱面）；取直角坐標系，取直角坐標系，x = 0 的平面取在平板的中心的平面取在平板的中心面上，如圖面上，如圖7-67-6所示。只需研究厚度為所示。只需研究厚度為2L2L的一的一半平板即可。半平板即可。下面對這一導熱情況建立方程和進行求解下面對這一導熱情況建立方程和進行求解。 1 1）忽略表面熱阻的非穩(wěn)態(tài)導熱）忽略表面熱阻的非穩(wěn)態(tài)導熱 時間時間表面溫度表面溫度任意時刻任意時刻 溫度溫度x離板中心的位置離板中心的位置初始溫度初始溫度大平板的非穩(wěn)態(tài)導熱大平板的非穩(wěn)態(tài)導熱圖圖（B.C.I）q下面對這一導熱情況建立方

30、程和進行求解下面對這一導熱情況建立方程和進行求解。q由于由于y和和z方向無限大，因此有方向無限大，因此有q該問題的該問題的x向導熱微分方程向導熱微分方程可寫為可寫為 0 zy1 1）忽略表面熱阻的非穩(wěn)態(tài)導熱）忽略表面熱阻的非穩(wěn)態(tài)導熱 微分方程及定解條件微分方程及定解條件 一維導熱微分方程一維導熱微分方程： 定解條件定解條件： ( (板內初始溫度均勻板內初始溫度均勻) ) .CB0, 0 xTx 0, 0.TTtCI 22xTtT STTLx , 為求解方便，先將方程準數化，分別設定為求解方便，先將方程準數化，分別設定準數位置準數位置 /20LtF 準數溫度準數溫度 將準數變量代入因次方程，得：

31、將準數變量代入因次方程，得： 22xTtT 從上面看，方程并沒有因為準數變化得到簡化從上面看，方程并沒有因為準數變化得到簡化220nF SSTTTT 0 準數時間準數時間Lxn 相應的定解條件改寫成相應的定解條件改寫成 .CI /20LtF 0, 0TTt SSTTTT 0 .CB0, 1 n0, 0 xTx 定解條件卻因此得到很大的簡化，均成為定解條件卻因此得到很大的簡化，均成為0 0，1 1型型。 0, 0 nn STTLx , 1, 00 FLxn 方程通解方程通解 可采用分離變量法求此方程。假定方程的解為可采用分離變量法求此方程。假定方程的解為兩個函數的乘積，兩個函數的乘積，即即 22

32、0nF 令令 02)cos()sin(1FaiiiiiienaBnaA 解得（解題過程略）方程的解得（解題過程略）方程的通解通解為：為： 方程的通解方程的通解適用于厚平板非穩(wěn)態(tài)導熱的各種邊界條件適用于厚平板非穩(wěn)態(tài)導熱的各種邊界條件式中有三個未定常數式中有三個未定常數)()(0FYnX 方程特解方程特解 02)cos()sin(1FaiiiienaBinaAi 平板雙向導熱溫度分布方程（平板雙向導熱溫度分布方程（B.C.I） （7-71）上式為忽略表面熱阻，平板雙向導熱時，物體內的溫度分布方程上式為忽略表面熱阻，平板雙向導熱時，物體內的溫度分布方程 1)2/1(002)2/1cos()12()1

33、(4iFiiSSeniiTTTT 式中三個未定常數，分別由初始條件和邊界條式中三個未定常數，分別由初始條件和邊界條件代入通解求得件代入通解求得特解特解： 平板雙向導熱溫度分布方程還可用平板雙向導熱溫度分布方程還可用 于平板的一個端面為于平板的一個端面為絕熱面絕熱面，另一，另一 斷面突然升溫至斷面突然升溫至Ts情況下的計算。情況下的計算。此種情況相當于雙向導熱的一半平此種情況相當于雙向導熱的一半平板的導熱問題，即從板中心（絕熱板的導熱問題，即從板中心（絕熱面）至另一端面的導熱。面）至另一端面的導熱。最常見的例子是防火墻，即墻的一最常見的例子是防火墻，即墻的一面突然升至面突然升至Ts ，熱流不穩(wěn)定

34、地通入，熱流不穩(wěn)定地通入墻壁，墻的另一面絕熱。墻壁，墻的另一面絕熱?！纠?有一厚度為有一厚度為0.04m0.04m的平板，其導溫系數的平板，其導溫系數=0.0028 =0.0028 m m2 2/s/s，平板的初始溫度平板的初始溫度7070，現同時將平板兩側表面溫度突然現同時將平板兩側表面溫度突然提高到提高到292292。求其中心溫度升高到。求其中心溫度升高到290290時所需時間？時所需時間？ 【解解】： SSTTTT 0 LXn 0 代入方程代入方程 009. 029270292290 1)2/1(002)2/1cos()12()1(4iFiiSSeniiTTTT .51314009.

35、 0020202)2/5()2/3()2/( FFFeee 代入方程代入方程 則用則用試差法試差法作為第一次近似解，只考慮取一級，解得：作為第一次近似解，只考慮取一級，解得： 01. 24009. 0ln)/2(20 F為了求時間，必須先求為了求時間，必須先求F0，級數太多無法直接求時，級數太多無法直接求時， 01. 24009. 0ln)/2(20 F20LtF 現在檢驗級數中第二項之后的量現在檢驗級數中第二項之后的量是否可以忽略是否可以忽略。 hLFt287. 00028. 002. 001. 2220 又因為又因為 )5131(41246 .4494. 4 eee 當當 F0 0.55

36、時只需取時只需取1 1級，工程上一般取級，工程上一般取3 35 5級級。 顯然，顯然，只取一級只取一級是滿足精度要求的，也是滿足精度要求的，也說明該無窮級數說明該無窮級數收斂很快收斂很快， 55201058. 310806. 100889. 0 時時，在在01. 20 Fv在上節(jié)中只考慮了平板內部的導熱。更多的導在上節(jié)中只考慮了平板內部的導熱。更多的導熱過程中，壁溫熱過程中，壁溫 Ts 降低不那么快降低不那么快，是未知的。是未知的。v而流體溫度而流體溫度 Ts 和和 對流傳熱系數對流傳熱系數 h ，往往是可，往往是可測的是已知的。測的是已知的。v由于壁面兩側流體溫度和傳熱系數均相同，板由于壁面

37、兩側流體溫度和傳熱系數均相同，板內溫度分布是對稱的，只要求得其中一半的分內溫度分布是對稱的，只要求得其中一半的分布即可，見下圖。布即可，見下圖。 2 2）不可忽略表面熱阻的非穩(wěn)態(tài)導熱不可忽略表面熱阻的非穩(wěn)態(tài)導熱 ).(IIICB大平板的非穩(wěn)態(tài)導熱大平板的非穩(wěn)態(tài)導熱（B.C.III） 初始溫度初始溫度環(huán)境溫度環(huán)境溫度壁面溫度逐漸降低壁面溫度逐漸降低 方程及定解條件方程及定解條件 導熱微分方程導熱微分方程 0, 0.TTtCI .CBLxbxTkTThLx |)(,若可忽略表面熱阻若可忽略表面熱阻STTLx ,0, 0 xTx 定解條件定解條件 22xTtT 方程的解方程的解采用分離變量法采用分離

38、變量法（過程略），得到一含有無窮級數的解（過程略），得到一含有無窮級數的解taiiiiiibbieLaLaLaxaLaTTTT2)cos()sin()cos()sin(210 方程解的分析方程解的分析（7-75）方程中方程中： (1) (1) ai i與與Bi 數數有關有關： (3) (3) x可以整理成與準數可以整理成與準數位置位置 n 有關有關的函數：的函數： 20LtF Lxn (2) (2) e 的指數可以整理成與的指數可以整理成與 有關的有關的函數函數: : LkhBi 考慮表面熱阻的大平板非穩(wěn)態(tài)導熱的考慮表面熱阻的大平板非穩(wěn)態(tài)導熱的taiiiiiibbieLaLaLaxaLaTTT

39、T2)cos()sin()cos()sin(210 所以上式可以表示為所以上式可以表示為 下面先討論下面先討論 2 2種種 特殊情況特殊情況以以 F0, Bi, n 為參數進行圖解法為參數進行圖解法),(00nBiFfTTTTbb taiiiiiibbieLaLaLaxaLaTTTT2)cos()sin()cos()sin(210 特殊情況的討論特殊情況的討論i) )當當Bi 時，時，h ，外部對流熱阻可以忽略，外部對流熱阻可以忽略 )2/1( iaiai 代入（代入（7-757-75）得到溫度分布（）得到溫度分布（7-857-85） 1)2/1(002)2/1cos()12()1(4iFii

40、SSeniiTTTT B.C.III B.C.I，即，即 x = 0, T = Ts, 有有可視為的薄壁物體的非穩(wěn)態(tài)導熱，溫度分布為可視為的薄壁物體的非穩(wěn)態(tài)導熱，溫度分布為 式中與式中與位置位置有關的變量有關的變量被消去了被消去了。 iii) ) 當當Bi介于兩者之間，則采用介于兩者之間，則采用無窮級數解無窮級數解。 00FBbbieTTTT ii) ) 當當Bi 0 0時，時，k , ,內部導熱熱阻可以忽略內部導熱熱阻可以忽略0t 時間內，通過端面時間內，通過端面L處的熱通量處的熱通量 12)/(20cossin)(1 sin)(22iiiiiLtLaibLaLaLaLaeLaTTkLi )

41、(2mJ tLxLdtxTkq0|B.C.IB.C.III廣平板導熱廣平板導熱TbTbTsTsq由上討論可見，非穩(wěn)態(tài)導熱時，無限大平板中的由上討論可見，非穩(wěn)態(tài)導熱時，無限大平板中的溫度分布是一個無窮級數形式。溫度分布是一個無窮級數形式。q對于半徑對于半徑R的無限長的無限長和圓球一維非穩(wěn)態(tài)導熱和圓球一維非穩(wěn)態(tài)導熱過程，其溫度分布，也同樣可采用分離變量法，過程，其溫度分布，也同樣可采用分離變量法，其解是含有貝塞爾函數的無窮級數解。其解是含有貝塞爾函數的無窮級數解。q海斯勒（海斯勒（Heisler）出于工程計算的目的，將平板、）出于工程計算的目的，將平板、圓柱和圓球的一維非穩(wěn)態(tài)導熱分析解分別繪制成圓

42、柱和圓球的一維非穩(wěn)態(tài)導熱分析解分別繪制成圖解形式，給計算帶來極大的方便。圖解形式，給計算帶來極大的方便。q本書僅介紹本書僅介紹 F F0 00.020.02的近似解，其他情況查有關的近似解，其他情況查有關圖解。圖解。4 4一維非穩(wěn)態(tài)導熱的速算圖一維非穩(wěn)態(tài)導熱的速算圖 v圖圖7-7、圖、圖7-8和圖和圖7-9分別給出了計算無限大平板、無限分別給出了計算無限大平板、無限長圓柱和球體溫度的曲線。長圓柱和球體溫度的曲線。v所有情況，都以所有情況，都以 Tb b 表示對流環(huán)境溫度，并假設初始溫表示對流環(huán)境溫度，并假設初始溫度均勻為度均勻為 T0 0v圖中以準數時間圖中以準數時間F0 0為橫坐標，以熱阻比

43、為橫坐標，以熱阻比 m =1/=1/Bi 為參變?yōu)閰⒆兞苛縱由由F0 0 和和 m 這這 2 個個參數查出物體的溫度。參數查出物體的溫度。圖圖7-147-14 厚度為厚度為2L2L的無限大平板中間平面溫度的無限大平板中間平面溫度p185p185BihLkm1 bbTTTtT 0), 0(20LtF 圖圖7-157-15 半徑為半徑為 R R 的無限的無限長圓柱長圓柱的軸線溫度的軸線溫度p18520RtF bbTTTtT 0), 0(圖圖7-167-16 半徑為半徑為 R 的的圓球圓球的的中心溫度中心溫度p186q如果要計算離開中心截面如果要計算離開中心截面任意位置任意位置處的處的溫度溫度q平板

44、平板選圖選圖7-17、圓柱圓柱選圖選圖7-18、圓球圓球選選圖圖7-19q從中查得以中心溫度為函數的溫度值，從中查得以中心溫度為函數的溫度值，然后將由兩張圖得到的數值相乘，即可然后將由兩張圖得到的數值相乘，即可得到任意位置的溫度。得到任意位置的溫度。4 4一維非穩(wěn)態(tài)導熱的速算圖一維非穩(wěn)態(tài)導熱的速算圖 圖圖7-17 以以中心溫度中心溫度為函數的大為函數的大平板內溫度分布平板內溫度分布p186任意位置任意位置 溫度溫度中心面中心面 溫度溫度bbTtTTtxT ), 0(),(hLk圖圖7-18 7-18 以中心溫度為函數的以中心溫度為函數的圓柱圓柱內溫度內溫度分布分布 p187圖圖7-19 7-1

45、9 以中心溫度為函數以中心溫度為函數的的圓球圓球內溫度內溫度分布分布 p187q由由圖圖7-207-20，圖圖7-217-21，圖圖7-227-22(p188,189)(p188,189)可以查可以查到無限大平板、無限長圓柱和圓球在某時間內到無限大平板、無限長圓柱和圓球在某時間內得到或失去得到或失去熱量熱量Q。q其中其中Q0 0 表示初始溫度為表示初始溫度為T0 0 的物體放在溫度為的物體放在溫度為T Tb b 的環(huán)境中，物體的環(huán)境中，物體所能取得或釋放的熱量所能取得或釋放的熱量q這個熱量等于物體內能的變化，即這個熱量等于物體內能的變化，即)(00bTTCVQ 圖圖7-207-20 大平板大平

46、板隨時間變化的無量綱熱損失隨時間變化的無量綱熱損失p188p18822kth )(00bTTCVQ khL0QQ圖圖7-217-21 長圓柱長圓柱隨時間變化的無量綱熱損失隨時間變化的無量綱熱損失 p188p188圖圖7-227-22 圓球圓球隨時間變化的無量綱熱損失隨時間變化的無量綱熱損失 p189p1895 5二維、三維非穩(wěn)態(tài)導熱二維、三維非穩(wěn)態(tài)導熱v以上討論以一維非穩(wěn)態(tài)導熱為主。以上討論以一維非穩(wěn)態(tài)導熱為主。v但實際情況多為二維、三維導熱，其解但實際情況多為二維、三維導熱，其解非常復雜，本課不做詳細介紹，只介紹非常復雜，本課不做詳細介紹，只介紹稱為稱為Newman法則的簡便方法。法則的簡便

47、方法。v以此方法將一維導熱的分析解推廣應用以此方法將一維導熱的分析解推廣應用到多維導熱的問題。到多維導熱的問題。 牛曼（Newman）法則法則 vNewman法則認為：一些有規(guī)則的物體可以看法則認為：一些有規(guī)則的物體可以看作是若干個無限尺寸物體的組合。作是若干個無限尺寸物體的組合。v如正方體是三個無限大平板兩兩正交而成。如正方體是三個無限大平板兩兩正交而成。v短圓柱是無限大平板與無限長圓柱正交而成。短圓柱是無限大平板與無限長圓柱正交而成。v組合后物體內的溫度分布與組合前各個物體內組合后物體內的溫度分布與組合前各個物體內溫度有關溫度有關。 可看成是二個無限大平板正交而成。可看成是二個無限大平板正

48、交而成。其解可看成是二個無限大平板解的乘積其解可看成是二個無限大平板解的乘積2L12L22L1 2L2長方立柱長方立柱 yxyx ,yxyx ,bbxTTTtxT 0),( bbyTTTtyT 0),( 厚度為厚度為 2L2L2 2的平板解的平板解（二維二維導熱問題）導熱問題）厚度為厚度為 2L2L1 1的平板解的平板解bbyxTTTtyxT 0,),( 2L1 2L2正方體（矩形）正方體（矩形） 可看成是可看成是三個無限大平板三個無限大平板正交而成。正交而成。2L1 2L22L32L1 2L2 2L3其解可看成是三個無限大平板解的乘積其解可看成是三個無限大平板解的乘積 （三維三維導熱問題）導熱問題）zyxzyx , 短圓柱體短圓柱體 （二維二維導熱問題）導熱問題）可看成是可看成是無限大平板與長圓柱正交而成無限大平板與長圓柱正交而成。2L2R2L平板平板 長圓柱長圓柱rxrx ,其解為：其解為：2R值得注意的是，有幾個一維問題解的乘值得注意的是，有幾個一維問題解的乘積得到多維問題解的方法不適用于一切積得到多維問題解的方法不適用于一切邊界條件。邊界條件。但可以證明對于但可以證明對于 B.C.I 和初始溫度均勻和初始溫度均勻為常數的情況，