構(gòu)造判斷矩陣的講解(層次分析法)

1、 構(gòu)造判斷矩陣構(gòu)造判斷矩陣 在確定各層次各因素之間的權(quán)重時(shí)，如果只是定性在確定各層次各因素之間的權(quán)重時(shí)，如果只是定性的結(jié)果，則常常不容易被別人接受，因而的結(jié)果，則常常不容易被別人接受，因而SantySanty等人提等人提出：一致矩陣法，即：出：一致矩陣法，即：1. 1. 不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較2. 2. 對(duì)此時(shí)采用相對(duì)尺度，以盡可能減少性質(zhì)不同的諸對(duì)此時(shí)采用相對(duì)尺度，以盡可能減少性質(zhì)不同的諸因因 素相互比較的困難，以提高準(zhǔn)確度。素相互比較的困難，以提高準(zhǔn)確度。心理學(xué)家認(rèn)為成對(duì)比較的因素不宜超過(guò)心理學(xué)家認(rèn)為成對(duì)比較的因素不宜超過(guò)9 9

2、個(gè)，即每層個(gè)，即每層不要超過(guò)不要超過(guò)9 9個(gè)因素。個(gè)因素。判斷矩陣是表示本層所有因素針對(duì)上一層某一個(gè)因素的判斷矩陣是表示本層所有因素針對(duì)上一層某一個(gè)因素的相對(duì)重要性的比較。判斷矩陣的元素相對(duì)重要性的比較。判斷矩陣的元素a aijij用用SantySanty的的1 19 9標(biāo)標(biāo)度方法給出。度方法給出。建立判斷矩陣?yán)纾喝绻纾喝绻鸆為購(gòu)一臺(tái)滿意的設(shè)備，為購(gòu)一臺(tái)滿意的設(shè)備，P1為功能強(qiáng)，為功能強(qiáng)，P2為價(jià)格低，為價(jià)格低，P3為維修容易。通為維修容易。通過(guò)對(duì)過(guò)對(duì)P1，P2和和P3的兩兩比較后做出的判斷矩陣的兩兩比較后做出的判斷矩陣P如下：如下：P1P2P2P3P3P111/323151/21/51

3、功能強(qiáng)價(jià)格低易維修衡量判斷矩陣質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)是矩陣中的判斷是衡量判斷矩陣質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)是矩陣中的判斷是否有滿意的一致性，如果判斷矩陣存在如下否有滿意的一致性，如果判斷矩陣存在如下關(guān)系，則稱(chēng)判斷矩陣具有完全一致性。關(guān)系，則稱(chēng)判斷矩陣具有完全一致性。bij=bik/bjk為了考察為了考察AHP決策分析方法得出的結(jié)果是否基本合理，需要對(duì)判斷矩陣進(jìn)行一決策分析方法得出的結(jié)果是否基本合理，需要對(duì)判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。致性檢驗(yàn)。 1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11AijjiijnnijaaaaA1, 0,)( 設(shè)要比較各準(zhǔn)則設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2, , Cn

4、對(duì)目標(biāo)對(duì)目標(biāo)O的重要性的重要性ijjiaCC:A成對(duì)比較陣成對(duì)比較陣A是正互反陣是正互反陣要由要由A確定確定C1, , Cn對(duì)對(duì)O的權(quán)向量的權(quán)向量選選擇擇旅旅游游地地目標(biāo)層目標(biāo)層O(選擇旅游地選擇旅游地)準(zhǔn)則層準(zhǔn)則層C3居住居住C1景色景色C2費(fèi)用費(fèi)用C4飲食飲食C5旅途旅途C1 C2 C3 C4 C5C1C2C3C4C5稍加分析就發(fā)現(xiàn)上述成對(duì)比較矩陣有問(wèn)題 層次單排序和一致性檢驗(yàn)對(duì)判斷矩陣求其相對(duì)應(yīng)的特征向量，即對(duì)判斷矩陣求其相對(duì)應(yīng)的特征向量，即max 其中的分量（其中的分量（， ，n）就是對(duì)應(yīng)于）就是對(duì)應(yīng)于n個(gè)要素的相個(gè)要素的相對(duì)重要度，即權(quán)重系數(shù)對(duì)重要度，即權(quán)重系數(shù)。計(jì)算權(quán)重系數(shù)的方法和

5、積法方根法（1 1）和積法）和積法將判斷矩陣的每一列元素做歸一化處理將判斷矩陣的每一列元素做歸一化處理：將歸一化的判斷矩陣按行相加將歸一化的判斷矩陣按行相加：對(duì)向量對(duì)向量 T T歸一化歸一化： ),.,2 , 1,.(/1njibbbnkkjijij ),.,2 , 1.(1nibwnjiji ),.,(21niwwww ),.,2 , 1.(/1niwwwnjjii 所得的所得的),.,(21nwwww 即為所求得特征向量，亦即即為所求得特征向量，亦即判斷矩陣的層次單排序結(jié)果（即權(quán)重系數(shù)）判斷矩陣的層次單排序結(jié)果（即權(quán)重系數(shù)）T（二）一致性檢驗(yàn)（二）一致性檢驗(yàn)層次單排序和一致性檢驗(yàn)1maxn

6、nCIn定義定義 一致性指標(biāo)一致性指標(biāo)C.I.C.I.為為：一般情況下，若一般情況下，若C.I. 0.10,就認(rèn)為判斷矩陣具有一致性。據(jù)此而計(jì)算的值就認(rèn)為判斷矩陣具有一致性。據(jù)此而計(jì)算的值是可以接受的是可以接受的。顯然，隨著顯然，隨著n的增加判斷誤差就會(huì)增加，因此判斷一致性時(shí)應(yīng)考慮到的增加判斷誤差就會(huì)增加，因此判斷一致性時(shí)應(yīng)考慮到n的影響，使的影響，使用隨機(jī)性一致性比值用隨機(jī)性一致性比值C.R. =C.I./ R.I.，其中其中R.I.為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)。下表給出了為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)。下表給出了500樣本判斷矩陣計(jì)算的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)檢驗(yàn)值。樣本判斷矩陣計(jì)算的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)檢驗(yàn)值。平

7、均隨機(jī)一致性指標(biāo)平均隨機(jī)一致性指標(biāo)基本概念n 什么是權(quán)重（權(quán)系數(shù)）？注意， X1，X2， ，Xn中有的不是基數(shù)變量，而有可能是序數(shù)變量如舒適程度或積極性之類(lèi)。小石塊小石塊W1小石塊小石塊Wn小石塊小石塊W2設(shè)想： 把一塊單位重量的石頭砸成n塊小石塊 在決策問(wèn)題中，通常要把變量Z表示成變量 x1，x2， ，xn的線性組合：nnxwxwxwz+L2211 其中 . 則 叫各因素對(duì)于目標(biāo)Z的權(quán)重， 叫權(quán)向量. nwww,.,211,01niiiwwTwnw2w1w),.,(n利用判斷矩陣計(jì)算各因素C對(duì)目標(biāo)層Z的權(quán)重（權(quán)系數(shù)）b. 對(duì) 按行求和得： a. 將A的每一列向量歸一化得：c. 將 歸一化 ，

8、即為近似特征根（權(quán)向量）d. 計(jì)算 ，作為最大特征根的近似值。例列向量列向量歸一化歸一化按行求和按行求和歸一化歸一化268. 0972. 0760. 1091. 0077. 01 . 0364. 0308. 03 . 0545. 0615. 06 . 014/16/1412/1621AniiiwAwn1)(1njijiww1niijijijaaw1/w089. 0324. 0587. 0268. 0974. 0769. 1Aw009. 3)089. 0268. 0324. 0974. 0587. 0769. 1(31+Tnniiiiwwwwwww),.,(,/211iwijw得到排序結(jié)果：w=

9、(0.588,0.322,0.090)T, max=3.0092. 2. 層次單排序及其一致性檢驗(yàn)層次單排序及其一致性檢驗(yàn) 對(duì)應(yīng)于判斷矩陣最大特征根對(duì)應(yīng)于判斷矩陣最大特征根maxmax的特征向量，的特征向量，經(jīng)歸一化經(jīng)歸一化( (使向量中各元素之和等于使向量中各元素之和等于1)1)后記為后記為W W。 W W的元素為同一層次因素對(duì)于上一層次因素某因的元素為同一層次因素對(duì)于上一層次因素某因素相對(duì)重要性的排序權(quán)值，這一過(guò)程稱(chēng)為層次單排素相對(duì)重要性的排序權(quán)值，這一過(guò)程稱(chēng)為層次單排序。序。 能否確認(rèn)層次單排序，需要進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，所能否確認(rèn)層次單排序，需要進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，所謂一致性檢驗(yàn)是指對(duì)謂一致性檢

10、驗(yàn)是指對(duì)A A確定不一致的允許范圍。確定不一致的允許范圍。 定理：定理：n 階一致陣的唯一非零特征根為階一致陣的唯一非零特征根為n定理：定理：n 階正互反陣階正互反陣A的最大特征根的最大特征根 n, 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) =n時(shí)時(shí)A為一致陣為一致陣由于由于 連續(xù)的依賴于連續(xù)的依賴于aij ，則，則 比比n 大的越多，大的越多，A 的不的不一致性越嚴(yán)重。用最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量作為一致性越嚴(yán)重。用最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量作為被比較因素對(duì)上層某因素影響程度的權(quán)向量，其不被比較因素對(duì)上層某因素影響程度的權(quán)向量，其不一致程度越大，引起的判斷誤差越大。因而可以用一致程度越大，引起的判斷誤差越大。因而可以用

11、 -n 數(shù)值的大小來(lái)衡量數(shù)值的大小來(lái)衡量 A 的不一致程度。的不一致程度。1nnCI定義一致性指標(biāo)定義一致性指標(biāo):CICI=0=0，有完全的一致性，有完全的一致性CI接近于接近于0，有滿意的一致性，有滿意的一致性CI 越大，不一致越嚴(yán)重越大，不一致越嚴(yán)重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n1 234567891110為衡量為衡量CI 的大小，引入的大小，引入隨機(jī)一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo) RI。方法為。方法為Saaty的結(jié)果如下的結(jié)果如下隨機(jī)一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo) RIRI50021,AAAL50021,CICICIL1500

12、5005002150021+nnCICICIRILL則可得一致性指標(biāo)則可得一致性指標(biāo) 隨機(jī)構(gòu)造隨機(jī)構(gòu)造500500個(gè)成對(duì)比較矩陣個(gè)成對(duì)比較矩陣1 .0RICICRA一致性檢驗(yàn)：利用一致性指標(biāo)和一致性比率一致性檢驗(yàn)：利用一致性指標(biāo)和一致性比率0.10.1及隨機(jī)一致性指標(biāo)的數(shù)值表，對(duì)及隨機(jī)一致性指標(biāo)的數(shù)值表，對(duì) 進(jìn)行檢驗(yàn)的過(guò)程。進(jìn)行檢驗(yàn)的過(guò)程。 一般，當(dāng)一致性比率一般，當(dāng)一致性比率 的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，有滿意的一致性，通過(guò)的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，有滿意的一致性，通過(guò)一致性檢驗(yàn)?？捎闷錃w一化特征向量作為權(quán)向量，否則一致性檢驗(yàn)。可用其歸一化特征向量作為權(quán)向量，否則要重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣要重

13、新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣A A，對(duì)，對(duì) aij 加以調(diào)整。加以調(diào)整。時(shí)，認(rèn)為時(shí)，認(rèn)為A定義一致性比率定義一致性比率 ：RICICR “選擇旅游地選擇旅游地”中中準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的權(quán)準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)向量及一致性檢驗(yàn)1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的成對(duì)比較陣成對(duì)比較陣最大特征根最大特征根 =5.073權(quán)向量權(quán)向量(特征向量特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T018.0155073.5CI一致性指標(biāo)一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo) RI=1.12 (查表查表)一

14、致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通過(guò)一致通過(guò)一致性檢驗(yàn)性檢驗(yàn)層次總排序的一致性檢驗(yàn)層次總排序的一致性檢驗(yàn)設(shè)設(shè) 層層 對(duì)上層對(duì)上層( ( 層層) )中因素中因素 的層次單排序一致性指標(biāo)為的層次單排序一致性指標(biāo)為 ，隨機(jī)一致性指為，隨機(jī)一致性指為 ，則層次總排序的一致性比率為：則層次總排序的一致性比率為：BnBBB,21LA), 2 , 1(mjAjLjCIjRImmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR+LL221122111 . 0CR當(dāng)當(dāng) 時(shí)，認(rèn)為層次總排序通過(guò)一致性檢驗(yàn)。層次時(shí)，認(rèn)為層次總排序通過(guò)一致性檢驗(yàn)。層次總排序具有滿意的一致性，否則需要重新調(diào)整那

15、些一致性比總排序具有滿意的一致性，否則需要重新調(diào)整那些一致性比率高的判斷矩陣的元素取值。率高的判斷矩陣的元素取值。 到此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。到此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。記第記第2層（準(zhǔn)則）對(duì)第層（準(zhǔn)則）對(duì)第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為層（目標(biāo)）的權(quán)向量為(2)(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)Tw同樣求第同樣求第3層層(方案方案)對(duì)第對(duì)第2層每一元素層每一元素(準(zhǔn)則準(zhǔn)則)的權(quán)向量的權(quán)向量12/15/1212/15211B方案層對(duì)方案層對(duì)C1(景色景色)的的成對(duì)比較陣成對(duì)比較陣1383/1138/13/112B方案層對(duì)方案

16、層對(duì)C2(費(fèi)用費(fèi)用)的的成對(duì)比較陣成對(duì)比較陣CnBn最大特征根最大特征根 1 =3.005 2 =3.002 5 =3.0 權(quán)向量權(quán)向量 w1(3) w2(3) w5(3) =(0.595，0.277，0.129) =(0.082，0.236，0.682) =(0.166，0.166，0.668)選擇旅游地選擇旅游地第第3層對(duì)第層對(duì)第2層的計(jì)算結(jié)果層的計(jì)算結(jié)果 w w( (2 2) ) )3(kwkkCI0.2630.2630.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.0820.4750.47530.1420.4290.4290.0

17、550.0553.0090.1750.1930.6330.0900.09030.6680.1660.1660.1100.110組合權(quán)向量組合權(quán)向量RI= =0.58 (n=3), CIk 均可通過(guò)一致性檢驗(yàn)均可通過(guò)一致性檢驗(yàn)方案方案P1對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)重為對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)重為0.595 0.263+ =0.300方案層對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)向量為方案層對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)向量為 (0.300, 0.246, 0.456)T1.1.建立層次結(jié)構(gòu)模型建立層次結(jié)構(gòu)模型 該結(jié)構(gòu)圖包括目標(biāo)層，準(zhǔn)則層，方案層。該結(jié)構(gòu)圖包括目標(biāo)層，準(zhǔn)則層，方案層。層次分析法的基本步驟歸納如下層次分析法的基本步驟歸納如下3.3.計(jì)算單排序權(quán)向

18、量并做一致性檢驗(yàn)計(jì)算單排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)2.2.構(gòu)造成對(duì)比較矩陣構(gòu)造成對(duì)比較矩陣從第二層開(kāi)始用成對(duì)比較矩陣和從第二層開(kāi)始用成對(duì)比較矩陣和1 19 9尺度。尺度。對(duì)每個(gè)成對(duì)比較矩陣計(jì)算最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，對(duì)每個(gè)成對(duì)比較矩陣計(jì)算最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，利用一致性指標(biāo)、隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性利用一致性指標(biāo)、隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)通過(guò)，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)通過(guò)，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；若不通過(guò)，需要重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣。若不通過(guò)，需要重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣。計(jì)算最下層對(duì)最上層總排序的權(quán)向量。計(jì)算最下層對(duì)最上層總排序的權(quán)向量。4.