必修四數(shù)學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容

1、新課程高中數(shù)學(xué)必修4基礎(chǔ)知識匯整第一部分三角函數(shù)與三角恒等變換1.任意角和弧度制1弧度角：等于半徑的弧長所對的圓心角為1弧度角弧度數(shù)公式：a=_!_R角度制與弧度制的互化：一,二,180、，一一n弧度=180",1=而°弧度，1弧度=(-)%5718.弧長公式：|=|o(|R；121扇形面積公式：S=|a|R2=_Rl.222 .三角函數(shù)定義：設(shè)"是一個(gè)任意角，終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么y叫作a的正弦，記作sina;x叫作a的余弦，記作cos%；叫作a的正切，記作tana.x角a中邊上任意一點(diǎn)P為(x,y),設(shè)|OP|=r，則：yxysin：=,cos：

2、二一，tan：=一.rrx三角函數(shù)在各象限的符號規(guī)律：一全二正弦，三切四余弦3 .三角函數(shù)線：正弦線：MP;余弦線：OM;正切線：AT.4 .誘導(dǎo)公式：角函£2kn+aji+a-at冗-ot冗-a2JI+a2正弦sin豆-sin汽-sin«sin«cosacosa余弦cosa-cos«cos£一cosasina-since正切tanatana一tana一tana/一k二六組誘導(dǎo)公式統(tǒng)一為"±a(k仁Z)",2記憶口訣一：奇變偶不變，符號看象限記憶口訣二：縱變橫不變，符號看象限5 .同角三角函數(shù)基本關(guān)系.22/sin

3、a+cosa=1(平萬和關(guān)系)；sin;tana=(商數(shù)關(guān)系).cos;6 .兩角和與差的正弦、余弦、正切： sin(a±P)=sinotcosP±cosasinP； cos(o(±P)=coso(cosP,sinasinP；,-、tan:：二tan: tan(二I)1 +tan工tan-兩角和與差的正弦、余弦、正切的變形運(yùn)用：22,a.b、-22.7 輔助角公式:y=asinxWcosx=Va"(-sinv+一cos)=a+bsin(x+中)a2b2a2b28 .二倍角公式： sin2a=2sinacosa；2222 cos2a=cosa-sina=2

4、cosa1=1-2sina；tan2：2tan;21-tan-2.2變形升得公式：1+cosa=2cos；1-cos«=2sin一2221二sin:-(cossin)21一cos2二：21cos2工降幕公式：sin；cos：22,2.-x2.一(cossin)=1-sin-9.物理意義物理簡諧運(yùn)動y=Asin（cox+中）,xe0,y）,其中A>0,w>0.振幅為A,表示物體離開平衡位置的最大距離；_2二周期為T=，表示物體往返運(yùn)動一次所需的時(shí)間；1'+八一一頻率為f=,表示物體在單位時(shí)間內(nèi)往返運(yùn)動的次數(shù)；T2二cox+華為相位;10.三角函數(shù)圖象與性質(zhì)ii.正弦

5、型函數(shù)y=Asin(x)(A0j-0)的性質(zhì)及研究思路：_2二最小正周期T=,值域?yàn)?A,A.co二3二五點(diǎn)法圖：把"8x+中看成一個(gè)整體，取cox+=0n2n時(shí)的五個(gè)，2'，2，自變量值，相應(yīng)的函數(shù)值為0,A,0,-A,0,描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，得到1橫坐標(biāo)變?yōu)橐槐兑粋€(gè)周期內(nèi)的圖象三角函數(shù)圖象變換路線：y=sinx-主更里里a_ay=sin(x+中)/_1_巾縱坐標(biāo)變?yōu)锳倍A/_1_巾_p_-y=sin(ccix+中)yy=Asin(ccx+中).或：y=sinxi橫坐標(biāo)變?yōu)槎秖t縱坐標(biāo)變?yōu)锳倍A.,、y=Asin(x).左移多單位中y=sinxJy=sin(x)co單調(diào)性：y

6、=Asin(x)(A0,.0)的增區(qū)間,.冗人冗人.，_、®x十中代入到y(tǒng)=sinx增區(qū)間_+2kJi,_+2kii(kwZ)，兀./自兀/_一、即求解一一2k：':'x2k二（k-Z）.22整體思想：把"xx十中"看成一個(gè)整體，代入y=sinx與y=tanx的性質(zhì)中進(jìn)行求解.這種整體思想的運(yùn)用，主要體現(xiàn)在求單調(diào)區(qū)間時(shí)，或取最大值與最小值時(shí)的自變量取值1.向量與數(shù)量：在數(shù)學(xué)中，我們把既有大小，又有方向的量叫做向量,（起點(diǎn)A,終點(diǎn)B）.向量的大小叫做向量的長度（或模）單位的向量稱為單位向量.反之，把只3大小，向的量稱為數(shù)量，記為|a|或|aB|.規(guī)定

7、長度為.向量常用有向線段來表示，記為a或AB0的向量叫做零向量，記為0;長度等于1個(gè)第二部分平面向量2 .平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，記作44ab,并規(guī)定零向量平行于任意一個(gè)向量一4.平行向量都可以移到同一直線上，因而也叫共線向量.方向相同且長度相等的向量稱為相等向量,規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量記彳a=b.與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為一a，3 .向量加減法:向量加減法運(yùn)算遵循三角形法則與平行四邊形法則如圖所示，已知非零向量a,b,在平面內(nèi)任取一TTT彳*OA=a,AB=b，則向量OB=a+b.4t4T彳葉司OA=a,OC=b,則向量CA=ab

8、.向量的加減法滿足：交換律a+b=a-b；結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c).向量不等式：對于任意兩個(gè)向量a,b，有|a|-|b|.|a.b|.|a|b|.向量加法多邊形法則：向量首尾相接，結(jié)果首尾連4.向量數(shù)乘運(yùn)算：44實(shí)數(shù)上與向量a的乘積仍然是一個(gè)向量，這種運(yùn)算稱為向量的數(shù)乘，記作兒a,并規(guī)定：11aH九|a|；4當(dāng)九0時(shí)，大a的方向與a的方向相同；"4當(dāng)九0時(shí)，Ka的方向與a的方向相反；,44當(dāng)九=0時(shí)，=0.數(shù)乘運(yùn)算滿足下列運(yùn)算律：444)分配律(九+u)a=九2+ua、丸(a+b)=ha+九b；44結(jié)合律(La)=(',L)a.44444對于任意向量a,b,以及任

9、意實(shí)數(shù)九,u1,u2,恒有九(u1a±u2b)=7山1a±*uu2b向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算5.平面向量基本定理：如果e1,金是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一實(shí)數(shù)九1,12,使a=%向+把不共線的向量61,62叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底向量夾角：對兩個(gè)非零向量a,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)1444角是90。時(shí)，a與b垂直，記作a_Lb.o,作OA=a,OB=b，則日=/AOB叫做向量a與b夾角.當(dāng)a與b夾正交分解：依據(jù)平面向量的基本定理，對平面上的任意向量一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解a，均可

10、分解為不共線的兩個(gè)向量75al與九2a2，使a=75al+九2a2.若把坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為基底，則對于平面內(nèi)的一個(gè)向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)X、y,使得a=xi+yj.即平面內(nèi)的任意向量a都可由x、y唯一確定，把有序數(shù)對(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=(x,y),式子a=(x,y)叫做向量的坐標(biāo)表示.6 .平面向量的數(shù)量積運(yùn)算：|!34TM*f*fab=abcos日，其中日是a與b的夾角，|a|cos6叫做向量a在b方向上白投影.ab的幾何意義：數(shù)量ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos日的乘積.把a(bǔ)a記fa，有

11、性質(zhì)a斗a|2,從而1a|=Va數(shù)量積運(yùn)算滿足下列運(yùn)算律：b-is-fc-r交換津ab=ba；¥¥¥-I-F數(shù)乘結(jié)合律：(a)b='(ab)=a('b)；F-F*F-*-*分配律：a(bc)=abac.力作功：一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s,那么力F所作白功W=|F|S|cosQ，其中8是F與s的夾角，從而W-Fs.7 .平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a=(x,y),b=(x2,y2),則4,44加減法：a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2)；4數(shù)乘：a=(7-X1，九y1)；向量數(shù)量積：ab=x1x2+y1y2；距離：d

12、AB=|AB|b-a|=,(x2-xi)2(y2-yi)2夾角:,_ab_2丫佻cos"，b=ab=x；yi2*2y228.向量共線：設(shè)a=(xhy1),b=(x2,y2),其中b=0,若a,b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)由此可證明平行問題、三點(diǎn)共線等9 .向量垂直：44-對于平面內(nèi)任意兩個(gè)非零向量a,b,a_Lbua，b=0.,4444設(shè)a=(x1，yi),b=(x2,y2)，則a_Lbuxx2+yy2=0.10 .線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)已知點(diǎn)(為»),馬(x2,y2),點(diǎn)P(x,y)是線段PF2上的一個(gè)分點(diǎn)，且=九，PP2T-.T則有pp=九pp2,即(xx1，yy1)=(XX2x,y2y),x1x2y1y2由此得到x二-12y="-21 1-/x1x2y1y2若兒=1,得到線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式x='y=.2 211.向量知識與平面幾何的聯(lián)系：12.向量法解決平面幾何問題三步曲:平面幾何問題向量方法1求線段AB的長度轉(zhuǎn)化為求向量AB的長度：|ab|=J(x2-x1)2+(y2yi)2.求兩條線段的夾角a八ab*必+x2y2由數(shù)量積求夾角cose=.,或,.