探究應用新思維數(shù)學級

1、1 .數(shù)形結合話數(shù)軸解讀課標數(shù)學是研究“數(shù)”和“形”的一門學科，從古希臘時期起，人們就已試圖把它們統(tǒng)一起來.在日常生活中我們通常對有形的東西認識比較快，而對抽象的東西認識比較慢，這正是現(xiàn)階段數(shù)學學習的特點，以形助數(shù)是數(shù)學學習的一個重要方法.運用數(shù)形結合思想解題的關鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形聯(lián)系的有力工具，主要反映在：1 .利用數(shù)軸形象地表示有理數(shù)；2 .利用數(shù)軸直觀地解釋相反數(shù)；3 .利用數(shù)軸解決與絕對值有關的問題；4 .利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小.問題解決例1（1）已知a、b為有理數(shù)，且a>0,b<0,a+b<0,將四個數(shù)a、b、一a、b按由小到大的順序排列是

2、.（時代學習報數(shù)學文化節(jié)試題）（2）已知數(shù)軸上有A、B兩點，A、B之間的距離為1，點A與原點O的距離為3，那么點B對應的數(shù)是.（廣西克賽題）試一試對于（1）,賦值或借助數(shù)軸比較大??；對于（2）確定A、B兩點在數(shù)軸上的位置，充分考慮A、B兩點的多種位置關系.例2如圖，數(shù)軸上標出若干個點，每相鄰兩點相距1以$小"'個單位，點A、B、C、D對應的數(shù)分別是整數(shù)a、b、c、d,且d-2a=10,那么數(shù)軸的原點應是（）.A.A點B.B點C.C點D.D點（江蘇省競賽題）試一試從尋找d與a的另一關系式入手.例3已知兩數(shù)a、b,如果a比b大，試判斷|a|與|b|的大小.試一試因a、b符號未定，

3、故a比b大有多種情形，借助數(shù)軸可直觀全面比較|a|與|b|的大小.例4電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點K0,第一步從K0向左跳1個單位到K1,第二步由K1向右跳2個單位到K2,第三步由向左跳3個單位到K3,第四步由K3向右跳4個單位到K4,，按以上規(guī)律跳了100步時，電子跳蚤落在數(shù)軸上的點K100所表示的數(shù)恰是19.94,試求電子跳蚤的初始位置K0點所表示的數(shù).（“希望杯”邀請賽試題）試一試設K。點表示的數(shù)為x,把K1、K2、K100點所表示的數(shù)用x的式子表示.例5已知數(shù)軸上的點A和點B之間的距離為28個單位長度，點A在原點的左邊，距離原點8個單位長度，點B在原點的右邊.求A、B兩點所對應的數(shù).（2）

4、數(shù)軸上點A以每秒1個單位長度出發(fā)問左運動，同時點B以每秒3個單位長度的速度向左運動，在點C處追上了點A,求C點對應的數(shù).（3）已知在數(shù)軸上點M從點A出發(fā)向右運動，速度為每秒1個單位長度，同時點N從點B出發(fā)向右運動，速度為每秒2個單位長度，設線段NO的中點為P（O為原點），在運動的過程中線段PO-AM的值是否變化？若不變，求其值；若變化，請說明理由.分析與解對于（3）,設M點運動時間為t秒，把PO-AM用2的式子表示.（1） A、B兩點所對應的數(shù)分別為8,20;（2） C點對應的數(shù)為22;202t（3） AM=t,OP=10+t（為什么？），則PO-AM=10+t1=10,即PO-AM的2值不變

5、.生活啟示例6李老師從油條的制作中受到啟發(fā)，設計了一個數(shù)學問題.如圖，在數(shù)軸上截取從原點到1的對應點的線段AB,對折后（點A與點B重合），固定左端向右均勻地拉成1個單位長度的線段，這一過程稱為一次操作（例如，在第一次操作后，原線段AB上的二，3均變成工；4421變成1；等等）.那么在線段AB上（除點A、點B外）的點中，在第二次操作后，求恰好2被拉到與1重合的點所對應的數(shù)字之和.（浙江省紹興市中考題）分析捕捉問題所蘊含的信息，閱讀理解“一次操作”的意義：將線段沿中點翻折，中點左側的點不動，中點右側的點翻折到左側的對應位置上，由原來的一個等分點變?yōu)閮蓚€等分點.解故在第二次操作后，恰好被拉到與1重合

6、的點所對應的數(shù)字之和是1+a=1.44數(shù)學沖浪知識技能廣場1 .數(shù)軸上有A、B兩點，若點A對應的數(shù)是-2,且A、B兩點的距離為3,則點B對應的數(shù)是.2 .電影哈利波特中，小哈利，波特穿墻進入“9且站臺”的鏡頭（如示意圖中的M站4臺），構思奇妙，能給觀眾留下深刻的印象，若A、B站臺分別位于-2,-1處，AN=2NB,則N站臺用類似電影中的方法可稱為“站臺”.（“時代學習報數(shù)學文化節(jié)”試題）3 .已知點A、B、P在數(shù)軸上，點B表示的數(shù)為6,AB=8,AP=5,那么點P表示的數(shù)是4 .如圖所示，按下列方法將數(shù)軸的正半&一軸繞在一個圓（該圓周長為3個單位長，且在圓周嫉）.7曲的三等分點處分別標

7、上了數(shù)字0、1、2）人上：先讓原點與圓周上數(shù)字0所對應的點重合，再將正半軸按順時針方向繞在該圓周上，使數(shù)軸上1、2、3、4、所對應的點分別與圓周上1、2、0、1所對應的點重合.這樣，正半軸上的整數(shù)就與圓周上的數(shù)字建立了一種對應關系.（1）圓周上的數(shù)字a與數(shù)軸上的數(shù)5對應，則a=;（2）數(shù)軸上的一個整數(shù)點剛剛繞過圓周n圈（n為正整數(shù)）后，并落在圓周上數(shù)字1所對應的位置，這個整數(shù)是（用含n的代數(shù)式表示）.（江西省中考題）1 itini.±.i45 .有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示：Q12占，則下列各式正確的是（）.A.ab0B.ab0C.|a|b：；0D.a-b0（2012年湖南省常

8、德市中考題）6 .文具店、書店、玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書店西20米，玩具店位于書店東100米處.小明從書店沿街向東走了40米，接著又向東走了-60米，此時小明的位置在（）.A.文具店B.玩具店C.文具店西邊40米D.玩具店東-60米7 .將一刻度尺如圖所示放在數(shù)軸上（數(shù)軸的單位長度是1cm）,刻度尺上的“0cm”“15cm”分別對應數(shù)軸上的-3.6和x,則（）.A.9x二10B.10<x二11C.11<x<12D.12：x<13（浙江省紹興市中考題）8 .在數(shù)軸上任取一條長度為19991的線段，則此線段在這條數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點的個9數(shù)是（）

9、.A.1998B.1999C.2000D.2001（重慶市競賽題）9 .一個跳蚤在一條直線上，從。點開始，第1次向右跳1個單位，緊接著第2次晾左跳2個單位，第3次向右跳3個單位，第4次向左跳4個單位依此規(guī)律劇下去，當它跳第100次落下時，求落點處離。點的距離（用單位表示）.（江蘇省無錫市中考題）10 .已知數(shù)軸上有A、B兩點，A、B之間的距離為1,點A與原點。的距離為3,求所有滿足條件的點B與原點。的距離的和.（北京市“迎春杯”競賽題）-思維方法天地-11.在數(shù)軸上，點A、B分別表示和1，則線段AB的中點所表示的數(shù)是3512.在數(shù)軸上，表示數(shù)（旦十2），的點M與表示數(shù)（-+3），的點N關于原點

10、對稱，則a的值為2313 .數(shù)形相伴dp（1）如圖所示:3i：3/工一，點A、B所代表的數(shù)分別為-1,2,在數(shù)軸上畫出與A、B兩點的距離和為5的點（并標上字母）.（2）若數(shù)軸上點A、B所代表的數(shù)分別為a、b,則A、B兩點之間的距離可表示為AB=|ab|,那么，當|x+1|+|x2|=7時，x=;當|x+1|+|x2|>5時，數(shù)x所對應的點在數(shù)軸上的位置是在:（時代學習報數(shù)學文化節(jié)試題）14 .點A、B分別是數(shù)-3、1在數(shù)軸上對應的點，使線段AB沿數(shù)軸向右移動為AB且線2段AB的中點對應的數(shù)是3,則點A對應的數(shù)是,點A移動的距離是.（江蘇省競賽題）15 .點A、A2、A3、An（n為正整數(shù)

11、）都在數(shù)軸上，點Ai在原點O的左邊，且A1O=1,點A在點A的右邊，且A2A=2;點A3在點A2的左邊，且A3A2=3,點A4在點A的右邊，且A4A3=4,依照上述規(guī)律，點A2008、A2009所表示的數(shù)分別為（）.A.2008,-2009B.-2008,2009C.1004,-1005D.1004,-1004（福建省泉州市中考題）16 .如圖：；G'，數(shù)軸一上標出若干個點,每相鄰兩點相距1個單位，點A、B、C、D對應的數(shù)分別是整數(shù)a、b、c、d,且b-2a=9,那么數(shù)軸的原點對應點是（）.A.A點B.B點C.C點D.D點17 .有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖，式子|a|+|b|+

12、|a+b|+|b-c|化簡結果為（）.A.2a3b-cB.3b-cC.bcD.c-b18 .不相等的有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對應點分別為A、B、C,若|a-b|+|b-c|=|a-c|那么點B（）.A.在A、C點右邊B.在A、C點左邊C.在A、C點之間D.以上均有可能（“希望杯”邀請賽題）19 .在數(shù)軸上，N點與O點的距離是N點與30所對應點之間的距離的4倍，那么N點表示的數(shù)是多少？（"CASIO杯”河南省競賽題）20 .已知數(shù)軸上有A、B、C三點，分別代表-24、-10、10,兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點同時相向而行.甲的速度為4個單位/秒.（1）問多少秒后甲到A、B、C的距

13、離和為40個單位？（2）若乙的速度為6個單位/秒，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點同時相向1而行，問甲、乙在數(shù)軸上的哪個點相遇？（3）在（1）、（2）的條件下，當甲到A、B、C的距離和為40個單位時，甲調(diào)頭返回，問甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能，求出相遇點；若不能，請說明理由.21 .操作與探究對數(shù)軸上的點P進行如下操作：先把點P表示的數(shù)乘以-再把所得數(shù)對應的點向右平移13個單位，得到點P的對應點P.點A,B在數(shù)軸上，對線段AB上的每個點進行上述操作后得到線段AB,其中，點A,B的對應點分別為AB如圖所示，若點A表示的數(shù)是與，則點A表示的數(shù)是;若點B，表示的數(shù)是2,則點B,表示的數(shù)是;已知線

14、段AB上的點E經(jīng)過上述操作后得到的對應點E，與點E重合，則點E表示的數(shù)是.2012年北京市中考題22 .一動點P從數(shù)軸上的原點出發(fā)，沿數(shù)軸的正方向以每前進5個單位、后退3個單位的程序運動.已知點P每秒前進或后退1個單位，設人表示第n秒點P在數(shù)軸上的位置所對應的數(shù)（如4=4,X5=5,X6=4）,求X2011所對應的數(shù).2.聚焦絕對值絕對值是數(shù)學中的一個基本概念，這一概念是學習相反數(shù)、有理數(shù)運算、算術根的基礎；絕對值又是數(shù)學中的一個重要概念，絕對值與其他知識融合形成絕對值方程、絕對值不等式、絕對信函數(shù)等，在代數(shù)式化簡求值、解方程、解不等式等方面有廣泛的應用，理解、掌握絕對值應注意以下幾個方面：1

15、 .脫去絕對值符號是解絕對值問題的切入點脫去絕對值符號常用到相關法則、分類討論、數(shù)形結合等知識方法.2 .恰當?shù)剡\用絕對值的幾何意義從數(shù)軸上看|a|表示數(shù)a的點到原點的距離；|a-b|表示數(shù)a、數(shù)b的兩點間的距離.3 .靈活運用絕對值的基本性質(zhì)|a|至0;|aab(a1)(b1)(a2)(b2)1=|a|2=a2;|ab|=|a|，|b|;|旦|二回9*2）b|b|().+(a2005)(b2006)的值.例1已知：y=|xb|十|x20|十|xb20|其中0cb<20,b<x<20,那么y的最小值為（“華羅庚杯”香港中學競賽題）(2)設a、b、c為整數(shù),且|a-b|+|c-

16、a|=1,求|c-a|+|a-b|+1b-c|的值.(“希望杯”邀請賽試題)試一試對于(1),由非負數(shù)的性質(zhì)先導出a、b的值；對于(2),1寫成兩個非負整數(shù)的和的形式又有幾種可能？這是解(2)的突破口.例4閱讀下列材料并解決有關問題：x(x.0),我們知道|x|=<0(x-0),現(xiàn)在我們可以用這一結論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化簡代-x(x<0).數(shù)式|x+1|+|x2|時，可令：x+1=0和x2=0,分別求得x=1,x=2(稱一1,2分別為|x+1|與|x2|的零點值)在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點值x=-1和x=2可將全體有理數(shù)分成不重復且不遺漏的如下3種情況：(1)x<-1;(

17、2)-1<x<2;(3)x至2.從而化簡代數(shù)式|x+1|十|x2|可分以下3種情況：(1)當x<1時，原式=(x+1)(x2)=2x+1;(2)當一1Ex<2時，原式=x+1(x2)=3;(3)當x22時，原式=x+1+x2=2x1.-2x1(x：-1),綜上討論，原式=3(-1<x：2),2x-1(x_2).通過以上閱讀，請你解決以下問題：(1)分別求出一+2|和|*-4|的零點值;(2)化簡代數(shù)式|x+2|+|x-4|.(云南省中考題)試一試在閱讀理解的基礎上化簡求值.例5(1)當x取何值時，|x-3|有最小值？這個最小值是多少？(2)當x取何值時，5-|x+

18、2|有最大值？這個最大值是多少？(3)求|x-4|+|x+5|的最小值.(4)求|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值.分析對于(3)、(4)可先運用零點分段討論法去掉絕對值符號，再求最小值；也可利用絕對值的幾何意義，即在數(shù)軸上找一表示x的點，使之到表示4、5的點(:或表示7、8、9的點)的距離和最小.解(1)當x=3時，原式有最小值，最小值為0.(2)當乂=2時，原式有最大值，最大值為5.(3)當4MxW5時，原式有最小值，最小值為1.(4)當x=8時，原式有最小值，最小值為2.對于(3),給出另一種解法：當x<4時，原式=(x4)(x5)=92x,最小值為1;當4<xM5時

19、，原式=x-4-(x-5)=1,最小值為1;當x>5時，原式=x4+x5=2x9，最小值為1.綜上所述，原式有最小值等于1.以退求進例6少年科技組制成一臺單項功能計算器，對任意兩個整數(shù)只能完成求差后再取絕對值的運算，其運算過程是：輸人第一個整數(shù)%,只顯示不運算，接著再輸人整數(shù)x2心后則顯示|x1-x2|的結果，此后每輸入一個整數(shù)都是與前次顯示的結果進行求差取絕對值的運算.現(xiàn)小明將從1到1991這1991個整數(shù)隨意地一個一個地輸人，全部輸入完畢之后顯示的最后結果設為P,試求出P的最大值，并說明理由.分析先考慮輸入個數(shù)較少的情形，并結合奇偶分析調(diào)整估值，一步步求出P的最大值.解由于輸入的數(shù)都

20、是非負數(shù)，當x,之0,x220時，|x1-x2|不超過x1、x2中最大的數(shù)，對x/0,x2之0,x320,則|%-xz|-x3|不超過工xx2、x3中最大的數(shù)，設小明輸入這1991個數(shù)的次序是x1,x2,x1991.相當于計算：|IH|x1-x2|-x3|x1990|x1991|=P,因此P的值一x1991.另外從運算奇偶性分析，X、x2為整數(shù)，|x1-x2|與|x1+x2|奇偶性相同，因此P與x1+x2+x1991的奇偶性相同,但為+x2+x991=1+2+1991=偶數(shù).于是斷定P宅為990,我們證明P可以取到1990.對1,2,3,4，按如下次序：|1-3|-4|-2|=0,|(4k+1)-(4k+3)|-(4k+4)|-(4k+2)|=0,對于k=0,1,2,均成立.因此，11988可按上述辦法依次輸入最后顯示結果為0,而后|1989-1990|-1991|=1990,故P的最大值為1990.數(shù)學沖浪知識技能廣場1 .數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，力,且|a+1|=2，則|3a+7|=.2 .已知|a|=5,|b|=3，且|ab4ba,