第十一章 模糊數學方法及其應用

1、第十一章第十一章 模糊數學方法及其應用模糊數學方法及其應用 模糊數學是用數學方法研究和處理具有“模糊性”現象的數學。所謂的模糊性主要是指客觀事物差異的中間過渡界線的“不分明性”。如儲層的含油氣性、油田規(guī)模的大小，成油地質條件的優(yōu)劣，圈閉的形態(tài)，巖石的顏色等。這些模糊變量的描述或定義是模糊的，各變量的內部分級沒有明顯的界線。地質作用是復雜的，對其產生的地質現象有些可以采用定量的方法來度量，有些則不能用定量的數值來表達，而只能用客觀模糊或主觀模糊的準則進行推斷或識別。1965年美國控制論專家 L.A.Zadeh 提出這一概念后，模糊數學得到迅速發(fā)展并應用到各個領域，地學種主要用于礦產資源評價，各種

2、地質現象的分類、識別、決策和模擬和模擬。 在此介紹油氣勘探中常用的模糊聚類分析和模糊識別。1 模糊聚類分析 模糊聚類分析是在模糊相似矩陣的基礎上，對分類對象進行定量分類的方法。主要內容數據標準化建立模糊相似矩陣動態(tài)聚類三部分。 一、數據標準化 1.原始數據 設論域U是n個被分類對象構成的集合,每個對象又有m個描述對象特征的變量,它們的觀測值構成原始數據矩陣：nmnnmmxxxxxxxxxX2122221112112.極差正規(guī)化 求模糊矩陣時要求將數據壓縮到區(qū)間0,1上，為此對原始數據進行極差正規(guī)化處理。 極差是變量觀測值的最大值與最小值之差，即極差正規(guī)化是變量的每個觀測值減去觀測值的最小值再除

3、以極差。變換公式為：),(minmaxmjxxxijniijnij2111 由上可知，對原始數據正規(guī)化處理以后，變量最大值為1，最小值為0，即新數據在區(qū)間0,1內。),2, 1;,2, 1(/ )min(1mjnixxxxjj inij ij i正規(guī)化后的數據正規(guī)化后的數據原始數據原始數據變量觀測值的最小變量觀測值的最小值值變量觀測值的極變量觀測值的極差差 二、模糊相似矩陣 模糊相似矩陣是進行模糊聚類的基礎。下面介紹建立模糊相似矩陣的常用方法。 (1)(1)數量積法數量積法 1. 1.相似系數法相似系數法顯然顯然 ，若，若 ，令，令 ，則，則 。1 , 0ikr0ikr21ijijrr1 ,

4、0ikr其中其中mkjkikjixxM1)(max),(,;njijixxMjirmijkikij21111 (2)(2)夾角余弦法夾角余弦法 見相似性度量聚類中的相似系數。見相似性度量聚類中的相似系數。 (3)(3)相關系數法相關系數法 見相似性度量聚類中的相關系數。見相似性度量聚類中的相關系數。), 2 , 1,()()(11njixxxxrmkjkikmkjkikij符號符號 “ “?”和和“?”分別表示兩個元素取小和取大。分別表示兩個元素取小和取大。 (5)(5)算術平均最小法算術平均最小法(4)(4)最大最小法最大最小法), 2 , 1,()()(211njixxxxrmkjkikm

5、kjkikij), 2 , 1, ()(11njixxxxrmkjkikmkjkikij 2. 2.距離法距離法 上述上述(4)(4)、(5)(5)、(6)(6)三種方法要求三種方法要求 , ,否則否則, ,要進要進行適當變換。行適當變換。0ijx(6)(6)幾何平均最小法幾何平均最小法(1)(1)絕對值倒數法絕對值倒數法),2, 1,(1njixxdjkikmkij適當選取適當選取M，使得，使得 。10ijr (2)(2)歐氏距離歐氏距離 見相似性度量聚類中的相似系數。見相似性度量聚類中的相似系數。 建立模糊相似矩陣的其他方法，就不再介紹了建立模糊相似矩陣的其他方法，就不再介紹了。 (3)(

6、3)切比雪夫距離切比雪夫距離 三、三、聚類聚類),(,njijixxMjirmkjkikij2111 1. 1.模糊等價矩陣模糊等價矩陣 給定給定U上的一個模糊關系上的一個模糊關系 , ,若它滿足若它滿足: : (1)(1)自反性自反性（ =1=1）；）； (2)(2)對稱性對稱性（ ）；）； (3)(3)傳遞性傳遞性（ ）；）；則稱則稱R是是U上的一個上的一個模糊等價矩陣模糊等價矩陣。ijrjiijrr RRRnnijrR式中“”表示矩陣的合成運算，類似矩陣乘法運算，但要將元素的相乘改為求最小值、相加改為求最大值。 *相似性度量的相關、相似系數矩陣滿足自反性和對稱性，但不一定滿足傳遞性。 *

7、對于傳遞性,可先計算RR(記作 ),然后看其是否滿足傳遞性。若不滿足,經過 2R2RRR422RRR 2. 2.模糊等價矩陣的模糊等價矩陣的截矩陣截矩陣 設 是模糊等價矩陣，對任意0,1，稱 為 的截矩陣，其中nnijrRnnijrRnnijrR)( 3.分類 由模糊等價矩陣的截矩陣可知，當 時，i與j應為同類，否則為異類。讓由大到小變化，可形成動態(tài)聚類圖。1ijr運算運算, ,可將可將R改造成滿足傳遞性的模糊等價矩陣。改造成滿足傳遞性的模糊等價矩陣。ijijijrrr,)(01 對于不同的0,1，可得不同的分類方案，從而形成一種動態(tài)聚類圖。這對全面了解對象的分類情況是比較形象和直觀的。但有的

8、實際問題需要選擇某個閥值，確定一個具體的分類，這就是確定閥值的為題。 二、最佳閥值二、最佳閥值的確定的確定 在動態(tài)聚類過程中，調整的值以得到適當的分類。另外，也可由熟悉專業(yè)的專家確定閥值，得到閥值水平上的分類。 1. 1.按實際需要確定按實際需要確定 設對應于設對應于的分類數為的分類數為r，第第j類的樣品數為類的樣品數為nj，第第j類的樣本記為：類的樣本記為： ，第，第j類的聚類中心類的聚類中心為向量為向量:其中 為第j類中第k個變量的平均值：)()(2)(1,jnjjjxxx),()()(2)(1)(jmjjjxxxx)( jkx 2. 2.用用F-統(tǒng)計量確定統(tǒng)計量確定的最佳值的最佳值jni

9、jmjjjjikjjkxxxxmkxnx121211),();,()()()()()()(nimikkxxxxmkxnx121211),();,(rjnijjirjjjjrnxxrxxnF112)()(12)()/() 1/(其中其中為為 與與 的距離，的距離， 為第為第j類中樣品類中樣品 與與 距距離。離。mkkjkjxxxx12)()()()( jxx)()(jjixx)( jix)( jx定義定義F- -統(tǒng)計量為統(tǒng)計量為: :該分子表征了類該分子表征了類與類之間的距離與類之間的距離表征類內樣表征類內樣品間的距離品間的距離 F越大，表明類間的差異越大越大，表明類間的差異越大,分類效果就越好

10、。分類效果就越好。 假設各類差異不明顯，對于給定的檢驗水平假設各類差異不明顯，對于給定的檢驗水平，查查F(r-1，n-r)分布表，得臨界值分布表，得臨界值F，若，若FF，則認為各類之間有明顯的差異。則認為各類之間有明顯的差異。 F服從自由度為服從自由度為r-1，n-r的的F分布。分布。 粗略地講，模型識別就是根據研究對象具有的某些特征對其進行識別并歸類。如采集的一個植物標本識別它屬于哪一綱那一目；又如撥打一個電話，識別對應的電話機。這種模型識別具有2個本質的特征： 1 模糊模型識別模糊模型識別 一、基本概念 事先已知若干標準模型（稱為標準模型庫），模型具有明顯的界線； 1. 1. 模型識別模型

11、識別 模糊模型識別是指標準模型庫中的模型是模糊的(模型間沒有明顯的界線）。如據電測或氣測資料，建立的儲層含油氣性（油層、油氣層、油水同層、氣層、含水油層、干層等）標準模型庫，又如由不同沉積相巖樣觀測值構成的巖樣標準模型庫，它們中的模型都是模糊的。因此，根據測井信息或者巖樣的觀測值判斷鉆穿儲層的含有氣性或者巖樣的沉積相是一個模糊集對標準模糊集的識別問題。 對于這類模型識別問題，可據模型的界線對待識別對象進行歸類。 有待識別歸類的對象，并且它所屬的類必然是若干標準模型之一。2. 2. 模糊模型識別模糊模型識別 為了解決上述問題，需要一個度量模糊集與標為了解決上述問題，需要一個度量模糊集與標準模糊集

12、靠近程度的指標，這就是下面介紹的：準模糊集靠近程度的指標，這就是下面介紹的： 隸屬度和貼近度隸屬度和貼近度。 (1)(1)模糊向量及其內外積模糊向量及其內外積 若若0ai1(i=1,2,n),則稱向量則稱向量a=(a1,a2,an)為為模糊向量。模糊向量。 )(1iinibaba)(1iinibaba 二、隸屬度和貼近度1.隸屬度為向量為向量a與與b b內積和外積。內積和外積。設設a，b是模糊向量，則分別稱：是模糊向量，則分別稱：符號符號 “ “?”和和“?”分別表示兩個元素取小和取分別表示兩個元素取小和取大。大。ni 1ni 1 、 和取大、取小運算和取大、取小運算 示例：示例： 設設).,

13、.,.(),.,.,.(30700206005010ba20.ba0.1 0.5 0 0.60.2 0 0.7 0.30.2 0.5 0.7 0.6 取小0.230.ba0.1 0.5 0 0.60.2 0 0.7 0.30.1 0 0 0.3取大0.3ab 設設 是論域是論域U上的上的n個模糊子集，稱以模糊集個模糊子集，稱以模糊集 為分量的模糊向量為模糊向量集合族，記為為分量的模糊向量為模糊向量集合族，記為: :nAAA,21nAAA,21),(21nAAAA(2)(2)模糊模糊向量集合族向量集合族(3) (3) 隸屬度隸屬度 設論域設論域U上有上有n個個模糊子集模糊子集 , ,其隸屬函數為

14、其隸屬函數為 , ,當當 為模糊向量集合族，為模糊向量集合族， 為為普通向量時，則：普通向量時，則：),(21nxxxx nAAA,21),(21nAAAA), 2 , 1)(nixAi)()(1iinixAxA為為 對對 的隸屬度。的隸屬度。xA 基于不同考慮，隸屬度也有其他的定義形式，如：基于不同考慮，隸屬度也有其他的定義形式，如：應用模糊數學方法的關鍵是建立符合實際的隸屬函應用模糊數學方法的關鍵是建立符合實際的隸屬函數，但它是目前尚未完全解決的問題。數，但它是目前尚未完全解決的問題。我國的汪培莊我國的汪培莊教授提出的隨機集落影理論對于相當一部分模糊集的隸屬教授提出的隨機集落影理論對于相當

15、一部分模糊集的隸屬函數的客觀實在性給出了滿意的解釋，基于這一理論的模函數的客觀實在性給出了滿意的解釋，基于這一理論的模糊統(tǒng)計方法是確定一類模糊集隸屬度的有效方法?，F確定糊統(tǒng)計方法是確定一類模糊集隸屬度的有效方法。現確定隸屬函數的方法有隸屬函數的方法有模糊統(tǒng)計法、指派法、借用已有尺度法模糊統(tǒng)計法、指派法、借用已有尺度法等。等。niiixAnxA1)(1)( (4) (4)最大隸屬度原則最大隸屬度原則 原則原則: : 設論域設論域 上有上有m個模糊子集個模糊子集 ( ( 即即m個模型個模型) )，構成一個標準模型庫，若對任一，構成一個標準模型庫，若對任一 ，有，有 ，使得，使得則認為則認為 隸屬于

16、隸屬于 。mAAA,21Ux 0, 2 , 10mi)()(0100 xAxAkmki0 x0iA,nxxxU21 為便于理解，下面給出兩個應用的例子： 原則原則: 設論域設論域 上只有上只有1個標準型個標準型 ，現有，現有n個待識別對象個待識別對象 ，若其中的，若其中的 滿足滿足則應首先錄取則應首先錄取 。AUxxxn,21kxkx)()(1inikxAxAU 解決這個問題，要先建立模糊集解決這個問題，要先建立模糊集 的屬函數。有的屬函數。有人用指派法建立了論域人用指派法建立了論域U=0,100U=0,100的的 的隸屬函數為：的隸屬函數為：CBA,CBA,10090, 19080,1080

17、800, 0)(xxxxxA10080, 08070,1080700, 1)(xxxxxC 原則原則的例子。的例子。 在論域在論域U=0,100(U=0,100(分數分數) )上確定三個代表學習成績上確定三個代表學習成績的模集糊的模集糊 =“=“優(yōu)優(yōu)”， =“=“良良”， =“=“差差”。當。當* * *的數的數學成績?yōu)閷W成績?yōu)?888分時，該同學的數學成績該評為優(yōu)、良、還是分時，該同學的數學成績該評為優(yōu)、良、還是差？差？ABC 把把x=88分別代入上述三個隸屬函數，得分別代入上述三個隸屬函數，得據原則據原則，88分相對三個模型應隸屬于分相對三個模型應隸屬于 ，即可評為優(yōu)。，即可評為優(yōu)。 0)

18、88(, 7 . 0)88(, 8 . 0)88(CBAA10095, 09585,10958580, 18070,1070700, 0)(xxxxxxxxB原則原則的例子的例子 設論域設論域 （三名學生的學習成績（三名學生的學習成績)，在，在U上上確定以一個模糊集確定以一個模糊集 =“優(yōu)優(yōu)”，若三個學生的英語成績分別，若三個學生的英語成績分別為為 ，現據英語成績從三名學生中招聘一，現據英語成績從三名學生中招聘一人做教師，應優(yōu)先招聘誰？人做教師，應優(yōu)先招聘誰？ A90,84,70321xxx,321xxxU 1)90(, 4 . 0)84(, 0)70(AAA由計算結果可知，第三位同學的成績最

19、靠近優(yōu)。據原則由計算結果可知，第三位同學的成績最靠近優(yōu)。據原則應首先聘任第三位同學。應首先聘任第三位同學。 把三個同學的英語成績分別代入隸屬函數把三個同學的英語成績分別代入隸屬函數10090, 19080,1080800, 0)(xxxxxA得：得： (2) (2)擇近擇近原則原則 設論域設論域U上有上有m個模糊子集個模糊子集 構成一個標準模構成一個標準模型庫型庫 為待識別的對象。若存在為待識別的對象。若存在 使得：使得：mAAA,21BAAAm,21, 2 , 10mi 2. 2.貼近度及其擇近原則貼近度及其擇近原則 (1) (1)貼近度貼近度 貼近度是描述模糊集之間彼此靠近程度的指標，是我

20、貼近度是描述模糊集之間彼此靠近程度的指標，是我國學者汪培莊教授提出來的。由于研究的問題不同，貼近國學者汪培莊教授提出來的。由于研究的問題不同，貼近度也有不同的定義形式，它的一般定義為：度也有不同的定義形式，它的一般定義為：)1 (21),(0BABABA 設設A，B是論域是論域U上的兩個模糊子集，則稱上的兩個模糊子集，則稱為為A與與B的貼近度。的貼近度。;)()()()(),(111mkkkmkkkxBxAxBxABA待識別對象歸入待識別對象歸入 類類。),(),(0100BABAkmki0iA;)()()()(2),(112mkkkmkkkxBxAxBxABA (3)(3)實用貼近度實用貼近

21、度 下面是幾個在實際工作中實用的貼近度計算公式：下面是幾個在實際工作中實用的貼近度計算公式：mkkkxBxAmBA13)()(11),( 例例1 茶葉的模型識別茶葉的模型識別 設論域設論域U=茶葉茶葉，茶葉等級標準模型庫，茶葉等級標準模型庫，待識別的茶葉樣品為，待識別的茶葉樣品為B，衡量茶葉質量指標為：條索、，衡量茶葉質量指標為：條索、色澤、凈度、湯色、香氣和滋味。模型庫與樣品的有關數色澤、凈度、湯色、香氣和滋味。模型庫與樣品的有關數據如右表：據如右表： ,54321AAAAA質量指標質量指標模模 型型樣樣 品品條索條索0.50.30.20.00.00.4色澤色澤0.40.20.20.10.1

22、0.2凈度凈度0.30.20.20.20.10.1湯色湯色0.60.10.10.10.10.4香氣香氣0.50.20.10.10.10.5滋味滋味0.40.20.20.10.10.6三、應用三、應用55. 0)2 . 01 (3 . 021),(20BA50. 0)2 . 01 (2 . 021),(30BA45. 0)2 . 01 (1 . 021),(40BA60. 0)3 . 01 (5 . 021),(10BA50. 0)1 . 01 (1 . 021),(50BA按照按照 計算貼近度，有：計算貼近度，有：)1 (21),(0BABABA按擇近原則按擇近原則, , 。1AB按照按照 計算貼近度，有：計算貼近度，有：mkkkxBxAmBA13)()(11),(79. 0),(33BA70. 0),(43BA72. 0),(53BA85. 0),(13BA80. 0),(23BA 上述兩種計算貼近度公式，計算數值不同，但歸類果上述兩種計算貼近度公式，計算數值不同，但歸類果一樣，為什么，那一種更好？一樣，為什么，那一種更好？1AB茶葉樣品茶葉樣品 。 (1) 建