蒙特卡洛方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上蒙特卡洛方法1、蒙特卡洛方法的由來(lái)蒙特卡羅分析法（Monte Carlo method），又稱為統(tǒng)計(jì)模擬法，是一種采用隨機(jī)抽樣（Random Sampling）統(tǒng)計(jì)來(lái)估算結(jié)果的計(jì)算方法。由于計(jì)算結(jié)果的精確度很大程度上取決于抽取樣本的數(shù)量，一般需要大量的樣本數(shù)據(jù)，因此在沒(méi)有計(jì)算機(jī)的時(shí)代并沒(méi)有受到重視。第二次世界大戰(zhàn)時(shí)期，美國(guó)曼哈頓原子彈計(jì)劃的主要科學(xué)家之一，匈牙利美藉數(shù)學(xué)家約翰·馮·諾伊曼（現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)創(chuàng)始人之一）在研究物質(zhì)裂變時(shí)中子擴(kuò)散的實(shí)驗(yàn)中采用了隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)的手法，因?yàn)楫?dāng)時(shí)隨機(jī)數(shù)的想法來(lái)自擲色子及輪盤等賭博用具，因此他采用摩洛哥著名賭城蒙特卡

2、羅來(lái)命名這種計(jì)算方法，為這種算法增加了一層神秘色彩。蒙特卡羅方法提出的初衷是用于物理數(shù)值模擬問(wèn)題, 后來(lái)隨著計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展, 這一方法很快在函數(shù)值極小化、計(jì)算幾何、組合計(jì)數(shù)等方面得到應(yīng)用, 于是它作為一種獨(dú)立的方法被提出來(lái), 并發(fā)展成為一門新興的計(jì)算科學(xué), 屬于計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。如今MC 方法已是求解科學(xué)、工程和科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域大量應(yīng)用問(wèn)題的常用數(shù)值方法。2、蒙特卡洛方法的核心隨機(jī)數(shù)蒙特卡洛方法的基本理論就是通過(guò)對(duì)大量的隨機(jī)數(shù)樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，從而得到我們所需要的變量。因此蒙特卡洛方法的核心就是隨機(jī)數(shù)，只有樣本中的隨機(jī)數(shù)具有隨機(jī)性，所得到的變量值才具有可信性和科學(xué)性。在連續(xù)型隨機(jī)變量的分布中,

3、 最基本的分布是0, 1區(qū)間上的均勻分布, 也稱單位均勻分布。由該分布抽取的簡(jiǎn)單子樣1，2 3 稱為隨機(jī)數(shù)序列, 其中每一個(gè)體稱為隨機(jī)數(shù), 有時(shí)稱為標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)數(shù)或真隨機(jī)數(shù), 獨(dú)立性和均勻性是其必備的兩個(gè)特點(diǎn)。真隨機(jī)數(shù)是數(shù)學(xué)上的抽象, 真隨機(jī)數(shù)序列是不可預(yù)計(jì)的, 因而也不可能重復(fù)產(chǎn)生兩個(gè)相同的真隨機(jī)數(shù)序列。真隨機(jī)數(shù)只能用某些隨機(jī)物理過(guò)程來(lái)產(chǎn)生, 如放射性衰變、電子設(shè)備的熱噪音、宇宙射線的觸發(fā)時(shí)間等。實(shí)際使用的隨機(jī)數(shù)通常都是采用某些數(shù)學(xué)公式產(chǎn)生的，稱為偽隨機(jī)數(shù)。真隨機(jī)數(shù)只是一種數(shù)學(xué)的理想化概念，實(shí)際中我們所接觸到的和使用的都是偽隨機(jī)數(shù)。要把偽隨機(jī)數(shù)當(dāng)成真隨機(jī)數(shù)來(lái)使用, 必須要通過(guò)隨機(jī)數(shù)的一系列的統(tǒng)計(jì)

4、檢驗(yàn)。無(wú)論偽隨機(jī)數(shù)用什么方法產(chǎn)生,它的局限性都在于這些隨機(jī)數(shù)總是一個(gè)有限長(zhǎng)的循環(huán)集合, 而且序列偏差的上確界達(dá)到最大值。所以若能產(chǎn)生低偏差的確定性序列是很有用的,產(chǎn)生的序列應(yīng)該具有這樣的性質(zhì), 即任意長(zhǎng)的子序列都能均勻地填充函數(shù)空間。人們已經(jīng)產(chǎn)生了若干種滿足這個(gè)要求的序列,如Halton序列、Faure序列、Sobol序列和Niederreiter序列等。稱這些序列為擬隨機(jī)數(shù)序列。偽隨機(jī)序列是為了模擬隨機(jī)性, 而擬隨機(jī)序列更致力于均勻性。3、蒙特卡洛方法的原理當(dāng)問(wèn)題可以抽象為某個(gè)確定的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ?，即確定某個(gè)隨機(jī)事件A或隨機(jī)變量X，使得待求的解等于隨機(jī)事件出現(xiàn)的概

5、率或隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值。然后進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，即重復(fù)多次地模擬隨機(jī)事件A或隨機(jī)變量X。最后對(duì)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均，求出A出現(xiàn)的頻數(shù)或X的平均值作為問(wèn)題的近似解。一、收斂性切比雪夫定理：設(shè)隨機(jī)變量X1, X2Xn,.相互獨(dú)立，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：E(Xk) = , D(Xk) = 2 (k=1,2，)，作前n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均Yn= 1nk=1nXk則對(duì)任意>0有l(wèi)imnPYn-< limnP1nk=1nXk-<=1這說(shuō)明，當(dāng) n 充分大時(shí)，隨機(jī)變量的算術(shù)平均值接近于數(shù)學(xué)期望，這種接近是在概率意義下接近的。換言之，n個(gè)相互對(duì)立的隨機(jī)變量的算術(shù)平均，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，幾

6、乎變成了一個(gè)常數(shù)。伯努利大數(shù)定律： 設(shè)m是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率（0<p<1）,則對(duì)任意>0，有l(wèi)imnPmn-p<=1這表明，當(dāng)n足夠大時(shí)，事件的頻率與其發(fā)生的概率的偏差小于任意小的數(shù)的概率為1。因此在實(shí)際中，試驗(yàn)次數(shù)達(dá)到一定的數(shù)值時(shí)，我們可以用事件的頻率來(lái)替代事件發(fā)生的概率。收斂判據(jù)：蒙特卡洛方法的收斂判據(jù)是根據(jù)所計(jì)算變量估計(jì)值的誤差來(lái)確定的，常用方差系數(shù)來(lái)表示：=V(F)/NSE(F)只有方差系數(shù)降低到一定的數(shù)值，抽樣才停止。二、蒙特卡洛方法步驟（1）為了計(jì)算某個(gè)變量 I，首先就是選擇一個(gè)數(shù)學(xué)期望為I的隨機(jī)變量Y,從中抽出

7、子樣Y1，Y2，Y3， Yn。接著要確定隨機(jī)變量Y的概率模型Y=g（1，2 ,3 m），其中1，2 稱為隨機(jī)數(shù)，就是我們上文提到的真隨機(jī)數(shù)。m稱為此次算法的結(jié)構(gòu)性維數(shù)，也就是完成一次抽樣所需要隨機(jī)數(shù)的最大數(shù)目。也就是根據(jù)隨機(jī)產(chǎn)生的m個(gè)隨機(jī)數(shù)得到隨機(jī)變量Y的一個(gè)子樣Yn，可以是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，或者是函數(shù)關(guān)系，或者可以稱為一種映射關(guān)系。（2）抽樣方法的采用：當(dāng)確定隨機(jī)變量Y后, 關(guān)鍵的就是從Y的分布中抽取子樣Y1, Y2, Yn。因此, 隨機(jī)變量抽樣是蒙特卡洛方法的關(guān)鍵步驟。對(duì)于任意非單位均勻分布隨機(jī)變量􀀁的抽樣, 均是使用嚴(yán)格數(shù)學(xué)方法, 借助隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生, 步驟為先抽取若干個(gè)隨機(jī)數(shù)

8、1，2 ,3 m, 然后經(jīng)過(guò)概率模型運(yùn)算 g(1，2 ,3 m ) 得到算計(jì)變量Y子樣的一個(gè)體Yn。（3）最后根據(jù)切比雪夫定理，根據(jù)得到的一定數(shù)目的子樣：Y1，Y2，Y3，Yn,求出子樣算術(shù)平均值從而得到所要計(jì)算的變量I。有人問(wèn)我，愛(ài)情是什么？我不知道，也無(wú)從回答，我只知道，為了遇到那個(gè)人，我等待了很多年，甚至快要忘了自己到底尋找的是什么？是心靈的寄托還是真實(shí)的感受，我不知道，也不在乎，我執(zhí)著于這份尋覓，我也不怕世事滄桑，更不怕容顏老去，哪怕還有一絲微弱的光，我都會(huì)朝著光芒勇敢的追逐。愛(ài)情的世界里，究竟是什么樣子？我曾經(jīng)問(wèn)了自己無(wú)數(shù)遍，我想象著，卻給不出任何答案。我只知道： 我要遇見你，我渴望

9、見到你 ,我要把全部的愛(ài)給予你！我為什么如此渴望愛(ài)情？因?yàn)槲蚁嘈盼覀兊膼?ài)情早已命中注定。都說(shuō)，住在愛(ài)情世界里的人會(huì)變傻，她的歡喜和憂愁都會(huì)牽動(dòng)著你的心，她哭了，你會(huì)心疼不已；她高興，你會(huì)開心一整天。你會(huì)無(wú)時(shí)無(wú)刻的關(guān)注她的喜怒哀樂(lè)，第一時(shí)間回復(fù)她的消息，只要有時(shí)間 ,你的腦海里都是她的影子，為了讓她開心快樂(lè)，做什么都是值得的。從此，你的世界里最重要的人就變成了她。有時(shí)候，你們也會(huì)吵架，可你從來(lái)不生氣，因?yàn)槟銗?ài)她，換作別人你會(huì)置之不理，而她的一句玩笑話你都會(huì)深思半天，到底是自己哪里做的不夠好。因?yàn)槟闩滤鷼猓滤齻?，怕她不夠幸福，你只想把全世界的?ài)都給她，這樣的吵架讓你更心疼、更深愛(ài)她。而他也和

10、你一樣，小心翼翼的呵護(hù)你們的愛(ài)情，都愿意為對(duì)方付出，都愿意對(duì)方是那個(gè)被愛(ài)多一點(diǎn)的人。愛(ài)情的世界里，沒(méi)有對(duì)與錯(cuò)，只有愛(ài)與被愛(ài)，兩個(gè)人都想多愛(ài)對(duì)方一點(diǎn)點(diǎn) ,都想做那個(gè)愛(ài)的最深的人 ,她會(huì)把你放在心底，讓你聆聽她想你時(shí)的心跳，讓你感受連呼吸的空氣都有你的味道。有人說(shuō)，愛(ài)情有保鮮期，哪怕兩個(gè)深愛(ài)的人，也逃不了魔咒。還有人說(shuō)，男人比女人更容易動(dòng)情，也更容易放棄愛(ài)情，甚至移情別戀 ,而我卻篤定愛(ài)情的世界里只有你和我 .還記得嗎？你曾經(jīng)無(wú)數(shù)次問(wèn)我，什么時(shí)候去看你，而我何嘗不想時(shí)刻在你身邊！或許我們的愛(ài)情就是適合天南海北各居一方，也許這才是我們愛(ài)情保鮮的秘籍，靜靜的欣賞，悄悄的守望，深深的愛(ài)著 .最美的愛(ài)情莫

11、過(guò)于，一起漫步夕陽(yáng)西下，看歲月寫滿人世繁華，一起欣賞落日余暉，聽時(shí)光吟唱?dú)q月靜好。有人問(wèn)我，愛(ài)情是什么？我不知道，也無(wú)從回答，我只知道，為了遇到那個(gè)人，我等待了很多年，甚至快要忘了自己到底尋找的是什么？是心靈的寄托還是真實(shí)的感受，我不知道，也不在乎，我執(zhí)著于這份尋覓，我也不怕世事滄桑，更不怕容顏老去，哪怕還有一絲微弱的光，我都會(huì)朝著光芒勇敢的追逐。愛(ài)情的世界里，究竟是什么樣子？我曾經(jīng)問(wèn)了自己無(wú)數(shù)遍，我想象著，卻給不出任何答案。我只知道： 我要遇見你，我渴望見到你 ,我要把全部的愛(ài)給予你！我為什么如此渴望愛(ài)情？因?yàn)槲蚁嘈盼覀兊膼?ài)情早已命中注定。都說(shuō)，住在愛(ài)情世界里的人會(huì)變傻，她的歡喜和憂愁都會(huì)牽

12、動(dòng)著你的心，她哭了，你會(huì)心疼不已；她高興，你會(huì)開心一整天。你會(huì)無(wú)時(shí)無(wú)刻的關(guān)注她的喜怒哀樂(lè)，第一時(shí)間回復(fù)她的消息，只要有時(shí)間 ,你的腦海里都是她的影子，為了讓她開心快樂(lè)，做什么都是值得的。從此，你的世界里最重要的人就變成了她。有時(shí)候，你們也會(huì)吵架，可你從來(lái)不生氣，因?yàn)槟銗?ài)她，換作別人你會(huì)置之不理，而她的一句玩笑話你都會(huì)深思半天，到底是自己哪里做的不夠好。因?yàn)槟闩滤鷼猓滤齻?，怕她不夠幸福，你只想把全世界的?ài)都給她，這樣的吵架讓你更心疼、更深愛(ài)她。而他也和你一樣，小心翼翼的呵護(hù)你們的愛(ài)情，都愿意為對(duì)方付出，都愿意對(duì)方是那個(gè)被愛(ài)多一點(diǎn)的人。愛(ài)情的世界里，沒(méi)有對(duì)與錯(cuò)，只有愛(ài)與被愛(ài)，兩個(gè)人都想多愛(ài)對(duì)方一點(diǎn)點(diǎn) ,都想做那個(gè)愛(ài)的最深的人 ,她會(huì)把你放在心底，讓你聆聽她想你時(shí)的心跳，讓你感受連呼吸的空氣都有你的味道。有人說(shuō)，愛(ài)情有保鮮期，哪怕兩個(gè)深愛(ài)的人，也逃不了魔咒。還有