第7章--非線性系統(tǒng)分析--練習(xí)與解答

1、X-2-1-1,"01人312X-600.3850-0.38506X112010211當(dāng)x(0).1時(shí)，系統(tǒng)發(fā)散;x(0):：-1XX平面上任意分布。第七章非線性控制系統(tǒng)分析習(xí)題與解答7-1設(shè)一階非線性系統(tǒng)的微分方程為X_-XX3試確定系統(tǒng)有幾個(gè)平衡狀態(tài)，分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，并畫出系統(tǒng)的相軌跡。解令x=0得32-XX=x(x-1)=x(x-1)(X1)=0系統(tǒng)平衡狀態(tài)Xe=0,-1,1其中：xe=0:穩(wěn)定的平衡狀態(tài);xe=1,1:不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。計(jì)算列表，畫出相軌跡如圖解7-1所示?？梢姡寒?dāng)x(0)|£1時(shí)，系統(tǒng)最終收斂到穩(wěn)定的平衡狀態(tài);時(shí)，x(t);x(0)1時(shí)，X(t

2、)：。注：系統(tǒng)為一階，故其相軌跡只有一條，不可能在整個(gè)7-2試確定下列方程的奇點(diǎn)及其類型，并用等傾斜線法繪制相平面圖。(1)x+x+x=0捲=%+x2=2x1+x2解(1)系統(tǒng)方程為xxx=0(x0)11:xx-x=0(x:0)令x=x=0，得平衡點(diǎn):系統(tǒng)特征方程及特征根：S1,22ss-1=0,S1,2f(x,x)二-X-1 .3j-2 2=-1.618,0.618dxx=x-dx（穩(wěn)定的焦點(diǎn)）（鞍點(diǎn)）dxxdxxxx-八1-丄-八1-丄(x0)II:(x<0)計(jì)算列表P-m-3-1-1/301/313oox>0：a=_1_1沖-1-2/302-m-4-2-4/3-1xvO:沖-

3、1-4/3-2-4oo20-2/3-1（2）由式:式代入:得平衡點(diǎn):圖解7-2(a)系統(tǒng)相平面圖（石-xj=2x（石-xjxiXiXe-2x-x<|=0=0由式得特征方程及特征根為s2_2s_i=0畫相軌跡，由式XiXi計(jì)算列表2.4i4（鞍點(diǎn)）-0.414-dxi-n-,=XiXi-=2XiXidxXi國辭72丄)a22.53oo11.520=1/(a-2)oo210-1-2oo用等傾斜線法繪制系統(tǒng)相平面圖如圖解7-2（b）所示。7-3已知系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為xsinX=0，試確定奇點(diǎn)及其類型，并用等傾斜線法繪制相平面圖。解求平衡點(diǎn)，令x=x=0得sinx=0平衡點(diǎn)xe=k：（k=0,_1,

4、士2,）。將原方程在平衡點(diǎn)附近展開為臺(tái)勞級(jí)數(shù)，取線性項(xiàng)。設(shè)F（x）二xsinx=0-Fl:Fl.°x：x=0-xxe：Xxe(k=0,-2,一4；)(k二1,-3,_5,)仲心點(diǎn)）（鞍點(diǎn)）xCOSXeX=03x+Ax=0xe=k兀<x-Ax=0Xe=也特征方程及特征根：2k為偶數(shù)時(shí)s*1=01,2k為奇數(shù)時(shí)s2-1=0人,2=±1用等傾斜線法作相平面dxxsinx=x：sinx=0dx1xsinxaa-2-1-1/2-1/401/41/212-1/a1/2124oo-4-2-1-1/2作出系統(tǒng)相平面圖如圖解7-3所示。圖解¥77-4若非線性系統(tǒng)的微分方程為2

5、x(3x-0.5)xxx=0(2)xxxx=0試求系統(tǒng)的奇點(diǎn)，并概略繪制奇點(diǎn)附近的相軌跡圖。解(1)由原方程得ansssOsOsOx=f(x,x)=-(3x-0.5)x-xx=-3x0.5x-xx令Xr=X<|=0得xx2=x(x1)二0解出奇點(diǎn)兀=0,-1在奇點(diǎn)處線性化處理。汗(X,x)f(x,x):x:xx=0x=0x=0x=0=(T2x)xJx+(6x+0.5)x&mx=x+0.5x即x-0.5xx=0特征方程及特征根Sl,20.50.52-42=(不穩(wěn)定的焦點(diǎn))即即2x0得即c(t)得S1,2X_xx=(-1-2x)x(_6x0.5)x=x0.5xXX=_Jxxz0圖解7

6、-4(1)（2）由原方程x_0.5x_x=0（鞍點(diǎn)）-0.7180.50.524f1.218概略畫出奇點(diǎn)附近的相軌跡如圖解7-4（1）所示:X=f(x,x)-XX-X令x=x=0得奇點(diǎn)xe=0,在奇點(diǎn)處線性化所示。C(s)12M(s)s特征根=(-X-叭JX-XS7-36非線性系疣.fX=.XX=X£x汗X7-5非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖7-36所示。出開關(guān)線方程，確定奇點(diǎn)的位置和類型，畫出該系統(tǒng)的相平面圖，并分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。解由結(jié)構(gòu)圖，線性部分傳遞函數(shù)為c(t)二m(t)X=x=0xx=0特征根s1,2=±j。奇點(diǎn)Xe=0（中心點(diǎn)）處的相軌跡如圖解7-4(2)系統(tǒng)開始是靜

7、止的，輸入信號(hào)r(t)=41(t)，試寫由非線性環(huán)節(jié)有0e乞2m(t)=勺e(t)-2ea2He(t)+2x-2III由綜合點(diǎn)得c(t)=r(t)-e(t)=4-e(t)將、代入得0e蘭2Ie(t)=2-e(t)e=2II2-e(t)ec2III.：e(t)=0e二c(常數(shù))11:ee-2=0令ee一0得奇點(diǎn)e0=2特征方程及特征根s2+1=0,s,2=±j（中心點(diǎn)）III:ee2=0令e-e-0得奇點(diǎn)老-2特征方程及特征根s2+1=0,S,2=±j（中心點(diǎn)）.：e(t)=0e二c(常數(shù))11:ee-2=0令ee一0得奇點(diǎn)e0=2特征方程及特征根s2+1=0,s,2=

8、77;j（中心點(diǎn)）III:ee2=0令e-e-0得奇點(diǎn)老-2特征方程及特征根s2+1=0,S,2=±j（中心點(diǎn)）開關(guān)線方程為e(t)二2繪出系統(tǒng)相軌跡如圖解7-5所示，可看出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)周期振蕩狀態(tài)。圖黑“7-6圖7-37所示為一帶有庫侖摩擦的二階系統(tǒng)，試用相平面法討論庫侖摩擦對(duì)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的影響。©7-37有庫倉庠擦的二階系皺解由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖有C(s)_51E(s)s0.5s1_2s(0.5s1_2)C(s)=5E(s)III0.5c+3c=5eca00.5c，-c=5ede。因?yàn)閏二r-e=1-e代入式有"e+6e+10e=0ec0Ie-2e+i0e=0e&

9、gt;0ii特征方程與特征根(穩(wěn)定的焦點(diǎn))(不穩(wěn)定的焦點(diǎn))(穩(wěn)定的焦點(diǎn))(不穩(wěn)定的焦點(diǎn))I:s2+6s+10=0豈2=-3士jII:s2-2s10=0%=1一j3依題意c(0)=0,c(0)=0可得e(0)=1-c(0)=1e(0)=c(0)=0以(1,0)為起點(diǎn)概略作出系統(tǒng)相軌跡?？梢娤到y(tǒng)階躍響應(yīng)過程是振蕩收斂的。7-7已知具有理想繼電器的非線性系統(tǒng)如圖7-38所示。圖7-38具有理想繼電器的非線性系統(tǒng)試用相平面法分析:(1)Td=0時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng);(2)(3)Tj=2時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。Td=0.5時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，并說明比例微分控制對(duì)改善系統(tǒng)性能的作用;依結(jié)構(gòu)圖，線性部分微分方程為非線性部分方程

10、為-1eTde0eTde：0開關(guān)線方程:-1eeTd由綜合口:、代入并整理得概略作出相平面圖如圖解e=*”-1e+Tde、+1e+Tje>0I<0IIde在i區(qū)：e=e一=1de解出：'2e=-2e(e>0)（拋物線）同理在II區(qū)可得：'2-e=2e(e£0)（拋物線）開關(guān)線方程分別為Td=0時(shí),e=0;Td=0.5時(shí),e=-2e；Td=2時(shí)，e=-0.5e.7-7所示。T嚴(yán)020-5=2圖解由相平面圖可見：力口入比例微分控制可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性；當(dāng)微分作用增強(qiáng)時(shí)，系統(tǒng)振蕩性減小，響應(yīng)加快。7-8具有飽和非線性特性的控制系統(tǒng)如圖7-39所示，試用相平

11、面法分析系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。解非線性特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為'e|e|vaIy=丿Me>aH-MecaHI線性部分的微分方程式為Tc+c=Ky考慮到r-c=e,上式又可以寫成TeeKy=Trr輸入信號(hào)為階躍函數(shù)，在t0時(shí)有，O，因此有TeeKy=Trr輸入信號(hào)為階躍函數(shù)，在t0時(shí)有，O，因此有TeeKy=0根據(jù)已知的非線性特性，系統(tǒng)可分為三個(gè)線性區(qū)域。I區(qū)：系統(tǒng)的微分方程為TeeKe=0按前面確定奇點(diǎn)的方法，可知系統(tǒng)在該區(qū)有一個(gè)奇點(diǎn)(eca)0,o),奇點(diǎn)的類型為穩(wěn)定焦點(diǎn)。圖解7-8(a)為1區(qū)的相軌跡，它們是一簇趨向于原點(diǎn)的螺旋線。n區(qū)：系統(tǒng)的微分方程為TeeKM=0(ea)設(shè)一般情況下

12、，初始條件為e(0)=e0,e(0)=e0。則上式的解為e(t)二e0(e0KM)T-(e0KM)TeT-KMt對(duì)上式求一次導(dǎo)數(shù)，得e(t)=(e0KM)e"-KM故當(dāng)初始條件e'0-KM時(shí)，相軌跡方程為e'=-KM。當(dāng)e'0=-KM時(shí)，相軌跡方程為e=e°G-e)TKMTIneKMKM由此可作出該區(qū)的相軌跡，如圖解7-8(b)所示，相軌跡漸進(jìn)于直線e-KM。川區(qū)：此時(shí)系統(tǒng)的微分方程為Tee-KM=0(e：-a)將n區(qū)相軌跡方程中的KM改變符號(hào)，即得川區(qū)的相軌跡方程e=KMG=KM)“.e+KMe=倉+(e0e)TKMTIn(e0鼻KM)e0十KM該

13、區(qū)的相軌跡如圖解7-8(b)所示。將以上各區(qū)的相軌跡連接起來，便是系統(tǒng)的整個(gè)相平面圖，如圖解7-8(c)所示。假使系統(tǒng)原來處于靜止?fàn)顟B(tài)，則在階躍輸入作用時(shí)，相軌跡的起始點(diǎn)應(yīng)為e(0)=R,e(0)=0。此時(shí)的系統(tǒng)的相平面圖如圖解7-8(d)所示。由圖可知，系統(tǒng)在階躍輸入作用時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其穩(wěn)態(tài)誤差為零。動(dòng)態(tài)過程具有衰減振蕩性質(zhì)，最大超調(diào)量可從圖中量得。(a)圖解7-8非線性系統(tǒng)的相平面圖7-9試推導(dǎo)非線性特性y=x3的描述函數(shù)。y(t)=A3sin,t12兀Bi12兀Bi344A3二Asintd-t二：1(1co2t)2dtA3至(12cos2，tcos22t)d-ASin2tF兀一22c

14、os4tdtA3二廠23A3Bi2BiAi3AN(A)-j-A47-10三個(gè)非線性系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)一樣，線性部分分別為(1)(1)G(s)s(0.1s1)G(s)2s(s1)G(s)=215s1)s(s1)(0.1s1)試問用描述函數(shù)法分析時(shí)，哪個(gè)系統(tǒng)分析的準(zhǔn)確度高?解線性部分低通濾波特性越好，描述函數(shù)法分析結(jié)果的準(zhǔn)確程度越高。分別作出三個(gè)由對(duì)數(shù)幅頻特性曲線可見，L2的高頻段衰減較快，低通濾波特性較好，所以系統(tǒng)(2)的描述函數(shù)法分析結(jié)果的準(zhǔn)確程度較高。7-11將圖7-40所示非線性系統(tǒng)簡化成環(huán)節(jié)串聯(lián)的典型結(jié)構(gòu)圖形式，并寫出線性部分的傳遞函數(shù)。圖7-40非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解(a)將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變

15、換為圖解7-11(a)的形式。G(s)=G(s)1Hds)(b)將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換為圖解7-11(b)的形式。G(s)K(s)G(s)1Gds)7-12判斷題7-41圖中各系統(tǒng)是否穩(wěn)定；-1N(A)與G(j)兩曲線交點(diǎn)是否為自振點(diǎn)。ImIriw.l/ATr4)Imrhi題7-41圖自振分析解(a)不是是(b) 是a、c點(diǎn)是，b點(diǎn)不是(c) 是a點(diǎn)不是，b點(diǎn)是(d) a點(diǎn)不是，b點(diǎn)是系統(tǒng)不穩(wěn)定(e) 系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定7-13已知非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖7-42所示圖7-427-13題圖圖7-427-13題圖圖中非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為N(A)二(A0)試用描述函數(shù)法確定:(1)使該非線性系統(tǒng)穩(wěn)定

16、、不穩(wěn)定以及產(chǎn)生周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，線性部分的K值范圍;(2)判斷周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，并計(jì)算穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)的振幅和頻率。-1_-(A2)N(A)一A6-1-1-1_1N(0)一3，N(：J-dN(A)-4門20dA(A2)2N(A)單調(diào)降，1N(A)也為單調(diào)降函數(shù)。畫出負(fù)倒描述函數(shù)曲線-1N(A)和G(j)曲線如圖解7-13所示，可看出，當(dāng)K從小到大變化時(shí)，系統(tǒng)會(huì)由穩(wěn)定變?yōu)樽哉瘢罱K不穩(wěn)定。求使lmG(jJ=0的值:可得出K值與系統(tǒng)特性之間的關(guān)系:.G(jJ-90-2arctg“180arctg丫=45,G(j)02/3200穩(wěn)定、自振.不穩(wěn)定屮(2)(2)由圖解7-13可見，當(dāng)1.N(A)和G(j)相交

17、時(shí)，系統(tǒng)一定會(huì)自振。由自振條件A+6-K(A十6)K彳1N(A)G(j-A222(A2)解出7-14(1)(2)(A6)K=2A4A6K-4A2-K=1具有滯環(huán)繼電特性的非線性控制系統(tǒng)如圖7-43(a)所示，其中M=1,h=1。當(dāng)T=0.5時(shí)，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，若存在自振，確定自振參數(shù);討論T對(duì)自振的影響。KJihh-R畛十I)圖7-43非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及自振分析解具有滯環(huán)繼電特性的描述函數(shù)為代入代入1N(A)N(A)¥J丐7a，A>hA2有其負(fù)倒描述函數(shù)-1N(A)曲線如題7-43(b)所示，G(j)曲線位于第三象限，兩曲線必然有交點(diǎn)，且該點(diǎn)為自振點(diǎn)。G(s)=5(Ts1)5

18、5TG(j)2-j-0coG(j)二根據(jù)虛部相等，有.5T.二20T自振角頻率隨T增大而增大，當(dāng)T=0.5時(shí)，=3.18。根據(jù)實(shí)部相等，有(20T(20T71解出非線性輸入端振幅為400T4當(dāng)T=0.5時(shí)，A=1.18。自振振幅隨T增大而減小。7-15非線性系統(tǒng)如圖7-44所示，試用描述函數(shù)法分析周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性,并確定系統(tǒng)輸出信號(hào)振蕩的振幅和頻率。S744弗磯性廉折G(j)10-10.102j2j(jT)-1(-1)-二A1AN(A)-410.2r:A令G(j)與-1N(A)的實(shí)部、虛部分別相等得10(21)0.2二4=0.157兩式聯(lián)立求解得=3.91,A=0.806。由圖7-44，r(t)=0時(shí)，有c(t)二一e(t)=x(t)，所以c(t)的振幅為.竺06=0.161。557-167-16用描述函數(shù)