121函數(shù)的概念

1、1.2.1 1.2.1 函數(shù)的概念函數(shù)的概念1.在初中我們學(xué)習(xí)了哪幾種基本函數(shù)？其在初中我們學(xué)習(xí)了哪幾種基本函數(shù)？其函數(shù)解析式分別是什么？函數(shù)解析式分別是什么？問題提出2.2.初中對(duì)函數(shù)概念是怎樣定義的？初中對(duì)函數(shù)概念是怎樣定義的？ 在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x x與與y y，并且，并且對(duì)于對(duì)于x x的每一個(gè)確定的值，的每一個(gè)確定的值，y y都有都有唯一確定唯一確定的值與的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說其對(duì)應(yīng)，那么我們就說x x是自變量是自變量，y y是是x x的函數(shù)的函數(shù). . 一次函數(shù)： ；二次函數(shù)： ； 反比例函數(shù)：)0( kxky)0(2acbxaxy)

2、0( kbkxy知識(shí)探究（一）知識(shí)探究（一） 一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s26s落到地面擊中落到地面擊中目標(biāo)目標(biāo). .炮彈的射高為炮彈的射高為845m845m，且炮彈距離地面，且炮彈距離地面的高度的高度h h（單位：（單位：m m）隨時(shí)間）隨時(shí)間t t（單位：（單位：s s）變）變化的規(guī)律是：化的規(guī)律是：h h130t-5t130t-5t2 2. . 思考思考1 1：這里的變量：這里的變量t t的變化范圍是什么？變量的變化范圍是什么？變量h h的變化范的變化范圍是什么？試用集合表示？圍是什么？試用集合表示？At|0t26，Bh|0h845思考思考2 2：高度變量：高度變量h

3、h與時(shí)間變量與時(shí)間變量t t之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)？若是，其自變量是什么？數(shù)？若是，其自變量是什么？思考思考3 3：炮彈在空中的運(yùn)行軌跡是什么？射高：炮彈在空中的運(yùn)行軌跡是什么？射高845m845m是怎樣是怎樣得到的？得到的？知識(shí)探究（二）知識(shí)探究（二） 近幾十年來，大氣層中的臭氧迅速減少，因而近幾十年來，大氣層中的臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)了臭氧層空洞問題出現(xiàn)了臭氧層空洞問題. . 下圖中的曲線顯示了下圖中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積從南極上空臭氧層空洞的面積從1979197920012001年的年的變化情況變化情況. . S（106km2）15t（年）51979

4、 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 200101020253026 思考思考1 1：根據(jù)曲線分析，時(shí)間根據(jù)曲線分析，時(shí)間t t的變化范圍是什的變化范圍是什么？臭氧層空洞面積么？臭氧層空洞面積S S的變化范圍是什么？試的變化范圍是什么？試用集合表示？用集合表示？At|1979t2001；Bs|0s26思考思考2 2：時(shí)間變量時(shí)間變量t t與臭氧層空洞面積與臭氧層空洞面積S S之間的對(duì)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)？若是，其自變量是什么？應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)？若是，其自變量是什么？思考思考3 3：這里表示函數(shù)關(guān)系的方式與上例有什么這里表示函數(shù)

5、關(guān)系的方式與上例有什么不同？不同？知識(shí)探究（三）知識(shí)探究（三）國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個(gè)國家人民生活質(zhì)國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個(gè)國家人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高. .下表下表是是“八五八五”計(jì)劃以來我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變計(jì)劃以來我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況化情況. .時(shí)間時(shí)間（年）（年）19911992199319941995199619971998199920002001恩格爾恩格爾系數(shù)系數(shù)（%）53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9總支出食物支出恩格爾系數(shù) 思考思考1 1：用

6、：用t t表示時(shí)間，表示時(shí)間，r r表示恩格爾系數(shù)，那表示恩格爾系數(shù)，那么么t t和和r r的變化范圍分別是什么？的變化范圍分別是什么？ A=1991，1992，2001，B=53.8，52.9,50.1，49.9，48.6，46.4，44.5，41.9，39.2，37.9思考思考2 2：時(shí)間變量：時(shí)間變量t t與恩格爾系數(shù)與恩格爾系數(shù)r r之間的對(duì)應(yīng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)？關(guān)系是否為函數(shù)？ 知識(shí)探究（四）知識(shí)探究（四）思考思考1 1：從集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)分析，上述三個(gè)：從集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)分析，上述三個(gè)實(shí)例中變量之間的關(guān)系都可以怎樣描述？實(shí)例中變量之間的關(guān)系都可以怎樣描述？ 對(duì)于數(shù)集數(shù)集A中的

7、每一個(gè)x，按照某種對(duì)按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)關(guān)系f，在數(shù)集數(shù)集B中都有唯一確定唯一確定的y和它對(duì)應(yīng)，記作 f：AB.思考2：上述三個(gè)實(shí)例中變量之間的關(guān)系都是函數(shù)，上述三個(gè)實(shí)例中變量之間的關(guān)系都是函數(shù)，那么從集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)分析，函數(shù)還可以怎樣定那么從集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)分析，函數(shù)還可以怎樣定義？義？ 設(shè)設(shè)A A，B B是是非空的數(shù)集非空的數(shù)集，如果按照某種，如果按照某種確定的對(duì)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合，使對(duì)于集合A A中的中的任意任意一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)x，在，在集合集合B B中都有中都有唯一確定唯一確定的數(shù)的數(shù)f( (x) )和它對(duì)應(yīng)，和它對(duì)應(yīng)， 那么就稱那么就稱f：ABAB為從集合為從集合A A到

8、集合到集合B B的一個(gè)函的一個(gè)函數(shù)，記作數(shù)，記作 y= =f( (x) )，xAA. . 其中其中，x叫做叫做自變量自變量，與，與x值相對(duì)應(yīng)的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做值叫做函數(shù)值函數(shù)值. .解釋定義 A,B是非空的數(shù)集是非空的數(shù)集。 對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系 思考：思考：“按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 ”是什么意思？是什么意思？f f 可以看作是對(duì)“x”施加的某種運(yùn)算或法則。例如： ，f 就是對(duì)自變量x求平方。2)(xxf)(xfy 思考：如何理解思考：如何理解“ ”“ ”？ 符號(hào)y=f(x)表示“ y是變量是變量x的函數(shù)的函數(shù)”，它僅僅是函數(shù)符號(hào)函數(shù)符號(hào)，并不表示并不表示y y等于等于f與

9、與x的乘積。的乘積。的區(qū)別和聯(lián)系。為常數(shù)與)()()(aafxf 思考：思考： 當(dāng)當(dāng)a為常數(shù)時(shí)為常數(shù)時(shí)，f(a)表示的是自變量x=a時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，是一個(gè)常數(shù)常數(shù)。自變量的取值范圍自變量的取值范圍A A叫做函數(shù)的定義域；叫做函數(shù)的定義域；函數(shù)值的集合函數(shù)值的集合 f( (x)|)|xA 叫做函數(shù)的值域叫做函數(shù)的值域. . 思考思考3 3：在從集合在從集合A到集合到集合B B的一個(gè)函數(shù)的一個(gè)函數(shù)f：AB中，集合中，集合A是函數(shù)的定義域，集合是函數(shù)的定義域，集合B是是函數(shù)的值域嗎？怎樣理解函數(shù)的值域嗎？怎樣理解f( (x)=1)=1，xRR？例如：例如：xxfBAfBA2)(:,5 , 4 , 2

10、 , 0,2 , 1 , 0定義域?yàn)槎x域?yàn)?,1,2，值域?yàn)?，值域?yàn)?,2,4思考思考4 4：一個(gè)函數(shù)由哪幾個(gè)部分組成？如果給：一個(gè)函數(shù)由哪幾個(gè)部分組成？如果給定函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么函數(shù)的值定函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么函數(shù)的值域確定嗎？兩個(gè)函數(shù)相等的條件是什么？域確定嗎？兩個(gè)函數(shù)相等的條件是什么？定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域；定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域；定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,則兩個(gè)函數(shù)則兩個(gè)函數(shù)相等相等.函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系所確定；函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系所確定；下列可作為函數(shù)下列可作為函數(shù)y= f (x)的圖象的是的圖象的是xxx

11、xyyyyOOOOabaabb0 x0 x0 x練習(xí)練習(xí): : 判斷下列關(guān)系式是否是函數(shù)？并說明理由。判斷下列關(guān)系式是否是函數(shù)？并說明理由。2(3) 1yx (1) 1,yxR(2) 12yxx判斷下列對(duì)應(yīng)能否表示判斷下列對(duì)應(yīng)能否表示y是是x的函數(shù)的函數(shù)（1） y=|x| （2）|y|=x （3） y=x 2 （4）y2 =x （5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1 (1)能能 (2)不能不能 (5)不能不能 (3)能能 (4)不能不能 (6)不能不能 例2、對(duì)于函數(shù)y=f (x)，以下說法正確的有( )y是x的函數(shù) 對(duì)于不同的x,y的值也不同 f(a)表示當(dāng)x=a時(shí)函數(shù)f(x)的值，是

12、一個(gè)常量 f(x)一定可以用一個(gè)具體的式子表示出來A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)B例3、給出四個(gè)命題：定義域相同，值域相同的兩個(gè)函數(shù)相等。若函數(shù)的定義域只含有一個(gè)元素，則值域也只有一個(gè)元素 因f(x)=5(xR),這個(gè)函數(shù)值不隨x的變化范圍而變化，所以f(0)=5也成立 定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)值也就確定了 正確有( ) A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)C下列例下列例4、例、例5、例、例6是否滿足函數(shù)定義是否滿足函數(shù)定義例例4 若物體以速度若物體以速度v作勻速直線運(yùn)動(dòng)，則作勻速直線運(yùn)動(dòng)，則 物體通過的距離物體通過的距離S與經(jīng)過的時(shí)間與經(jīng)過的時(shí)間t的關(guān)系的關(guān)系 是是Svt. 例

13、例5 某水庫的存水量某水庫的存水量Q與水深與水深h (指最深處指最深處 的水深的水深)如下表：如下表：水深水深h(米米)0510152025存水量存水量Q(立方立方)0204090 160 275例例6 設(shè)時(shí)間為設(shè)時(shí)間為t，氣溫為，氣溫為T()，自動(dòng)測(cè)溫，自動(dòng)測(cè)溫儀測(cè)得某地某日從凌晨儀測(cè)得某地某日從凌晨0點(diǎn)到半夜點(diǎn)到半夜24點(diǎn)點(diǎn)的溫度曲線如下圖的溫度曲線如下圖. 201510506 12 18 24 T()t t2. 函數(shù)的三要素函數(shù)的三要素:r 定義域定義域A；r 值域值域f(x)|xA；r 對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則f.(1)函數(shù)符號(hào)函數(shù)符號(hào)yf (x) 表示表示y是是x的函數(shù)，的函數(shù)， f (x)

14、不是表示不是表示 f 與與x的乘積；的乘積；(2) f 表示對(duì)應(yīng)法則，不同函數(shù)中表示對(duì)應(yīng)法則，不同函數(shù)中f 的具的具 體含義不一樣；體含義不一樣；函數(shù)函數(shù)對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則定義定義域域值域值域正比例正比例 函數(shù)函數(shù)反比例反比例 函數(shù)函數(shù)一次函數(shù)一次函數(shù)二次函數(shù)二次函數(shù))0( kkxy) 0(2 acbxaxy)0( kxky)0( kbkxyRRRRR0|xx0| yy44|044|022abacyyaabacyya 時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)3.已學(xué)函數(shù)的定義域和值域已學(xué)函數(shù)的定義域和值域反比例函數(shù)反比例函數(shù)一次函數(shù)一次函數(shù)二次函數(shù)二次函數(shù)a 0a 0圖像圖像定義域定義域值域值域(0)kyxk(0)yax ba

15、2 (0)yaxbx ca |0 x xRRR |0y yR24 |4ac by ya24 |4ac by ya2ba244acba244acba2baBack3.已學(xué)函數(shù)的定義域和值域已學(xué)函數(shù)的定義域和值域?qū)崝?shù)集實(shí)數(shù)集R R 使分母不等于使分母不等于0 0的實(shí)數(shù)的集合的實(shí)數(shù)的集合使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于0 0的實(shí)數(shù)的集合的實(shí)數(shù)的集合使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)的集合使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)的集合( (即各集合的交集即各集合的交集) )使實(shí)際問題有意義的實(shí)數(shù)的集合使實(shí)際問題有意義的實(shí)數(shù)的集合 (3)(3)如果如果y=f (x)是二次根式，則定義域是是二次根式，則定義域是

16、(4)(4)如果如果y=f (x)是由幾個(gè)部分的式子構(gòu)成的，則定義域是是由幾個(gè)部分的式子構(gòu)成的，則定義域是(1)(1)如果如果y=f (x)是整式，則定義域是是整式，則定義域是(2)(2)如果如果y=f (x)是分式，則定義域是是分式，則定義域是(5)(5)如果是實(shí)際問題，是如果是實(shí)際問題，是例例1 求下列函數(shù)的定義域：求下列函數(shù)的定義域：例題講解例題講解.211)(xxxf xxxfxxfxxf211)()3(23)()2(21)() 1 (2x 解:(1)要使函數(shù)有意義，只需02 x即 ，所以函數(shù) 的定義域?yàn)?。21)(xxf2|xx求下列函數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域（1）（2）（4）（

17、5）|x|x1)x(fxxf111)(1xx4)x(f213xx1)x(f).1()2(aff，).1(),2(),3(, 253)(22afffxxxf求已知函數(shù)例2222(3)3 35 3 2 14(2)3 (2)5 (2)28 5 2(1)3 (1)5(1)23fff aaaaa 解：解：2( )323(1)(2),( 2),(2)( 2)(2)( ),(),( )()f xxxfffff afaf afa已知函數(shù)、求、求(2)3 2612( )3636()3 ()63()6( ( )3( )63(36)6924ff aaaf mnmnmnf f xf xxx 解：.)(, )(, )(

18、, )2(,63)(5xffnmfaffxxf求已知函數(shù)例xxyxyxyxyxy22332)4()3()2()(13）（是同一個(gè)函數(shù)？下列哪個(gè)函數(shù)與例解：（1） 這個(gè)函數(shù)與函數(shù)2()(0),yxx x()yx xR雖然對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，但是定義域不相同。所以這個(gè)函數(shù)與函數(shù) 不相等。()yx xR（2） ,這個(gè)函數(shù)與函數(shù)這個(gè)函數(shù)與函數(shù)33()yxx xR()yx xR不僅對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，而且定義域也相同，所以這個(gè)函數(shù)不僅對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，而且定義域也相同，所以這個(gè)函數(shù)與函數(shù)與函數(shù) 相等。相等。()yx xR例例4 下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是否為相同的下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是否為相同的函數(shù)？函數(shù)？52)()52(

19、)()3() 1)(1(11)2(53)5)(3() 1 (2xxfxxfxxyxxyxyxxxy與與與 （1 1）定義域不同。）定義域不同。 （2 2）定義域不同。）定義域不同。 （3 3）定義域和值域都不同）定義域和值域都不同。02222(1) ( )(1) ,( )1(2) ( );( )(3) ( );( )(1)(4) ( );( )f xxg xf xxg xxf xxg xxf xxg xx 練習(xí)：判斷下列函數(shù)練習(xí)：判斷下列函數(shù)f(x)與與g(x)是否表示相是否表示相等的函數(shù)，并說明理由？等的函數(shù)，并說明理由？設(shè)設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且ab, 我們我們規(guī)定規(guī)定：(

20、1)、滿足不等式、滿足不等式axb的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)x的集合叫做的集合叫做閉區(qū)間閉區(qū)間，表示為表示為 a,b(2)、滿足不等式、滿足不等式axb的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)x的集合叫做的集合叫做開區(qū)間開區(qū)間，表示為表示為 (a,b)(1)、滿足不等式、滿足不等式axb或或aa ,x b, xb的實(shí)數(shù)的集的實(shí)數(shù)的集合分別表示為合分別表示為a, +)、(a, +)、(-,b、(-,b).試用區(qū)間表示下列實(shí)數(shù)集試用區(qū)間表示下列實(shí)數(shù)集 （1）x|5 x6 （2） x|x 9 （3） x|x -1 x| -5 x2（4） x|x -9x| 9 x20注意注意：區(qū)間是一種表示連續(xù)性的數(shù)集區(qū)間是一種表示連續(xù)性的數(shù)集定義域、值域經(jīng)常用區(qū)間表示定義域、值域經(jīng)常用區(qū)間表示實(shí)心點(diǎn)表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)，用空心點(diǎn)表示不實(shí)心點(diǎn)表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)，用空心點(diǎn)表示不 包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)。包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)。)6 , 5), 9 )2 , 51,( )20, 9()9,( 例6.已知函數(shù) 215)(xxxf（1）求）求f(x)的定義域；的定義域；（2）求）求f(x+3)的表達(dá)式，以及的表達(dá)式，以及f(x+3)的定義域。的