第三章離散小波變換

1、第三章 離散小波變換3.1 尺度和位移的離散化方法對于連續(xù)小波而言，尺度a、時間t和與時間有關的偏移量都是連續(xù)的。如果利用計算機計算，就必須對它們進行離散化處理，得到離散小波變換。本章主要內容尺度和位移的離散化方法小波框架理論二進小波變換3.1 尺度和位移的離散化方法為了減小小波變換系數(shù)的冗余度，我們將小波基函數(shù) 的a、限定在一些離散的點上取值。)(1)(,atata離散化方法（1）尺度的離散化。目前通行的做法是對尺度進行冪數(shù)級離散化。即令a取2 , 1 , 0),(, 0,02000jtaaZjaaajjj對應的小波函數(shù)是：離散化方法（2）位移離散化。通常對進行均勻離散取值，以覆蓋整個時間軸

2、， 滿足Nyquist采樣定理。在a=2j時，沿軸的響應采樣間隔是2j 0，在a0=2情況下，j增加1，則尺度a增加一倍，對應的頻率減小一半。此時采樣率可降低一半而不導致引起信息的丟失。00jka因此在尺度j下，由于 的寬度是 的 倍，因此采樣間隔可擴大 ，而不會引起信息的丟失。 可寫成：離散小波變換的定義為：)(0taj)(tja0ja0) (,ta)(002000020ktaakataajjjjjZkjdtttfkaWTkajfj，, 2 , 1 , 0,)()(),(00,00一般，取a0=2，則a=2j，=2jk0，則采樣間隔為=2j0當a=2j時，的采樣間隔是 2j0 ，此時， 變?yōu)?/p>

3、：)(,taZkjtktkjjj；即, 2 , 1 , 0),(),2(2,02一般，將0歸一化，即0=1，于是有：此時，對應的WTf為：)2(2)(2,kttjjkjdtttfkjWTkjf)()(),(,離散化過程中的兩個問題一、離散小波能否完全表征函數(shù)f(t)的全部信息。二、是否任何函數(shù)f(t)都可以表示為以 為單位的加權和。即如果可以，系數(shù) 如何求？)(,tkjZkjkjkjtctf,)()(kjc,3.2 小波的框架理論1 框架的定義在希爾伯特空間H中有一族函數(shù) ，如果存在0AB，對所有的fH，有：稱 是H中的一個框架。常數(shù)A、B的意義。Zkk222|,|fBffAkkZkk框架的定

4、義若A=B，則稱為緊致框架，此時：如果A=B=1，則 此時， 是正交框架，若 ， 則 是規(guī)范正交基。ZkkZkkkkfAf22|,|kkff22|,|12k2.對偶框架的定義對偶函數(shù)： 的對偶函數(shù) 也構成一個框架，其框架的上下界是 上下界的倒數(shù)。即：kkkBAfBffAk0 ,1|,|12223. 通過框架對原函數(shù)進行重建重構定理：令 為其對偶框架，則f(t)通過下式重構：如果A=B=1，這時 是一組正交基，所以重建公式為：的一個框架，是HHtfZkk,)(Zkk)(,)(,)(tftftfkkkkkk)(,)(tftfkZkkk通過框架對原函數(shù)進行重建在緊框架情況下，如果 ，我們定義算子S如

5、下：求逆，得：這時，只有 ，重構公式才成立。當 的時候，如果A，B越接近，上式的誤差越小。)(,1)(tfAtfkZkkBAZkkktftSf)(,)(kZkkZkkkSftfStf11, )(,)(kkS1BA4. 框架和Riesz基Riesz基的定義：設有 滿足下列要求：便意味著 ，也就是要求 是一組線性獨立族。則稱 為一組Riesz基。Zkk時，當0)2() 1 (22ZkkkZkkZkZkkkkccBccA0kcZkkZkk1.小波框架的定義：如果當基本小波函數(shù)（t）經伸縮和位移引出的函數(shù)族具有如下性質：Zkjkttjjkj,),2(2)(2,BAfBffAjkkj0 ,|,|22,2

6、我們稱 都成了一個框架，上式為小波框架條件。其頻域表示為： 的對偶函數(shù) 也構成一個框架。 Zkjkjt,)(0 ,| )2(|2Zjj)(,tkj)2(22,ktjjkjBAfBffAjkkj0 ,1|,|122,22.小波框架的性質（1）滿足框架條件的 ，其基本小波必定滿足容許性條件。（2）離散小波變換具有非收縮時移共變性。（3）離散小波框架 存在冗余性。)(,tkj)(tZkjkjt,)(3.離散小波變換的逆變換如果離散小波序列 構成一個框架，上下界為A和B，根據(jù)上節(jié)討論的函數(shù)框架重建原理，當A=B時，離散小波的逆變換為：當 時，但二者比較接近時，作為一階逼近，可取)(),(1)(,)(,

7、tkjWTAtftfkjkjfkjkjkjBA)(2)(,tBAtkjkjZkjkj,所以重建公式近似于：同樣，A和B越接近，誤差就越小。在緊框架情況下，)(,2)(,tfBAtfkjZkjkjjkkjxtkjWTAtf)(),(1)(, 點的WT為：將f(t)代入上式有：式中),(00kjdtttfkjWTkjf)()(),(0,000dtkjWTkjkjKAkjWTjkff),(),;,(1),(0000)(),()()(),;,(0000,*,00ttdtttkjkjKkjkjkjkj3.3 二進小波變換二進小波的表示形式。)2(2)(2,2kkttk令小波函數(shù)為 ，其傅立葉變換為 ，若

8、存在常數(shù)A，B，當 ，使得此時， 才是一個二進小波，上式為二進小波的穩(wěn)定性條件。)(t)(BA0ZkkBA2| )2(|)(t定義函數(shù) 的二進小波變換系數(shù)為：其中：設 的傅立葉變換為 ，由卷積定理得：)()(2RLtfdtttfttfWTRkkkk)2()(2)(*)()(2,22)2(22,2kktk)(2jWT)(2jWT)2(2)()(22kjjeFWTj對 ，總有關系式：此式說明二進小波 構成了 的一個框架，所以它的小波逆變換公式是存在的。二進小波的重建公式為：)()(2RLtf222)(fBWTfAZkj)(,2tj)(2RLdtWTtfjkZkR)()()(,22（1）二進小波滿足小波母函數(shù)容許性條件，即二進小波必為基本小波。（2）二進小波是冗余的。由框架理論知：當不滿足A=B=1時，框架是冗余的，也就是二進變換系數(shù)之間具有一定的相關性。二進變換系數(shù)之間的關系滿足重建核方程。由重建核方程，可知，不是任意函數(shù)序列都可以作為某一函數(shù)的二進小波變換，只有當它們都滿足重建核方程時，才能看做某一函數(shù)的二進小波變換。