從“植樹問題”看模型思想的教學(xué)

1、從“植樹問題”看模型思想的教學(xué)一、一道期末試題與原因分析小明從第1 棵樹勻速走到第6 棵樹用了3 分鐘，那么以相同的速度從第一棵樹走到第30 棵樹需用幾分鐘？（每兩棵樹之間的距離相等）思路簡析：很顯然，這道題屬于“植樹問題”的拓展應(yīng)用，解答這道題首先要知道“植樹問題”的間隔規(guī)律（棵樹比間隔數(shù)多1） ， 然后根據(jù)間隔規(guī)律分別推算第1 到第 6 棵樹之間有5個間隔，每個間隔時間為3+5=0.6分鐘。然后再根 據(jù)1到30棵樹有29個間隔，將0.6X29求生共需要的時間。訪談中，我們了解到大多數(shù)學(xué)生對不同“植樹問題”的間隔規(guī)律不是很理解，不清楚這道題要歸結(jié)為哪一種模型的“植樹問題”來解決。原因分析：

2、“植樹問題”在人教版四年級下冊已經(jīng)學(xué)習(xí)過， 2014 年修訂教材調(diào)整到五年級上冊，按道理應(yīng)該不難理解?？蓪W(xué)生的得分率如此之低很是出乎筆者的意料。經(jīng)過訪談，筆者了解到，大多數(shù)學(xué)生都能說出間隔數(shù)和植樹棵樹之間的關(guān)系，但是將植樹問題模型與生活實際相關(guān)聯(lián)不熟悉，筆者認(rèn)為這可能與教師授課時的側(cè)重點有關(guān)系。該班級的教師在四年級教學(xué)時，采用整體教學(xué)的辦法，把“植樹問題”的三種類型，即所謂的“兩端都種” “只種一端”與“兩端都不種”在一節(jié)課中同時呈現(xiàn)。并將“三種情況”的區(qū)分以及相應(yīng)的計算方法（ “加一” “不加不減”與“減一”）看成一種“規(guī)律”，要求學(xué)生熟練記住，牢固掌握。由于時間緊張，該教師在比較三種類型后

3、沒有時間進行把生活中的問題轉(zhuǎn)化成“植樹問題”的環(huán)節(jié)，課后也沒有花時間進行專項訓(xùn)練， 致使學(xué)生對模型的理解僅僅停留在典型的 “植樹問題”上。 有些學(xué)生雖然會解決這一問題，但這些學(xué)生尚不能把 “植樹問題”的解決方法與生活中相似的現(xiàn)象進行知識鏈接，這就導(dǎo)致了能找到規(guī)律但不會熟練運用規(guī)律解決問題。二、對“植樹問題”教學(xué)中問題的反思1. 教學(xué)時應(yīng)注重“植樹問題”的模型應(yīng)用?！爸矘鋯栴}”的教學(xué)涉及兩種層面的數(shù)學(xué)活動：其一，“植樹問題”可區(qū)分出三種不同的數(shù)學(xué)模型，即 “兩端都種”“只種一端”與“兩端都不種”；其二，以“植樹問題”為原型引出普遍性的“間隔現(xiàn)象”的思考模式，然后再利用這一模式去解決各種新的實際問

4、題，如“路燈問題” “排隊問題” “鋸樹問題” “爬樓問題”等。在實際教學(xué)中，教師們往往過于重視第一個層面的教學(xué)活動，即注重三種不同模型的區(qū)分，而對第二個層面的教學(xué)活動缺乏應(yīng)有的重視。這樣就可能導(dǎo)致學(xué)生未能清楚地認(rèn)識到上述現(xiàn)實問題都與“植樹問題”有著相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，可以被歸結(jié)為同一個數(shù)學(xué)模式，這樣的“植樹問題”教學(xué)無疑是有問題的。本題較低的得分 率提醒我們： “模式應(yīng)用”要比“三種情況的區(qū)分”有著更大的重要性。俞正強老師執(zhí)教的“植樹問題”一課。他在引導(dǎo)學(xué)生理解了“植樹問題中的樹是種在平均分的點上”后，隨即提出一個問題讓學(xué)生思考“除了植樹人把樹種在點上，還有什么人把什么也放在平均分的點上？”這個

5、問題很巧妙地將“植樹問題”引入生活，讓學(xué)生回到生活中找“植樹問題”。學(xué)生列舉這些例子：服務(wù)員杯子的放法，工人每隔幾米打地基，路燈的建設(shè)，每隔40 米建一幢房子等都是放在平均分的點上。顯然，學(xué)生所說都是比較平常的事例。此時，俞老師有意舉出不同的例子： “高速公路，每隔 50 米設(shè) 1 個服務(wù)區(qū)”“美國選總統(tǒng)每 5 年選一次” “每隔一學(xué)期一張獎狀”等引導(dǎo)學(xué)生理解這些例子與植樹類似。在俞老師的拓展啟發(fā)下，學(xué)生想出的生活例子更多了。最后俞老師小結(jié)： “生活中的植樹問題，研究的是平均分中的點。 ”在這個環(huán)節(jié)中，俞老師花的時間比較多。其實就是從抽象的數(shù)學(xué)模型出發(fā)，聯(lián)系生活實例，拓寬學(xué)生思路，不斷加深對“

6、植樹問題”這類數(shù)學(xué)模型的理解，取得了很好的教學(xué)效果。2. 改進“植樹問題”的模型建構(gòu)策略。策略一：從除法的意義入手建構(gòu)模型。筆者認(rèn)為，學(xué)生在學(xué)習(xí)“植樹問題”之前已經(jīng)學(xué)會用除法算式解決實際問題，那么，在解決“植樹問題”的過程中可以基于學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，從除法的意義入手，將“植樹問題”作為用除法解決問題中的一類特殊情況加以處理，可以采用“一一對應(yīng)”的思想，在理解“間隔數(shù)和棵樹”這兩者關(guān)系的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生逐步建構(gòu)“商 +1 ，商，商-1 ”的植樹問題模型，并在解決問題的過程中學(xué)會具體問題具體分析，判斷數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題。俞正強老師分四個層次解決“植樹問題”的建構(gòu)問題。（ 1）從除法意義入

7、手。第一個問題：“ 20 米，每 5 米分一段，共分幾段？”這個問題是二年級平均分的問題。學(xué)生一下就列由了算式：20 + 5=4 （段）?！盀槭裁从贸▉碜?？”“你什么時候會做這種題目的？”通過一連串問題，回歸除法的意義，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)一一用除法算式解決問題的最根本的意義是平均分。（ 2）變式思考。第二個問題：“ 20 米路，每5 米栽一棵樹，共栽幾棵樹？”學(xué)生的普遍想法是： 20+5=4 （棵），都認(rèn)為也是在把20 平均分，所以是4 棵。而只有一位學(xué)生的想法是不同的，他認(rèn)為是“20 + 5+1=5 （棵）”，因為在0米時要種一棵。俞老師通過一連串追問，學(xué)生不斷地進行思考與表述，最后通過畫圖得出

8、是5 棵。利用數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生理解“樹是種在哪兒的？”3）兩題比較。俞老師追問： “這兩題一樣嗎？不一樣在哪里？”學(xué)生通過對問題的思考，區(qū)分出平均分是一段一段地分，而種樹是種在段與段之間兩端的點上。教師板書：點。 接著，教師不斷追問： “點與段的差別在哪里？” “點多，還是段多？” “怎么個多法？”“ 1 段是 2 點， 2 段是 3點，3段是4點，4段是5點”當(dāng)學(xué)生清楚地得由“棵（點）=1+平均分”時，教師小結(jié)： “植樹是植在點上的。 ”（ 4）問題變式。如果把20 米改成 50 米，改成100 米，200 米呢？還能解決嗎？ “不管換成多遠， 方法都是一樣的?！庇崂蠋煂⒗}引申到更為

9、普遍的現(xiàn)象中。策略二：從基本模型拓展到其他模型。前文提及，在“植樹問題”中涉及“兩端都種” “只種一端”與“兩端都不種”這三種模型，筆者認(rèn)為，這三種模型應(yīng)該以“兩端都種”為基本模型，教學(xué)中不應(yīng)該對三種模型平均用力，可重點教學(xué)“兩端都種”，在此基礎(chǔ)上通過變式發(fā)展得到“只種一端”與“兩端都不種”的數(shù)學(xué)模型。這樣既把握了三種數(shù)學(xué)模型的內(nèi)在聯(lián)系，又避免了教學(xué)時間不足的矛盾。仍以俞老師執(zhí)教的“植樹問題”為例：教師在引導(dǎo)學(xué)生建立“ 20+5+1”這個數(shù)學(xué)模型后，巧設(shè)了兩個變式情境，并做拓展。（ 1）一端不種。教師問： “某某小朋友，你扛著 5 棵樹準(zhǔn)備去種，如果其中一端被一棟房子擋住了，你怎么辦？”在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生得由方案：帶回一棵樹，即“ 20 +5+1-1 ”，也就是一端不種減1。（ 2）兩端不種。教師又問：“某某小朋友，你也扛著 5棵樹去種，兩端都被房子擋住了，你怎么辦？”此為呈現(xiàn)出另一種特殊情況，即兩端不種，帶回兩棵。學(xué)生得出方案：“20 + 5+1-2”，即兩端不種減 2。這兩個模型則是在“ 20+5+1”這一經(jīng)典模型的基礎(chǔ)上演變出來的。帶回1 棵就減 1，帶回 2 棵就減2。清楚直觀，不易混淆。（3）模式拓展。教師又追問：“除了種樹外，什么情況下可以一端不種，什么情況下可以兩端不種？”通過再一次的舉例，學(xué)生對“植樹問題”在生活中的應(yīng)用有了更為深入的理解。