整理一致連續(xù)性的判定定理及性質(zhì)

1、一致連續(xù)性的判定定理及性質(zhì)作者：朱肖紅指導老師：張海摘要函數(shù)的一致連續(xù)性是數(shù)學分析課程中的一個重要概念，在分析問題中起著十分重要的作用.它不僅是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)黎曼可積的理論基礎，而且與隨后的含參量積分，函數(shù)項級數(shù)等概念都有著密切的聯(lián)系.因此，判定函數(shù)的一致連續(xù)性是數(shù)學分析的一項重要內(nèi)容.本文對函數(shù)的一致連續(xù)性的概念進行了深入分析，對判定函數(shù)一致連續(xù)性的充分條件，充要條件作了簡要概括，并給出了閉區(qū)間和開區(qū)間上函數(shù)一致連續(xù)性的判別方法.包括無窮區(qū)間上函數(shù)一致連續(xù)性的判定，并分別給出了這些定理的證明.同時，本文也總結了一致連續(xù)性的幾個性質(zhì)及它的應用關鍵詞連續(xù)函數(shù)極限有界函數(shù)一致連續(xù)非一致連續(xù)1引言

2、弄清函數(shù)一致連續(xù)性的概念和掌握判斷函數(shù)一致連續(xù)性的方法無疑是學好函數(shù)一致連續(xù)性理論的關鍵.數(shù)學分析教材中只給出了一致連續(xù)的概念和判斷函數(shù)在閉區(qū)間上一致連續(xù)的Cator定理，內(nèi)容篇幅少，但實際運用時，這些遠遠不夠.本文將給出函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)性的幾個充分條件，充要條件及性質(zhì)與運用.這幾種方法為教科書所忽視，但比較實用且應用面廣泛，有必要加以詳細討論.2一致連續(xù)性的概念定義2.1設函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義.若卡8A0J60,Vx1,x2wI,只要x1-x2<a，都有f(x)f(x2b<君,稱函數(shù)f(x)在I上一致連續(xù).對函數(shù)一致連續(xù)TIe概念的掌握，應注意以下三個方面的問題：(1

3、)要注意函數(shù)在區(qū)間的連續(xù)性與一致連續(xù)性的區(qū)別和聯(lián)系比較函數(shù)在區(qū)間的連續(xù)性和一致連續(xù)性可知：前者的6不僅和有關，而且還和點x0有關，即對于不同的x0,一般來說6是不同的，這表明只要函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點都連續(xù)，函數(shù)就在區(qū)間連續(xù)；后者的6僅與總有關，與x0無關，即對不同的x0力是相同的.這表明函數(shù)在區(qū)間的一致連續(xù)性，不僅要求函數(shù)在這個區(qū)間的每一點都連續(xù)，而且要求函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)是致”的.(即連續(xù)可對一點來講，而且對于某一點x0,6取決于x0和w，而一致連續(xù)必須以區(qū)間為對象，只取決于£，與點x0的值無關.)在區(qū)間I上一致連續(xù)的函數(shù)在這個區(qū)間一定是一致連續(xù)的，事實上，由一致連續(xù)性定義將x1固定

4、，令x2變化，即知函數(shù)f(x)在x1連續(xù)，又x1是I的任意一點從而函數(shù)f(x)在I1連續(xù)，但在區(qū)間I連續(xù)的函數(shù)在這區(qū)間上不一定一致連續(xù)，例如f(x)=在區(qū)間(0,1)就是x如此.(2)函數(shù)一致連續(xù)性的實質(zhì)，就是當這個區(qū)間的任意兩個彼此充分靠近的點上的值的差，就絕對值來說，可以任意小，即任意的x1,x2，當x1-x2|<5時，就有f(x1f(x2)<.(3)要注意函數(shù)一致連續(xù)的否定敘述一致連續(xù)的否定就是非一致連續(xù)，即設函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，若三%>0,寸3>0,三xi,x2wI:xi-x2|<6有f(x1)一f區(qū)|)2%，則稱f(x)在I上非一致連續(xù).總的來

5、說，函數(shù)的連續(xù)性反映了函數(shù)的局部性質(zhì)，而函數(shù)的一致連續(xù)性則反映了在整個區(qū)間上的整體性質(zhì).二者之間既有區(qū)別又有聯(lián)系.3一致連續(xù)性的判定定理判定函數(shù)一致連續(xù)性的幾個充要條件定理3.1f(x)在a,b上一致連續(xù)的充要條件是f(x)在hb】上連續(xù).證明必要性由定義直接可得.充分性采用反證法，假設f(x)在kb】上非一致連續(xù)，即三%>0,對V">0,在區(qū)間a,b】內(nèi)至少存在兩點x1及*2,雖然x1-x2<n，但f僅1)一f(x2b之.現(xiàn)取“=l(n=1,2,3)，那么在a,b】內(nèi)存在兩點x，)及x2n).雖然nxF)-x2n)<1,但f(x1f(x2n)b之玩.n應用魏

6、爾斯特拉斯定理，在有界數(shù)列3111nA中存在一個收斂的子列xp)Tx0*T的)，這里由再,b1一n<IJnzX-n1X亦即X1nk-x?一；0k一；二：)：.因為x1nk)一x0k一J；,所以x2nkx0kJ),并且f(xFk)f(xfkg%對一切k成立.另一方面也于f(x)在x0連續(xù)，亦即|imfx=fX。.xx。由函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系，有l(wèi)imf(x(nk)=f(x0)limf(xr)=f(%).而k):：k-：limfx1nk-fx2nk=0.k-,：這同f僅，k)-f(x2nk之加對一切k成立相矛盾.即假設不成立.即原命題成立.定理3.2函數(shù)f(x)在有限開區(qū)間(a,b)內(nèi)一

7、致連續(xù)的充要條件是f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)且極限lim/(x)和limf(x)存在.x_a'x_b一證明充分歸令'f(a+0),x=ag(x)=f(x),xw(a,b)Jb-0),x=b則g(x)在a,b1上連續(xù)，從而g(x)在b,b1上一致連續(xù).因為f(x)在(a,b)內(nèi)致連續(xù).二f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，并且V®>0,36>0,xi,x2亡(a,b)，當x1x?<5時，有fxi-fx2二；于是當x1,x2w(a,a+6)時，有fxi-fx2根據(jù)柯西準則，極限limf(x)存在.同理可證limf(x)也存在.x-a,xb一定理3.3設函數(shù)f(x

8、)在區(qū)間I上有定義，在I上一致連續(xù)的充要條件是對區(qū)間I上的任意兩數(shù)列*門與丫門,當!%-丫J=0時,nim(fxn-fyn)=0.證明必要性因為f(x堆I上一致連續(xù)，所以VW>0,9>0,Vx,ywI,f(x)-f(y)<w任取I上的兩數(shù)列xn與yn并且滿足網(wǎng)(f)=°.則對6g>0,三N，當nN時有Xn-Yn<6。于是f(Xn)-f(Yn)<8,即nimf(xn)-f(Yn)=0.充分性假設f(x)在I上不一致連續(xù)，則三/A0,V6A0,三X1,X2WI:X1X2<6，但f僅力f(X2b之即.-i.1,、1牛寸力I，取6=(nWN)，則Xn

9、,YnWI,Xn-Yn一，但nnf(Xn)f(Yn)之即，JjmJf(Xn)f(Yn)#0，這與已知條件矛盾.所以原命題成立.判定函數(shù)一致連續(xù)性的幾個充分條件定理3.4若f(X)在(-DO/HC)內(nèi)連續(xù)，且Jm/(X),Jm/(X)者B存在，則f(X)在(,")上一致連續(xù).證明>0,361>0/limf(X)=A,.mbA0，當X>b時，有X.f(X)-A<-,2從而當X1,X2ab,X1-X2<a時，有f(X1)-f(X2)<|f(X1)-A+|f(X2)-A<3.所以f(X施b,+=c)上一致連續(xù).同理可證當X1-X2<52時，有f

10、(X1f(X2)<名，即知f(X)在(0°,a上一致連續(xù).又f(x)在hb】上連續(xù)，二363>0當X1-x2<露時，有fX1-fX2故f(x)在a,b上一致連續(xù).取6=min必與4)，當x1x21c6時便有fXi-fX2:即f(X)在(-oo,+=c)上一致連續(xù).定理3.5若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導數(shù)有界，則f(x)在I上一致連續(xù).推論若函數(shù)f(x)在a,收)上單調(diào)增加，可導且其圖形是上凸的，則f(x)在區(qū)間a,也)上一致連續(xù).證明：由f(x)可導且單增，從而f'(x)至0，又曲線y=f(x)向上凸，從而f'(x)在a,收)上單減.所以0<f

11、(x)<f(a),于是f(x)在a,)上有界，由上定理知，f(x)在a,依)上一致連續(xù).定義3.1設函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的實值函數(shù)，如果任取x,ywI,0E九E1,有fx1y-f(x)(1-)f(y)f(,x(1-'Dy)->f(x)(1-1)f(y)稱是區(qū)間上凸(下凸)函數(shù).f(xoh)-f(xo-1)定義3.2若f(x)在UO(x0)有定義，且lim22-的極限存在，則h0h稱f(x)在x0擬可導，記為f(x0)-他0-)Df(xO)=呵2:引理3.1凸函數(shù)在任意開區(qū)間(有限或無窮)I上連續(xù).引理3.2若函數(shù)f(x)在I上連續(xù)，且對卡毛，*2wI,有f(x1)f(x2

12、)fx1x2-T(c),22則f(x)為下凸函數(shù).定理3.6若函數(shù)f(x)在區(qū)間I(有限或無窮)上單調(diào)，且Df(x)在I內(nèi)處處存在且有界，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間I上一致連續(xù)證明不妨設f(x)在開區(qū)間I上單調(diào)增加.因為Df(x)在I內(nèi)處處存在，有界，即三M0,vxwl,有Df(x)<M.下面證明：對x1：x2)x1)x2I，有f(x2)-f(xi)：2M(x2-xi).若不然，a1,b1I,a1:b1，使f(bj-f(a1),2M(b1-a1).,1,一_.令c=(a+bj,則區(qū)間a，c和c,b1中至少一個，記為a2,bz,滿足2f(b2)-f(a2)_2M(b2-a2)由此，利用歸納法可

13、得到區(qū)間套為,4二a2,b2二二:an,bn二一.(1)f(bn)-f(an)-2M(bn向)1,(2)bn-an=n(b-a1)2根據(jù)區(qū)間套定理，這些區(qū)間有惟一的公共點，記為._。h。h由條件知，Df<M.所以，加>0，使當h<6,且03十wI時，有221f(h)-f(-):M.h22°°66因為之三二不,且bn-anT0,故存在正整數(shù)N,使X-On<<+-.不妨設-3n<bN-.令ho=2(bN-f),則ho<6,且,一。hho-ho-二一：二-<an:'=bN:二,一2222故f(%-f(力)=f(bN)-f)_

14、2M(bN-aN)_Mho22此與(3)矛盾，從而(1)試對I內(nèi)任意兩點都成立，因而可得f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù).推論1若函數(shù)f(x)是開區(qū)間I(有限或無窮)上的凸函數(shù)，且擬導數(shù)存在有界，則f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù).證明不妨設f(x)為區(qū)間I上的下凸函數(shù)因為f(x)為凸函數(shù)，所以f(x)在I上連續(xù).若f(x)在I上單調(diào)，由定理3知結論成立.若f(x)在I上不單調(diào)，由f(x)為區(qū)間I上的下凸函數(shù)可知，在I上至少存在三點x1<x2<x3，有f(x1).f(x2)，且f(x2):二f(x3).因為f(x)在x1,x3上連續(xù)，故存在x0w(x1,x3)，使f(x0)=minf(x).下

15、證x.xi飛f(x0)=mirf(x).否則，若存在x4wI一xi-x3,且f(x4)<f(x0)若x4<x0,則皿x.I使x1-x0(1-)x4,0:二：:1，從而f(xi)«£f(x0)+(1-)f)(x4)<f(x°)，矛盾.同理x4x0不成立.于是，由f(x)為區(qū)間I上的下凸函數(shù)定義可證，f(x)在(a,xO上遞減，在x0,b)上遞增.故f(x)在(a,x°與x0,b)上一致連續(xù).而f(x)在I上連續(xù)，故f(x)在I上一致連續(xù).推論2若函數(shù)f(x)在開區(qū)間I(有限或無窮)滿足條件：f(x1)f(x2)xx2(1)x1,x2I,有

16、f()；22(2)Vx«I,f_(x).和f虱x)都存在(3)在I上處處才可導，且擬導數(shù)有界.則函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù).證明先證f(x)在I上連續(xù).對Vx0WI,下證f_(x0)=f+(x0).因為f_(x0)=f(x0),則不妨設1.一fx。)<fx。),取6=(f乂x。)一f_(x。)>0,3§1>0,4VxI:0cx0-x<a,有f_(xO)-f(x)|<S,-xI:0；x-x0：二'1,有f(x0)-f(x)：二；.f-(x0)-f_(x0)一：；一M0,一、0,Th=min,1,有2M2f(x02)-f(x02)fd)

17、一f(x0)-fM-萬)f(x0)-f(x0)h一hf(x0)-f_(x0)-2；f(x0)-f_(x0)fKx0)-f_(x0)>=22M=Ivl.h2h2(f(x。)-f_(x。)與已知條件矛盾，所以fx0)=f£x0).又由f(X0)；f(X)之f(包尸),兩邊對x取極限，得f(x0)_f_(x0).因為I為開區(qū)間，取h>0,使x0+h,x0hwI,皿x0hx0-hf(x0h)f(x0-h)則f(x0)=f(-0一)<-，兩邊對h取極限，22得f(x0)£f*(x°)*f-(x0)=f(x0)，從而f(x)在x0點連續(xù)，2一即f(x)在區(qū)間

18、I上連續(xù)曲引理2得f(x)為凸函數(shù).由推論1得f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)定理3.7若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上滿Lipschitz條件，即存在常數(shù)La0，使對任何xi,x2wI，都有f(x1)-f(x2)<Lx1-x2，則函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù).依定義可立即證得推論若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導，且f'(x)在區(qū)間I上有界，則函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù).一LE-'，、.一一一一一'.一一一一證明f(x)在區(qū)間I上有界，即二LA0,VxWI杳f(x)ML.因為f(x)在區(qū)間I上可導，據(jù)拉格朗日定理Vx1,x2wI,有f(xi)-f-2)=fY)(xix2).從

19、而f(xi)-f(x2)=f(-)|xi-x2|wLxi-x2,即f(x)在區(qū)間I上滿足Lipschitz條件，故f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù).定理3.8若函數(shù)f(x)在a,z)可導，且四Jf'(x)=九(常數(shù)或十8)，則f(x)在a,收)一致連續(xù)的充要條件是人為常數(shù).證明充分性若人為常數(shù)，由局部有界性，三A>a,可使f'(x)在A,")有界，再由定理4推論，f(x)在A,)上一致連續(xù),再由Cantor定理知f(x)在a,A一致連續(xù).故f(x)在a,)一致連續(xù)._，,1._1必要性(反證法)設f(x)=g.則：3%=5，V&A0，取G=，故三Aaa,vxa

20、A,有f(x)aG.取x1,x2>A，且使x1-x2=<d,2據(jù)拉格朗日定理有f(xi)-f(x2)=f(-)|xi-x2>G=2.故f(x)在A,y)非一致連續(xù)，這與f(x)在a,)一致連續(xù)矛盾.上定理的結論相當完美，它使得許多初等函數(shù)在無限區(qū)間上一致連續(xù)與非一致連續(xù)的判別，都變得簡便易行.4一致連續(xù)的性質(zhì)性質(zhì)4.1若f(x)和g(x)都是區(qū)間I上的有界的一致連續(xù)函數(shù)，則F(x)=f(x)g(x)也在I上一致連續(xù).證明由題設f(x),g(x)有界，從而存在M>0，使f(x)<M,g(x)<M,Vx=I.再由f(x),g(x)都一致連續(xù)，則V君>0,：

21、3初>0和邑>。，使VXi,X2,X3,X4wi，且Xi-x2<61,X3X41<$2,時有f(Xi)-f(x2)|<-,g(x3)-g(x4)<,2M2M令d=min屬包，則Vx5,x6wI,且X5X6<6時F(X5)-F(X6)=|f(X5)g(x5)-f(X6)g(x6)|If(X5)|g(x5)-g(x6)|+|g(x6)|f誨)-心):二MM=；.2M2M所以f(x)g(x)在I上一致連續(xù).性質(zhì)4.2函數(shù)f(x)在a,b上一致連續(xù)，又在b,c上一致連續(xù)，a父b<c.用定義證明：f(x)在a,c上一致連續(xù).證明由f(x)在a,b一致連續(xù)，

22、故Vw>0曰4>0，使當x1,x2乏a,b,且Xi-X2<4時，有f(Xi)-f(X2)(i)2同理，f(x)在b,c上一致連續(xù)，對上述s>0，存在d2>0，使當x3,X4=b,c，且X3-X4<之時，有f(X3)-f(X4)<：(ii)2令6=min61,62，則對w>0,當X5,%wa,c且X5X6<S時，(1)若X5,X6wa,b,由(i)式有f(x5)-f(x6)<<£2(2)若X5,X6wb,c，由(ii)式也有f(X5)-f(X6)<6(3)若x5wa,b,x6wb,c時，則x5-b<6,x6-

23、b<6所以f(X5)-f(x6)<|f(x5)-f(b)+|f(b)-f(x6)|<-+-=s.2 2從而得證f(x)在a,c上一致連續(xù).性質(zhì)4.3設函數(shù)f(x)在a,+=c)連續(xù)，函數(shù)g(x)在a,y)一致連續(xù)，且Jimf(x)-g(x)=0，則f(x)在a,)一致連續(xù).證明Jimf(x)-g(x)=0，故-；0,Aa,”，x2一A,有f(Xi)-g(Xi)|<-,f(x2)-g(x2)一.3 3及函數(shù)g(x)在a,)一致連續(xù)，故對上述s>0,36>0,Vx1,x2之A,且x1-x2|<5，有zg(xi)-g(x2)<-.綜上寸Xi,X22A,

24、且XiX21<6,有f(Xi)一f(X2)w|f(Xi)g(Xi)+g(Xi)-g(x2)+|f(x2)-g(x2).zzz<_+_+_=z333即f(x)在A,y)一致連續(xù)，再由Cantor定理知f(x)在a,A上一致連續(xù)，故f(x)a,)在一致連續(xù).定理5表明：若連續(xù)函數(shù)可在無窮遠處充分接近一個一致連續(xù)函數(shù)，則其必一致連續(xù).考慮到線性函數(shù)必一致連續(xù)，如果某連續(xù)函數(shù)在無窮遠處充分接近一個線性函數(shù)，即此函數(shù)存在斜漸近線，則它必一致連續(xù).即是如下推論.推論設函數(shù)f(x)在a,y)連續(xù)，且有斜漸近線，即有數(shù)b與c,使limf(x)-bx-c=0，則f(x)在a,)一致連續(xù),xJ-.：5

25、一致連續(xù)性的應用利用一致連續(xù)性定義或判斷函數(shù)一致連續(xù)性的定理來判斷某函數(shù)的一致連續(xù)性1一、例1判斷f(x)=r,xe(0,十無)的一致連續(xù)性.1x2解：因為.1_1.lim2=0,lim2=1J''1xx.。1x又f(x)在(0,收)上連續(xù)，所以f(x)在(0,f)上一致連續(xù).本題利用定理3.4,f(x)在無限區(qū)間上連續(xù)且在端點極限存在，則f(x)在此無限區(qū)間上一直連續(xù).例2證明f(x)=ex在R上非一致連續(xù)1 .-1、證明1T0=一，”飛0(-in：),一整=ln(n1),x2=lnnR：2 e,-11周_.x1-x2=ln(n+1)-lnn=ln(1+)<lne。=6

26、,有n,1f(x1)-f(x2)=(n+1)-n=1A%.所以f(x)=ex在R上非一致連續(xù).根據(jù)一直連續(xù)性定義證得.1-)=0.n證明2取xn=ln(n+1),yn=lnnwR,且lim(xn一yn)=limln(n1)-lnn=limln(1n，n，nj二但limf(xn)-f(yn)=limeln(n"-elnn=lim(n1-n)=1=0.n，nj二二n)：所以f(x)=ex在R上非一致連續(xù).此題根據(jù)判定函數(shù)一直連續(xù)性的充要條件即定理3.3.1例3判斷f(x)=excos1,xw(0,1)的一致連續(xù)性.xx1解：因為limqcos不存在，x-Qx所以f(x)=ex在(0,1)

27、內(nèi)不一致連續(xù).此題根據(jù)判定連續(xù)函數(shù)在有限開區(qū)間一致連續(xù)性的方法即定理3.2例4證明：f（x）=ex在（，a）上一致連續(xù),而在（a,）上非一致連續(xù).證明:limex=0且limex=ea.x）.:：x聲一所以e在（-°0,a）上一致連續(xù).（ex）=ex,Limex|=-.所以f（x）=ex在（a,也）上非一致連續(xù).x.此題根據(jù)連續(xù)函數(shù)導數(shù)的有界性來判定函數(shù)的一致連續(xù)性。此方法快捷方便，實際應用很廣泛.結論判斷函數(shù)一致連續(xù)性的方法是多種多樣的，只要我們靈活多變，就能做到事半功倍.所以我們要熟練掌握一致連續(xù)性的幾種判定定理.即前述的幾個充要條件，充分條件.這樣對于解決一致連續(xù)性的問題才會游

28、刃有余參考文獻1華東師范大學數(shù)學系編，數(shù)學分析M,北京：高等教育出版社,2001.2復旦大學數(shù)學系編，數(shù)學分析M,北京：高等教育出版社,1985.3錢吉林等主編，數(shù)學分析題解精粹M,上海：崇文書局,2003.4吉米多維奇，數(shù)學習題集M,北京：人民教育出版社,1978.5裴禮文，數(shù)學分析中典型問題與方法M,北京：高等教育出版社,1993.6徐利J治，大學數(shù)學解題法詮釋M,合肥：安徽教育出版社,1990.7TomM.Apostol.MathematicalAnalysisM.Beijing:ChinaMachinePress,2004.ThejudgementaltheoremandpropertiesofuniformcontinuityAuthor:ZhuXiaohongSuperviser:ZhangHaiAbstractTheuniformcontinuityoffunctionisanimportantconceptinthemathematicalanalysiscourse,whichplaysa