數(shù)形結(jié)合解不等式問題

1、數(shù)形結(jié)合解不等式問題數(shù)形結(jié)合解不等式問題河北省玉田縣林南倉中學金志剛(郵編064106)不等式問題是高中數(shù)學中的重要內(nèi)容，也是歷年高考的必考題目。有些題目因為計算量大很多學生感覺學起來困難太大，以至產(chǎn)生了畏難情緒。本文試圖將抽象數(shù)學問題與具體直觀圖形結(jié)合起來，充分利用圖形性質(zhì)和特點，對問題理行分析思考，化抽象為直觀，化繁瑣為簡潔。例1已知集合Ax1g(xa1)1g2，集合Bx(xa)(x2)0,若AUB=R則實數(shù)a的取值范圍是。分析：如用代數(shù)法解不等式，求a的取值范圍，需分三種情況討論，而用數(shù)形結(jié)合方法則可一步獲解。由Ax1g(xa1)1g2aAxa1xa1又由Bx(xa)(x2)0,令f(x

2、)(xa)(x2),據(jù)圖可見AUB=R的充要條件是f(a1)0,3a01a3.f(a1)0a10例2設函數(shù)f2T,1X2,X0一，右f(x0)>1,則x°的取值氾圍是x>0A、(-1,1)C、(-,-2)(0,+B、(一1,+00)D、(-,1)(1,+)分析：本題主要考查函數(shù)的基本知識，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式以及考生借助數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力。一般解法：10或xX0解得得X<-1或xX212X111。解法2:如圖1,在同一坐標系中，作出函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=l,它們相交于（-1,1）和（1,1）兩點，由f（x）>1得x<-1或x>

3、1例3解不等式,反"xx0常規(guī)解法：原不等式等價于（I）x20或（II）x2x解是x<-或X>-2解（I）得0x2;解（II）得2x0綜上可知，原不等式的解集為x|2x0或0x2數(shù)形結(jié)合解法：令Y12,y2x,則不等式Jx2x的解就是使yJx2的圖象在yx的上方的那段對應的橫坐標。如右圖，不等式的解集為x|xaxxb，而xb可由Jx2x解得xb2,xa2,故不等式的解集為x|2x2,一一1例4右-3<一x“/11、A、（-3，2）<2,則x的取值范圍是（-/1B、（2，八，1一，1、一,1、，1、C、（-3，0）（2,+）D、（-,-3）（2,+），一，-一一

4、，1,分析：本題若用常規(guī)解法則比較花時間，若用函數(shù)y=；的x圖象求解，則比較簡單。如右圖不難得出-3<.1<2的x|2x2x/=1虱37-#）總有意義，求例5.設對于任意實數(shù)“葉2,2,函數(shù)實數(shù)a的取值范圍。解法1:函數(shù)有意義，則3"禰-#）口,即/+"-為口在匯曰一，4上總成立。設g=#即當卜武也2時，以打.；口總成立。（以-2）<0:依拋物線小冢制的特征，將其定位，有冢2<。，如下圖i所示。4%<0/曰二I八，解得淳>44一<0（O解法2：對于不等式達-康工-/>Q,因為兀曰一34,所以3一工中5，不9a>3-7H6

5、等式可化成3-K0只要次>A（x）=3-63一齊的最大值即可。9t=3x,x巨1,5,6+為（工）=E匚,u、設L£的圖象如下圖2所示，可知b+雙刃的最大值為10,故處幻最大值為4,則s、4。圖2點評：解法1抓住了拋物線的特征，由實數(shù)a的不等式組，將拋物線定位，再求解范圍。另外，由于涉及到一元二次方程根的分布，所以又提供了一次數(shù)形結(jié)合的機會。解法2將實數(shù)a從不等式中分離出來，對后邊函數(shù)中|3-工換元后,利用典型函數(shù)圖象直觀地求其最大值，求得a的范圍，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，不失為好辦法。例6.解不等式：分析：本題是道高考的容易題，但實際上當年考生得分并不高，錯誤的原因就在于絕大多數(shù)

6、同學只會用分類討論的方法解此無理不等式，而在討論時，又分類不全，錯誤率很高，其實只要有數(shù)形結(jié)合的思想，利用圖象求解，本題還是很容易的.解作與y=x+1的圖象于同一坐標系，解方程組得出交點A(2,2),注意到B(2)結(jié)合題意可能不等式的解為:例7.解關于x的不等式(I)ig(3x)11、ig(x-)ig(2x二)；22(n)ig(3、1、7c1、7c1、"x)ig(x-)ig(-x2mx-)ig(x2mx-),其22222.解：(I)lg(3x)ig(x-)(2x),3x0,(3x)x3,0,11(x2)2x210.32(x4)160,原不等式的解集為x'2ig(3x)ig(x

7、12mx)(125，*m5),等價于30,0,(3x)2mx2,(1m5).3x3,2mx10,(13)22mx,(x(,3),m(1,)。x23511令直線l:y2m,(1m-),曲線c:yx,x(,3),作出直線l與曲線4 x2c的圖象。5 5(1)當22m5,即1m5時，直線l與曲線c有兩個公共點，公共點24的橫坐標是x1m/m21,x2m<m21,此時不等式的解集為x(,mVm1mv'm21,3)。2(2)當52m10,即5x5時，直線l與曲線c有一個公共點，公共2343點的橫坐標是xmv'm21,此時不等式的解集為xmmm21,3)。點評：本題的關鍵是將不等式問

8、題轉(zhuǎn)化為直線l:y2m,(1m5)與曲線411c:yx1,x(，,3)之間的圖像關系問題，通過數(shù)形結(jié)合直接寫出不等式的解x20例8.已知全集=及，集合月七/-，,C-相/家<0)(D試求實數(shù)5的取值范圍，使；(2)試求實數(shù)修的取值范圍，使Cnln豆.-I=j4=(rxa-x-6<0=x|-2<x<3)B=仁+-3>Oj=z|j<%或t>2)巾£-2,如23)豆叱=巾)工ni卜m當厘<0時C團如。J當厘=。時，C=0,當"'Q時，c曲"S）（1）如圖，的充要條件是aXX7&2t211-11/0a233o

9、解得14s&2.（2）如圖，Nn百的充要條件是j<0,比t,_LI1L3d-4-2a0。-2k點評：將集合jnm,工叫仃標在數(shù)軸上，則cnjn月和？口Xn©的關系的幾何意義就是數(shù)軸上區(qū)間的覆蓋關系，借助于圖形的直觀性再轉(zhuǎn)化為與之等價的關于字母系數(shù)0的不等式組，可見不等式的解集的區(qū)間表示是很有意義的.例9試證：對任何a>0,b>0,c>0者B有1112.2-22.'22abab,bcbc.acac（當bac時等號成立）。證明：根據(jù)數(shù)式特征，可構(gòu)造如右圖形，其中的AB=aBC=cBD=b則2.2ADab2abcos602.24abab，CD，b2c

10、2bc,ACa2c2ac由圖知AC+DCAC故原不等式成立。當A、DC共線時等號成立。此時SABCSABDSCBD故acabbc,111即bac0這說明了解決不等問題轉(zhuǎn)化為圖形處理，利用數(shù)形結(jié)合，開拓解題思路，真是耳目一新，化難為易。例10.已知函數(shù)f(x)=tanx,xC(0,冗若xi,x2C(0,冗且,xiwx2,證明：f(xi)2f(x2)f(xLx2)yc錯證：作出y=tanx,xC(0,冗的圖象。(如圖)A_1t則點A(xi,f(xi)、點B(x2,f(x2)是圖象上的不同兩點，AC'線段AB的中點C的坐標是：(,f(xi)f(x2)22設C在X軸上的射影是Ci。CCi交y=f(x)的圖象于D,由圖象知CiC>CiD即f(xi)f(X2)f(2!)命題得證。22剖析：上述證法利用了圖象的直觀性，看似思路清晰、證法簡潔，但實際上是不嚴密的。事實上，上述證明過程中用到了“y=tanx的圖象在上下凸”的特性，而這個特性在初等數(shù)學中未加證明，故上述證法缺乏嚴密性因而是錯誤的。(正解略)數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學中基本的思想